1. ProfesoradoenEducaciónSecundariade Matemática
Prof.AlbarracinJessica
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Criterio de constructibilidad
Para responder a la pregunta de cuáles construcciones son posibles con regla no graduada y compás
es necesario establecer algún criterio analítico para la constructiblidad. Cada problema de
construcción presenta ciertos elementos dados 𝑎, 𝑏, 𝑐… y otros elementos que debemos encontrar o
construir 𝑥, 𝑦, 𝑧 … De las condiciones del problema obtendremos ecuaciones cuyos coeficientes serán
los números que representan a los elementos dados. Las soluciones de las ecuaciones nos permitirán
expresar los elementos desconocidos en términos de los elementos dados.
Ejemplo
Construir un cuadrado con área igual a dos veces el área de un cuadrado dado de lado 𝑎.
Primero debemos expresar el problema analíticamente por medio de una ecuación:
𝑥2 = 2. 𝑎2
Donde 𝑥 representa el lado desconocido del cuadrado que se debe construir.
A partir de la ecuación planteada es fácil ver que 𝑥 = 𝑎√2 consideramos sólo la raíz positiva dado
que trabajamos con número que representan las medidas de los segmentos.
Para resolver la construcción de un segmento de longitud 𝑥 = 𝑎. √2 es posible hacerlo aplicando la
escuadra clásica 45-45-90. Esdecir, construimos un cuadrado de lado 𝑎 y cualquiera de susdiagonales
medirá 𝑎.√2.
Cualquier elemento 𝒙 que se pueda escribir como una cantidad finita de sumas, restas,
multiplicaciones, divisiones y raíces cuadradas de elementos dados se puede construir usando
una sucesión de técnicas convenientes como: corolarios del teorema fundamental de la
proporción (o teorema de Euclides), corolarios del teorema de Thales, teorema de Pitágoras y
escuadras clásicas.
Los únicos elementos que se pueden construir con regla no graduada y compás son los que cumplen
esa condición, en efecto,cualquier construcción consiste de una sucesión de pasos que están entre las
opciones siguientes:
I. Dibujar una línea entre dos puntos
II. Construir una circunferencia con un centro y un radio dado.
III. Encontrar intersecciones entre dos rectas, dos circunferencias, o una recta y un círculo.
Dados dos puntos con coordenadas racionales 𝑃1 (𝑥1, 𝑦1) y 𝑃2(𝑥2, 𝑦2) entonces la ecuación
de la recta que pasa por 𝑃1 y 𝑃2 es: 𝑦 − 𝑦1 =
𝑦2 −𝑦1
𝑥2−𝑥1
. (𝑥 − 𝑥1).
La ecuación de una circunferencia con centro (ℎ, 𝑘) y radio 𝑟, donde ℎ, 𝑘, 𝑟 son números
racionales es: (𝑥 − ℎ)2
+ (𝑦 − 𝑘)2
= 𝑟2
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Luego encontrar la intersección de dos rectas involucra sólo sumas, restas, multiplicaciones
y divisiones entre los coeficientes racionales de las ecuacioines, mientras que encontrar
intersecciones entre rectas y circunferencias o entre dos circunferencias involucra además
de dichas operaciones sólo extracción de raices cuadradas.
De este modo cualquier elemento que hayamos podido construir usando lo pasos I y III se
puede expresar como suma, resta, multiplicación y a lo sumo raices cuadradas de los
elementos dados.
Ejemplo
1) Construir un cuadrado que tenga la misma área que la suma de las areas de dos cuadrados
dados, de lados 𝑎 y 𝑏 respectivamente.
Sea 𝑥 la medida del lado del cuadrado que se desea construir. Entonces 𝑥 debe satisfacer la
siguiente ecuación 𝑥2
= 𝑎2
+ 𝑏2
. Por lo tanto el problema se resuelve construyendo un
triángulo rectángulo cuyos catetos midan 𝑎 y 𝑏.
2) Construir un cuadrado de área igual a la de un rectángulo dado.
Sea 𝑥 ellado del cuadrado que se desea construir y sean 𝑎 y 𝑏 las medidas de los lados del rectángulo
dado, entonces 𝑥 deberá satisfacer la siguiente ecuación: 𝑥2 = 𝑎. 𝑏 si despejamos 𝑥, y consideramos
solamente la raíz positiva, obtendremos que 𝑥 = √ 𝑎. 𝑏, es decir,
𝑥 𝑒𝑠 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑔𝑒𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑎 𝑦 𝑏. Esto es posible de construir mediante cualesquiera de los dos
corolarios del teorema de Euclides. (Aquí se utiliza el C2 a modo de ejemplo)
El problema muestra quetodo cuadrado
construido sobrela hipotenusa deun
triángulo rectángulo,poseecomo área la
suma de las áreasde losdos cuadrados
construidossobreloscatetosdel mismo
triángulo.
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Una vez que se obtuvo el segmento de medida 𝑥 buscada es posible construir el cuadrado pedido, en
esta figura el cuadrado IOPN tiene la misma área que el rectángulo dado ABCD.
3) Construir un triángulo de base dada 𝑏 y que tenga área igual a la de un rectángulo dado de lados
𝑤 y 𝑙.
Sea 𝑥 la altura desconocida del triángulo que se desea construir, entonces para resolver el
problema se deberá satisfacer la siguiente ecuación 𝐴⊿ =
𝑏.𝑥
2
= 𝑙. 𝑤
Podríamos reescribir la ecuación de tal forma que 𝑥 sea una cuarta proporcional, es decir, que 𝑥
quede en el cuarto término de la proporción, de la siguiente forma, por las propiedades de la
proporción tenemos que:
𝑏
2.𝑤
=
𝑙
𝑥
Ahora podemos construir un segmento de medida 𝑥 utilizando elcorolario de Talescomo muestra
la figura:
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Una vez que se obtuvo el segmento de medida 𝑥, hay que construir el triángulo que cumpla las
condiciones, de tenercomo una de sus basesun segmento de medida 𝑏 y la altura correspondiente
a ese lado que sea de medida 𝑥.
El lugar geométrico que responde a estas condiciones es una recta paralela a la recta 𝐴𝐵⃡ a
distancia 𝑥 de la misma.
El siguiente gráfico muetsra algunas de las soluciones, que como puede observarse son infinitas.
ACTIVIDADES
1) Construir un cuadrado de área igual a la de un triángulo dado.
2) Construir un cuadrado de área igual a la de un triángulo isósceles dado.
3) Construir un triángulo cuya área sea la mitad del área de un triángulo dado.
4) Construir un triángulo cuya área sea la tercera parte del área de un triángulo dado.
5) Construir un cuadrado cuya área sea igual a la suma de las áreas de dos cuadrados de lados:
𝑎 = 5𝑢 y 𝑏 = 7𝑢 respectivamente.
6) Construir un cuadrado de igual área que un rectángulo de dimensiones 𝑎 = 6𝑢 y 𝑏 = 3𝑢
7) Construir un triángulo de base 𝑏 = 7𝑢 y área igual a la de un rectángulo de área 𝐴 = 18𝑢2
l x
b
2.w
