Guia de Trigonometria

1. Matemáticas II

2. INSTITUTO DE GASTRONOMIA ISIMA
PLANTEL TUXTLA
CICLO ESCOLAR MAYO – JUNIO 2023
BACHILLERATO
CURSO: MATEMATICAS II
DOCENTE: IBT. JOSÉ ALBERTO ESPINOZA PEREZ
Tuxtla Gutiérrez, Chiapas a 16 de mayo del 2023

3. OBJETIVO
Propiciar el desarrollo de un clima que favorezca la
participación, la inclusión, la seguridad y la confianza
para la resolución de operaciones matemáticas
generando una concretización en el proceso de
evaluación dentro de las actividades mediadas por la
tecnología gestionando una reflexión sobre los logros y
resoluciones de problemas matemáticos, con un en
énfasis del tratamiento del espacio, la forma y la medida
a los pensamientos Geométrico y trigonométrico.

4. LINEAMIENTOS DE LA CLASE
 Puntualidad
 El alumno deberá ser puntual (se dará una tolerancia de 5 min) y constante a lo
largo del proceso educativo.
 En caso de no presentarse a clases deberá justificar su falta.
 En caso de presentar 3 faltas el alumno no será acreedor a la evaluación parcial
 Mantener el orden al entrar, salir y estar en el salón de clases.
 Cada alumno deberá participar activamente en clase (resolución de problemas,
explicaciones de temas dados), para que su participación sea válida.
 Las actividades de investigación deberán ser fundamentadas con base a fuentes
fundamentadas.
 Los alumnos deberán entregar la actividad correspondiente al día de entrega (en
caso de no entregarlo, el alumno deberá retirarse de la clase, además de obtener
una falta)

5. LINEAMIENTOS DE LA CLASE
o El alumno obligatoriamente llevara una calculadora científica.
o Se utilizará el formato de APA 7 para la realización de trabajos
formales.
o Pedir la palabra antes de hablar.
o Respeto entre pares y al docente, mismo que debe ser bilateral.
o Decir “Por favor” y “Gracias”
o Expresarse a través de un lenguaje educado.
o Ser tolerante y respetuoso ante las opiniones de los demás.
o Moderar el uso de aparatos electrónicos.
o Portar correctamente el uniforme.

6. CRITERIOS DE EVALUACION
oParticipación fundamentada en clase…………… 10%
oTareas…………………………………………………….. 20%
oPresentaciones…………………………………………. 30%
oExámenes teóricos fundamentado en los tema… 50%
desarrollados a lo largo del parcial y con base a lo analizado
en clase

7. Unidades de aprendizaje
 Unidad I. Teoremas de Tales y Pitágoras, así como por
criterios de semejanza y congruencia de triángulos.
 Unidad II: Propiedades de los polígonos.
 Unidad III: Elementos de la circunferencia
 Unidad IV: Razones trigonométricas
 Unidad V: Funciones trigonométricas
 Unidad VI Triángulos Oblicuángulos

8. REFERENCIAS
1. Cóvelo, L. (2019). Matemática 2, Editorial
Maipue.
2. González et al. (2016). Las matemáticas de
nuestra vida. Universidad de Alicante.
3. Larson, R. (2018). Matemáticas II: cálculo
diferencial (No. Sirsi) i9789701009772).
4. Zúñiga, K. (2020). Matemáticas II: serie
basada en competencias y valores. Editorial
IURE.

9. ÁNGULOS
Un ángulo es la abertura formada por dos semirrectas
que tienen el mismo punto de origen o vértice. Las
semirrectas se llaman lados. Existen varias maneras de
representar a un ángulo y de nombrarlo: indicando la
letra de su vértice, señalando la letra en su interior o
usando las letras que conforman el ángulo,
colocando en el centro la que corresponde al vértice.
Palabras clave: ángulo, vértice, semirrectas.

10. INTRODUCCIÓN
En Geometría y Trigonometría, un ángulo es la figura
formada por dos rayos al compartir u campo común o
punto final, llamado cima del ángulo.

11. La palabra ángulo viene
“angulus” cuyo significado
de la palabra en
es “una esquina”.
latín
Los
ángulos se consideran sin dimensiones, puesto que
se definen como el cociente de longitudes. Sin
embargo, hay varias unidades usadas para medir
ángulos, de las cuales grado y radián son las más
comunes.

12. Ejemplos
Indicando la letra de su vértice.
Señalando la letra en su interior o
usando las letras que conforman el ángulo.
Colocando en el centro la que corresponde al
vértice.

13. Las propiedades más importantes de un ángulo son su
Medida y el Sentido en el que se toma o se construye.
Generalmente la unidad de medida de un ángulo es el grado,
el cual se representa como º y se conforma de la siguiente
manera:
1 º = 60´ (60 minutos) y 1´= 60´´ (60 segundos)

14. ÁNGULOS
AGUDOS: Son
aquellos que
miden más de 0°
y menos de 90°.
CLASIFICACIÓN DE LOS
ÁNGULOS
ÁNGULOS
RECTOS:
Son aquellos
cuya medida
es igual a 90°.

15. ÁNGULOS
OBTUSOS:
Son aquellos
cuya medida es
mayor que 90° y
menor que
180°.
CLASIFICACIÓN DE LOS
ÁNGULOS
ÁNGULOS LLANOS:
Son aquellos cuya
medida es igual a
180°.

16. ÁNGULOS
CÓNCAVOS O
ENTRANTES: Son
aquellos cuya medida
es mayor que 180° y
menor que 360°.
CLASIFICACIÓN DE LOS
ÁNGULOS
ÁNGULOS
PERIGONALES:
Son aquellos cuya
medida es igual a
360°.

17. 1) Identifica en la siguiente figura el tipo de ángulo o
ángulos que contiene tomando en cuenta su medida.
AHC
AHD
AHE
BHG
FHA

18. PAREJAS DE ÁNGULOS
Opuestos por el vértice
Adyacentes
Formados por dos secantes o dos
paralelas cortadas por una transversal
Posición
o Complementarios
La suma de sus medidas
o Suplementarios
Las parejas de ángulos se clasifican según su:

19. PAREJAS DE ÁNGULOS
ÁNGULOS ADYACENTES: Son aquellos que, teniendo el
mismo vértice, comparten un lado, es decir, tienen dos
elementos comunes.
ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE: Son aquellos que
se forman al intersectarse dos rectas, pero que no son
adyacentes. (a y b; c y d).

20. PAREJAS DE ÁNGULOS
ÁNGULOS INTERNOS: Son
aquellos que quedan entre las
dos rectas paralelas que son
cortadas por la transversal, es
decir, son los ángulos 3,4,5 y 6.
ÁNGULOS EXTERNOS: Son
aquellos que no quedan entre las
dos rectas paralelas que son
cortadas por la transversal, es
decir son los ángulos 1, 2, 7 y 8.

21. PAREJAS DE ÁNGULOS
ÁNGULOS CORRESPONDIENTES:
Son aquellos que están situados del
mismo lado de la transversal, uno de
los cuales es interno y el otro es
externo. Podemos ubicar cuatro
parejas de ángulos, que tienen la
propiedad de ser iguales (1y 6; 2 y
5; 3 y 7; 4 y 8).

22. PAREJAS DE ÁNGULOS
ÁNGULOS ALTERNOS
EXTERNOS: Son dos ángulos
exteriores no adyacentes y en
lados distintos de la transversal,
los cuales son iguales. Podemos
identificar dos parejas de este
tipo: 2 y 8; 1 y 7 ÁNGULOS ALTERNOS
INTERNOS:
Son dos ángulos interiores no
adyacentes y en lados distintos
de la transversal, los cuales son
iguales. Podemos identificar dos
parejas de este tipo: 3 y 6; 4 y 5.

23. PAREJAS DE ÁNGULOS
ÁNGULOS CONJUGADOS INTERNOS: Son
aquellos ángulos internos no adyacentes,
situados del mismo lado de la transversal.
Tienen la propiedad de que sus medidas
suman 180°. Las parejas de este tipo son: 3
y 5; 4 y 6.
ÁNGULOS CONJUGADOS EXTERNOS: Son
aquellos ángulos externos no adyacentes,
situados del mismo lado de la transversal. Tienen
la propiedad de que sus medidas suman 180°..
Podemos identificar dos parejas de este tipo: 1 y
8; 2 y 7.

24. TEOREMA DE
TALES
Uso y resolución del teorema
para líneas paralelas
proporcionales.

25. Introducción al
teorema de tales
Se cuenta que
comparando la sombra
de un bastón y la sombra
de las pirámides, Thales
midió, por semejanza, sus
alturas respectivas.
La proporcionalidad
entre los segmentos que
las rectas paralelas
determinan en otras
rectas dio lugar a lo que
hoy se conoce como el
teorema de Thales.

26. Rayos solares
Pirámide
S (sombra)
H(altura de la pirámide)
s (sombra)
h (altura de bastón)
Puesto que los rayos del Sol inciden paralelamente sobre la Tierra
los triángulos rectángulos
determinados por la altura de la
pirámide y su sombra
Podemos, por tanto, establecer la proporción
H
S
= h
s
De donde H= h•S
s
y el determinado por la altura del bastón y la
suya son semejantes

27. T S
En el dibujo: Si L1 // L2 // L3
L1
L2
L3
, T y S transversales,
los segmentos a, b, c y d son proporcionales
Es decir:
a
a
b
b
=
c
c
d
d
¿DE
ACUERDO?

28. L1
L2
L3
T
S
8
24
x
15
Ordenamos los datos en
la proporción, de acuerdo
al teorema de Thales
Es decir:
8
24 =
X
15
Y resolvemos la proporción
24 • x = 8 • 15
X =8 • 15
24
X = 5
Fácil

29. Formamos la proporción
3
2
=
x+4
x+1
Resolvemos la proporción
3(x + 1) = 2(x + 4)
3x + 3 = 2x + 8
3x - 2x= 8 - 3
X=5
L1
L2
L3
T
S
x+4
x+1
3 2
C
D
Luego, como CD = x + 4
CD= 5 + 4 = 9

30. TRIÁNGULOS DE THALES
Dos triángulos se dicen de Thales o que
están en posición de Thales, cuando:
Tienen un ángulo común y los lados
opuestos a dicho ángulo son
paralelos.
S (sombra)
H(altura de la pirámid
s (sombra)
h (altura de bastón)
Podemos ver esto si trasladamos el triángulo
formado por el bastón, su sombra y los rayos
solares hacia el formado por la pirámide

31. En dos triángulos de Thales, sus lados, tienen la
misma razón de semejanza
B C
A
D
E
De acuerdo a esto, en la figura BC// ED,
entonces, con los lados de los triángulos AED y
ABC ocurre:
AE
AB
=
ED
O también
AE
ED
= AB
BC
BC
A esta forma de
tomar los trazos, se
le llama “la doble L”

32. Calcula la altura del siguiente edificio
x
5
3 12
Escribimos la proporción
3
5
=
15
x
Y resolvemos la proporción
3 • x = 5 • 15
x = 75
3
X = 25
Por que 3+12=15

33. En el triángulo ABC, DE//BC , calcule x y el trazo AE
A
B
C
x+3 x
8
12
D
E
Formamos la proporción
8
X+3
=
12
2x+3
Resolvemos la proporción
Por que
x+3+x = 2x+3
8(2x + 3) = 12( x + 3)
16x + 24 = 12x + 36
16x – 12x = 36 – 24
4x = 12
X = 12 = 3
4
Por lo tanto, si AE = x + 3 = 3 + 3 = 6

34. TEOREMA DE PITAGORAS
 En un triangulo rectángulo, el cuadrado de la
hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de los
catetos.

36. ACTIVIDAD
Los alumnos se integraran en la
elaboración de ejercicios relacionados con
el Teorema de Pitágoras.

37. 1.-Para el siguiente triangulo
rectángulo, calcula el lado desconocido
a:
2.- Para el siguiente triangulo
equilátero, hallar el valor de x, el
perímetro y el área.

38. 3.-Para el siguiente
cuadrado, halla x, el
perímetro y el área.
4.-Para el siguiente
triangulo isósceles, calcula
el perímetro, la altura y el
área

39. .
5.- Para el siguiente rombo,
halla x, el perímetro y el área
6.-Para el siguiente cuadrado,
halla x, el perímetro y el área.

40. Definición y propiedades de los
polígonos

41. Es la figura que esta formado por segmento de
recta unido por sus extremos dos a dos.

42. Medida del
ángulo central

A
B
C
D
E









 Diagonal
Vértice
Medida del
ángulo externo
Lado
Medida del
ángulo interno
Centro

43. 01.-Polígono convexo.-Las medidas
de sus ángulos interiores son
menores a 180º
02.-Polígono cóncavo.-La medida
de uno o màs de sus ángulos
interiores es mayor a 180º.
03.-Polígono equilátero.-Sus lados
son congruentes.
04.-Polígono equiángulo.-Las medidas
de sus ángulos interiores son
congruentes.

44. Triángulo : 3 lados
Cuadrilátero: 4 lados
Pentágono: 5 lados
Hexágono: 6 lados
Heptágono:7 lados
Octógono: 8 lados
Eneágono : 9 lados
Decágono: 10 lados
Endecágono: 11
lados Dodecágono:
12 lados
Pentadecágono:15 lados
Icoságono: 20 lados
05.-Polígono regular.-Es equilátero
y a su vez equiángulo.
06.-Polígono irregular.-Sus lados
tienen longitudes diferentes.

45. PRIMERA PROPIEDAD
Numéricamente: Lados, vértices, ángulos interiores,
ángulos exteriores y ángulos centrales son iguales.
• Lados
• Vértices
• Ángulos interiores
• Ángulos exteriores
• Ángulos centrales

46. SEGUNDA PROPIEDAD
A partir de un vértice de un polígono, se pueden
trazar (n-3 ) diagonales.
Ejemplo:
ND = (n-3) = (5-3) = 2 diagonales

47. TERCERA PROPIEDAD
El número total de diagonales que se puede trazar en
un polígono:
2
)
3
n
(
n
ND


Ejemplo:
diagonales
5
2
)
3
5
(
5
ND 



48. CUARTA PROPIEDAD
Al trazar diagonales desde un mismo vértice se
obtiene (n-2) triángulos
Ejemplo:
3
2
1
Ns. = ( n – 2 ) = 5 - 2 = 3 triángulos

49. QUINTA PROPIEDAD
Suma de las medidas de los ángulos interiores de
un polígono:
Si =180°(n-2)
Ejemplo:
180º
180º
180º
Si = 180º x número de triángulos = 180º(5-2) = 540º
Donde (n-2) es número de triángulos
Suma de las medidas de los
ángulos interiores del triangulo

50. SEXTA PROPIEDAD
Suma de las medidas de los ángulos exteriores de un
polígono es 360º
Se = 360°





 +  +  +  +  = 360º
Ejemplo:

51. El área de una figura
corresponde a
la medida de la
superficie que dicha
figura ocupa
Hay que recurrir a
diferentes fórmulas
matemáticas para
conocer el área de las
figuras
No podemos medirla
como hacemos con las
longitudes , por ejemplo
con regla podemos
"leer" directamente la
longitud de un
segmento.

52. Fórmulas para el cálculo
de área:
Área de un RECTÁNGULO
Á = 𝒂 ∙ 𝒃
𝑎: 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜/𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
𝑏: 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜/𝑏𝑎𝑠𝑒
𝑏
𝑎
Área de un CUADRADO
Á = 𝒂𝟐 = 𝒂 ∙ 𝒂
𝑎: 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑙𝑎𝑑𝑜
𝑎
Área de un TRIÁNGULO
Á =
𝒃 ∙ 𝒉
𝟐
𝑏: 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒
ℎ: 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
ℎ
𝑏
ℎ
𝑏

53. Ejemplos:
Determina el área del siguiente
triángulo:
El área del triángulo es 𝟓𝟔 𝒎𝟐
𝒃 ∙ 𝒉
Á =
𝟐
𝟏𝟒 ∙ 𝟖
Á =
𝟐
Á =
𝟏𝟏𝟐
𝟐
= 𝟓𝟔 𝒎𝟐
Determina el área del siguiente
rectángulo:
Á = 𝒂 ∙ 𝒃
Á = 𝟖 ∙ 𝟏𝟐
Á = 𝟗𝟔 𝒄𝒎𝟐
El área del rectángulo es
𝟗𝟔 𝒄𝒎𝟐
Determina el área del siguiente
cuadrado:
Á = 𝒂𝟐
Á = 𝒂 ∙ 𝒂
Á = 𝟕 ∙ 𝟕
Á = 𝟒𝟗 𝒅𝒎𝟐
El área del cuadrado es
𝟒𝟗 𝒅𝒎𝟐

54. Fórmulas para el cálculo de área:
Área de un CÍRCULO
Á = 𝝅 ∙ 𝒓𝟐
𝜋~3,14
𝑟: 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜
𝑟
Ejemplo:
Determina el área del siguiente círculo:
Á = 𝝅 ∙ 𝒓𝟐
Á = 𝟑, 𝟏𝟒 ∙ 𝟒𝟐
Á = 𝟑, 𝟏𝟒 ∙ 𝟏𝟔
Á = 𝟓𝟎, 𝟐𝟒 𝒎𝟐
El área del círculo es 𝟓𝟎, 𝟐𝟒 𝒎𝟐

55. Fórmulas para el cálculo de área:
Área de un POLÍGONOS
REGULARES
Á =
𝑷 ∙ 𝒂𝒑
𝟐
𝑃: 𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑙í𝑔𝑜𝑛𝑜
𝑎𝑝: 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎
Apotema:
segmento que
une el centro del
polígono con el
punto medio de
cada lado.
Ejemplo:
Á =
𝑷 ∙ 𝒂𝒑
𝟐
Á =
𝟔 ∙ 𝟏𝟎 ∙ 𝟖, 𝟔𝟔
𝟐
2
519,6
Á = = 𝟐𝟓𝟗, 𝟖 𝒄𝒎𝟐

56. A partir de las fórmulas del área, también podemos determinar una
fórmula en caso de no conocer la medida de un lado o del radio.
Conociendo los datos que se muestran en cada fórmula se
puede obtener la medida del lado o radio

57. ¿Qué es la circunferencia?
Una circunferencia es el conjunto de todos los
puntos de un plano que equidistan de otro
punto fijo llamado centro.

58. ¿EN QUE SE DIFERENCIA UNA
CIRCUNFERENCIA DE UN
CIRCULO?
LA CIRCUNFERENCIA SE MIDE EN
LONGITUD Y EL CIRCULO EN AREA. ES
DECIR: La circunferencia sólo posee
longitud. Se distingue del círculo en que
éste es el lugar geométrico de los puntos
contenidos en una circunferencia
determinada; es decir, la circunferencia es
el perímetro del círculo cuya superficie
contiene

59. ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
 Centro, el punto interior equidistante de todos los
puntos de la circunferencia;
 Radio, el segmento que une el centro con un punto
cualquiera de la circunferencia;
 Diámetro, el mayor segmento que une dos puntos de
la circunferencia (necesariamente pasa por el centro);
 Cuerda, el segmento que une dos puntos de la
circunferencia; (las cuerdas de longitud máxima son los
diámetros)
 Recta secante, la que corta a la circunferencia en dos
puntos;
 Recta tangente, la que toca a la circunferencia en un
sólo punto;
 Punto de tangencia, el de contacto de la recta tangente
con la circunferencia;
 Arco, el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes
a la circunferencia;
 Semicircunferencia, cada uno de los dos arcos
delimitados por los extremos de un diámetro

60. LA CIRCUNFERENCIA Y UN PUNTO
 Un punto en el plano puede ser:
 Exterior a la circunferencia, si la
distancia del centro al punto es
mayor que la longitud del radio.
 Perteneciente a la circunferencia, si
la distancia del centro al punto es
igual a la longitud del radio.
 Interior a la circunferencia, si la
distancia del centro al punto es
menor a la longitud del radio

61. CONCEPTOS GEOMETRICOS

62. ANGULOS DE UNA CIRCUNFERENCIA
 Un ángulo, respecto de una circunferencia, pueden ser:
 Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de esta. Sus lados
contienen a dos radios.
 La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.
Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados
contienen dos cuerdas.
 La amplitud de un ángulo inscrito en una semi circunferencia equivale a
la mayor parte del ángulo exterior que limita dicha base. Ángulo semi-
inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados
contienen una cuerda y una recta tangente a la circunferencia. El vértice
es el punto de tangencia.
 La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que
abarca. Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la
circunferencia.
 La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas:
la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus
prolongaciones. Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de la
circunferencia

64. LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA
 La longitud de una circunferencia es:
 donde es la longitud del radio.
 Pues (número pi), por definición, es el cociente entre la longitud de la
circunferencia y el diámetro:

65. ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA
 En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con
centro en el punto (a, b) y radio r consta de todos los puntos (x, y) que
satisfacen la ecuación
 . Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se
simplifica al
 . La circunferencia con centro en el origen y de radio la unidad, es
llamada circunferencia goniométrica, circunferencia unidad o
circunferencia unitaria.
 De la ecuación general de una circunferencia,

66.  se deduce
 resultando:
 Si conocemos los puntos extremos de un diámetro:
 la ecuación de la circunferencia es:
:
:

67. Dependiendo de la medida de
los ángulos de un triángulo,
podemos clasificarlos en tres
categorías distintas:
Clasificación de triángulos
Posee un ángulo
mayor a 90°
Posee tres ángulos
menores a 90°
Posee un ángulo
igual a 90°
Para estudiar las razones
trigonométricas, nos centraremos
en específico en triángulos
rectángulos

68. Lados de un triangulo rectángulo
A partir de la ubicación de los lados en el triángulo
rectángulo, estos se denominan de la siguiente
manera:
La Hipotenusa es el lado
opuesto al ángulo de 90°
Los Catetos son los lados que
forman al ángulo de 90°
Si designamos a uno de los ángulo agudos
como 𝑎, el nombre de los catetos es el
siguiente:

69. Corresponden a diferentes razones establecidas a partir del ángulo alfa y generadas por las longitudes de los
lados del triángulo rectángulo. Existen 6 razones trigonométricas, las cuales son:
Razones Trigonométricas
Las razones seno, coseno y tangente se conoces como las razones trigonométricas fundamentales, y
cosecante, secante y cotangente son su recíprocas respectivamente.

70. Sea el siguiente triángulo rectángulo
ABC, cuyas medidas son 5, 12 y 13.
Las razones trigonométricas de alfa
son las siguientes:
Ejemplo 1
(co)
(ca)

71. Sea el siguiente triángulo rectángulo ABC rectángulo en C, tal que 𝐴𝐶 = 3 𝑐𝑚. y 𝐵𝐶 = 4 𝑐𝑚. Utilizando el
teorema de Pitágoras se puede determinar que la medida de 𝐴𝐵 = 5 𝑐𝑚. Luego,
Ejemplo 2
sen 𝛼 =
4
5
= 0,8 3
sen 𝛽 =
5
= 0,6
3
cos𝛼 =
5
= 0,6 4
cos𝛽 =
5
= 0,8
4
tan 𝛼 =
3
= 1,3 3
tan 𝛽 =
4
= 0,75
5
4
csc 𝛼 = = 1,25 5
csc 𝛽 =
3
= 1,6
5
sec 𝛼 =
3
= 1,6 5
sec 𝛽 =
4
= 1,25
3
cot 𝛼 =
4
= 0,75 4
cot 𝛼 =
3
= 1,3
RECORDATORIO: Teorema de Pitágoras 𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐

72. Son ángulos notables aquellos
que con frecuencia son
utilizados en distintos
contextos, estos son: 0°, 30°,
45°, 60 y
90°.
Al obtener las razones
trigonométricas asociadas a
estos ángulos, es posible
obtener determinados valores
que se cumplen para cualquier
triángulo.
Razones trigonométricas de ángulos
notables

73. Ejemplo 3: Ejemplo 4:
Ejemplo5:
𝐬𝐞𝐧 𝟔𝟎° − 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝟎° + 𝒕𝒈 𝟒𝟓°
𝟑 𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄 𝟑𝟎°
=
𝟑 𝟑
𝟑 ∙ 𝟐
𝟐 − 𝟐 + 𝟏
=
1
6
𝐬𝐞𝒄 𝟔𝟎°
𝒄𝒐𝒔 𝟔𝟎° (𝟑 𝐬𝐞𝒄 𝟔𝟎° − 𝟒)
=
𝟐
𝟏
𝟐 ∙ (𝟑 ∙ 𝟐 − 𝟒)
=
2
1
2 ∙ (6 − 4)
=
2
1
2 ∙ 2
2
1
= = 2
𝒔𝒆𝒏 𝟗𝟎°
𝟐 𝟐
𝟏
𝐬𝐞𝐧 𝟒𝟓° + 𝐜𝐨𝐬 𝟒𝟓° 𝟐 + 𝟐
= =
1
2
= 2

74. Si queremos representar en forma
gráfica una función trigonométrica
tomamos los valores de la variable
independiente como abscisas y los
valores de la función como
ordenadas, obteniendo así una serie
de puntos, los que al unirlos nos
dará una línea que será la
representación gráfica de la función.
GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS :

75. USO DE LA FUNCION SENO: ésta se usa
cuando en un triángulo rectángulo se
conoce un ángulo agudo y el cateto opuesto,
o un ángulo agudo y la hipotenusa, o el
cateto opuesto al ángulo dado.
USO DE LA FUNCION COSENO: si en un
triángulo rectángulo conocemos un ángulo
agudo y el cateto adyacente, o un ángulo
agudo y la hipotenusa,
Podemos calcular el cateto adyacente al

76. Función seno (de -360 a 360)

77. Función coseno (de –360 a 360)

78. USO DE LA FUNCIÓN TANGENTE:
si en un triángulo rectángulo
conocemos un cateto y el ángulo
adyacente a él podemos calcular el
otro cateto.
USO DE LA FUNCIÓN
COTANGENTE: por lo tanto en todo
triángulo rectángulo si conocemos
un cateto y su ángulo opuesto

79. Función tangente (de –360 a 360)
300
-
6
0
-120
-180
-240
-300
-360 360
60 120 180 240
0
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
300

80. -
6
0
-120
-180
-240
-300
-360 360
60 120 180 240
0
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
300
Función cotangente (de –360 a 360)

81. USO DE LA FUNCION SECANTE:
ésta se usa cuando se tiene lo
contrario que en la función coseno.
USO DE LA FUNCION COSECANTE:
ésta se usa cuando se tiene lo
contrario a la función seno.

82. -
6
0
-120
-180
-240
-300
-360 360
60 120 180 240
0
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
300
Función secante (de –360 a 360)

83. -
6
0
-120
-180
-240
-300
-360 360
6
0
120 180 240
0
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
300
Función cosecante (de –360 a 360)

84. Variación en la gráfica de seno:
3Senx+2
3Sen 0º+2=2
3Sen 90º+2=5
3Sen 180º=2
3Sen 270º=-1
3Sen 360º=2
180 360
1
-1
0
-2
2
3
4
5
90 270
Sen x
Sen 0°=0
Sen 90°=1
Sen 180°=0
Sen 270°=-1
Sen 360°= 0

85. Cosx
Cos 0° = 1
Cos 90° = 0
Cos 180° = -1
Cos 270° = 0
Cos 360° = 1
Cosx+2
Cos 0º+2=3
Cos 90º+2=2
Cos 180º+2=1
Cos 270º+2=2
Cos 360º+2=3
Variación de
la función
Coseno

91. INTRODUCCIÓN
En Geometría, un triángulo es la reunión de tres segmentos
que determinan tres puntos del plano y no colineales. Cada
punto dado pertenece a dos segmentos exactamente. Los
puntos comunes a cada par de segmentos se denominan
vértices del triángulo y los segmentos de recta determinados
son los lados del triángulo. Dos lados contiguos forman uno
de los ángulos interiores del triángulo. Un triángulo es una
figura estrictamente convexa. Un triangulo tiene 3 angulos
interiores y 3 ángulos exteriores, 3 lados y 3 vértices entre
otros elementos.

92. TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
Para resolver este tipo de triángulos se utilizan la ley
de senos o la ley de cosenos, y existen 4 casos:
1. Se conoce un lado y los ángulos adyacentes
2. Dados dos ángulos y el ángulo comprendido
3. Dados sus tres lados
4. Dados dos lados y el ángulo opuesto a uno de
ellos.

93. LEY DE SENOS
𝑠𝑒𝑛 𝐴 =
ℎ
𝑐
ℎ
donde h = c Sen A
𝑠𝑒𝑛 𝐶 =
𝑎
donde
𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝐴 = a Sen C
h = a Sen C
entonces
=
𝑐 𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝐶 𝑠𝑒𝑛 𝐴
En un triángulo oblicuángulo los lados son
proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.

94. LEY DE SENOS
En todo triángulo oblicuángulo los lados son proporcionales
a los senos de los ángulos opuestos, es decir.
𝑎 𝑏
= =
𝑠𝑒𝑛 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝐶
𝑐

95. LEY DE SENOS
Ejemplo 1:
Resolver el triángulo oblicuángulo si el ángulo A mide 40° 38´, el ángulo
B 60°50´y el lado b =17.75 cm.
C= 180 ° - A - B
C= 180 ° - 40.63° - 60.83 °
C= 78.54°
A= 40.63°
B= 60.83°
C= 78.54°
a= 13.26cm.
b =17.75 cm.
c= 19.99cm.
𝑎 𝑏
=
𝑠𝑒𝑛 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑎 17.75
𝑠𝑒𝑛 40.63°
=
𝑠𝑒𝑛 60.83°
17.75 (0.65)
𝑎 =
0.87
𝑎 = 13.26𝑐𝑚.
𝑐 𝑏
=
𝑠𝑒𝑛 𝐶 𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑐 17.75
𝑠𝑒𝑛78.54°
=
𝑠𝑒𝑛60.83°
17.75(0.98)
𝑐 =
0.87
𝑐 = 19.99𝑐𝑚.

96. LEY DE SENOS
Ejemplo 2:
Tres amigos se sitúan en un campo de fútbol. Entre Alberto y Berto hay
25 metros, y entre Berto y Camilo, 12 metros. El ángulo formado en la
esquina de Camilo es de 20º. Calcula la distancia entre Alberto y Camilo.
=
𝑎 𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝐴
12
A=9.20°
B= 150.8°
C= 20°
a= 12m.
b = cm.
c= 25m.
𝑠𝑒𝑛 A
=
𝑠𝑒𝑛 𝐶
25
𝑠𝑒𝑛 20°
12 (0.34)
𝑆𝑒𝑛 𝐴 =
25
− 1
𝐴 = 𝑠𝑒𝑛 (0.16)
𝐴 = 9.20°
B= 180 ° - A - C
C= 180 ° - 9.20° - 20 °
C= 150.8°
𝑎 𝑏
=
𝑠𝑒𝑛 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝐵
=
12 𝑏
𝑠𝑒𝑛9.20° 𝑠𝑒𝑛150.8°
b=
12(0.48)
0.15
b= 38.4𝑚.
La distancia entre Alberto y
Camilo es de 38.4𝑚.

97. LEY DE COSENOS
En un triángulo oblicuángulo (obtusángulo y acutángulo), el cuadrado de
cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el
doble producto del producto de ambos por el coseno del ángulo que forman.
Es también conocida como una generalización del Teorema de Pitágoras.
Para utilizar la ley de cosenos en la resolución de problemas, es necesario
entender que la podemos aplicar cuando tengamos los siguientes dos casos
:
• Tener todos los lados y no tener un ángulo en común.
• Tener dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.

98. 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 cos 𝐴
𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑐 cos 𝐵
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 cos 𝐶
NOTA: Para encontrar un lado, basta con elevar al cuadrado las
variables de los otros dos lados, menos el producto de ambas
variables, por el coseno del ángulo que es opuesto al lado que
queremos encontrar.
Las fórmulas serán las siguientes:
LEY DE COSENOS

99. A= 98° a= 15.32cm.
B= 50.86° b =12 cm.
C= 31.14° c= 8cm.
Ejemplo 1:
Dos lados de un triángulo miden 8 y 12, y el ángulo que forman es
de 98°. Determine la longitud del tercer lado y los ángulos faltantes.
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 cos 𝐴
𝑎2 = 122 + 82 − 2 8 (12) cos 𝐴
𝑎2 = 144 + 64 − 192 cos 98°
𝑎 = 144 + 64 + +26.72
𝑎 = 15.32𝑐𝑚.
𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑐 cos 𝐵
122 = 15.322 + 82 − 2(15.32)(8) cos 𝐵
144 = 234.70 + 64 − 245.12 cos 𝐵
𝐵 = 𝑐𝑜𝑠−1
144 − 234.70 − 64
−245.12
𝐵 = 50.86°
C= 180 ° - A - B
C= 180 ° - 98° - 50.86 °
C= 31.14°
LEY DE COSENOS

100. Ejemplo 2:
P= 42.6° p= 293.44m.
r =426 m.
s=368 m.
Dos caminos rectos se cortan en un Punto P y ahí forman un ángulo de
42.6°. En un Punto R sobre un camino está un edificio a 368 metros de P y
en un Punto S, en el otro camino está un edificio a 426 metros de P.
Determine la distancia directa de R a S.
𝑝2 = 𝑟2 + 𝑠2 − 2𝑟𝑠 cos 𝑃
𝑝2 = 3682 + 4262 − 2 368 (426) cos 42.6°
𝑝2 = 135424 + 181476 − 230792.93
p= 86107.07
𝑎 = 293.44𝑚.
LEY DE COSENOS