El documento presenta propiedades y conceptos relacionados con desigualdades y sistemas de inecuaciones. Introduce propiedades básicas de desigualdades como que si se suma o multiplica un mismo número a ambos lados la desigualdad no cambia o sí lo hace dependiendo si el número es positivo o negativo. Luego explica inecuaciones de primer grado con una incógnita y sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita y cómo encontrar su conjunto solución. Finalmente aborda inecuaciones con valor absoluto y

1. Si a, b, c son números reales y a < b, entonces a + c < b + c
Si a, b, c son números reales tales que a < b y c > 0, entonces ac < bc
Si a, b, c son números reales tales que a < b y c  0, entonces ac > bc
Si a, b, c son números reales tales que 0 < a < b o a < b < 0, entonces
1 1
>
. Si a < 0 < b, entonces, 1 1
a b
1
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 23
UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES
INECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES
DESIGUALDADES
Llamaremos desigualdades a expresiones de la forma a > b, a < b, a  b o a  b.
Las desigualdades cumplen con las siguientes propiedades:
PROPIEDAD 1 Si a los dos miembros de una desigualdad se suma un mismo número, el
sentido de la desigualdad no cambia.
PROPIEDAD 2 Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican por un mismo
número positivo, el sentido de la desigualdad no cambia.
PROPIEDAD 3 Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican por un mismo
número negativo, el sentido de la desigualdad cambia.
PROPIEDAD 4 Si de los dos miembros de una desigualdad, ambos positivos o ambos
negativos se toman sus inversos multiplicativos (recíprocos), el sentido
de la desigualdad cambia.
EJEMPLOS
1. Si a, b y c son número reales, con b > c > a y c  0, ¿cuál de las siguientes
desigualdades es FALSA?
A) c + a < b + a
B) b – c > a – c
C) c2 · a < c2 · b
D) c3 > a · c2
E) (a – c) · b > (a – c) · c
<
a b
.
C u r s o : Matemática
Material N° 23

2. 2. Si 0 < x < 1, entonces ¿cuál(es) de las siguientes desigualdades es (son) verdadera(s)?
2
I) 2 – x2 < 2 + x2
II) 3 – x2 < 3 – x
III) 1 + x2 < (1 + x) 2
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y III
E) I, II y III
3. Si 0 < x < 1, entonces ¿cuál (es) de las siguientes proposiciones es (son)
verdadera(s)?
I) 1
> 1
x
II) 1
0 < < 1
x
III) 1
0 < < x
x
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y III
E) I, II y III
4. ¿Cuál(es) de las siguientes condiciones se debe(n) cumplir para que de la desigualdad
x < a, se pueda deducir que cx > ca?
I) Tanto a como x deben ser reales positivos.
II) c debe ser un real negativo.
III) c debe ser distinto de cero.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
5. Si m < m, entonces se puede afirmar que
A) m es un número real positivo.
B) m número real negativo.
C) 0 < m < 1
D) -1 < m < 1
E) nada se puede asegurar.

3. INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
Son desigualdades que se pueden reducir a una de las formas siguientes: ax + b  0,
ax + b  0, ax + b > 0, o ax + b < 0, y que son verdaderas para un conjunto de valores de
la incógnita x, el cual se llama conjunto solución de la inecuación. Este conjunto se puede
representar mediante la notación de conjunto, intervalo o gráfica.
3
EJEMPLOS
1. El conjunto solución de la inecuación -2 · (3 – 4x)  10x es
A) {x  lR / x  -3}
B) {x  lR / x  -3}
C) 1
  x  lR / x  -
  3


D) 1
  x  lR / x  -
  3


E) 1
  x  lR / x
  
 3


2. El intervalo que es conjunto solución de la inecuación 3 x 2 + x
 es
2 3
A) ]1 +[
B) ]-, 1]
C) [1, +[
D) [-1, +[
E) ]-, -1]
3. El conjunto solución de la inecuación -2x +1 < -3 está representado en
A) lR – {2}
B) lR – [-2, 2]
C) lR – ]-, -2[
D) lR – ]-, 2[
E) lR – ]-, 2]

4. SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA
Es un sistema formado por dos o más inecuaciones de primer grado con una incógnita.
El conjunto solución del sistema es la intersección de los conjuntos de cada inecuación. Si
S1, S2, ..., Sn son los conjuntos solución de cada inecuación y S es el conjunto solución del
sistema, entonces:
 + 3  2 se obtiene como conjunto solución
4
EJEMPLOS
1. El conjunto solución del sistema de inecuaciones
1
 

1 x
2
3(5 x) > 3
es
A) 1
  x  lR /  x < 4
  2


B) 1
  x  lR /  x < 5
  2


C) {x  lR / x > 4}
D) 1
  x  lR / x
  
 2

E) 
2. El conjunto solución del sistema de inecuaciones

3x + 1 7
5x 2 8
 
es
A) [2, +[
B) ]-, 2]
C) [-2, 2]
D) {2}
E) 
3. Al resolver el sistema -2  1 x
2
A) [1, 9]
B) ]-, 3]
C) [3, 11]
D) [11, +[
E) 
S = S1  S2  S3  ...  Sn

5. 4. El conjunto solución del sistema de inecuaciones
5
x + 3 > -2
5  x  7
, está representado
gráficamente en
A)
B)
C)
D)
E)
-5 -2
-5 -2
5. ¿Cuáles de los siguientes sistemas de inecuaciones, tienen el mismo conjunto solución?
I)
x + 2 > 7
3  2x < 1
II)
x + 3 > 8
1  2x < 2
III)
2x 7 > 3
x > -2

A) Sólo I y II
B) Sólo I y III
C) Sólo II y III
D) I, II y III
E) Ninguno de ellos
6. ¿Cuál de los siguientes valores pertenece al conjunto solución del sistema
7 < 2x + 3  20?
A) 1
B) 2
C) 8
D) 10
E) 12
-5 -2
-5 -2
-5 -2

6.   5 es
6
INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Dado un número real positivo a, tenemos los siguientes casos de inecuaciones con valor
absoluto:
1. x  a, si y sólo si -a  x  a
2. x  a, si y sólo si x  -a o x  a
EJEMPLOS
1. Si x - 2  3, entonces
A) x  5 o x  -5
B) 5 > x  5
C) x  -5 o x  5
D) -3  x  3
E) -5  x  5
2. Si x + 1 > 6, entonces
A) x > -7 o x < 5
B) -7 < x < 5
C) x < -7 o x > 5
D) x < -5 o x > 7
E) -5 < x < 7
3. El conjunto solución de la inecuación 2x 1
3
A) {x  lR / -7  x  8}
B) {x  lR / -8  x  8}
C) {x  lR / -8  x  7}
D) {x  lR / x  -7 o x  7}
E) { x  lR / -2  x  3}
4. El conjunto solución de la inecuación 3x – 1 < -2 es
A) 1
  x  lR / -1 < x < -
 
 3

B) 1
  x  lR / - < x < 1
 
 3

C) 1
  x  lR / -1 < x <
 
 3

D) 
E) lR

7. 7
PROBLEMAS DE INECUACIONES
En estos problemas aparecen expresiones que hay que traducir a los símbolos >, <,  o ,
tales como: “a lo menos” (), “cuando mucho” (), “como mínimo” (), “como máximo” (),
“sobrepasa” (), “no alcanza” (), etc. Una vez planteada la inecuación o sistema de
inecuaciones, se determina el conjunto solución, y al igual que en los problemas de
ecuaciones hay que fijarse en la pregunta del problema.
EJEMPLOS
1. Un artesano fabrica x collares, vende 60 y le quedan más de la mitad. Tras esta venta,
fabrica 5 collares más, vende 27 y le quedan menos de 40 collares. ¿Cuántos collares
fabricó en total?
A) 120
B) 121
C) 125
D) 126
E) 127
2. ¿Cuántos números enteros cumplen simultáneamente con las dos condiciones
siguientes?
I) El triple del número no supera su mitad, aumentada en 25 unidades.
II) El exceso del cuádruplo del número sobre 2 supera las 6 unidades.
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
3. “A Pedro le faltan a lo menos 5 años para completar la mitad de la edad que tiene Juan,
el cual tiene 20 años”. Este enunciado se puede expresar matemáticamente
considerando P a la edad de Pedro, de la manera siguiente
A) P – 5 = 20
2
B) P + 5  20
2
C) 2(P – 5)  20
D) 2(P + 5) < 20
E) 2P + 5 < 20

8. 4. En una cesta de frutas hay cuando mucho dos docenas de duraznos. Al sacar 8
duraznos queda a lo menos una docena de ellos. Si x representa el número de
duraznos en la cesta, el sistema de inecuaciones que resuelve este enunciado es
8
A)


x 24
x 8 > 12
B)
x > 24
x + 8 < 12
C)
x > 24
x + 8 > 12
D)

x 24

x 8 < 12
E)

x 24
 
x 8 12
5. “La décima parte de un número es por lo menos igual a su mitad, disminuida en 2”.
¿Cuántos números enteros positivos satisfacen esta condición?
A) Ninguno
B) Menos de 3
C) A lo menos 6
D) Solo 5
E) Más de 6
RESPUESTAS
DMTRMA23
Ejemplos
Págs. 1 2 3 4 5 6
1 y 2 E D A B B
3 A C E
4 y 5 A D C A D C
6 E C A D
7 y 8 D C B E D
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