Este documento presenta la regla lógica de inferencia conocida como modus tollendo tollens (MT). MT permite inferir la negación del antecedente de una proposición condicional a partir de la negación de su consecuente y la propia proposición condicional. Se proveen ejemplos de aplicación de MT y se explica cómo puede usarse con proposiciones moleculares en lugar de atómicas. También se introducen las reglas de adjunción y simplificación.
Este documento discute el uso de funciones y derivadas en química, física y biología. Explica que las matemáticas han estado relacionadas con la química desde hace tiempo ya que las aplicaciones matemáticas sirven para crear modelos teóricos y expresiones. Además, las derivadas han sido fundamentales para expresar y calcular razones de cambio que luego se pueden demostrar experimentalmente.
El método de Newton es un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de las raíces o ceros de una función real. Funciona linealizando la función mediante su tangente en cada punto de iteración, de modo que cada nueva aproximación es la abscisa del punto donde la tangente corta el eje x. El método converge cuadráticamente siempre que se parta de un valor inicial lo suficientemente cercano a la raíz buscada.
Exposicion de meodos numericos - UNIVERSIDAD DE LOS ANGELES COMALCALCOEden Cano
Este documento resume varios métodos numéricos para resolver ecuaciones, incluyendo métodos de intervalos, bisección, aproximaciones sucesivas, Newton-Raphson y secante. Explica que los métodos de intervalos utilizan el cambio de signo de una función para ubicar raíces dentro de un intervalo. El método de bisección reduce el intervalo a la mitad en cada iteración hasta converger. El método de aproximaciones sucesivas itera sustituyendo aproximaciones en la ecuación hasta que la solución converge. Newton-Raphson y secante usan
LIT4: Formales normales conjuntivas y disyuntivasJosé A. Alonso
Se presenta las formas normales conjuntivas y disyuntivas como medio para resolver los problemas TAUT y SAT.
Este es el tema 4 del curso de "Lógica informática". Más temas en http://www.cs.us.es/~jalonso/cursos/li/temas.html
1) El documento presenta los conceptos fundamentales de la integral definida, incluyendo la suma inferior y superior asociadas a una partición, y cómo el límite común de estas sucesiones define el área bajo una curva.
2) Se explica que la integral definida generaliza el cálculo del área para funciones que pueden tomar valores positivos o negativos, y se define la integrabilidad.
3) Finalmente, se establece la relación entre la integral y la derivada a través del teorema fundamental del cálculo, el cual establece que la derivada
1) Euler dividió la curva en intervalos finitos y asumió que cualquier segmento de la curva es un extremo local.
2) Comparó la curva dada con una variación cercana y notó que cualquier diferencia es de segundo orden y por lo tanto despreciable.
3) Esto le permitió derivar su ecuación variacional fundamental que describe curvas extremas.
Este documento presenta la conjetura abc, la cual establece que si a, b y c son números enteros positivos tales que a + b = c y son coprimos entre sí, entonces el máximo entre a, b y c es menor o igual que una constante multiplicada por el radical de abc elevado a una potencia mayor que 1. Esta conjetura tiene importantes consecuencias como demostrar versiones asintóticas de la conjetura de Fermat y mostrar que la ecuación de Catalán solo tiene un número finito de soluciones.
Ecuación de Euler-Lagrange: Deducción utilizando Cálculo Básicoguest6f168da
Este documento presenta una deducción de la Ecuación de Euler-Lagrange utilizando cálculo elemental. Explica que Euler dividió la curva en intervalos finitos y reemplazó la integral por una suma, luego evaluó los cambios en la suma cuando se introdujo una variación en la curva y equilibró los términos para derivar la ecuación fundamental de la mecánica variacional. El documento proporciona antecedentes sobre Lagrange, Euler y el problema clásico de la braquistócrona para ilustrar el método de Euler.
Este documento discute el uso de funciones y derivadas en química, física y biología. Explica que las matemáticas han estado relacionadas con la química desde hace tiempo ya que las aplicaciones matemáticas sirven para crear modelos teóricos y expresiones. Además, las derivadas han sido fundamentales para expresar y calcular razones de cambio que luego se pueden demostrar experimentalmente.
El método de Newton es un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de las raíces o ceros de una función real. Funciona linealizando la función mediante su tangente en cada punto de iteración, de modo que cada nueva aproximación es la abscisa del punto donde la tangente corta el eje x. El método converge cuadráticamente siempre que se parta de un valor inicial lo suficientemente cercano a la raíz buscada.
Exposicion de meodos numericos - UNIVERSIDAD DE LOS ANGELES COMALCALCOEden Cano
Este documento resume varios métodos numéricos para resolver ecuaciones, incluyendo métodos de intervalos, bisección, aproximaciones sucesivas, Newton-Raphson y secante. Explica que los métodos de intervalos utilizan el cambio de signo de una función para ubicar raíces dentro de un intervalo. El método de bisección reduce el intervalo a la mitad en cada iteración hasta converger. El método de aproximaciones sucesivas itera sustituyendo aproximaciones en la ecuación hasta que la solución converge. Newton-Raphson y secante usan
LIT4: Formales normales conjuntivas y disyuntivasJosé A. Alonso
Se presenta las formas normales conjuntivas y disyuntivas como medio para resolver los problemas TAUT y SAT.
Este es el tema 4 del curso de "Lógica informática". Más temas en http://www.cs.us.es/~jalonso/cursos/li/temas.html
1) El documento presenta los conceptos fundamentales de la integral definida, incluyendo la suma inferior y superior asociadas a una partición, y cómo el límite común de estas sucesiones define el área bajo una curva.
2) Se explica que la integral definida generaliza el cálculo del área para funciones que pueden tomar valores positivos o negativos, y se define la integrabilidad.
3) Finalmente, se establece la relación entre la integral y la derivada a través del teorema fundamental del cálculo, el cual establece que la derivada
1) Euler dividió la curva en intervalos finitos y asumió que cualquier segmento de la curva es un extremo local.
2) Comparó la curva dada con una variación cercana y notó que cualquier diferencia es de segundo orden y por lo tanto despreciable.
3) Esto le permitió derivar su ecuación variacional fundamental que describe curvas extremas.
Este documento presenta la conjetura abc, la cual establece que si a, b y c son números enteros positivos tales que a + b = c y son coprimos entre sí, entonces el máximo entre a, b y c es menor o igual que una constante multiplicada por el radical de abc elevado a una potencia mayor que 1. Esta conjetura tiene importantes consecuencias como demostrar versiones asintóticas de la conjetura de Fermat y mostrar que la ecuación de Catalán solo tiene un número finito de soluciones.
Ecuación de Euler-Lagrange: Deducción utilizando Cálculo Básicoguest6f168da
Este documento presenta una deducción de la Ecuación de Euler-Lagrange utilizando cálculo elemental. Explica que Euler dividió la curva en intervalos finitos y reemplazó la integral por una suma, luego evaluó los cambios en la suma cuando se introdujo una variación en la curva y equilibró los términos para derivar la ecuación fundamental de la mecánica variacional. El documento proporciona antecedentes sobre Lagrange, Euler y el problema clásico de la braquistócrona para ilustrar el método de Euler.
Este documento explica los conceptos de máximos y mínimos en función de la interpretación geométrica de la derivada. Se define un máximo como un punto donde la función toma un valor mayor que en puntos cercanos, y un mínimo como un punto donde la función toma un valor menor. Se muestran ejemplos de cómo calcular las coordenadas de puntos de máximos, mínimos y tangencia mediante el cálculo de derivadas. Finalmente, se introduce brevemente el uso de la derivada para encontrar máximos y mínimos de funciones.
Este documento contiene 14 ejercicios resueltos sobre derivación de funciones. Los ejercicios cubren conceptos como la definición de derivada, reglas de derivación, derivación implícita, determinación de pendientes de rectas tangentes y normales, extremos absolutos de funciones, entre otros. Las soluciones muestran los pasos de cálculo para derivar funciones explícitas e implícitas y aplicar los resultados a problemas de máximos y mínimos.
Aplicar derivadas en el cálculo de velocidad y aceleración de un objeto que s...dinorkis
1. El documento explica conceptos fundamentales de cálculo como derivadas, velocidad, aceleración, derivación implícita y funciones crecientes y decrecientes. 2. Incluye ejemplos detallados sobre cómo calcular la velocidad y aceleración de objetos en movimiento, derivar funciones implícitas y determinar puntos críticos, máximos y mínimos. 3. Finalmente, define concavidad y criterios para identificar cambios en la concavidad de una función a través de su derivada segunda.
Selectividad FÍSICA Extremadura Junio 2012-2013KALIUM academia
1. El documento presenta cuatro problemas de física. El primero explica la hipótesis de De Broglie sobre el comportamiento dual onda-partícula de los sistemas físicos. El segundo analiza la afirmación sobre la aditividad del campo eléctrico y el potencial. El tercero calcula el campo eléctrico generado por dos cargas puntuales. El cuarto estudia la reflexión y refracción de ondas en un medio.
Capitulo 3 funciones de varias variables Paul Borikua
Este documento introduce conceptos fundamentales sobre funciones de varias variables, incluyendo su definición, dominio, codominio y gráficos. Explica cómo representar gráficamente funciones de dos y tres variables a través de trazas en planos y curvas de nivel. También define límites y continuidad para funciones de más de una variable, y presenta ejemplos para ilustrar estos conceptos.
1) El documento trata sobre aplicaciones de las derivadas, incluyendo encontrar máximos y mínimos de funciones. 2) Para funciones continuas definidas en un intervalo cerrado, los extremos absolutos se alcanzan en los extremos del intervalo o en los puntos críticos, donde la derivada es 0 o no existe. 3) Se presenta una estrategia para encontrar los extremos absolutos que involucra calcular los puntos críticos y evaluar la función en esos puntos y en los extremos del intervalo.
Este documento describe los métodos de Gauss-Newton y Newton-Raphson para estimar modelos no lineales mediante mínimos cuadrados. Explica cómo estos métodos aproximan funciones no lineales usando desarrollos de Taylor y resuelven de forma iterativa un pseudomodelo linealizado hasta alcanzar la convergencia. También cubre su implementación en diversos softwares como Maple, Mathematica, Gauss, Matlab y Excel.
El documento trata sobre conceptos fundamentales del cálculo diferencial como la derivada, la tasa de cambio promedio y la tasa de cambio instantánea. Explica que la derivada representa la tasa de cambio instantánea de una función y puede interpretarse como la pendiente de la recta tangente en un punto. También define la tasa de cambio promedio como la pendiente de la recta secante entre dos puntos y analiza su relación con los conceptos de velocidad promedio y velocidad instantánea.
Este documento describe el método de la bisección para encontrar raíces de una ecuación. El método involucra iterativamente dividir el intervalo inicial en dos partes iguales basado en si el valor de la función es positivo o negativo en el punto medio, hasta que el intervalo sea menor a un error especificado. El documento provee detalles sobre cómo calcular el número de iteraciones necesarias y presenta un ejemplo numérico para ilustrar el método.
Derivación e Integración de Funciones de Varias VariablesEldiceth Lira
Este documento introduce conceptos matemáticos relacionados con la derivación e integración de funciones de varias variables, incluyendo límites, derivadas parciales, matrices jacobianas, extremos relativos, teoremas de integración múltiple y aplicaciones de estos conceptos. Explica estas ideas a través de definiciones, ejemplos y recomendaciones de recursos adicionales.
Este documento trata sobre las formas normales en lógica proposicional. Explica la forma normal conjuntiva, que es una conjunción de disyunciones de literales, y la forma normal disyuntiva, que es una disyunción de conjunciones de literales. Además, presenta algoritmos para calcular estas formas normales a partir de cualquier fórmula y cómo se pueden usar para decidir la validez o satisfacibilidad de una fórmula.
Serie de fourier. Funciones periodicas, funciones pares e impares.Carlos Ramos Pérez
El documento habla sobre las series de Fourier y las funciones periódicas. Explica que las funciones periódicas pueden expresarse como una combinación lineal de funciones seno y coseno usando las series de Fourier. También distingue entre funciones pares e impares, señalando que las funciones pares solo contienen términos coseno mientras que las impares solo contienen términos seno.
Este documento presenta una introducción a varios algoritmos de ordenamiento comunes como el método de la burbuja, inserción, selección, intercalación y ordenamiento rápido. Explica brevemente cómo funciona cada algoritmo y analiza su complejidad computacional, encontrando que el método de la burbuja y selección son O(n2) mientras que la intercalación y ordenamiento rápido son O(n log n) en promedio.
Este documento presenta varios métodos para encontrar raíces de ecuaciones, incluyendo el método de la falsa posición, el método de Müller, el método de la secante y el método de aproximación gráfica. Explica las fórmulas, algoritmos y ventajas de cada método.
El documento resume la derivación de las funciones trigonométricas. Explica que la derivada del arco coseno se deriva usando el Teorema del Valor Medio, y que las derivadas del seno y coseno se deducen de las reglas de derivación y la derivabilidad del arco coseno. También presenta un ejemplo de una función derivable cuyas derivada no es continua.
Aplicación e importancia de las funciones trigonométricas e hiperbólicas y s...dinorkis
1) Las funciones trigonométricas, hiperbólicas, exponenciales y logarítmicas tienen numerosas aplicaciones en la vida cotidiana y en campos como las matemáticas, física, economía y la ingeniería. 2) Las funciones describen las relaciones entre conjuntos de valores y pueden usarse para modelar fenómenos periódicos. 3) El álgebra, la geometría y el cálculo infinitesimal, que incluye el cálculo diferencial e integral, son ramas fundamentales de las matemáticas con amplias aplicaciones
1. Se define el plano tangente a una superficie en un punto como el plano que contiene todas las tangentes a las curvas trazadas sobre la superficie por ese punto. La recta normal es perpendicular al plano tangente.
2. Para calcular el plano tangente y la recta normal, se utilizan las ecuaciones de las derivadas parciales evaluadas en el punto.
3. Los máximos, mínimos y puntos silla de una función de varias variables se determinan igualando sus derivadas parciales a cero y analizando el signo de
Diferenciación e Integración Numérica
- Nociones preliminares.
- Primeras derivadas de los polinomios interpolantes.
- Extrapolación de Richardson.
- Fórmulas de integración de Newton-Cotes.
- Regla del trapecio.
- Integración de Romberg.
- Regla de Simpson 1/3 y 3/8.Fórmulas de la cuadratura Gaussiana.
Este documento presenta ejercicios resueltos sobre cadenas de Markov. En el primer ejercicio se demuestra que una sucesión de variables aleatorias independientes e igualmente distribuidas define una cadena de Markov. En el segundo ejercicio se clasifican los estados de una cadena dada y se calculan periodos. En el tercer ejercicio se calcula la probabilidad conjunta de estar en un estado en diferentes momentos de tiempo.
El documento proporciona información sobre Joseph Louis Lagrange, un matemático, físico y astrónomo italiano que desarrolló la mecánica Lagrangiana y los multiplicadores de Lagrange. También describe brevemente el método de los multiplicadores de Lagrange y sus aplicaciones en economía y teoría de control.
Este documento explica la regla de inferencia lógica conocida como modus ponendo ponens. En pocas oraciones:
1) El modus ponendo ponens permite inferir una conclusión a partir de dos premisas, siendo la primera una condicional con la forma "si P entonces Q" y la segunda afirmando el antecedente P. 2) Se proveen ejemplos simbólicos y no simbólicos de aplicación de esta regla. 3) El documento instruye sobre el uso correcto de esta regla lógica para derivar conclusiones válidas
Este documento describe el método de las derivaciones o deducción natural, un método de demostración de la validez de argumentos. Explica que este método transforma las premisas mediante reglas lógicas hasta llegar a la conclusión. También describe los tipos de derivación, incluyendo derivación directa, prueba condicional y prueba indirecta o reducción al absurdo.
Este documento explica los conceptos de máximos y mínimos en función de la interpretación geométrica de la derivada. Se define un máximo como un punto donde la función toma un valor mayor que en puntos cercanos, y un mínimo como un punto donde la función toma un valor menor. Se muestran ejemplos de cómo calcular las coordenadas de puntos de máximos, mínimos y tangencia mediante el cálculo de derivadas. Finalmente, se introduce brevemente el uso de la derivada para encontrar máximos y mínimos de funciones.
Este documento contiene 14 ejercicios resueltos sobre derivación de funciones. Los ejercicios cubren conceptos como la definición de derivada, reglas de derivación, derivación implícita, determinación de pendientes de rectas tangentes y normales, extremos absolutos de funciones, entre otros. Las soluciones muestran los pasos de cálculo para derivar funciones explícitas e implícitas y aplicar los resultados a problemas de máximos y mínimos.
Aplicar derivadas en el cálculo de velocidad y aceleración de un objeto que s...dinorkis
1. El documento explica conceptos fundamentales de cálculo como derivadas, velocidad, aceleración, derivación implícita y funciones crecientes y decrecientes. 2. Incluye ejemplos detallados sobre cómo calcular la velocidad y aceleración de objetos en movimiento, derivar funciones implícitas y determinar puntos críticos, máximos y mínimos. 3. Finalmente, define concavidad y criterios para identificar cambios en la concavidad de una función a través de su derivada segunda.
Selectividad FÍSICA Extremadura Junio 2012-2013KALIUM academia
1. El documento presenta cuatro problemas de física. El primero explica la hipótesis de De Broglie sobre el comportamiento dual onda-partícula de los sistemas físicos. El segundo analiza la afirmación sobre la aditividad del campo eléctrico y el potencial. El tercero calcula el campo eléctrico generado por dos cargas puntuales. El cuarto estudia la reflexión y refracción de ondas en un medio.
Capitulo 3 funciones de varias variables Paul Borikua
Este documento introduce conceptos fundamentales sobre funciones de varias variables, incluyendo su definición, dominio, codominio y gráficos. Explica cómo representar gráficamente funciones de dos y tres variables a través de trazas en planos y curvas de nivel. También define límites y continuidad para funciones de más de una variable, y presenta ejemplos para ilustrar estos conceptos.
1) El documento trata sobre aplicaciones de las derivadas, incluyendo encontrar máximos y mínimos de funciones. 2) Para funciones continuas definidas en un intervalo cerrado, los extremos absolutos se alcanzan en los extremos del intervalo o en los puntos críticos, donde la derivada es 0 o no existe. 3) Se presenta una estrategia para encontrar los extremos absolutos que involucra calcular los puntos críticos y evaluar la función en esos puntos y en los extremos del intervalo.
Este documento describe los métodos de Gauss-Newton y Newton-Raphson para estimar modelos no lineales mediante mínimos cuadrados. Explica cómo estos métodos aproximan funciones no lineales usando desarrollos de Taylor y resuelven de forma iterativa un pseudomodelo linealizado hasta alcanzar la convergencia. También cubre su implementación en diversos softwares como Maple, Mathematica, Gauss, Matlab y Excel.
El documento trata sobre conceptos fundamentales del cálculo diferencial como la derivada, la tasa de cambio promedio y la tasa de cambio instantánea. Explica que la derivada representa la tasa de cambio instantánea de una función y puede interpretarse como la pendiente de la recta tangente en un punto. También define la tasa de cambio promedio como la pendiente de la recta secante entre dos puntos y analiza su relación con los conceptos de velocidad promedio y velocidad instantánea.
Este documento describe el método de la bisección para encontrar raíces de una ecuación. El método involucra iterativamente dividir el intervalo inicial en dos partes iguales basado en si el valor de la función es positivo o negativo en el punto medio, hasta que el intervalo sea menor a un error especificado. El documento provee detalles sobre cómo calcular el número de iteraciones necesarias y presenta un ejemplo numérico para ilustrar el método.
Derivación e Integración de Funciones de Varias VariablesEldiceth Lira
Este documento introduce conceptos matemáticos relacionados con la derivación e integración de funciones de varias variables, incluyendo límites, derivadas parciales, matrices jacobianas, extremos relativos, teoremas de integración múltiple y aplicaciones de estos conceptos. Explica estas ideas a través de definiciones, ejemplos y recomendaciones de recursos adicionales.
Este documento trata sobre las formas normales en lógica proposicional. Explica la forma normal conjuntiva, que es una conjunción de disyunciones de literales, y la forma normal disyuntiva, que es una disyunción de conjunciones de literales. Además, presenta algoritmos para calcular estas formas normales a partir de cualquier fórmula y cómo se pueden usar para decidir la validez o satisfacibilidad de una fórmula.
Serie de fourier. Funciones periodicas, funciones pares e impares.Carlos Ramos Pérez
El documento habla sobre las series de Fourier y las funciones periódicas. Explica que las funciones periódicas pueden expresarse como una combinación lineal de funciones seno y coseno usando las series de Fourier. También distingue entre funciones pares e impares, señalando que las funciones pares solo contienen términos coseno mientras que las impares solo contienen términos seno.
Este documento presenta una introducción a varios algoritmos de ordenamiento comunes como el método de la burbuja, inserción, selección, intercalación y ordenamiento rápido. Explica brevemente cómo funciona cada algoritmo y analiza su complejidad computacional, encontrando que el método de la burbuja y selección son O(n2) mientras que la intercalación y ordenamiento rápido son O(n log n) en promedio.
Este documento presenta varios métodos para encontrar raíces de ecuaciones, incluyendo el método de la falsa posición, el método de Müller, el método de la secante y el método de aproximación gráfica. Explica las fórmulas, algoritmos y ventajas de cada método.
El documento resume la derivación de las funciones trigonométricas. Explica que la derivada del arco coseno se deriva usando el Teorema del Valor Medio, y que las derivadas del seno y coseno se deducen de las reglas de derivación y la derivabilidad del arco coseno. También presenta un ejemplo de una función derivable cuyas derivada no es continua.
Aplicación e importancia de las funciones trigonométricas e hiperbólicas y s...dinorkis
1) Las funciones trigonométricas, hiperbólicas, exponenciales y logarítmicas tienen numerosas aplicaciones en la vida cotidiana y en campos como las matemáticas, física, economía y la ingeniería. 2) Las funciones describen las relaciones entre conjuntos de valores y pueden usarse para modelar fenómenos periódicos. 3) El álgebra, la geometría y el cálculo infinitesimal, que incluye el cálculo diferencial e integral, son ramas fundamentales de las matemáticas con amplias aplicaciones
1. Se define el plano tangente a una superficie en un punto como el plano que contiene todas las tangentes a las curvas trazadas sobre la superficie por ese punto. La recta normal es perpendicular al plano tangente.
2. Para calcular el plano tangente y la recta normal, se utilizan las ecuaciones de las derivadas parciales evaluadas en el punto.
3. Los máximos, mínimos y puntos silla de una función de varias variables se determinan igualando sus derivadas parciales a cero y analizando el signo de
Diferenciación e Integración Numérica
- Nociones preliminares.
- Primeras derivadas de los polinomios interpolantes.
- Extrapolación de Richardson.
- Fórmulas de integración de Newton-Cotes.
- Regla del trapecio.
- Integración de Romberg.
- Regla de Simpson 1/3 y 3/8.Fórmulas de la cuadratura Gaussiana.
Este documento presenta ejercicios resueltos sobre cadenas de Markov. En el primer ejercicio se demuestra que una sucesión de variables aleatorias independientes e igualmente distribuidas define una cadena de Markov. En el segundo ejercicio se clasifican los estados de una cadena dada y se calculan periodos. En el tercer ejercicio se calcula la probabilidad conjunta de estar en un estado en diferentes momentos de tiempo.
El documento proporciona información sobre Joseph Louis Lagrange, un matemático, físico y astrónomo italiano que desarrolló la mecánica Lagrangiana y los multiplicadores de Lagrange. También describe brevemente el método de los multiplicadores de Lagrange y sus aplicaciones en economía y teoría de control.
Este documento explica la regla de inferencia lógica conocida como modus ponendo ponens. En pocas oraciones:
1) El modus ponendo ponens permite inferir una conclusión a partir de dos premisas, siendo la primera una condicional con la forma "si P entonces Q" y la segunda afirmando el antecedente P. 2) Se proveen ejemplos simbólicos y no simbólicos de aplicación de esta regla. 3) El documento instruye sobre el uso correcto de esta regla lógica para derivar conclusiones válidas
Este documento describe el método de las derivaciones o deducción natural, un método de demostración de la validez de argumentos. Explica que este método transforma las premisas mediante reglas lógicas hasta llegar a la conclusión. También describe los tipos de derivación, incluyendo derivación directa, prueba condicional y prueba indirecta o reducción al absurdo.
Catalisis Heterogénea de reacciones cinéticas notas, del curso de química para la resolución de problemas relacionados a los reactores y reacciones heterogéneas, Los temas que se presentan en cada capítulo son muy semejantes a los descritos
en forma general por el prefacio de la segunda edición, a excepción de las modifica-
ciones ya señaladas y otras adiciones. El objetivo del libro en su totalidad sigue siendo
el mismo -proporcionar una presentación clara pero razonablemente explicada del
diseño de reactores, con ilustraciones tomadas de sistemas químicos prácticos y rea-
listas-. es-
22 Ingeniería de la cinética química
tablecer las ecuaciones de conservación de la masa y la energía’ para el tipo de reac-
tor seleccionado. La resolución de estas ecuaciones, que puede ser algebraica o dife-
rencial, permite obtener el grado de verificación de la reacción y las condiciones de
operación. En las ecuaciones de conservación aparecen dos clases de términos: 1)
términos que expresan procesos físicos, esto es, velocidades de transferencia de
energía y de masa de especies químicas específicas, y 2) términos que expresan velo-
cidades de conversión de una especie química en otra. Esta última cantidad se refiere
a procesos químicos y para cada reacción involucrada, se le llama velocidad
intrínseca de dicha reacción. En la actualidad todavía no es posible predecir con pre-
cisión estas velocidades intrínsecas, por lo que es necesario determinarlas experimen-
talmente. Sin embargo, se cuenta con bastantes conocimientos relativos a las varia-
bles que afectan a las velocidades intrínsecas y existen ecuaciones que correlacionan
datos de velocidades. A este tema se le llama cinética química. Se discute brevemente
en la Sec. 1-2 y cuantitativamente y en detalle en el Cap. 2 para las reacciones homo-
géneas, y en los Caps. 8 y 9 para las reacciones catalíticas heterogéneas. El objetivo
de estos capítulos es el de obtener las expresiones para velocidades intrínsecas, que
puedan usarse en las ecuaciones de conservación.
La forma de las ecuaciones de conservación depende del tipo de reactor pero no
de las reacciones químicas específicas involucradas. Además, los términos de trans-
ferencia de masa y de energía de estas ecuaciones tienen siempre la misma forma pa-
ra cada tipo de reactor. Por tanto, los problemas de disefio son esencialmente iguales
para cada tipo de reactor; la única diferencia entre un sistema reaccionante y otro es
la ecuación de la velocidad intrínseca. Esta generalización representa una ventaja
para la organización didáctica de este libro. De esta manera, en todos los capítulos
dedicados al diseño de reactores, se aplican ecuaciones de conservación a diversos ti-
pos de reactores. En el Cap. 3 se introducen las dos clasificaciones extremas basadas
en la geometría, el reactor de tanque con agitación y el reactor de flujo tapón, Des-
pués, en los Caps. 4, 5 y 13, se consideran las aplicaciones para los reactores
catalíticos.
Este documento introduce los números reales de forma axiomática. Define las propiedades algebraicas como la adición, multiplicación, división y potencias que cumplen los números reales. También introduce las propiedades de orden, definiendo los números positivos y negativos. Finalmente, demuestra algunos teoremas como que la raíz cuadrada de 2 no es un número racional y que la suma de raíces cuadradas es irracional.
Este documento introduce conceptos clave sobre probabilidad condicionada y teoremas asociados. Explica que la probabilidad condicionada evalúa cómo afecta el conocimiento de un suceso a la probabilidad de otro suceso, y define el espacio de probabilidad condicionado. Presenta teoremas como la regla de multiplicación para calcular la probabilidad de la intersección de varios sucesos.
1. La matriz dada es ortogonal ya que cumple que AAt = I.
2. Si Q es una matriz ortogonal, entonces las matrices A y QtAQ tienen los mismos valores propios.
3. Para la matriz dada A, se encuentran sus descomposiciones espectral, de Cholesky, y su inversa.
Este documento presenta conceptos básicos de lógica proposicional, incluyendo equivalencias lógicas, leyes lógicas, simplificación y ejercicios. Define conceptos como tautologías, principios lógicos como identidad y tercio excluido, y leyes como doble negación, de Morgan y distribución. Explica cómo usar las leyes de equivalencia para simplificar proposiciones y resolver ejercicios lógicos.
Este documento presenta varios teoremas relacionados con polinomios de grado superior. Explica que Évariste Galois demostró que no existe un método general para resolver ecuaciones polinómicas de grado mayor que cuatro. Luego resume los objetivos de estudiar métodos para encontrar o aproximar las raíces reales de polinomios, y presenta el contenido del módulo, incluyendo teoremas como el residuo, el factor, los ceros complejos y la regla de los signos de Descartes.
Este documento presenta varios ejercicios sobre mecánica estadística. El primer ejercicio describe la distribución de Maxwell-Boltzmann y calcula la probabilidad de que la energía de una partícula esté fuera del promedio. El segundo ejercicio introduce el modelo de Ising unidimensional y calcula el número de configuraciones posibles y la entropía. El tercer ejercicio considera una cadena polimérica retorcida y relaciona la longitud total con el número de segmentos orientados hacia la derecha.
Este documento trata sobre la interpretación de datos cinéticos experimentales para determinar la constante de velocidad, el orden y el mecanismo de una reacción química. Explica que existen diferentes métodos como el método diferencial, integral y de las velocidades iniciales. También describe los reactores discontinuos y de flujo que se usan para obtener los datos experimentales y el método de componentes en exceso para estudiar reacciones bimoleculares.
Este documento presenta varios problemas de ingeniería de petróleos y métodos numéricos para resolverlos. El primer problema involucra modelar numéricamente el almacenamiento y flujo de un líquido en un tanque. El segundo problema implica resolver analíticamente y numéricamente una ecuación diferencial del movimiento amortiguado. El documento también cubre temas como series de Taylor, esquemas numéricos, ecuaciones diferenciales parciales y flujo en medios porosos.
Este documento presenta varios problemas de ingeniería de petróleos relacionados con ecuaciones diferenciales, series de Taylor, métodos numéricos y flujo de fluidos. Los problemas incluyen modelar el almacenamiento y flujo de un tanque, aproximar funciones usando series de Taylor, resolver ecuaciones diferenciales y de ondas, y modelar flujo de fluidos en medios porosos y geometrías cilíndricas.
1) El documento describe varios principios lógicos y tautologías que permiten transformar esquemas lógicos de una forma a otra equivalente. Incluye principios como la conmutación, doble negación, idempotencia, asociatividad, absorción y distribución.
2) También describe tautologías como el modus ponens, modus tollens, silogismos disyuntivos y condicionales puros que permiten derivar una conclusión válida a partir de premisas dadas.
3) El método de deducción natural es un
Este documento presenta un resumen de los temas centrales de la lógica, incluyendo definiciones de términos lógicos como proposiciones, tablas de verdad, operadores lógicos, cuantificadores y leyes de la lógica. También incluye una lista de problemas propuestos relacionados con estos temas.
El documento describe varios métodos para encontrar las raíces de una ecuación, incluyendo el método del punto fijo, el método de Newton-Raphson y el método de la secante. El método del punto fijo genera una sucesión convergente a partir de una función iteradora. El método de Newton-Raphson encuentra raíces aproximadas de manera más eficiente usando la derivada de la función. El método de la secante evita calcular la derivada y aproxima las raíces usando dos puntos previos.
Este documento trata sobre estadística descriptiva y probabilidad. Se divide en cuatro capítulos que cubren estos temas: el capítulo 1 describe estadísticos descriptivos como la media, mediana y moda; el capítulo 2 cubre la relación entre dos variables numéricas mediante la covarianza y correlación; el capítulo 3 explica conceptos básicos de probabilidad como reglas, espacio muestral y sucesos; y el capítulo 4 trata sobre encuestas y proporciones usando el modelo binomial. Cada capítulo incluye definiciones, fó
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la lógica proposicional. Introduce las definiciones de proposición atómica y molecular, y los operadores lógicos como la negación, conjunción, disyunción, condicional y bicondicional. Explica las tablas de verdad y cómo se pueden usar para determinar el valor de verdad de las proposiciones. También resume las leyes lógicas más importantes como la doble negación, De Morgan, distribución y otros. Por último, introduce brevemente los cuantificadores
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la lógica proposicional. Introduce las definiciones de proposición atómica y molecular, así como los operadores lógicos como la negación, conjunción, disyunción, condicional y bicondicional. Explica las tablas de verdad y cómo se pueden usar para determinar el valor de verdad de las proposiciones. También resume las leyes lógicas más importantes como la doble negación, de Morgan, distribución y otras. Por último, introduce brevemente los cuantific
Este documento presenta la solución a un certamen de matemáticas con 4 problemas. El primer problema involucra transformaciones lineales de R2 a R2 que cumplen ciertas propiedades. El segundo trata sobre una ecuación diferencial y su solución general. El tercer problema resuelve una ecuación de Ricatti. El cuarto analiza el modelo para estudiar la variación del radio de un globo inflable en función del área y volumen.
La Unidad Eudista de Espiritualidad se complace en poner a su disposición el siguiente Triduo Eudista, que tiene como propósito ofrecer tres breves meditaciones sobre Jesucristo Sumo y Eterno Sacerdote, el Sagrado Corazón de Jesús y el Inmaculado Corazón de María. En cada día encuentran una oración inicial, una meditación y una oración final.
El curso de Texto Integrado de 8vo grado es un programa académico interdisciplinario que combina los contenidos y habilidades de varias asignaturas clave. A través de este enfoque integrado, los estudiantes tendrán la oportunidad de desarrollar una comprensión más holística y conexa de los temas abordados.
En el área de Estudios Sociales, los estudiantes profundizarán en el estudio de la historia, geografía, organización política y social, y economía de América Latina. Analizarán los procesos de descubrimiento, colonización e independencia, las características regionales, los sistemas de gobierno, los movimientos sociales y los modelos de desarrollo económico.
En Lengua y Literatura, se enfatizará el desarrollo de habilidades comunicativas, tanto en la expresión oral como escrita. Los estudiantes trabajarán en la comprensión y producción de diversos tipos de textos, incluyendo narrativos, expositivos y argumentativos. Además, se estudiarán obras literarias representativas de la región latinoamericana.
El componente de Ciencias Naturales abordará temas relacionados con la biología, la física y la química, con un enfoque en la comprensión de los fenómenos naturales y los desafíos ambientales de América Latina. Se explorarán conceptos como la biodiversidad, los recursos naturales, la contaminación y el desarrollo sostenible.
En el área de Matemática, los estudiantes desarrollarán habilidades en áreas como la aritmética, el álgebra, la geometría y la estadística. Estos conocimientos matemáticos se aplicarán a la resolución de problemas y al análisis de datos, en el contexto de las temáticas abordadas en las otras asignaturas.
A lo largo del curso, se fomentará la integración de los contenidos, de manera que los estudiantes puedan establecer conexiones significativas entre los diferentes campos del conocimiento. Además, se promoverá el desarrollo de habilidades transversales, como el pensamiento crítico, la resolución de problemas, la investigación y la colaboración.
Mediante este enfoque de Texto Integrado, los estudiantes de 8vo grado tendrán una experiencia de aprendizaje enriquecedora y relevante, que les permitirá adquirir una visión más amplia y comprensiva de los temas estudiados.
Soluciones Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinar...Juan Martín Martín
Criterios de corrección y soluciones al examen de Geografía de Selectividad (EvAU) Junio de 2024 en Castilla La Mancha.
Soluciones al examen.
Convocatoria Ordinaria.
Examen resuelto de Geografía
conocer el examen de geografía de julio 2024 en:
https://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/2024/06/soluciones-examen-de-selectividad.html
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
ACERTIJO DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARÍS. Por JAVI...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARIS”. Esta actividad de aprendizaje propone el reto de descubrir el la secuencia números para abrir un candado, el cual destaca la percepción geométrica y conceptual. La intención de esta actividad de aprendizaje lúdico es, promover los pensamientos lógico (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia y viso-espacialidad. Didácticamente, ésta actividad de aprendizaje es transversal, y que integra áreas del conocimiento: matemático, Lenguaje, artístico y las neurociencias. Acertijo dedicado a los Juegos Olímpicos de París 2024.
ACERTIJO DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARÍS. Por JAVI...
Guias2 5 8 (4)
1. DESARROLLO DE PENSAMIENTO LOGICO MATEMATICO
I SEMESTRE
INFERENCIA LÓGICA
GUIA 2
EJERCICIOS del 5 al 8
1
Modus Tollendo Tollens.
La regla de inferencia que tiene el nombre
latino modus tollendo tollens se aplica
también a las proposiciones condicionales.
Pero en este caso, negando (tollendo) el
consecuente, se puede negar (tollens) el
antecedente de la condicional. La deducción
siguiente es un ejemplo de luso del modus
tollendo tollens.
Premisa 1. Si tiene luz propia, entonces el
astro es una estrella.
Premisa 2. El astro no es una estrella.
Conclusión. Por tanto no tiene luz propia.
Se simbolizará el ejemplo de la manera
siguiente:
Sea
P = «Tiene luz propia»
Q=«E 1 astro es una estrella».
P Q
¬Q
¬P
La abreviaturadel modustollendotollenses
TT.
Cuandoel antecedente oel consecuente es
una proposiciónmolecular,puede usarse el
paréntesisparamayorclaridad:
(P) → (Q)
¬ (Q)
¬ (P)
Por tanto,la reglamodustollendotollens
permite pasarde dos premisas:(a) una
proposicióncondicional,y(b) una
proposiciónque niegael consecuente,auna
conclusiónque niegael antecedente.Otro
ejemplopuede aclarartodavíala afirmación
anterior.La proposicióncondicional es:
Si es por lamañana, entoncesel sol estaráen
el Este.
Se niegael consecuente:
El sol no estáenel Este.
Entoncesse puede negarel antecedente:
Por tanto,no espor la mañana.
La reglase aplicaa todo conjuntode
premisasde estaforma.El antecedenteoel
consecuente puedenserproposiciones
molecularesoproposicionesatómicas.Enlos
ejemplossiguientes,se usalareglamodus
tollendotollens;encadauno de ellosunade
laspremisases una condicional,ylaotra
premisaniegael consecuente.
a. (1) R —> S P
(2) ¬S P
(3) ¬R TT 1,2
b. (1) Q Λ R →S P
(2) ¬S P
(3) ¬ (Q & R) TT 1,2
2. DESARROLLO DE PENSAMIENTO LOGICO MATEMATICO
I SEMESTRE
INFERENCIA LÓGICA
GUIA 2
EJERCICIOS del 5 al 8
2
Se considera ahora un ejemplo de una
demostración en el que se aplican las tres
reglas expuestas hasta aquí. Se trata de
demostrar ¬¬R.
(1) P → Q P
(2) ¬Q P
(3) ¬P —> R P
(4) ¬P TT 1, 2
(5) R PP 3, 4
(6) ¬¬R DN 5
Repasareste ejemploparaasegurarse que se
puede seguir cada uno de los pasos. Se da
ahora otro ejemplo en el que sólo se usan
dos reglas. Se desea demostrar A
(1) ¬A —>¬B P
(2) B P
(3) ¬¬B DN 2
(4) ¬¬A TT 1.3
(5) A DN 4
El uso de la doble negación es aquí
importante. Se necesita la negación del
consecuente en la primera premisa para
poder aplicar la regla TT. El consecuente es
¬B. La negación de esta proposición
molecular se consigue anteponiendo el
símbolo que corresponde al «no»; y así, ¬¬B
niega a ¬B. No se tiene ¬¬B en las premisas,
perose puede deducirde lasegundapremisa
B. Obsérvese que esto es lo que se ha
realizadoenla línea (3). Utilizando el modus
tollendo tollens se tiene la negación del
antecedente. El antecedente es ¬A de
maneraque su negaciónes ¬¬A. Finalmente,
todose reduce a aplicar la regla DN otra vez,
para obtener A de ¬¬A
EJERCICIO 5
A. ¿Qué conclusiónse puede deducirde cada
unode losconjuntosde premisassiguientes
utilizandolareglaTT?Escribirlas
conclusionesencastellano.
1. Si la luz fuera simplemente un
movimiento ondulatorio continuo,
entonces la luz más brillante daría lugar
siempre a una emisión de electrones con
mayor energía que los originados por luz
más tenue. La luz más brillante no
siempre emite electrones con mayor
energía que los originados por luz más
tenue.
2. Si un ángulo de un triángulo es mayor de
90 grados, entonces la suma de los otros
dos ángulos es menor de 90 grados. La
suma de los otros dos ángulos no es
menor de 90 grados.
3. Si el arriendo se mantiene válido,
entonces el dueño es responsable de las
reparaciones.El dueñonoes responsable
de las reparaciones.
4. Si llovió la pasada noche, entonces las
pistas se han limpiado. Las pistas no se
han limpiado.
5. José no es mi hermano. Si Susana es mi
hermana, entonces José es mi hermano.
B. Deduciruna conclusiónde cadauno de los
conjuntosde premisassiguientes,aplicando
la regladel modustollendotollens.
1. (1) Q —> R P
(2) ¬R P
(3)
2. (1) ¬P→Q P
(2) ¬Q P
(3)
3. (1) R→S P
(2) ¬S P
(3)
3. DESARROLLO DE PENSAMIENTO LOGICO MATEMATICO
I SEMESTRE
INFERENCIA LÓGICA
GUIA 2
EJERCICIOS del 5 al 8
3
4. (1) Q→~R P
(2) ¬¬R P
(3)
5. (1) P →QΛ R P
(2) ¬ (Q Λ R) P
(3)
6. (1) P V Q → R P
(2) ¬R P
(3)
C. Demostrarque las conclusionesson
consecuenciade laspremisasdadas.Indicar
la demostracióncompleta.
1. Demostrar: C
(1) ¬B P
(2) A →B P
(3) ¬A → C P
2. Demostrar: R Λ S
(1) P → ¬Q P
(2) Q P
(3) ¬P —> R Λ S P
3. Demostrar: F
(1) G → H P
(2) ¬G → ¬¬F P
(3) ¬H P
4. Demostrar: E
(1) F P
(2) ¬E—> ¬F P
5. Demostrar: ¬S
(1) S →¬R P
2) R P
Más sobre la negación. La regla de doble
negación se utiliza frecuentemente con
modus tollendo tollens, y con otras reglas
que se introducirán seguidamente. Puesto
que el uso de la regla de doble negación en
conjunción con la TT, esencialmente tiene
siempre la misma forma, se pueden acortar
deducciones, introduciendo una extensión
de la definición de la negación.
P es la negación de ¬ P
Ya se sabe que ¬ P, y podemos aplicar la
regla de doble negación, para lograr esta
extensiónde la definición de negación Dado
¬ P, sunegaciónes¬ ¬ P, peroen virtud de la
regla de doble negación, se obtiene la
proposición equivalente P. Esta regla solo
permite simplificar, pero en si no es una
regla nueva de demostración. Teniendo
presente que P es la negación de ¬ P se
simplifican las demostraciones, como
En el caso siguiente:
(1) A→ ¬ B P
(2) B P
(3) ¬A TT 1.2
De lasdos premisasse obtienenegaciónde A
sin más que aplicar TT, Teniendo en cuenta
que A es la negación de ¬A resulta la
negación de B, es decir, ¬B, sin esta
extensión de la definición de negación, la
deducción requiere una nueva línea en la
que se aplica la regla
De doble negación.
(1) A → ¬B P
(2) B P
(3) ¬¬ B DN 2
(4) ¬A TT 1,3
Obsérvese que el efecto de reconocer P
como negación de ¬P es extender el TT ala
forma lógica siguiente:
P → ¬ Q
Q
¬P
Otra extensiónanálogadel TTse refiere al
antecedente de lapremisacondicional:
¬P → Q
¬Q
P
4. DESARROLLO DE PENSAMIENTO LOGICO MATEMATICO
I SEMESTRE
INFERENCIA LÓGICA
GUIA 2
EJERCICIOS del 5 al 8
4
Esta extensiónse usaenel ejemplo
siguiente:
(1) ┐A → B P
(2) ┐B P
(3) A TT 1, 2
Si A nose reconocieracomonegaciónde ~A,
estadeducciónnecesitaríalalíneaadicional
usual para aplicaciónde lareglade doble
negación.
(1) ~A —> B P
(2) ~B P
(3) ~A TT 1, 2
(4) A DN 3
Se puede utilizarestaextensióndel TTenel
antecedente yel consecuente,comose ve en
el ejemplo
(1) ~ P →~Q P
(2) Q P
(3) P TT 1, 2
Una ilustración de estas ideas en una
deducción, utilizando proposiciones
matemáticas, es la siguiente. Se quiere
demostrar que x = 0, y se tienen tres
premisas.
(1) x≠ 0 → x =y P
(2) x=y →x =z P
(3) x≠y P
(4) x≠y TT 2, 3
(5) x = o TT 1, 4
Obsérvese que se obtiene lalínea(5) de las
líneas(1) y (4) puestoque «x= 0» esla
negaciónde «x≠0».
EJERCICIO 6
A. Usando laregla:P es lanegaciónde ~P,
evitarlareglade doble negaciónenlas
deduccionessiguientes.
1. Demostrar: ~P 2. Demostrar: ~A
(1) P →~ Q P (1) A→~C P
(2) Q P (2) B → C P
(3) B P
3. Demostrar: p 5. Demostrar: ~S
(1) ~P→~Q P (1) P->Q P
(2) Q P (2) Q —»R P
(3) S →~R P
(4) P P
4. Demostrar: A 6. Demostrar: ~A
(1) ~A→~B P (1) A→B P
(2) ~B →~C P (2) B→C P
(3) C P (3) C→ D P
(4) ~D P
B. Teniendoencuentaque «x= 0» es la
negaciónde «x≠ 0», evitarla reglade doble
negaciónenlasdeduccionessiguientes.
1. Demostrar: x = 0 4. Demostrar: x≠ 0
(1) x≠0 -> x+y≠ y P (1) x=y→ x = z P
(2) x+y=y P (2) x =z →x=1 P
(3) x = 0→ x≠ 1 P
(4) x=y P
2. Demostrar: x≠ 0 5. Demostrar: x≠ y
(1) x = 0→x≠y P (1) x=y →y =z P
(2) x = z →x=y P (2) y = z →y = w P
(3) x= z P (3) y = w → y= 1 P
(4) y≠ 1 P
3. Demostrar: x = y 6. Demostrar: x = 0
(1) x≠ y →x≠z P (1) x≠ 0 →y=1 P
(2) x≠ z →x≠0 P (2) x=y →y = w P
(3) x = 0 P (3) y= w →y≠1 P
(4) x=y
5. DESARROLLO DE PENSAMIENTO LOGICO MATEMATICO
I SEMESTRE
INFERENCIA LÓGICA
GUIA 2
EJERCICIOS del 5 al 8
5
Adjunción y simplificación
Se suponendadasdosproposicionescomo
premisas.Laprimeraes
Jorge es adulto.
La segundaes
María es adolescente.
Si ambas proposiciones son verdaderas,
entonces se podrían juntar en una
proposición molecular utilizando el término
de enlace «y» y se tendría una proposición
verdadera que se leería
Jorge esadultoy María esadolescente.
Si ambas premisas son ciertas, entonces la
conclusión tendría que ser cierta. La regla
que permite pasar de las dos premisas a la
conclusión se denomina regla de adjunción.
Se indica abreviadamente por A.
De manerasimbólicase puede ilustrarla
reglaasí:
De laspremisas P
Q__
Se puede concluir: P ΛQ
O se puede concluir Q Λ P.
Con paréntesis,Lareglase presentade la
manerasiguiente:
De laspremisas (P)
(Q)_
Se puede concluir: (P) Λ(Q)
O se puede concluir(Q) Λ( P)
Los paréntesis en la conclusión son
necesarios sólo si P o Q son proposiciones
moleculares que no sean negaciones. El
orden de las premisas es indiferente.
En el primer ejemplo se hubiera podido
concluir «María es adolescente y Jorge es
adulto». El significado no cambiaría. Si se
tiene la proposición Q como una premisa,
seguida de la proposición P como una
premisa, la conclusión puede muy buen ser
PΛQ. ya que por una parte el orden de las
líneas a las que se aplica la regla es
indiferente, y también porque en la
conjunción se puede alterar el orden.
A continuación se dan varios ejemplos
en los que se utiliza la regla de adjunción.
a. (1) P P b. (1) Q & S P
(2) ~R P (2) ~T P
(3) P Λ~R A 1, 2 (3) ~TΛ (Q ΛS) A 1,2
c. (1) T P d.(1) P V Q P
(2) U P (2) Q V R P
(3) U Λ T A 1, 2 (3) (P V Q) Λ (QV R) A 1, 2
Consideremosahoraunejemploenel que
precisamente se emplealaReglaopuestaa
lasque se acaba de estudiar.Se tiene una
premisaque dice:
El cumpleañosde Maríaes el viernes y el
míoes el sábado.
De estapremisase puedesdeducirdos
preposiciones, unaconclusión es:
El cumpleañosde Maríaes el viernes.
La otra conclusiónes:
El mío es el sábado.
Si la premisa es cierta, cada una delas
conclusiones es también cierta. La regla que
permite pasar de una conjunción a cada una
de las dos proposiciones que están unidas
por Λ se denomina regla de simplificación.
Esta regla se designa abreviadamente por S.
En formasimbólicalareglade
simplificaciónes:
De lapremisa P Λ Q
Se puede deducir P
O se puede concluir Q
Añadiendo paréntesis, lareglaes:
De lapremisa ( P) Λ Q
Se puede deducir (P)
O se puede concluir (Q)
Con los paréntesis se hace resaltar que la
primera ha de ser una conjunción. La regla
de simplificación no se puede aplicar a
PΛQ →R cuyo significado es: (P Λ Q)→ R;
6. DESARROLLO DE PENSAMIENTO LOGICO MATEMATICO
I SEMESTRE
INFERENCIA LÓGICA
GUIA 2
EJERCICIOS del 5 al 8
6
pero se puede aplicar a P Λ (Q → R)
obteniendo P o Q → R.
Ejemplos:
a. (1) (P Λ Q) Λ R P b. (1) Q Λ S P
(2)R S 1 (2) Q S 1
c. (1) (P V Q) Λ R P d. (1) T Λ~V P
(2) P V Q S 1 (2) ~V S 1
e.(1) (PΛ Q) Λ R P
(2) P Λ Q S 1
EJERCICIO 7
A. ¿Qué conclusión o conclusiones se
puedendeducirde cadaunode losconjuntos
de premisassiguientes utilizando lareglaA o
la regla S?
1. Una sociedad es una colección de
individuosque buscanunaforma de vida y la
cultura es su forma de vida.
2. El número atómico del hidrógeno es 1. El
número atómico del helio es 2.
3. Kofi habla la lengua Twi. Ama habla la
lengua Ga.
4. A Tomás le gusta esquiar y ha nevado en
la montaña.
5. Esta inferencia es válida. Aquella no es
válida.
6. (1) Q ΛR P 8. (1) R V S P
(2) (2) Q P
7. (1) (PV Q)Λ S P 9. (1) S P
(2) (2) T P
(3)
10. (1) Q & R P
(2) S P
(3)
B. Probar que lasconclusionessiguientesson
consecuencialógicade 1 premisasdadas.Dar
la demostracióncompleta.
1. Demostrar: ~S 4. Demostrar: B Λ D
(1) ~RΛT P (1) BΛ C P
(2) S→R P (2) B —> D P
2. Demostrar: AΛB 5. Demostrar: ~S Λ Q
(1) C →A P (1) ~S →Q P
(2) C P (2) ~(T Λ R) P
(3) C →B P (3) S→TΛR P
3. Demostrar: ~~Q 6. Demostrar: A ΛC
(1) PΛQ P ( 1) AΛ~B P
(2) ~C →B P
Disfunciones como premisas.
Quizá se ha observado que en las reglas
estudiadas hasta ahora, se han estado
utilizando conjunciones, condicionales, y
negaciones.En las reglas dadas aparecen los
términosde enlace: «y»,«si...entonces...», y
«no».Sin embargo, no se ha considerado, ni
se ha dado ninguna regla en la que
intervinierael término de enlace «o». No se
han utilizado disjunciones en las premisas
cuando se deseaba mostrar el uso de una
regla de inferencia.
Antes de introducir una regla
conviene, sin embargo, considerar el
significado de unadisjunciónenLógica.En el
lenguaje corrientehaydos maneras posibles
de usar la palabra «o». Algunas veces se
quiere significar que se presenta una u otra
de dos cosas,perono las dosa lavez. Este es
el sentido excluyente de «o». Por ejemplo,
en la proposición:
Juanvive en el norte de Españao
vive en el sur de España.
Se expresaque unade las dos
proposicionesatómicasesciertayla otra es
falsa.
En Lógica, sin embargo, daremos un
significado más amplio a la disjunción. Se
denomina sentido incluyente. En el sentido
inclusivo,cuandose utilizala palabra «o», se
supone que por lo menos un miembro de la
disjunción se presenta y quizá ambos.
Supóngase un cartel en una de las entradas
de un estadio que diga:
Los periodistaso fotógrafoshande entrar
por aquí.
El significadode laproposiciónesla
disjunción:
7. DESARROLLO DE PENSAMIENTO LOGICO MATEMATICO
I SEMESTRE
INFERENCIA LÓGICA
GUIA 2
EJERCICIOS del 5 al 8
7
Los periodistashande entrar por aquí,o los
fotógrafoshande entrar por aquí.
Es una disjunción en sentido
incluyente o sea, que por lo menos es cierto
un miembro de la disjunción y pueden serlo
ambos.En el ejemplo,laproposiciónsignifica
que si una persona es un periodista ha de
entrar por dicha puerta o si es un fotógrafo
ha de entrar por dicha puerta. Además, los
fotógrafos de la prensa, que sean a la vez
periodistas, también entrarán por la misma
puerta.
En Lógica, una disjunción significa
que por lo menos un miembro de la
disjunciónescierto y quizá ambos lo son. Se
ha de tenerpresente que en Lógica se utiliza
la palabra «o» en sentido incluyente y así se
evitará el error de creer que si un miembro
de una disjunción es cierto el otro ha de ser
falso. Ambos pueden ser ciertos. La
disjunción dice simplemente que por lo
menos uno es cierto.
Con el significado lógico de una
disjunciónpuestoenclaro, ¿puede pensarse
en una posible regla de inferencia que se
aplique a una disjunción?
Consideremoslasiguiente proposición como
premisa:
O la producciónaumentao el precio
aumenta.
Veamos si se puede imaginar una segunda
premisa de manera que de las dos se pueda
deducir una conclusión válida. La conclusión
será válida cuando resulte de las premisas
utilizandouna«buena» reglade inferencia;y
una regla es «buena» si equivale
simplementeaasegurarque siempre que las
premisas sean proposiciones ciertas la
conclusión que resulta por aquella regla es
una proposición cierta. Esto significa que
reglas válidas de deducción nunca permiten
pasar de premisas ciertas a conclusiones
falsas.
Modus Tollendo Ponens.
La reglaanteriormente sugerida es la que se
denomina modus tollendo ponens. Una vez
más, el nombre latino dice algo acerca de la
regla. Dice que negando (tollendo) un
miembro de una disjunción se afirma
(ponens) el otro miembro.
Simbólicamente,el modustollendoponens
se puede expresar
De lapremisa P V Q
Y la premisa ~P___
Se puede concluir Q
De lapremisa P V Q
Y la premisa ~Q___
Se puede concluir P
La abreviaturapara modustollendoponens
es TP.
Supóngase que se tiene comopremisala
disjunción
O esta sustanciacontiene hidrógenoo
contiene oxígeno.
La segundapremisadice
Esta sustancianocontiene hidrógeno.
Por mediodel modustollendo ponens se
puede concluir:
Esta sustancia contiene oxígeno.
Para aclarar la forma de estainferencia,se
puede simbolizarel ejemploanterior.Sea
P = «Esta sustancia contienehidrógeno»
Q = «Esta sustancia contieneoxígeno».
La demostraciónde laconclusiónes:
(1) P V Q P
(2) ~P P
(3) Q TP 1, 2
Obsérvese que una premisa (la negación)
niega una parte de la disjunción. La
conclusión afirma precisamente la otra
parte. No importa cuál sea el miembro
negado, el derecho o el izquierdo. La
disjunción dice que por lo menos un
miembro se cumple; por tanto, si se
encuentra que uno de los miembros no se
cumple,se sabe que el otro ha de cumplirse.
8. DESARROLLO DE PENSAMIENTO LOGICO MATEMATICO
I SEMESTRE
INFERENCIA LÓGICA
GUIA 2
EJERCICIOS del 5 al 8
8
Una disjunción en Lógica significa que
por lomenosuna de lasdos proposicioneses
cierta y quizá ambas. Supuesto que se tiene
una premisa que dice que un miembro de la
disjunciónes cierto, ¿se puede concluir algo
sobre el otro miembro? Por ejemplo,
considérese la proposición anterior sobre
oxígeno e hidrógeno. Si la segunda premisa
hubierasido«Lasustanciatiene hidrógeno»,
¿qué se podría concluir del oxígeno, en caso
de poderconcluiralgo?No se podría concluir
nada.
Véanse los ejemplos que siguen. Son
ejemplos del uso de la regla modus tollendo
ponens. Estas reglas no están limitadas a
proposiciones atómicas. Igual que los otros
tipos de proposiciones, la disjunción tiene
lugar entre proposiciones moleculares de
igual manera que entre proposiciones
atómicas. Obsérvese que en muchas
proposiciones se necesitan paréntesis para
indicar cuál es el término de enlace
dominante.
a. (1) Q V R P b. (1) (PΛQ) V S P
(2) ~R P (2) ~S P
(3) Q T P 1, 2 (3) P & Q TP 1, 2
c. (1) ~ S V T P d. (1) ~ P ~ Q P
(2) ~ T P (2) ~~P P
(3) ~ S TP 1, 2 (3) ~Q TP 1, 2
e.(1) (P& Q) V (R & S) P
(2) ~ ( P & Q) P
(3) R & S TP 1, 2
Se usa tambiénel hechode ser P la negación
de ~P al aplicar modus tollendo ponens,
como se muestraenlosejemplossiguientes.
a. (1) Q V ~ R P b. (1) n ( P &Q)V S P
(2) R P (2) P & Q P
(3) Q T P 1, 2(3) S T P 1, 2
c. (1) ~ S V T P
(2) S P
(3) T TP 1, 2
EJERCICIOS 8
A. ¿Qué conclusión, en forma de proposición
escrita en castellano, se puede deducir de
cada uno de los conjuntos de premisas
siguientes utilizando la regla TP?
1. Este hombre o es un abogado o es un
político. No es un abogado.
2. El puertode NuevaOrleansoestáenel golfo
de Méjico o está en el océano Atlántico. No
está en el océano Atlántico.
3. O la energía interna de un átomo puede
cambiar con continuidad o cambia sólo a
saltos. La energía interna de un átomo no
puede cambiar con continuidad.
4. Juan o ha terminado el libro o no ha ido a
devolverlo hoy a la biblioteca. Juan no ha
terminado el libro.
5. O hace frío y llueve o el festival se celebrará al
aire libre. Ni hace frío ni llueve.
B. Deduciruna conclusiónde cadaunode los
siguientesconjuntosde premisasusandoel
modustollendoponens.
1. (1) ~ Q V R P 3. (1) ~ T V ~R P
(2) ~ R P (2) ~ R P
2. (1) T V (P->Q) P 4. (1) P V Q P
(2) ~ T P (2) ~ Q P
5. (1) (S& T) V R P 6. (1) (PΛQ) V S P
(2) ~(S& T) P (2) ~S P
7. (1) ~ Q V R P 8. (1) ~T P
(2) ~~Q P (2) T V ~S P
9. (1) ~(P& Q) P 10. (1) T V U P
(2) T V (P & Q) P (2) ~T P
11. (1) S V ~T P 12. (1) ~(S & R) V T P
(2) T V ~S P (2) S & R P
13. (1) ~(P→Q) V R P
(2) P → Q P
C. Demostrar que las conclusiones son
consecuencia de las premisas dadas en los
9. DESARROLLO DE PENSAMIENTO LOGICO MATEMATICO
I SEMESTRE
INFERENCIA LÓGICA
GUIA 2
EJERCICIOS del 5 al 8
9
ejercicios que siguen. Dar una demostración
completa.
1. Demostrar: P 4. Demostrar: A Λ B
(1) P V Q P (1) B P
(2) ~T P (2) B → ~D P
(3) Q → T (3) A V D P
2. Demostrar: B 5. Demostrar: H
(1) ~A V B P (1) ~S P
(2) ~A → E P (2) S V (H V G) P
(3) ~E P (3) ~G P
3. Demostrar: M 6. Demostrar: p
(1) S & P P (1) T → P V Q P
(2) MV ~ N P (2) ~~T P
(3) S → N P (3) →Q P
7. Demostrar: R
(1) ~Q V S P
(2) ~S P
(3) ~(RΛ S) →Q P
D. Primero simbolizar las premisas y
conclusionessiguientes. Después demostrar
que lasconclusionessonconsecuencialógica
de las premisas. Recuérdese que cuando las
proposiciones atómicas están ya
simbolizadas por símbolos matemáticos, no
hace falta utilizar letras mayúsculas.
Conservarlasproposicionesatómicasconsus
símbolos matemáticos y simbolizar los
términos de enlace.
1. O x=y o x = z.
Si x = z entonces x = 6.
No esx = 6.
Por tanto, x=y.
2. A la vez 1+1=2 y 2+1=3 .
O 3—2= 1 o no ocurre que 2 - 1 = 1.
Si 1 + 1= 2 entonces 2- 1 = 1.
Por tanto, 3 -2= 1.
3. Si 0≠ x entonces x≠y
O x = y o x = z. x ≠z.
Por tanto, x = 0.
4. O x = 0 o x=y.
Si x=y entonces x=z.
x ≠z.
Por tanto, x = 0.
5. Si x=y entonces x= z
Si x=zentonces x=w.
O x=y o x = 0.
Si x = 0 entonces x + u= 1.
x + u ≠1.
Por tanto, x = w.