El método de integración por partes consiste en aplicar la fórmula UDV - VDU, donde U es una función, DV es su derivada, y V es la integral de DV. Se usa cuando el integrando es un producto de dos funciones, escogiéndose una función como U y la otra como DV. Luego se deriva e integra las funciones y se sustituye en la fórmula para calcular la integral.
2. ¿En qué consiste el método?
El método de integración por partes consiste en aplicar
la siguiente fórmula:
Regla mnemotécnica:
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(UDV = UV - VDU).
vdu
uv
udv
3. ¿Cuándo usar el método ?
Cuando el integrando está formado por un producto (o
una división, que podemos tratar como un producto).
EJEMPLOS
4. ¿Cómo se aplica el método?
Método:
El integrando debe ser un producto de dos
factores.
Uno de los factores será u y el otro será dv.
Se calcula du derivando u y se
calcula v integrando dv.
Se aplica la fórmula.
7. Integral 3
Cambio de variable: Nos interesa escoger u = x² (para reducir su
exponente), pero entonces nos vemos obligados a que dv = ln(x) y
obtener v no es inmediato. Así que escogemos lo contrario:
9. Integral 4
Cambio de variable: Cada vez que integramos o derivamos
cos(x) obtenemos ± sin(x). Por tanto, no nos importa si es u ó dv.
Sin embargo, es mejor escoger u = x² ya que al derivar reducimos
el exponente: du = 2x. Escogeremos dv = cos(x)
11. Cont. Integral 4
Cambio de variable: Integramos por partes otra vez, pero
tenemos que escoger u = x porque si no, volvemos al paso
anterior:
Aplicando la fórmula: vdu
uv
udv
12. Cont. Integral
Sustituyendo el resultado de la integral xsinx, nos queda:
Recordando la expresión de la integral principal,
