Material didáctico desarrollado para mostrar la integración de Funciones Constantes y Potenciales

1. Universidad Politécnica
Territorial de Maracaibo
Dra. Inés K. Sánchez O., Ing MSc,Mgs
Matemática II
Programa Nacional
de Formación -PNF
Integrales Inmediatas
Indefinidas
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INTEGRALES INMEDIATAS
Se denominan integrales inmediatas a aquellas que no requieren ningún método para
encontrar una primitiva, sino el simple reconocimiento de la función que se ha derivado. Para
ello se aplican las propiedades o teoremas que se muestran en la tabla de integrales
inmediatas.
La tabla de integrales inmediatas es una consecuencia directa de la tabla de derivadas
que ya conocemos puesto que estamos haciendo el proceso inverso.
TEOREMAS O PROPIEDADES
FUNCIONES ALGEBRAICAS
PROPIEDAD No. 1: C
1
n
u
du
u
1
n
n




 , para x ≠ − 1
¿Qué nos dice esta propiedad? Cuando en el integrando tengamos la presencia de la
variable “u” elevada a un exponente diferente de –1
multiplicando al diferencial, entonces la función primitiva
o resultado será la variable “u” elevada a un nuevo
exponente, dividida por el nuevo exponente. Este nuevo
exponente será el original más 1.
 dm
m6
Solución:
dm indica que la variable de integración es “m”
Aplicando la propiedad 1: C
7
m
C
1)
(6
m
dm
m
7
1
6
6







1

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Finalmente, la función primitiva es:  dm
m6
C
7
m7


PROPIEDAD No. 2: C
u
du 


¿Qué nos dice esta propiedad? Cuando en el integrando sólo tengamos la presencia del
diferencial, la función primitiva, es decir, el resultado es
igual a la variable “u” sumada a la constante de integración.
dm
Solución:
C
m
dm 


 z
d
Solución:
 
 C
z
dz
2
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PROPIEDAD No. 3: kdu ku C
 

¿Qué nos dice esta propiedad? La variable de integración es “u”, y en el integrando sólo
tenemos la presencia de una constante “k” multiplicando al
diferencial, por lo que la función primitiva es igual a la
contante multiplicada por la variable.
26dm
Solución:
C
m
26
26dm 


 dx
14
1
Solución:
C
14
x
C
x
14
1
dx
14
1






5
6
9
No aparece la variable

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 dp
2
1
3
z
Solución:
C
2
p
C
p
2
1
dp
2
1
3
3
3





 z
z
z
 dx
e2
Solución:
C
x
e
C
x
e
dx
e 2
2
2






PROPIEDAD No. 4: C
u)du
f(
k
kf(u)du 
 

¿Qué nos dice esta propiedad? Cuando en el integrando tengamos la presencia de una
constante “k” multiplicando a cualquier función, siendo “u”
la variable de integración, se extrae a la contante
multiplicando a la integral y se aplican las propiedades
necesarias para resolver la integral. Así la función primitiva
es igual a la contante “k” multiplicada por el resultado de la
integral.
A pesar de que es una letra, “z” actúa como una constante,
puesto que la variable es “p”, según lo indica el diferencial
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 dm
8
m6
Solución:
Aplicando la propiedad 4: 
  dm
m
8
1
dm
8
m 6
6
Aplicando la propiedad 1: C
(7)
m
8
1
C
1)
(6
m
8
1
dm
m
8
1 7
1
6
6









Multiplicando fracciones: C
56
m7


Finalmente, la función primitiva es:  dm
8
m6
C
56
m7


 dp
p
2
p
3
Solución:
Aplicando la propiedad 3: dp
p
p
2
1
dp
p
2
p
3
3 
 
Como la variable aparece en el numerador como en el denominador, se debe aplicar una
propiedad de potenciación (división de potencia de igual base). Así:
Se asume que en el numerador la unidad
multiplica a m6
Se asume que en el numerador la
unidad multiplica a “p”
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Propiedad de potenciación:
k
m
k
m
a
a
a 
 ,
Se escribe la misma base y se resta el exponente del numerador menos el exponente
del denominador
Aplicando la propiedad en la integral: dp
p
2
1
dp
p
2
1
dp
p
p
2
1 2
3
1
3 






Aplicando la propiedad 1: C
1)
2
(
p
2
1 1
2







Resolviendo y multiplicando fracciones: C
2
p 1




Dividiendo signos: C
p
2
1



Finalmente, la función primitiva es: 
 dp
p
2
p
3
C
p
2
1



donde la cantidad que está dentro de la raíz (cantidad subradical) es la base elevada a un
nuevo exponente en forma de fracción, donde el numerador es el exponente de la cantidad
subradical y el denominador será el índice de la raíz.
Exponente negativo y se asume que la
variable x tiene coeficiente 1
Se aplica la inversa para que el
exponente quede positivo:
C
p
2
1



