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Historia de
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siglo veintiuno editores, sa de cv
CERRO DEL AGUA 2<ll. DELEGACIÓN COYOACÁN, 04310 MEXICO. D.F.
siglo veintiuno de españa editores, sa
CIPl.AZA S. MADRID 33, ESPAÑA
siglo veintiuno argentina editores, sa
siglo veintiuno de colombia, ltda
AV. 3". 17-73 PRIMER PISO, BOGOTÁ, O.E. COlOMBIA
primero edición en español, 1985
segundo edición en español, 1986
CS:siglo xxi de españa editores, s.a.
en coedición con
siglo xxi editores, s.a . de c.v. (méxico)
ISBN 968-23-1361-9 (obra completo)
ISBN 968-23-1362-7 {tomo 1)
primero edición en francés. 1973
©éditions du renouveau pédogogié¡ue, montréal
título original: histoire des mathématiques 1
derechos reservados conforme a lo ley
impreso y hecho en méxico/ printed and mode in mexico
..
INDICE
Prefacio
Introducción
1. LA PREHISTORIA
Introducción. 4.-Matemáticas de ta·prehistoria, 4.-Relacio-
ncs numéricas, 5.-Formación del número en el hombre primi-
tivo. 6.-Agrupamiento de los números, 9.-Sistemas de nu-
meración. 10.-El número y los animales, 12.-0peraciones
con números naturales. 14.-Resumen, 16_
.-Hibliografía,
17.-Ejercicios, 18.
2. LA CIYll.IZACION HAHIL(JNICA
Introducción. 19.-0rigen. 19.-Fuentes, 20.-Sistema de nu-
meración. 21.-Aritmética babilónica. 23.-Algebra babilóni-
ca, 26.-Gcometría babilónica. 29.-Plimpton 322, 31.-lnter-
pretación de la tablilla. 33.-Resumen, 34.-Bibliografía,
36.-Ejercicios, 37.
3. LA CIVl l.IZACION ECilrCIA
Origen. 39.-Fuentes. 39.-Sistemas de nu meración,
42.-Aritmética egipcia. 44.-Algebra egipcia, Só.-Geome-
tría y trigonometría egipcias. 58.-Resumen, 60.-Bibliografía,
61.-Ejercicios, 62.
4. EL NACIMIENTO DE LAS MATEMATICAS GRIEGAS
Introducción. 64.- Influencias anteriores y fuentes, 66.-Siste-
mas Je numeración, 68.-EI primer matemático griego, 70.-EI
paJre Je las matcmüticas griegas, 72.-La aritmética pitagóri-
ca. 73.-La música pitagórica, 76.-Teoría pitagórica de las
proporciones, 77.-EI descubrimiento de las magnitudes incon-
mensurables, 78.-La geometría pitagórica, 79.-EI álgebra pi-
lag<írica, 79.-De Pitágoras a Platón. 82.-Resumen, 89.-Bi-
hliograjia, 90.-'-Ejercicios, 91.
IX
1
4
19
39
64

:¡
VI
5. DE PL.TON A EUCLIDES
Platón, 92.-Eudoxo, 96.-Menecmo , 99.-Dinóstrato,
100.-Autólico, 102.-Aristóteles, 102.-Euclides y la Escue-
la de Alejandría, 103.-Análisis de los Elemencos, 106.-0tras
obras de Euclides, 126.-Resumen, 127 .-Bibliografía,
128.-Ejercicios, 129.
Indice
92
6. ARQUIMEDES Y LOS MAESTROS DE LA ESCUELA DE ALEJANDRIA 131
Arquímedes, 131.-El sistema de numeración de Arquímedes,
134.-EI Método, 135.-Eratóstenes, 139.-Nicomedes,
140.-Apolonio, 141.-Trigonometría griega y matemáticas
aplicadas , 147.-Aristarco de Samos, 148.-Hiparco,
148.-Menelao, 150.-Tolomeo, 152.-Herón, 154.-Diofan-
to, 156.-Pappus, 162.-Los comentaristas, 163.-Fin de las
matemáticas griegas, 164.-Resumen, 165.-Bibliografía,
166.-Ejercicios, 169.
7. LAS CIVILIZACIONES CHINA E INDIA 170
Introducción, 170.
La civilización china
El I Qing, 170.-Sistemas de numeración, 172.-El ?hou bei,
174.-Matemática en nueve secciones, 175.-Algunos matemá-
ticos chinos, 178.
La civilización de la India
Les .Julvasütras, 181.-Los Siddh<intas, 183.-Áryabhata,
184.-Brahmagupta, 187.-Bhaskara , 189 .-Resumen,
190.-Bibliografía, 191.-Ejercicios, 192.
8. LAS MATEMATICAS DEL ISLAM
Introducción, 194.-Al-JwarizmL 196.-Tabit ibn Qurra ,
202.-Abü-l-Wafü, 205.-Al-Karhi, 205.--0tros sabios del Is-
lam, 206.-Umar Jayyam, 208.-Nasir al-Din, 211.-AI-Kasi,
211.-Resumen, 212.-Bibliografia, 213.-Ejercicios, 214.
9. LAS MATEMATICAS DE LA EUROPA MEDIEVAL: 5CXl-14lXl
Las matemáticas bizantinas, 216.--0ccidente después del Im-
perio Romano, 218.-Boecio, 219.-Casiodoro, 221.-Isidoro
de Sevilla, 221.-Beda el Venerable, 222.-Alcuino.
170
180
194
216
--- -~
Indice
223.-Gerberto, 224.-Yías culturales de traducción abiertas a
Europa, 225.-Los traductores latinos, 226.-Fibonacci,
230.-El nacimiento de las universidades europeas. 234.-Jor-
danus Nemorarius, 235.-Campanus de Novara. 237.-Los fi.
Iósofos escolásticos. 239.-Brawardine. 240.-0resmc .
242.-Resumen, 248.-Bibliografía, 249.-Ejercicios, 250.
10. EL RENACIMIENTO EUROPEO
Introducción, 252.-Invención de la imprenta, 253.-La im-
prenta y las matemáticas, 254.-Nicolás de Cusa, 255.-Regio-
mon ta no, 256.-Nicolás Chuquet, 260.-Luca Pacioli,
262.-Leonardo da Vinci, 263.-Alemania durante el Renaci-
miento, 264.-Cardano, 266.-Tartaglia y la historia de la re·
solución de la cúbica, 271 .-Bombelli, 272.-Recorde,
274.-El desarrollo de la trigonometría durante el Renacimien-
to, 275.-Copérnico, 276.-Rhaeticus, 278.-La geometría en
el siglo xv1, 279.-Las geometrías no euclídeas, 279.-La geo-
metría proyectiva, 280.-La geometría descriptiva, 282.-Re-
sumen, 285 .-Bibliografía, 285.-Ejercicios, 287.
11 . EL COMIENZO DE LAS MATEMATICAS MODERNAS
Introducción, 289.-Viete, 291.-Stevin, 298.-Napier,
301 .-Bürgi. 308.-Kepler, 309.-Galileo, 311.-Cavalieri,
313.-Resumen, 317.-Bibliografía, 318.-Ejercicios, 320.
TEMAS DE TRABAJOS
INDICE ALFABETICO
VII
252
289
321
3'.9

PREFACIO
Esta obra procede de los textos utilizados en 1971-1972 con dos gru-
pos sucesivos de estudiantes de matemáticas de las especialidades
de Matemáticas y Enseñanza de las Matemáticas, en la Universi-
dad de Quebec, en Trois-Rivieres. Se trataba de iniciar a estos es-
tudiantes en la historia de las matemáticas, desde la prehistoria a
los comienzos del siglo xvn*.
Un estudio sobre la evolución histórica de la pedagogía de las
matemáticas muestra que la historia de las matemáticas puede ser
una fuente, casi inagotable, de la que el profesor beberá a placer
para garantizar una enseñanza mejor. Además, recurrir a Ja histo-
ria es adquirir nuevas y atractivas perspectivas que nos ilustren so-
bre la naturaleza altamente abstracta de las matemáticas. Por esto,
nos ha parecido oportuno presentar aquí un manual, más que un
tratado, ae historia de las matemáticas, con el fin de exponer, so-
bre todo, las nociones históricas comúnmente aceptadas por los his-
toriadores, y facilitar, en lo posible, su lectura.
La obra se divide en once capítulos, cuyo contenido se presenta
en orden cronológico; cada capítulo termina con un resumer., una
bibliografía y ejercicios.
En el resumen se encontrarán los puntos importantes que des-
tacan en el capítulo, así como ias principales ideas en él tratadas.
La bibliografía de cada capítulo presenta obras de consulta y artí-
culos de revistas especializadas, de las que hemos indicado las pá-
ginas que hacen referencia directa al contenido del capítulo. Los
ejercicios son de dos tipos: cuestiones que pretenden descubrir en
el lector la habilidad de expresar con sus propias palabras las ideas
fundamentales del capítulo, y cuestiones que requieren la demos-
• El torno 11 abarca el período que se extiende desde el comienzo del siglo XVII
hasta las grandes escuelas del pensamiento del siglo xx.
1
_j

X Jean-Paul Collette
tración de ciertos teoremas mencionados en el capítulo o la aplica-
ción de conceptos ya estudiados a situaciones concretas.
Se encontrará también al final de esta obra una lista de temas
de trabajo y un índice alfabético de nombres y conceptos.
Al estudiante que sigue un curso de historia de las matemáticas,
los temas de trabajos deberían permitirle tomar contacto con el
campo de !a investigación en historia de las matemáticas. Al pro-
fesor de matemáticas y al lector, le ofrecerán la posibilidad de au-
mentar sus conocimientos sobre temas específicos y así perfeccio-
nar su formación his.tórica. Además, el desarrollo de los temas pro-
puestos puede ilustrar al profesor e incitarle a recurrir a la historia
para enseñar los conceptos matemáticos correspondientes.
Agradecemos a las autoridades de la Universidad de Quebec en
Trois-Rivieres el habernos permitido experimentar con este mate-
rial. Este agradecimiento va dirigido muy especialmente al director
del departamento de matemáticas y a nuestros estudiantes quienes,
con sus numerosas sugerencias, nos permitieron corregir los erro-
res y puntos débiles puestos de manifiesto en la práctica. Acepta-
mos, no obstante, la responsabilidad de los errores y puntos débi-
les que puedan aún encontrarse en la obra.
1
INTRODUCCION
li1
1
:
1
¿Sintió siempre el hombre curiosidad por su pasado? Sin duda, a
nivel individual, la memoria, la noción del tiempo, el deseo de me- (
dir este tiempo son cualidades específicamente humanas. Además. l
cada uno de nosotros, desde su infancia, trata de crearse una his-
toria, de reconstruir su pasado y el de sus allegados. Vive en un pla- ..
neta viajero, donde encuentra tradiciones, técnicas, recetas. Su he- [
rencia se confunde con las costumbres, las leyes y el medio mode-
lado por sus antepasados.
Hay que recordar que el sentido de las cosas se nos escapa, que [
desborda sin cesar el presente. La comprensión de un fenómeno no
puede ser completa sin una vuelta a los orígenes, a las ideas inicia-
les. Así el historiador se esfuerza por captar, en toda su compleji- [
dad cambiante, el pasado del hombre y de las sociedades humanas.
La exploración del pasado, utilizando métodos críticos y medios téc-
nicos perfeccionados, permite emprender la síntesis de las activida-
des humanas correspondientes a un período de unos 5 0001 años. (
Esta síntesis histórica comienza muy lentamente con la apari-
ción de los primeros documentos (piedras, suelos, utensilios, papi-
ros, tablillas de arcilla, juncos, etc.). Al principio, íntimamente li- 1
gada a las circunstancias generaies de la evoiución, la historia de 1
las ciencias nace con las primeras actividades de carácter científico..
Después, en etapas suc~sivas, se desarrolla de forma autónoma,
manteniendo interrelaciones continuas con las circunstancias gene- 1
rales de la evolución.
Gracias al trabajo incesante de numerosos historiadores, la his-
toria de las matemáticas, verdadero esqueleto de la historia de las 1
ciencias, ha adquirido carta de ciudadanía en la historia.
1 Seguimos en esta obra las normas de la Asociación Métrica Canadicme: 1
espacios para separar los grupos de tres cifras, coma decimal en vez de punto
decimal.
1
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l. LA PREHISTORIA
INTRODUCCIÓN
El hombre no ha utilizado siempre la misma técnica para hacer
balance de su pasado. El bagaje histórico de las sociedade~ y de las
familias ha variado en el tiempo y en el espacio. La riqueza histórica
de la que hace alarde una civilización toma diversas formas seglin el
lugar, el tiempo, la grandeza o decadencia de la época. Y si, para el
hombre de las primeras civilizaciones, esta riqueza histórica reviste
la .forma del «mito», ¿cómo deberemos clasificar los distintos testi-
monios legados por la prehistoria?
El principio de la aventura del hombre sobre la tierra se pierde
en la noche de los tiempos; hay que evaluarlo en más de un millón
de años. Con la prehistoria nos encontramos en la fáse de las
conjeturas. Existen demasiados pocos documentos para demostrar o
invalidar éste o aquel aserto. Todo lo más, podemos intentar
esclarecer, gracias a los datos de la arqueología y la antropología, las
primeras actividaes manifiestas del hombre prehistórico.
MATEMÁTICAS DE LA PREHISTORIA
¿En qué momento, comenzó la humanidad a pensar en términos de
relaciones numéricas y geométricas? La tradición pretnde que la
ciencia matemática empezó en Grecia, hacia el siglo v a. C., para no
dejar a las civilizaciones anteriores más que parcelas cuyo contenido
matemático es a la vez deslavazado y concreto. Los documentos
históricos que poseemos actualmente nos permiten suponer la exis-
tencia de relaciones numéricas y geométricas muy anteriores al
nacimiento de las grandes civilizaciones antiguas. Nada, en los
hechos actuales, nos impide establecer el nacimiento de ciertas
relaciones matemáticas en los primeros tiempos de la humanidad.
La prehistoria 5
Si el origen del hombre sigue siendo todavía enigmático desde
distintos puntos de vista, es sin embargo casi seguro que, hacia el
año 40 000 a.C. (hombre de Neandertal), el hombre comenzó a
pensar. Desde este momento, el hombre de la prehistoria adquiere
conciencia del medio en el que vive y tiene que procurar, con toda
urgencia, su supervivencia.
Las numerosas excavaciones arqueológicas realizadas en depósi-
tos y sedimentos neolíticos revelan ya la existencia de una industria
perfeccionada y actividades sociales propias de una sociedad en
marcha. Dos elementos matemáticos importantes surgen en esta
sociedad prehistórica:
1) un lenguaje articulado en el que hay un sistema de números;
2) utensilios y construcciones en los que intervienen relaciones
espaciales.
RELACIONES NUMÉRICAS
Existen algunos factores que pueden persuadirnos de que el hombre
primitivo poseía una cierta idea del concepto de número. Por
ejemplo, numerosas tribus primitivas que viven actualmente en
Australia y Polinesia poseen un sistema de números, más o menos
elaborado. Estas tribus, que viven en la edad de piedra (varias de
ellas no poseen ni agricultura, ni utensilios perfeccionado~ <::CJ!Tlo el
arco y la flecha), consiguen contar y utilizar un lenguaje de tipo
descriptivo.
Boyer1 menciona el descubrimiento, en Checoslovaqui::i . de !.!!:
hueso perteneciente a un lobo joven, hueso sobre el que aparece
una sucesión de cincuenta y cinco incisiones, dispuestas en dos
series, por grupos de cinco. Este hueso fue descubierto en sedi-
mentos que datan de hace aproximadamente 30 000 años.
Gracias a los trabajos de antropólogos y etnólogos, podemos
intentar reconstruir el proceso natural que el hombre primitivo ha
podido utilizar para enumerar objetos concretos o para tratar de
hacer balance de los elementos contados, evitando el empleo de un
1 Carl B. Boyer. A hisrory of mathematics, Nueva York . Wiley. 1968. p. 4.
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6 Jean-Paul Col/elle
dogmatismo improvisado, incompatible, por añadidura, con el esta-
do actual de la historia.
FORMACIÓN DEL NÚMERO EN EL HOMBRE PRIMITIVO
Antes de que existiese un lenguaje capaz de favorecer la comunica-
ción verbal, el hombre primitivo podía observar en la naturaleza
fenómenos cuantitativos: un árbol y un bosque, una piedra y un
montón de piedras, un lobo y una manada de lobos, etc. Esta
distinción entre la unidad y la pluralidad, la estableció, sin duda,
muy pronto. Igualmente, la noción de par --dos pies, dos manos,
dos ojos, etc.~ debió llamar su atención. Es fácil imaginar que estas
primeras observaciones le condujeron a la noción de «correspon-
dencia biunívoca», primera etapa de la numeración. El objeto
observado es el centro, el blanco de la atención visual del hombre
primitivo, y la desaparición de este objeto lleva consigo la pérdida
inevitable del estímulo, la ausencia del número. El recuerdo2 de un
objeto hace referencia a la forma de una imagen y no a la idea del
número.
A partir de estas rudimentarias observaciones, el hombre primi-
tivo extrae gradualmente la idea de comparación y asocia, a cada
objeto observe1.do, un signo, una cosa que le sea familiar. Puede así
utilizar Ja «correspondencia biunívoca» para asociar a una colección
de objetos observados un grupo de signos o de cosas. Esta colección
de signos puede ser muy variada según las tribus o pueblos primiti-
vos: una tribu (o incluso un individuo) utilizará rayas hechas en la
madera, en un hueso o en la arena; otra recurrirá a un montón de
guijarros o incluso a cocos; y otra preferirá los gestos de la mano
(posiciones de la mano sobre una parte del cuerpo) o de la cabeza;
etc.
La enumeración de un grupo de objetos observados deja paso a
la numeración con la aparición de un lenguaje articulado (escrito o
hablado). Esta transición corresponde probablemente al cambio de
vida del hombre primitivo que se convierte en productor, comer-
2 Darwin decía que la memoria y la imaginación son dos componentes esenciales
del razonamiento matemático y que los animales superiores (primates) habían
ad uirido estos dos elementos necesarios.
La prehistoria 7
ciante, en vez de simple proveedor de alimento. El comerciante
necesita un lenguaje articulado para conseguir vender sus productos
y debe poseer un sistema de números para contar. El productor
evalúa la cantidad de objetos producidos, el número de corderos
criados, las pérdidas por robo, y todo esto presupone el conocimien-
to de un sistema de numeración adecuado al tipo de vida del hombre
primitivo.
La numeración presenta también variantes según las tribus,
debido, sobre todo, a dos factores:
1) el lenguaje de la tribu determina las palabras de carácter
numérico;
2) el medio en el que la tribu evoluciona determina el tipo de
individuo y las necesidades específicas.
Por ejemplo, los aptiguos sumerios utilizaban las palabras «hom-
bre», «mujer» y «varios», en lugar de «uno», «dos» y «tres»,
respectivamente. Así el hombre simboliza el número l. Por matri-
monio, él y su mujer representaban el número dos. Todo lo que
sobrepasase numéricamente el dos estaba simbolizado por «varios».
Los pigmeos de Africa utilizan el sistema repetitivo siguiente: a,
oa, ua, oa-0a; para los números uno, dos, tres y cuatro, respectiva-
mente. Las tribus kamilarai de Australia utilizan también un sistema
repetitivo: uno se dice «mal»; dos se dice «bulan»; tres es «guliba»;
cuatro corresponde a «bulan bulan»; etc.
No obstante, la sustitución de los objetos por palabras del
lenguaje no significa aún que el concepto de número esté en el
pensamiento del que enumera. En esta fase, el hombre primitivo,
que asocia a tres vacas tres palabras distintas, no puede, sin las
palabras, pensar en el número tres. Además, experiencias etnográfi-
cas efectuadas con tribus primitivas han demostrado que el conoci-
miento de una sucesión ordenada de palabras numéricas no lleva
necesariamente consigo la comprensión del concepto de número
cardinaP. Sin embargo, la ausencia de palabras numéricas no impide
J The Nation~I Council of Teachers of Mathematics, Historica/ tapies for the
mathematics classroom, )Jsl yearbook, Washington , N.C.T.M., 1969, p. 21.

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tampoco, gracias a la utilización de la correspondencia biunívoca4 ,
la posibilidad de contar.
Eliminar el soporte material del objeto observado, para no
retener más que el elemento numérico al que corresponde en el
proceso de numeración, equivale de hecho a exigir que el observa-
dor sea capaz de abstraer. Esta etapa decisiva no se adquiere sino
progresivamente y en la medida en que se distinguen dos conceptos
importantes: el número cardinal, que proporciona la expresión
cuantitativa, y el número ordinal, que pone de manifiesto Ja existen-
cia de un primer elemento seguido de un segundo y de un tercero,
etc.
El hombre primitivo piensa en un número cuando capta bien las
rdaciones siguientes:
1) la naturaleza de los objetos que se van a contar no desempeña
ningún papel en la numeración;
2) el orden en el que los elementos son observados no influye en
el resultado final, es decir, en el número cardinal;
3) el último elemento contado corresponde de hecho, en la
medida en que sólo sea necesario el resultado de Ja cuenta, al
número cardinal de Ja colección.
Por consiguiente, el paso difícil de dar consiste en reconocer al
último elemento contado como aquel que expresa «cuántos elemen-
tos contiene el conjunto que se quiere contar». ¿A qué nivel las
tribus de hombres prehistóricos cumplieron las condiciones antes
citadas? Esta pregunta permanecerá probablemente sin respuesta
debido a la ausencia casi total de documentos relativos a este tipo de
cuestiones. Sin embargo, se pueden observar, entre las tribus primi-
, tivas actuales, numerosas dificultades a Ja hora de contar. Un
antropólogo inglés, Francis Galton (citado por Struik5), narra sus
observaciones referentes a una tribu bantú del Africa sudecuatorial
(los damara), con estas significativas palabras:
4 Christoph J. Scriba, Tire concept of number: a chapter in the history of
mathematics wich applicacions of interese to ceachers, Mannheim/Zurich, Bibliogra-
phisches lnstitut, 1968, p. 6.
5 Dirk J. Struik, «Stone Age mathematics», Scientific America1, 179, diciembre
de 1948, p. 46.
La prehistoria 9
Cuando se les pregunta a cuántos días de viaje puede estar un lugar, su
ignorancia de toda idea numérica resulta muy molesta. En la práctica, al Í
margen de lo que pueda poseer su lenguaje, no usan ningún número mayor
de tres. Cuando desean expresar cuatro, recurren a sus dedos, que son para '
ellos unos instrumentos de cálculo tan formidable corno lo es para un
escolar inglés la regla. Después de cinco se desconciertan, porque no les
queda una mano libre para coger los dedos requeridos para las unidades.
Sin embargo, rara vez pierden un buey; la forma en que descubren la ..
pérdida de uno no es por el número menor de cabezas de ganado, sino por
la ausencia de una cara que conocen.
Este testimonio, entre tantos otros, ilustra bien la dificultad inhe-,
rente al proceso de enumeración y destaca también un ~lemento
importante, susceptible de prolongar la numeración de una colec-
ción de objetos. Se trata, evidentemente, de la noción de «agrupa-
miento» o de «base» que permite, agrupando los objetos por
conjuntos, conseguir aumentar considerablemente el número de
objetos contados.
AGRUPAMIENTO DE LOS NÚMEROS
Si los signos para representar los números precedieron cronológica-
mente a las palabras, el agrupamiento de los signos (rayas verticales,
guijarros, dedos de la mano, etc.) influenció sin duda, de manera
directa, la base del sistema de numeración elegido.
Parece que las tribus más primitivas utilizaron primero el agrupa-
miento de dos en dos, después de cuatro en cuatro y de seis en seis.
Ocasionalmente, las variantes corresponden a agrupamientos de
tres en tres (tribus americanas). Un sistema muy natural y en boga
corresponde a los dedos de la mano y puede así implicar agrupa-
mientos de cinco en cinco (dedos), de diez en diez (dedos) y de
veinte en veinte (dedos de los pies y de las manos). En un principio,
este sistema presenta la ventaja, no solamente de preferir agrupa-
mientos naturales y fácilmente accesibles, sino también de favore-
cer, por la «disposición» de los dedos, una distinción entre número
cardinal y número ordinal. Estos agrupamientos de cinco, diez y
veinte objetos aparecen en varias partes del mundo. Otros agrupa-
mientos fueron también utilizados por ciertas tribus primitivas,
especialmente los agrupamientos de doce, de sesenta y de ocho.

]() Jean-Pauf Cn/fe11e
S!ruik1' cita una investigación emprendida por la Universidad de
Stanford sobre 307 sistemas de numeración que se encuentran en las
tribus primitivas americanas. De estos sistemas, 146 pertenecen a
los agrupamientos de diez, 106 a los agrupamientos de cinco '! diez,
81 son binarios, 35 so.n de base veinte y de base cinco y veinte, 15
pertenecen a los agrupamientos de cuatro, 3 son agrupamientos de
tres y uno solo corresponde a la base ocho.
Una vez comprendida perfectamente la noción de agrupamien-
to, es natural que el hombre primitivo asigne entonces un símbolo
particular al agrupamiento utilizado. Está ahora en posesión de los
elementos que podrá combinar para inventar su sistema de numera-
ción.
SISTEMAS DE NUMERACIÓN
La necesidad de un sistema de numeración proviene de la naturaleza
de las actividades propias de un pueblo primitivo. Las tribus que
poseían grandes rebaños domesticados o que practicaban una agri-
cultura diversificada y desarrollada sintieron muy pronto la necesi-
dad de elaborar un sistema que les permitiese utilizar números
grandes y favoreciese la invención de un calendario.
¿Cuáles son los procedimientos utilizados durante la prehistoria
(o que tienen en ella su erigen) y que dieron lugar a los diferentes
sistemas de numeración? Un primer procedimiento consiste en
prolongar el agrupamiento añadiendo unidad ·a unidad. Por ejem-
plo, si el hombre primitivo utiliza los cinco dedos de su mano
izquierda como agrupamiento, utilizará los dedos (uno a uno) de su
mano derecha para prolongar la cuenta hasta diez. Otra posible
extensión consistiría en utilizar los dedos de los pies. Este procedi-
miento, aunque muy simple, introduce dificultades enormes en el
lenguaje, puesto que requiere la creación de nuevas palabras.
Otro procedimiento, L1ucho más eficaz, consiste en utilizar el
principio de la «repeticicin» en la numeración de los ohjetos conta-
dos. Por ejemplo, en bz.se tres, los pigmeos de Africa emplean e!
sistema repetitivo siguiente:
' Dirk J. Struik. ob. cit., p. 47.
La prehisloria
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2
t
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3
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11
4 5 6
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oa-oa oa-ua ua-ua
Ai hombre primitivo, que utiliza una mano·de cinco dedos como
base, le es suficiente añadir la otra mano para contar hasta diez;
después, una segunda persona registra las cuentas de diez a veinte, y
así sucesivamente. Una variante consiste en utilizar los diez dedos
como base y proceder así de la misma forma que antes. Este
procedimiento está catalogado como «sistema aditivo no posicio-
nal»; su principal defecto es que utiliza un gran número de símbolos.
El tercer método, muy poco empleado durante la prehistoria, se
basa esencialmente en el principo de la posición. Cualquier símbolo
posee el valor indicado por la posición que ocupa en la sucesión de
símbolos que representa un número u otro. El ejemplo por excelen-
cia de este tipo de sistema, llamado «sistema posicional», es nuestro
sistema decimal. Tendremos ocasión de analizar más detenidamente
el sistema posicional cuando abordemos el estudio de las civilizacio-
nes antiguas.
El desarrollo de los sistemas de numeración de la época prehistó-
rica no fue, probablemente, más allá del tipo aditivo no posicional.
No obstante, esto no impidió a los hombres primitivos establecer los
primeros elementos de una aritmética práctica y de una geometría
orientada a la medición de áreas y volúmenes.
Con la aparición del comercio, la industria y la agricultura," el
hombre primitivo debe no solamente saber contar, sino también ser
capaz ele hacer un balance de sus actividades comerciales. Los
métodos primitivos varían enormemente cuando se trata de registrar
las diversas formas de actividad económica: marcas en la madera,
nudos en una cuerda , grupos de guijarros o de cocos. rayas en
papiros o en tablillas de arcilla, etc. Y hacer el balance implicaba
necesariamente conocer las reglas elementales de cálculo numérico.
No era cuestión en aquella época de utilizar números que no fuesen
los natmales. Los números enteros. racionales, irracionales, com-
plejos, por no citar más que éstos, son invenciones ele nuestra era.
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12 Jean-Paul Col/erre
EL NÚMERO Y LOS ANIMALES
El hombre posee, incluso en los niveles más elementales de su
desarrollo, un tipo de facultad que le permite tener el sentido del
número. Este sentido del número le confiere, entre otras cosas, la
posibilidad de advertir que algo ha cambiado en unr> pequeña
colección cuando un objeto ha sido retirado o añadido sin que él
' haya tenido conocimiento previo de ello. Si bien el hecho de contar
se revela como una acción reservada en gran parte al hombre, sin
embargo no se puede ignorar que algunas especies animales parecen
poseer un senrido rudimentario del número similar al nue<;tro.
A la pregunta: «¿Existe en los animales el sentido del número?»,
hay que responder sí, afirman personas competentes en este c<:- mpo,
aunque este sí esté reservado sobre todo a los pájaros, a ciertas
clases de inse'.:tos y algunos animales como las ratas y las focas.
Además, los trabajos del profesor Otto Koehler, de la Universidad
de Friburgo, sobre los pájaros, apoyan la tesis de que los animales
pueden aprender a contar, en el sentido literal del término, darse
cuenta de las diferencias entre colecciones de distinto número de
puntos, y llegar a razones sobre la base de diferencias cuantitativas.
Si algunas ardillas y loros han podido, como lo han demostrado las
películas de Koehler, aprender a contar, es razonable suponer que
otros animales como el perro, la foca, la rata, pueden también,
probablemente, aprender a contar. Sin embargo, este sentido del
número, como mínimo exclusivo de ciertas categorías de animales,
parece ser una facl1ltad de la que los pájaros están mejor dotados.
Numerosos hechos observables apoyan esta afirmación.
Supongamos que un nido contiene cuatro huevos; se puede
retirar uno de ellos sin que esto perturbe a la hembra, pero si se
quitan dos, abandonará en general el nido, como si pudiese, por
algún procedimiento, distinguir dos de tres. Experiencias realizadas
con un ruiseñor demostraron que podía contar hasta tres. Todos los
días, se le llevaban, de uno en uno, tres gusanos para la comida;
tomaba uno, iixi a comerlo a otro lugar, volvía por el segundo y
repetía la misma estratagema con el tercero. Pero, después de haber
comido el tercer gusano, no regresaba, como si supiese r
iue era el
último.
Más sorpreridente aún es el caso de la avispa solitaria. Después
Je haber puestt) sus huevos en celdillas individuales, la hembra lleva
La prehistoria
13
a cada uno una provisión de orugas vivas que el joven vástago
comerá cuando salga del huevo. El número de víctimas es sumamen-
te constante: en algunas especies de avispas es de cinco, en otras de
doce y en otras hasta de veinticuatro. Pero el caso más asombroso es
el de una especie, la Genus Eumenus, variedad en la que el macho
es más pequeño que la hembra. De manera misteriosa, la madre
sabe de antemano si el huevo producirá una larva hembra o una
larva macho y proporciona a cada uno el alimento que necesita:
cinco orugas al macho y diez a la hembra, todo ello sin cambios en el
tamaño o en el tipo de las presas. Sin embargo, la acción, regular y
cíclica, nos autoriza a pensar que está en relación con una función
vital del insecto, probablemente de naturaleza inconsciente.
El ejemplo de la corneja es aún más revelador. Se cuenta que un
castellano había decidido matar una corneja que había fijado su
domicilio en la torre de observación de su castillo. Lo había intenta-
do varias veces, pero siempre, cuando el hombre se aproximaba,
dejaba su nido y se dirigía a un árbol vecino fuera del alcance del
fusil asesino. El castellano, decidido a terminar de una vez para
siempre, optó por una artimaña. Una mañana se presentó en la
torre con un amigo. Los dos hombres entraron y poco tiempo
después salió sólo el castellano. La corneja esperó pacientemente la
salida del segundo hombre. En los días que siguieron, la experiencia
se repitió con tres e incluso con cuatro personas. Siempre al acecho,
la corneja volvía a la torre una vez que había salido el último
hombre. Por último, se enviaron cinco hombres; como en ocasiones
anteriores, cuatro salieron de la torre, uno después de otro, mien-
tras que el quinto esperaba tranquilamente en el interior. Esta vez,
la corneja, incapaz de distinguir entre cuatro y cinco, cayó en la
trampa y volvió a su nido sin saber que el quinto hombre la
aguardaba con el fusil apuntando a su nido. Es fácil adivinar la
suerte que corrió la pobre corneja.
Estos hechos demuestran que ciertos animales pueden contar y
ponen, sin eluda, de manifiesto un sentido del número parecido al
nuestro. Además, experiencias hechas con animales nos autorizan a
decir que éstos tienen, a veces, actividades que reflejan aspectos
netamente matemáticos.

'j4 Jean-Paul Colle11t·
OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES
La adición comienza con muy pocos símbolos distintos y los núme-
ros empleados se escriben casi siempre como suma de dos números
inferiores. Por ejemplo, el número cinco podía escribirse así: 1 + 4,
2 + 3, 1 + 1 + 1 + 2, 1 + 1 + 1 + 1 + 1, etc. Si la base del siste-
ma es cinco, un símbolo especial designa generalmente al número
cinco (suele ocurrir lo mismo con el número que corresponde a la
base empleada). Por consiguiente, la adición se hace por descompo·-
sición y los cálculos son con frecuencia largos y penosos.
La sustracción proviene de la costumbre de ciertas tribus de
escribir el número 6, por ejemplo, como 7 - 1. La diferencia 3 - 3
se descarta, puesto que el número cero no se había inventado y
todas las sumas o diferencias negativas son desconocidas.
La multiplicación se introdujo probablemente en ciertos pueblos
primitivos por medio del desdoblamiento. Desdoblando el número
10 como sigue:
10 = 2 X 5 = 2 X (2 + 2 + 1)
o de manera equivalente, se conseguían multiplicar los números y
registrar los resultados en forma de tablas numéricas.
La división fue una operación demasiado.difícil, desde un punto
de vista práctico, para los pueblos primitivos. Parece que las fraccio-
nes hacen su aparición con el advenimiento de las civilizaciones
babilónica y egipcia.
La adquisición de los rudimentos del cálculo aritmético da lugar
a la medición de longitudes, áreas y volúmenes. Las unidades de
medición se eligen con frecuencia entre las partes del cuerpo huma-
no: el dedo, el pie, el pulgar, la mano, el antebrazo. Los volúmenes
se miden con ayuda de cestos o de conchas de tamaño «Standard».
La construcción de las casas se lleva a cabo con ayuda de reglas que
garantizan Ja existencia de líneas y ángulos rectos. La geometría que
se utiliza es empírica y está esencialmente dirigida a un fin utilitario
o ritual. La justificación de las reglas utilizadas y de las convencio-
nes elegidas es inexistente, por lo menos en los documentos recogi-
dos sobre esta época.
La geometría aparece también en las pinturas y motivos dibuja-
dos por estos pueblos primitivos. Una gran riqueza de figuras
Lu prehistoria 15
geométricas se encuentra en vasos, cestos, muros de cavernas. Son
abundantes los ejemplos de semejanza y de distintas formas de
simetría en las decoraciones del Neolítico. La imaginación geométri-
ca de estos pueblos es de una riqueza difícil de sospechar.
Hay que mencionar también que el desarrollo de las matemáti-
cas estuvo en esta época muy influenciado por la astronomía. Los
pueblos primitivos poseían ciertos conocimientos relativos al sol, la
luna y las estrellas. Además, un pueblo agrícola debía llevar la
cuenta de los días y de las noches, así como de las distintas
estaciones. Los pueblos primitivos adoptan casi todos un calendario
lunar con el fin de diferenciar los aspectos cambiantes de la vegeta-
ción y poseer unidades de tiempo útiles y convenientes.
Por último, es indispensable subrayar la influencia de la religión
sobre la vida primitiva, tanto en el plano espiritual como en el de las
acciones diarias del hombre primitivo. Incluso si la civilización se
estableció sobre un soporte religioso inherente a prácticas rituales, .
se debe, no obstante, considerar cuál fue el papel de la práctica
religiosa del hombre primitivo en su concepción del número.
En un artícuio aparecido en 1962, Seidenberg7 pretende demos-
trar, con pruebas que lo apoyan, que el origen ritual de la cuenta se
impone por hechos observables y evidentes. Partiendo de la hipóte-
sis de que una sucesión definida de palabras acompañada de una
actividad familiar en la que estas palabras son empleadas consti-
tuyen los elementos esenciales para contar, emprende la demostra-
ción de la siguiente conjetura:
a) los nombres de los participantes en un ritual, o las palabras
que los anuncian, eran de carácter numérico. Así, la «Seriación» es
el ritual y la «cuenta» es el mito. La intención del mito es decir o
interpretar la significación del ritual;
b) cuentas elevadas pudieron producirse a partir de largas pro-
cesiones de participantes. La base utilizada correspondería al núme-
ro de personas en un ritual fundamental y Ja necesidad de utilizar
números altos provendría de la continua repetición de este ritual de
base.
7 A. Seidenberg, «The ritual origin of counting•>. Archive for History of E.rnct
Scil'nces. 1. 1962, p. S.
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16 Jcan-Paul Col/elle
No obstante, esta demostración se apoya en cierto número de
elementos que deben tenerse presentes a títulc· de h·~chos históricos:
1) Ja procesión ritual;
2) Ja procesión ritual por pares;
3) la presencia en escena de Jos participantes en el ri<udl;
4) Ja llamada que toma forma de número.
Se propone también explicar los hechos antes mencionados
utilizando el testimonio de la historia y demostrar que estos elemen-
tos estuvieron presentes. Como conclusión, el autor, que considera
el mito como la forma de las palabras asociadas al rito, pretende que
el hecho de contar era con frecuencia el elemento central de un
ritual y que se contaban los participantes en el mismo. Esto le hace
sugerir la hipótesis de que la cuenta fue inventada como un medio
de llamar a escena a los participantes en un ritual.
¿Desarrolló el hombre primitivo el concepto de número partien-
do de necesidades prácticas y utilitarias, o de las diversas influencias
ejercidas por fa religión o la magia? Nadie lo sabe con seguridad. Sin
embargo, es muy probable que el desarrollo de las matemáticas
pudiese haber estado influenciado, en sus orígenes, por las prácticas
religiosas; en particular, el concepto de número y la geometría8 del
hombre primitivo reflejan aspectos ligados al ámbito religioso.
RESU/vi EN
Las civilizaciones de la época neolítica o prehistórica, caracterizadas por la
caza y una agricultura y un comercio rudimentarios, manifestaron interés
por el número y la geo.metría empírica. Este comier:w de las 1úatemáticas
fue originado pnr las necesidades de su vida social y econó1
.nic:1, y estuvo
influenciado taribén por la religión y la magia. Les hombres primitivos
desarrollaron sistemas de numeración (de tipo aditivo no posicionalí <¡ue les
permitían efectuar cálculos con números naturales (adición , sustrn;;ción,
~ A. Seidenbe:·g.. «The ritual origin of geometrro , Archive far History of Exact
Scienccs. 1, 1962. pp. 489-527.
La prehistoria
multiplicación) . La geometría empírica del hombre primitivo se reduce a
algunas reglas para medir longitudes y volúmenes. Los dibujos de rico
colorido contienen figuras geométricas en las que predomina la simetría. La ;
mayoría de los pueblos primitivos inventaron un calendario lunar.
BIBLIOGRAFÍA
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45, mayo de 1961, pp. 83-93. Véase también la bibliografía de la página
93.

..
..
18 Jean-Pau/ Coi/elle
EJERCICIOS
l. ¿Qué elementos de carácter matemático surgen en las sociedades prehis-
tóricas? "
2. Citar algunos de los factores que ponen de manifiesto que el hombre
primitivo poseía una idea más o menos clara del concepto de número.
3. ¿Cuáles son las razones de orden histórico que justifican la siguiente
afirmación: la enumeración precede a la numeración en la adquisición
gradual del concepto de número?
4. La noción de correspondencia biunívoca, ¿garantiza la existencia del
número ordinal?
5. ¿Se puede afirmar que históricamente el número cardinal precede al
número ordinal?
6. ¿Cuáles son los factores que pudieron originar la diversidad de los
agrupamientos numéricos observados en las culturas primitivas?
7. Dar'algunos ejemplos de las bases utilizadas por los hombres primitivos.
¿Existen vestigios de las bases veinte y doce en nuestra lengua?
8. Caracterizar la aportación de los pueblos prehistóricos a la ciencia
matemática. Proporcionar datos que apoyen las afirmaciones.
..l
2. LA CIVILIZACION BABILONICA
INTRODUCCIÓN
¿En qué momento termina la Edad de Piedra (prehistoria) y co-
mienza la Edad de los Metales? Es ésta una pregunta cuyas diversas
respuestas están ligadas con más frecuencia a preocupaciones de
tipo geográfico, cultural y económico. Parece cierto que el Neolítico
se prolonga más en Europa y termina antes en algunas zonas de Asia
y Africa.
Si convenimos en hacer coincidir el nacimiento de las civilizacio-
nes antiguas con el advenimiento de la Edad de los Metales, las
primeras sociedades organizadas se formaron en las orillas de los
grandes ríos, como el Nilo, el ·Eufrates, el Tigris y los principales
ríos de la India y de la China. Encontraremos en el mapa los focos
más importantes que dierori lugar a las civilizaciones babilónica y
egipcia.
El balance cronológico de las civilizaciones de los valles del Indo
y del Changijiang (Yangtsé) (ríos que nacen en el Tíbet y se dirigen
respectivamente hacia el norte de la India y hacia el este de China)
se apoya en crónicas cuya veracidad se pone en duda con frecuencia.
Por el contrario, las informaciones procedentes de los habitantes del
valle del Nilo y del «Creciente Fértil» ofrecen, en las fuentes
recogidas hasta ahora, una mayor objetividad y una interpretación
más acertada de las actividades matemáticas de estos ~ueblos.
ORIGEN
La civilización babilónica engloba un conjunto de pueblos que
vivieron en Mesopotamia en un período que comienza hacia el 5000
a.C. y termina en los primeros tiempos del cristianismo. Uno
después de otro, estos pueblos -sumerios, acadios, caldeos, asirios,
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20 Jean-Pau/ Collette
babilonios y otros- contribuyeron a establecer las características de
la civilización babilónica. Más exactamente, la ciudad de Babilonia
fue el centro cultural del «Creciente Fértil» entre los años 2000 y 550
a.C.; incluso i:lespués de la toma de Babilonia por el conquistador
persa Ciro, en el año 538 a.C., la evolución de las matemáticas
babilónicas continuó durante la llamada época «seléucida», cuyo fin
coincide aproximadamente con el nacimiento de Cristo.
FUENTES
El conocimiento actual de las matemáticas babilónicas procede de
las excavaciones arqueológicas emprendidas a partir de mediados
del siglo XIX, con el fin de extraer documentos de todo tipo
susceptibles de revelar los elementos más importantes que caracteri-
zaron a esta gran civilización prehelénica. Se han recogido ya, en los
distintos emplazamientos arqueológicos de Mesopotamia, casi me-
dio millón de tablillas de arcilla, de las cuales más de 300 conciernen
esencialmente al ámbito matemático. Diversas colecciones de estas
tablillas han sido adquiridas por los museos de París, Berlín y
Londres, entre otros; mientras que numerosas colecciones se en-
cuentran en las universidades de, por ejemplo, Columbia, Yale y
Pensilvania.
Las dimensiones de estas tablillas varían generalmente entre 12 y
450 cm2• Cada tabÍilla de arcilla, después de haber sido impresa con
un estilete (escritura cuneiforme), tenía que ser cocida para que
endureciese. Esto explica la abundancia de documentos babilónicos
conservados, mientras que la naturaleza de otros, como el papiro
egipcio o el bambú chino, los hace fácilmente perecederos.
A pesar del gran número de documentos escritos obtenidos en
las excavaciones que comenzaron en el siglo pasado, habrá que
esperar las contribuciones esenciales del francés Thureau-Dangin y
del alemán Otto Neugebauer, hacia mediados del siglo XX, para
apreciar verdaderamente los conocimientos matemáticos de los
habitantes del «Creciente Fértil». Esta larga espera se debió a las
dificultades encontradas para descifrar estos textos de escritura
cuneiforme. Gracias a los esfuerzos de Grotefend y Rawlinson, se
pudo analizar estos textos y descubrir una parte de los conocimien-
tos de los pueblos de Mesopotamia.
La civilización babilónica 21
Entre estas tablillas de arcilla, encontramos textos matemáticos
procedentes del último período sumerio (hacia el año 2100 a.C.); un
número mayor de ellos pertenecen a la primera dinastía babilónica
(época del rey Hammurabi), y por último, muchos de ellos pueden
situarse entre el año 600 a.C. y el 300 d.C. (del imperio de
Nabucodonosor al imperio seléucida).
Los textos matemáticos consisten esencialmente en tabillas que
contienen series de números, relaciones geométricas y listas de
problemas. En particular, las tablillas contienen multiplicaciones,
números y sus inversos, cuadrados y cubos, y también algunas
relaciones númericas en términos de exponentes. El contenido
matemático revelado por estos textos es lo suficientemente variado
como para que sea útil exponer sus distintos componentes.
SISTEMA DE NUMERACIÓN
En Mesopotamia, las primeras formas de escritura aparecen hacia el
tercer milenio a.C. y se caracterizan por la utilización de símbolos
estilizados para representar las cosas. Gradualmente, estas formas
se combinan y reducen para obtener una escritura más cómoda1•
Paralelamente, el estilete cilíndrico empleado al principio cambia de
forma y pasa a ser triangular (escritura cuneiforme) .
El símbolo
r2
representa la unidad y se repite hasta nueve veces para representar
el número 9. El símbolo
<
representa el número 10 y se repite combinándolo con la unidad
para representar los números del 11 al 59. A partir del 60, se utiliz<Jn
1 Car! 8, Boyer. A history of mathemalics, Nueva York, Wiley. 1968. pp, 27-28.
2 Un clavo. generalmente en posición vertical, designa la unidad. y una espiga la
decena.
1 1 - l
•"c,-_~-;o : : : : : : :
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22 Jean-Paul Cv//e11e
las mismas combinacione5 de dos signos, teniendo en cuenta, sin
embargo, que entra en juego el principio de la posición3•
Los viejos textos babilónicos (hacia el año 1700 a.C.) no revelan
la presencia de un símbolo específico para el cero; no obstante, los
babilónicos empleaban un espacio blanco más o menos destacado.
Así, el conj'unto
(T
puede significar el número 11, el número 11 · 60, el número
11 · 602 , etc. Sin embargo, en la época seléucida, ciertos textos
utilizan el símbolo
~
para indicar el sitio del cero. Por otra parte, incluso en esta época
(primeros siglos antes de C.), rara vez se emplea este último símbolo
al final de la representación numérica. A pesar de todo, hay que
admitir que este sistema mixto (base 10 y base 60) fue el primer
sistema posicional entre los antiguos; su origen parece proceder de
las unidades de medida4•
La representación numérica de los números se ve facilitada
(considerados los sistemas más antiguos o contemporáneos), en la
medida en que el contexto está claramente definido. Por ejemplo, el
número 7424 en base 60 se representa como sigue:
7424(6(1) = 2,3,44 ó 2 . 602 + 3 . 60 + 44
es decir
7424(60) = TT rrr ~~rrrr
3 El sistema de base diez, qve parece ser el más primitivo y el fundamental, dio
lugar a los signos especiales r,,.........y ( 1~ para cien y mil respectiva-
mente.
4 Véase B. L. Van der Waerden, Science awakening, Nueva York, Wiley, 1963.
pp. 40-41.
'
:
Lu civilización babilónica 23
En el momento de la conquista de Alejandro Magno, el mismo
número tenía una representación simbólica más adecuada:
7424(W) = TT ~ rrr ~ ~ ~ TTTT
en donde los espacios han sido sustituidos por ~
Algunas veces, en textos que datan de la primera dinastía
babilónica, observamos la utilización del principio de la sustracción
en la escritura de números. Así, el número 29 podía representarse
como 30 - 1, empleando un signo de sustracción de la forma
1......-
que significaba menos uno.
El principio de la posición, o del valor según el lugar del símbolo,
favorecía a los babilonios, contrariamente a Jo que ocurría, como
veremos en el próximo capítulo, con los egipcios, a Ja hora de escri-
bir fracciones. Si el escriba babilónico deseaba escribir Ja fracción 11
o, mejor, 1 + ~: (en base 60), bastaba entonces con utilizar la
expresión simbólica
'<<<
Sin embargo, esta expresión, puesto que en general no hay cero,
puede prestarse a confusión (aunque no para el escriba), ya que
d . ·e· 1 3o ' w E , 1 b bºJ .
pue e s1g01 1car + 6o o 60 + (.,¡_11 , etc. s as1 como os a 1omos
podían, igual que nosotros, sumar y multiplicar números con Ja
misma facilidad con que hoy nos permite hacerlo el sistema decimal.
ARITMÉTICA BABILÓNICA
La multiplicación se efectúa por referencia a tablas de multiplica-
ción (construidas probablemente en un principio por adiciones
sucesivas). Presentamos aquí el prototipo de una tabla de multipli-
cación babilónica.
lt;
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f
E
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Tabla de multiplicación por 9
1 T nrn 9
TTTT
2
Tl (TTH
nn 18
3 TTT <<""
TH 27
4 TT1l (((H~ 36
ttt ttn' 45
5
rr "
6 lt)
tl<llTT 54
f T1
7 )'t~l
r TTT 63
rrr ·-
8 )~t~
T <rr 72
,. ,.,. -- - ·
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T ((T 81
f fTT
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< T ((( 90
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<t r ((("'"
TTH 99
12 (ff T tt""
nn 108
13 ( TTT T tt<v;; 117
14 ( TT1l lT Tff
126
'"
Esta tabla de multiplicación por 9 no presenta gran interés antes
de la séptima línea, en donde, en lugar de
<<<<<<rrr
La civilización babilónica
25
aparece la expresión simbólica
l lTT
en la que la primera cuña vertical representa 60. Igualmente, en.la
línea 14, tenemos 126, como producto representado por
rr ~~; 'donde rr
representa 2 · 60.
Está claro que la expresión
lT
,,,
'''
no es ambigua y corresponde efectivamente al número 126. Sin
embargo, se encuentran numerosos ejemplos en la escritura babiló-
nica en los que el escriba se preocupa poco de separar bien los
múltiplos de 60 de las unidades, puesto que, en principio, el espacio
vacío significa de hecho el lugar del punto sexagesimal; de ahí la
necesidad de un contexto bien definido.
La utilización de tablas de inversos (valores de~ para diferentes
valores de n, todo ello expresado en el sistema sexagesimal) permi-
tía reducir la operación de división a una operación de multiplica-
ción. No obstante, cuando se analizan las tablas de multiplicación,
sorprende observar la ausencia de ciertos números. Por ejemplo, en
base 60, uno espera encontrar una colccc:ón de tablas de multiplica-
ción que incluya todos los valores de 2 a 59 y los múltiplos de l a 59.
Sin embargo, la verdad es otra. Si el valor elegido es s con
1 < s ~ 59, la tabla de multiplicación proporciona los valores 1 · s,
2 · s, .. ., 19 · s,20 · s,40 · s,50 · s,yesoestodo. La multiplicación
47 · s sería de hecho la suma de 40 · s y 7 · s. Sin embargo, el valor
elegidos, con l < s ~ 59, excluye por ejemplo los números 11, 13,
14. 17, 19, etc. ¿,Por qué? Porque estos nt"imerus no pueden tener un
desarrollo finito tn base 60.
Consideremos el número inverso del número 8. Se encuentra
O7 3(), d . 7 30 1 . 1 ' 11
corno . ; , · , es · cc1r 60 + --¡;¡¡,- = 8, mientras que e numero no
e: Utiliz;1111'JS en este capítulo la convención sugerida por Neugcbauer: el punto
cnr,1a. «:», sustituye a la coma decimal , y la coma. "·"· señala una serie numéri·
e · :.":lC' igu:il :.i -¡j, 6 60.
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·~... 1 •
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--:~~fA®M4f!fliWfiWM4tiMMf·?4iit4WfrWJilm· . '!:~::; ,..._..,..i;._,~:¡~ f:-- ....;~.~..!··! ....... · .::.~·tr~ ·!..L"" r,"-r '""'"" • ~~..~~ ~ -~"1"". ~- )t: :'!'·"":~ 1,"'Y _ · · . ~

~(> Jca11-f'a11/ Colle11e
posee inverso en base 60, puesto que no tiene desarrollo finito en
esta base. De hecho, un número regular, en el sentido babilónico
del término, es «Un número cuyos factores son potencias de los divi-
sores primos de 60», es decir que bes regular si b = 2"' · 3" · 51' don-
de m, n y p son enteros positivos, incluyendo el cero. Observemos
que tenemos también, en nuestro sistema decimal, inversos de de-
l! . r· . (1 1 1 1
sarro o 111 mito 1 · 6, 9, .. . .
De hecho, esto explica la existencia de las tablas de inversos. Si
se desea dividir 47 por 8, se busca primero el inverso de 8 que es
7,30, después se utiliza una tabla de multiplicación en la que
s = 7,30 y se efectúa la siguiente operación: 40 · 7,30 + 7 · 7,30,
resultados que se encuentran en la tabla elegida .
Cuando quieren efectuar divisiones, por ejemplo 35 + 14, los
babilonios utilizan aproximaciones obtenidas, al parecer, por inter-
polación. En particular, hay un texto en el que se da la aproximación
siguiente: 5~ = O; 1,1,1. Parece como si los babilonios no se hubie-
sen preocupado de distinguir entre desarrollo infinito periódico y
desarrollo infinito no periódico.
En ciertos textos, se observa la presencia de relaciones exponen-
ciales en términos de potencias sucesivas de un número dado.
Algunas tablas contienen, para las bases 9, 16, 100 y 225, las diez
primeras potencias. Estas tablas permitían encontrar solución a
problemas del tipo: ¿a qué potencia hay que elevar un cierto
número (base) para obtener otro dado? No debe verse en este tipo
de problema la función logarítmica tal como la concebimos actual-
mente . Sin embargo, puede extrañarnos encontrar tan pronto, en la
evolución de las matemáticas, relaciones exponenciales de este tipo.
Los babilonios aplicaron sus conocimientos aritméticos a esferas
de actividad como el comercio (ventas, compras, facturaciones,
recibos, anticipos), los contratos, el cálculo de intereses simples y
compuestos, los sistemas de pesos y medidas, el calendario, .etc.
ÁLGEBRA BABILÓNICA
El álgebra babilónica es retórica, es decir, los problemas algebraicos
se enuncian y solucionan sin utilizar de manera sistemática notacio-
nes algebraicas o simbólicas (como hoy). Los babilonios podían
La civiliz<
wión f.t-1biló11ica 27
resolver ecuaciones cuadráticas (por compleción del cuadrado o por
sustitución), algunas ecuaciones cúbicas y bicuadráticas.
Por ejemplo, un problema consiste en «conocer la longitud del
lado de un cuadrado cuya área menos el lado es igual a 870". Esto
equivale a resolver la ecuación x2 - x = 870.
¿Cómo solucionaban este problema?
Se toma la mitad de 1, que es 0;30 (en base 60) y se multiplica
0;30 por 0;30, lo que da 0;15; se suma este resultado a 14,30
(14,30 + 0;15) = 14,30;15, ya que 0;15 significa 0.15); pero
14,30;15 es el cuadrado de 29;30. Por último, se suma 0;30 a 29;30 y
el resultado es 30, el lado del cuadrado.
Muchos problemas contenidos en los textos babilónicos eran del
tipo x3 + x2 = b, cuya solución se basaba en la utilización de una
tabla, que se ha encontrado, en la que se daban las combinaciones
de la forma n3 + n2 para 1 < n < 30.
Los babilonios podían resolver sistemas de ecuaciones de varios
tipos, con dos incógnitas, que incluían generalmente una ecuación
lineal y una ecuación de segundo grado.
Por ejemplo, los datos de un problema son los siguientes: «He
sumado el área de mis dos cuadrados, lo que me da 21, 15 y el lado
de uno es más pequeño que el lado del otro.» Estos datos correspon-
den a las ecuaciones:
x2 + y2 = 21,15, (1)
y = %x . (II)
La solución babilónica es la siguiente: la sustitución de (11) en (1)
da
de donde
2 36.r~ Rs ( O)
x + --:¡¡¡- = 4 en base 1
x2 = ~
4 y
7
x=2
La solución negativa no existe, ya que se utilizaba la fórmula
X= Y(I)2 + q + I
para la raíz de la ecuación x2 - px = q. Si la ecuación es x2+px=q,
entonces, la fórmula es análoga salvo la adición de un signo menos

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28 Jean-Pau/ Col/elle
delante de~. En la colección de la Universidad de Yale, se ha encon-
trado el enunciadó de un problema que engloba los tipos de ecuacio-
nes siguientes:
mx2 rv2 b Ü
xy = a y -Y- + ~ + =
cuya solución lleva a una ecuación de 6º, pero cuadrática en x3• Las
excavaciones de Susa (Irán) revelaron, en particular, un problema
que conduce a una ecuación de grado 8, cuadrática en x4 •
Neugebauer encontró en la colección del Louvrc --en una
tablilla que data del imperio de Nabucodonosor- dos series intere-
santes:
1 + 2 +22 + ... + 29 = 29 + 29 - 1,
y
11 + 22 + 32 + ... + 102 = !l(t) + lü(t)] 55 = 385.
Sería, quizá, lícito preguntarse si los babilonios conocían ciertas
series elementales, en este caso
±/ = s"+I - 1
s - 1
±j2 = n(n + 1) (2n + 1)
~· 6
i::::U
y por último
±j2 = lt + } · ni [±j¡.
i=1 r=1
Los babilonios emplearon un procedimiento muy eficaz para
evaluar la raíz cuadrada. Sea x = [b: la raíz buscada, y sea b 1 una
aproximación de esta .raíz. Supongamos que a1 es otra aproxima-
ción, tal que a1 = -/;-. Si b 1 es demasiado pequeño, entonces, evi-
'
dentemente a1 es demasiado grande. Elijamos entonces la media
aritmética b2= ª 1
;b1
• Si b2 es demasiado grande, entonces
a2 = :, será demasiado pequeño. Luego, será suficiente tomar la
media aritmética b3 = •i;b, . Este procedimiento se continúa in-
definidamente. En una de las tablillas de Yale, se tiene
'Pl 24 51 10
y<.= 1 + 60 + 60' + 6()3 = 1,414213.
La civiliwció11 babilónica
En las transformaciones algebraicas, los babilonios manipularon'
las ecuaciones con una habilidad realmente sorprendente. Asumien-
do de manera tácita las propiedades conmutativa y distributiva,·.
consiguieron obtener relaciones algebraicas tales como
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
y
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Según Neugebauer6, en los problemas algebraicos, la relación
algebraica es lo que interesa, incluso si con frecuencia la solución de
los problemas aporta un resultado práctico aplicable a la geometría
o a otro campo. Además, hay que observar que los problemas
pueden clasificarse en dos grupos: un primer grupo contiene la
formulación del problema así como la elaboración, paso a paso, de
la solución; el segundo grupo clasifica los problemas, generalmente,
del más sencillo al más complejo, con vistas a mostrar el método de
transformación que permite pasar de formas complejas a formas
más sencillas con el fin de llegar a soluciones exactas. Finalmenté,
parece, a partir de los ejemplos conocidos, que el método general
predomina sobre el resultado numérico.
Teniendo en cuenta las colecciones de tablillas conocidas actual-
mente, hay que admitir que el álgebra babilónica se desarrolló .!
enormemente debido a la importancia que , en los problemas, los~r
babilonios daban a la solución aritmética.
GEOMETRÍA BABILÓNICA
El estudio de los textos que tienen relacióri con la geometría, revela
que la geometría babilónica está íntimamente ligada a las medicio-
nes prácticas. Tratan, sobre todo, de la medición de figuras planas.-
salvo algunos indicios de problemas referentes a sólidos. . ,
Los babilonios determinan, generalmente, la circunferencia d..;.
un círculo multiplicando su diámetro por 3; esto equivale a decir
que :re = 3 . Sin embargo, un arqueólogo francés desenterró en Súsa_
;:.¡J -~:
ó Otto Neugebauer. The exact sciences in Antiquity, 2.ª ed., Nueva York, !969:P,¡
42.
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...
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~H?E?'iiE ,__.........~~~~~~~~~~~~~-
:O Jean-P1111/ Colle11e
una tablilla en la que, mediante algunos cálculos, se llega a un valor
de TC igual a 3*. No obstante, Neugebauer insiste en que es demasia-
do pronto para generalizar o aceptar de entrada este último valor.
Los babilonios podían además calcular el área de un triángulo y
la de un trapecio. Los volúmenes de prismas rectos y cilindros se cal-
culan multiplicando el área de la base por la altura. El volumen de
un tronco de cono. del que se conocen la altura h y el perímetro de las
bases by a, se calcula con la fórmula V= th (b2 + a2), donde /2 =
== ~~. Esta fórmula aproximada no da nunca la respuesta exacta;
ocurre lo mismo cuando se calcula el volumen de un tronco de
pirámide de base cuadrada, mediante Ja relación V = h((a~hl1
+ ~
(a - b)), donde a es la base inferior, b la base superior y h la altura7 •
Los geómetras babilónicos están familiarizados con el teorema
de Pitágoras y comprenden su principio general. Conocen también
el teorema (atribuido a Tales de Mileto) según el cual el ángulo
inscrito en un semicírculo es recto.. Además, saben que «los lados
correspondientes de dos triángulos rectos semejantes son proporcio-
nales» y que «la perpendicular trazada desde el vértice de un
triángulo isósceles divide la base de este triángulo en dos partes».
He aquí un problema de geometría citado por Thureau-Dangin8 •
«(Sea) un palo 30', es decir un bastón. La parte superior ha des-
cendido 6', ¿cuánto se ha separado abajo?» (30' = ~, 9" = ~).
Esta es la solución del geómetra babilónico:
«Eleva 30' al cuadrado, te dará 15'. Resta 6' de 30' (obtendrás
24'). Eleva 24' al cuadrado, encontrarás 9'36". Resta 9'36" de 15',
obtendrás 5'24". ¿De qué mimero es cuadrado 5'24"?
Es 18" al cuadrado. En el suelo, se ha separado 18".»
Según Eves9 , la característica principal de la geometría babilóni-
ca es ser algebraica y los problemas que implican una terminología
geométrica son con frecuencia difíciles.
7 La fó~mula exa~ta puede reconstruirse para obtener la relación general
h~ l.i!!..!.El:j .
V = ¡ -2 - + 3 2 , que es una tórmula exacta.
~ F. Thureau-Dangin, Textes mathématiques baby/onie11s, Leiden, Brill, 1938.
9 Howard Eves, An i111roduc1ion to the history of mathematics, 3." ed.. Nueva
York, Holt, Rinehart and Winston, 1969, p. 31.
PLIMPTON 322
En 1945, O. Neugebauer y A. J. Sachs publicaban Mathematical
cuneiform texts donde, por primera vez, el contenido de la tablilla
Plimpton 322 era descifrado y analizado. Esta tablilla lleva' el
número 322 del catálogo de la colección Plirnpton de la Universidad
Columbia. Está escrita en la vieja escritura cuneiforme que data del
período 1900-1600 a.C. Faltan algunas secciones de la tablilla, pero,
verdaderamente, esto no ha impedido la reconstrucción completa a
partir del contenido conservado intacto. Así, la tablilla consta de
tres columnas completas y una parte de la cuarta columna, que ha
podido ser completada posteriormente. He aquí la reproducción,
publicada por Neugebauer y Sachs, de las cuatro columnas de la
tablilla:
IV 111 11
[1,59,0]15 1,59 2,49 1
[1,56,56]58,14,50,6,15 56,7 3,12,1 2
r1.55,1141,15,33,45 1'16,41 1,50,49 -3
[1,]5[3, 1J0,29,32,52,16 3,31,49 5,9,! 4
[l ,]48,54, l ,40 1,5 1,37 5
[l ,]47,6,41,40 5,19 8,1 6
[1,]43,11,56,28,26,40 38, l l 59,1 7
!1,]41,33,59'.3,45 13,19 20,49 8
[1,)38,33,36,36 9,1 12,49 9
1,35, 10,2,28.27,24,26,40 1,22,41 2,16, l 10
1,33,45 45 1,J5 11
1,29,21,54,2,15 27,59 48,49 12
[l ,]27,0,3,45 7'12,1 4,49 13
1,25,48,51,35,6,40 29,31 53,49 14
[1,]23,13,46,40 56 53 15
Los números entre corchetes, así como los cero$, fueron añadi-
dos por Neugebauer, allí donde se necesitaban en la columna IV. La
primera columna enumera las líneas. Las columnas 11 y 111 no
parecen, a primera vista, tener ninguna relación entre sí. Pero un
análisis más detallado muestra que corresponden a la hipotenusa y a
un lado de un triángulo rectángulo. Así, cuando se calculan los
cuadrados de los números de la columna ll y se resta de cada uno el

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~"-~ ·
Jean·l'aul Colleue
cuadrado del número correspondiente de la columna III, se obtiene
un cuadrado. Sin embargo, hay cuatro excepciones a esta regla: en
la línea 2, columna IJ, encontramos 3,12,1, mientras-que el número
debería ser 1,20,25. Este error sigue siendo aún inexplicable. Por el
contrario, en la línea 9, columna m, se tiene 9,1, en vez de 8,1, 19
que podría ser simplemente un error del copista. ·En la línea 13,
columna m, el número 7,12,1, debería ser reemplazado por su raíz
cuadrada, 2,41. Por último, en la línea 15, columna n, encontramos
53 en vez de 1,46, que es el doble. Si llamamos e a los números de la
columna II y b a los de la columna m, se obtiene así la relación de
Pitágoras c2 = b2 + a2 , donde a se calcula a partir de c2 - b2 .
Se pueden escribir las columnas III y Il con notación decimal y
añadir otra columna con los valores de a calculados:
V III II
a b e
120 119 169 1
3 456 3 367 4 825 2
4 800 4 601 6 649 3
13 500 12 709 18 541 4
72 65 97 5
360 319 481 6
2 700 2 291 3 541 7
960 799 1 249 8
600 481 769 9
6 480 4 961 8 161 10
60 45 75 11
2 400 1 679 2 929 12
240 161 289 13
2 700 1 771 3 229 14
90 56 106 15
Si ahora formamos el cociente ; ; (cosecante) , obtenemos los
números que figuran en la columna IV. Así, el contenido de la tabli-
lla corresponde a una lista de valores de ;: , by e para ternas pitagóri-
cas. Es razonable suponer que los valores de a fueron compilados en
la parte que falta de Ja tablilla. Por lo menos, se puede afirmar que
fueron calculados de manera explícita.
La civilización babilónica .13
Si ahora consideramos el cociente;, tenemos entonces, para la
línea 1 de la tablilla, el cociente g~ ó ~~;,lo que equivale a 0;59,30, o
casi al valor l. Por tanto, el primer triángulo rectángulo está muy
cerca de ser un semicuadrado. De manera similar, se observa, en la
línea quince, que los ángulos del triángulo están próximos a 30º y
60º. Además el decrecimiento regular de los números de la columna
IV nos sugiere que las dimensiones angulares de los triángulos varían
regularmente entre 45º y 30º.
INTERPRETACIÓN DE LA TABLILLA
Según Neugebauer10, el decrecimiento casi lineal de los valores ;;
de la columna m, así como el del cociente; nos incita a creer que a los
autores de esta tablilla les preocupaba no solamente la determina·
ción de las ternas pitagóricas (a, b, e) , sino también la del cociente ~.
Tratemos ahora de explicar el porqué de estos valores.
Sabemos que las ternas pitagóricas vienen dadas por las relacio-
nes paramétricas,
a=2pq, b =p2 - q2' e= p2 + q2,
donde p y q son enteros cualesquiera, no simultáneamente impares
y p > q. De donde, se obtiene:
s._ = p!+q! =..J!_ + ...!/..._ =_!_ (p . -
q + qp-)
u 2pq 2q 2p 2
con py qinversos de p y q respectivamente.
Esto prueba que el cociente ~ puede expresarse como una suma
finita de fracciones sexagesimales, si p y q son números regulares. y
solamente en ese caso. Esta afirmación es corroborada por el
cálculo de los valores p y q para cada terna de tabla. Además , los
valores calculados para p y q son no solamente números regulares.
sino que se encuentran, con excepción del valor p = 2,5, ejemplo
canónico bien conocido, en las tablas tipo de inversos. Neugebauer
'º Otto Neugebaucr. ob. cit. . p. 38.
1

r
1
1
1
1
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1
1
f
34 Jean-l'aul Cull<'rre
se inclina a suponer que la fórmula fundamental para la construc-
ción de ternas pitagóricas era conocida por los babilonios.
La interpretación de Neugebauer de los hechos observados en el
contenido de la tablilla Plimpton 322 es puesta en duda por Bruins11 ,
que considera que la _teoría avanzada por Neugebauer y Sachs no
concuerda con los conocimientos matemáticos de los babilonios. No
nos corresponde discutir el mérito de una u otra de las conjeturas
propuestas; sin embargo la conjetura de Neugebauer nos parece
más realista, mientras que la de Bruins exige manipulaciones alge-
braicas un poco complicadas con las que no obstante se consigue
explicar, desde un punto de vista diametralmente opuesto, aspectos
oscuros de la tabla.
Por último, el contenido de esta tablilla, centrada sobre todo en
las ternas pitagóricas, parece indicar, con la presencia de la columna
IV, que estas ternas servían de base para la construcción de tablas
trigonométricas.
RESUMEN
Las matemáticas babilónicas se basan en un sistema de numeración posicio-
nal mixto (bases 10 y 60) por el que los babilonios
l) llegaron a ser hábiles calculadores (gran número de tablas numéri-
cas);
2) consiguieron resolver un conjunto variado de ecuaciones algebraicas;
3) desarrollaron algunos elementos de geometría y teoría de números.
No vemos, sin embargo, en ninguna parte, la más mínima preocupación
por justificar y probar las reglas utilizadas y raras veces podemos, en la
resolución de los problemas. darnos cuenta de las razones que permiten
franquear cada etapa.
Los conocimientos se aplican a problemas de interés compuesto, de
excavación y de construcción, así como a la obtención de resultados
prácticos para las actividades corrientes.
11 E. M. Bruins, «Pythagorean triads in Babylonian mathematics», The Mathe-
matical Gazeue, 41, 1967, p. 25.
L
La civilización babilónica
En álgebra, los babilonios podían resolver las ecuaciones siguientes:
Ecuaciones con una incógnita
1) ax = b .
2) X= a
3) x2 + ax= e
4) x2 - ax =e
5) x2 = b
6) X (x + J) = b
7) ax2 + bx =e
8) ax2 - bx =e
Sistemas de ecuaciones con varias incógnitas
X+ y= a,
X - y= b,
X+ y= a,
X - y= b,
X+ y= a,
ax+ y+ cz = d,
xy = b
xy =a
x2+y2=b
x2+y2=a
x2 -y2=b
mx + ny + pz = h,
rx + sy + qz =O
Además, utilizaban las fórmulas:
(a + b)2 =a2 + 2ab + b2, (a + b) (a - b) =a2 - b2.
Se conocían algunas series:
1 + 2 + 4 + 2" + (2" - 1)
± j = [1· + l . nJ 1±J]
~· 3 3 ~·
.
L / _ r 1-1
1•1 s-1 ,
±p= nln+l)(n+2)
j•I 6
a+ a+ d +a+ 2d + ... +a+ (n - l)d = (l;a)n
35
En geometría, estaban familiarizados con el teorema de Pitágoras. el área
del triángulo y del trapecio, el área del círculo con TC = 3, los volúmenes del
prisma y del cilindro, el teorema de Tales.
Poseían evidentemente un calendario y la astronomía era muy popular. Por
último, disponían de tablas que daban los valores de la cosecante B para
31º,;; 8,;; 45º y probablemente para otros valores diferentes de A.
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i Gandz, Solomon, «The origin and development of the quadratic equations 2. Comprobar que el número 0;0,44,26,40 es el inverso de 81.
; ¡ in Babylonian, Greek and early Arabic algebra», Osiris, 3, 1938, .Jp. 3. En el conjunto de 11úmeros n, tales que 1 ~ n ~ 18, ¿cuáles son los
! : 405-557. números
1 Jones, Philip S., «P.ecent discoveries in Babylonian mathematics, 1, 11 , 111 , a) que poseen un inverso cuyo desarrollo sexagesimal es finito?
The Mathema1in Teachl'r, 50, 1957, t, pp. 162-65; 11, pp. 442-44; 111, pp. b) que poseen un inverso cuyo desarrollo decimal es finito?
570-7 l. 4. Resolver estos problemas babilónicos:
Karpinski. Lo uis C.. "Algebraica! developments among the Egyptians and a) «He sumado el área y losldel lado de mi -:uadrado y me h· d d 0·3'
! Babylo nians», T/, e American Ma1he111a1ical Mon1/zly, 24, 1917, pp. encontrar el lado». 3 d ª 0 ' - ' .
·:o. 257-65 . . . ' 2 [ ,
·i Lloyd, Daniel B.. «Further evidences of primeva! mathematics», The (Indicacron:~ == 0;40(óo¡) '
:¡· : . Ma1hemarics Teacher, 59, 1966, pp. 668-70. b) «He sumado la superficie y el lado de mi cuadrado, lo que me ha j
· ¡i Lloyd, Daniel B.. d~ecent evidenccs of primeva! mathematics», The Ma- • dado 0;45. Encon!rar el lado».
'-'. ! 1hema1ics Teacher. 58. 1965, pp. 720-23. c) «He sumado siete veces el lado de mi cuadrado y once veces Ja
' j' National cou~cil of teachers of mathematics (,The_), Historical tapies for the superficie.' lo que me h~ dado 6; 15. Encontrar el lado del cuadrado». (.
¡ ma1he11w11cs clmsroom. JIsi Yearbook , Vv ash1ngton , D. C., N.C.T.M., 5. Comprobar que los parametros p == 9 y q == 4 llevan a Jos valores de la - ·, l
~ 1969. pp. 36-38, 130-32. 235-36. línea 5 en la tablilla Plimpton 322. í
1 Ne ugehauer, Otto, «Babylonian mathcmatics», Scripta Ma1hematica, 2, 6. Verificar la solución babilónica de la ecuación x2 - x == 870, tal como
J. 1939. rr. 312-1 5. se presenta en este capítulo. .
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7. Resolver: x" + a2x4 = b2 donde a = 20,0
b = 14,48,53,20
Indicación: x4 = 11,51,6,40 y
X = 40
Jean-Paul Colletre
8. Utilizando el algoritmo babilónico para la extracción de la raíz cuadra·
da, ¿puede calcularse la V'f. con 6 decimales? .
Comparar la respuesta obtenida con la de los babilonios.
9. Verificar: Si (;)' = 1;33,45 y b = 45, e= 1,15, entonces (a, b, e)
constituye una terna pitagórica.
10. ¿Cuáles son las principales contribuciones matemáticas de los pueblos
de Mesopotamia?
3. ·. LA CIVILIZACION EGIPCIA
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ORIGEN.
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La civilización egipcia nació probablemente de un gran número de
pequeñas comunidades urbanas y rurales que se unieron progresiva-
mente en dos reinos, el Alto y el Bajo Egipto. El primer rey que,
según parece, reunió el Alto y el Bajo Egipto fue Menes. De Menes ·
a Alejandro Magno, época que comienza hacia el año 3100 a.C. y
termina con la conquista griega de Alejandría en el 322 a.C., se
suceden distintos imperios y períodos intermedios. Egipto fue consi-
derado durante mucho tiempo, debido al clima muy seco de la
región y al culto que los egipcios profesaban a sus muertos, como el
campo .por ,excelencia .de . las excavaciones históricas.. Por esto,
Egipto está lleno de construcciones de todo tipo (templos, pirámi-
des, obeliscos, etc.) ,y contiene numerosos papiros y objetos que el
clima favorable ha conservado muy bien.
...
FUENTES ''··:...
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Fue la expedición de Napoleón a Egipto la que confirió el impulso
suficiente al estudio científico de la civilización egipcia. Acompaña-
do de un equipo de sabios e investigadores, Bonaparte se encuentra
en el·origen de Ja egiptología. Fueron .soldados franceses los que
llevaron a cabo el más importante de los descubrimientos: excavan-
do fortificaciones cerca de Rosetta, al este de Alejandría, extrajeron
una piedra de bas:11to negro en la que había una inscripción en tres
lenguas: griet;o, demótico y jeroglífico. La piedra de Rosetta revela-
ba a los investigadores la traducción griega de un texto en escritura
jeroglífica y en la vieja escritura popular egipcia (demótico). Se
poseía la llave para descifrar los jeroglíficos, pero ¿cómo había que
utilizarla?
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40 Jean- Paul Collette
El francés Jean-Franc;ois Champollion y el inglés Thomas
Young, para no nombrar más que a los principales, consiguieron
hacer rápidos progresos en el desciframiento de los jeroglíficos, o
grabados sagrados, gracias a un trabajo constante, minucioso y con
frecuencia muy penoso, debido a las incómodas posiciones en las
que debían permanecer para conseguir leer bien las inscripciones.
Las inscripciones que se encuentran en tumbas y monumentos
egipcios, por su carácter con frecuencia de origen religioso, ceremo-
nial o incluso familiar, no representan sin embargo las mejores
fuentes de información sobre los conocimientos matemáticos de los
pueblos del valle del Nilo1• Igualmente, en lo concerniente al
calendario egipcio, los conocimientos matemáticos que se pueden
deducir de él son muy limitados, ya que se refieren sobre todo al
arte de contar y medir.
Afortunadamente, el clima seco de Egipto favoreció la conserva-
ción de algunos papiros, el más antiguo de los cuales es aproximada-
mente del año 1800 a.C. Los principales documentos con que se
cuenta en la actualidad son:
1) El papiro de Rlzind: rollo de papiro (0,33 >< 5,48 m) conser-
vado en el British Museum, algunos fragmentos del cual ~e encuen-
tran en el museo de Brooklyn. Este papiro, comprado en 1858 en
Luxor por un joven abogado escocés llamado Henry Rhind, escrito
por el escriba Ahmes hacia el año 1650 a.C. y exhumado en Tebas
en 1855, constituye una fuente importante de la que obtenemos el
conjunto de conocimientos matemáticos egipcios. Contiene 85 pro-
blemas redactados en escritura hierática, colección que debía servir
de manual práctico para los no iniciados. Este texto, según Ahmes,
es una copia de un texto más antiguo (2000-1800), algunos de cuyos
elementos proceden quizá de períodos aún más antiguos. El título
del papiro es más bien ingenuo: «Directrices para obtener un
conocimiento de todas las cosas, inherentes a' todo lo que existe,
conocimiento de todos los secretos...». Las cinco partes del manual
de Ahmes se refieren respectivame_
nte a la artimética, la estereome-
1 El Nilo tra venerado por los antiguos egipcios con el nombre de «Hapi», genio
de las aguas. ~.e le representaba como un hombre desnudo con cinturón de correas y
una mata de papiros en la cabeza.
La cil'i/ización egipcia 41
tría, la geometría, el cálculo de pirámides y un conjunto de proble-
mas prácticos.
2) El papiro de Moscú: rollo de papiro (0,07 x 5,48 m) compra-
do en Egipto en 1893 y conservado en el museo de artes de Moscú
(también llamado papiro Golenisheff). Escrito hacia el año 1850
a.C. por un escriba desconocido, contiene 25 problemas relaciona-
dos con la vida práctica y se parece al de Ahmes, salvo en dos
problemas de particular significación. El papiro de Moscú es, junto
con el de Ahmes, una de nuestras principales fuentes de informa-
ción.
3) El rollo de cuero de las matemáticas egipcias: rollo de cuero
(0,25 x 5,18 m) comprado con el papiro Rhind y conservado en el
British Museum desde 1864. En 1927 se consiguió, no sin dificultad,
desenrollar este documento de cuero y encontrar en él una colec-
ción, por duplicado, de 26 sumas escritas en forma de fracciones
unitarias. Todo parece indicar que este rollo era una copia sacada de
un manual, copia que servía de guía práctica o tabla para un futuro
trabajo. Según Gillings2 esta tabla arroja mucha luz sobre el aspecto
mecánico contenido en las principales fuentes de las matemáticas
egipcias, de la aritmética, además de proporcionar una justificación
de la supuesta existencia de tablas tipo de fracciones.
4) Los papiros de Kahun, Berlín, Reisner, Akhmfn y algunos
otros completan, en algunos puntos particulares, los conocimientos
matemáticos que se derivan de los tres anteriores.
Al principio, los egipcios escribíar: sobre piedra, ladrillo o piezas
de barro. Las inscripciones de cifras más antiguas aparecen, en
escritura jeroglífica, en una maza real que data del año 3100 a.C.,
momento en el que Menes unificaba el Bajo y el Alto Egipto. Los
símbolos utilizados enumeraban grandes cifras asociadas a las gue-
rras. Después, gradualmente, en el curso de los siglos, los egipcios
adoptaron para sus escrituras un documento más flexible, el papiro.
El papiro procede de una planta acuática de Egipto que se
parece al junco de nuestros pantanos, pero de mayor tamaño.
Cortando esta planta en tiras finas, colocándolas una al lado de otra
2 R. J. Gillings. Mathematics in the time of Pharaohs. Cambridge (Massachus-
<:tts). MIT Prcss. 1972, p. 91.
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-12
Jea11-l'aul Colle11e
y recubriéndolas con otra capa de estas tiras colocada de través, se
obtenía, después de un proceso de secado, un soporte sobre el oue
se podía escribir. Generalmente, el papiro era de forma rectangular
y no cuadrada. Después de haber escrito en el papiro, se enrolla-
ba, en vez de plegarlo como nuestros libros actuales.
La escritura jeroglífica aparece, en general, en tumbas, monu-
mentos y piedras, mientras que la escritura hierática (de forma
cursiva), que se adaptaba mejor a la escritura manual, predomina en
los papiros.
SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Realmente, no se puede hablar de un único sistema de numeración,
puesto que, de hecho, encontramos dos: el sistema jeroglífico, que
utiliza jeroglíficos, y el sistema hierático, o sistema de los sacerdo-
tes, que utiliza símbolos cursivos y que, en el siglo VIII a. C.,
desembocará en el sistema demótico o sistema del pueblo, cursivo y
de forma abreviada.
El cuadro de la página 44 presenta los símbolos empleados de
1 a 9 000 en los dos sistemas de numeración.
Los símbolos siguientes eran utilizados también en la escritura
jeroglífica:
(dedo apuntando) /'? 10 000-
(renacuajo) ~ 100 000 -
(hombre asombrado) ~ 1000000 -
1. Sistema jeroglífico
Este sistema de numeración es un sistema de base diez, no posicio-
nal, en el que el principio aditivo determina la disposición de los
símbolos_ La utilización de este principio permite expresar cualquier
número, cada símbolo se repite el número de veces necesario.
l~
La civilización egipcia
Por ejemplo,
o más exactamente
12_105 = r1 f f e>
•,•,• 6 f f 11
ll I
1'
43
A veces se invierte el orden de los símbolos, a veces la represen-
tación es vertical en lugar de horizontal. Para representar ~as fraccio-
nes unitarias (numerador uno), los egipcios colocaban encima del
número un símbolo de forma oval. Por ejemplo, la fraq::ión tapare-
- o C>
ce en la forma 1111 y la fracción Tri aparece en la forma () . .
"1
2. Sistema hierático·(sagrado)
_
La nu~cración en este sistema es también decimal, pero el princi-
pio de repetición del_sistema jeroglífico es sustituido -por la intro-
ducci(>n de signos especiales. Estos signos representan los números
de 1 a10, así como las po~encias de diez. Por ejemplo, la expresión
!jeroglífica del,número treinta y ocho es nníl l!ll ,mientras que
'su notación hierática es más sencilla 1::: ;, donde el signo::: (8) se
coloca~ Ja izquierda eh vez de a la derecha, ya que los egipcios escri-
ben de derecha a izquierda. Para ser exactos deberíamos escribir
111 l nn(1 mejor que nnri ll 11 , que corresponde a nues-
tra representación usual de izquierda a derecha.
Para representar las fracciones en el sistema hierático, el símbo-
lo j((roglífico o es sustituido simplemente por J.Jn punto • . Así*
1 •
aparece en la forma ~ y 20 se convierte en 1'.- Generalmente, los
egipcios utilizaban signos específicos para fracciones particulares
como~ y{. En general, trabajaban con fracciones unitarias y cual-
quier fracción de la forma ~ se expresa como una suma de fracciones
unitarias. Las operaciones usuales se efectúan, casi en su totalidad,
con la ayuda del principio de adición o por desdoblamiento.
i

46 Jean-Paul Col/eue
cultades para la aplicación de estas operaciones a las fracciones. En
efecto, reducían todas las fracciones (excepto quizá la fracción tJ) a
sumas de fracciones unitarias a fin de simplificar las operaciones.
Esta reducción fue posible gracias a la construcción de tablas que
contenían fracciones del tipo~ (cualquier otra forma no es esencial
en virtud del principio de desdoblamiento). El papiro de Ahmes
empieza con una tabla que expresa~. den = 3 a n = 101, como su-
ma de fracciones unitarias.
Evidentemente, con estas tablas las operaciones se efectuaban
de forma muy sencilla, aunque laboriosa, pero el problema difícil
radica esencialmente en la construcción de tablas que reduzcan toda
fracción a fracciones unitarias,. Cómo conseguían los egipcios, de
manera general, reducir las fracciones a fracciones unitarias, no lo
sabemos muy bien. Ahmes, (:n su papiro, utiliza unas veces una serie
de transformaciones y otras otra distint.a. Sin embargo, Neugebauer
. . . ¡ . . . .
sugirió que la elección de la secu,encia depende, en la mayoría de los
casos, de que se prefiera utilizar las f~acciones naturales t,t.t y des-
doblarlas sucesivamente. Consideremos ,algunos ejemplos de re-
ducción de fracciones. ·
:...·;
Ejemplo .1. Ahmes transforma ~, -y obtiene 2
1
8 ::+ ¿..
¿Cómo lo consigue?
2 2 1 . 1
Desdoblemos 7, tenemos 7 = 7 + ::¡ .
1 1 1
Desdoblemos 7, .tenemos 14 + 14 .
1 1 1
Desdoblemos 14, tenemos 28 + 28.
Así:
l:::: ..!. + .!.
7 7 7 '
1 1 1
=14+14+7
1 1 1 1
=2R+zg+14+7
1 [ 1 1 1
1
=28+ 28+14+7
:::: __.!_ + .!.
28 4
3 La fracción ~ se representa por un símbolo específico: cr? ,en escritura je-
roglífica y } , en escritura hierática.
~-
La civilización egipcia
47
Ejemplo 2. Ahmes afirma que -fs + t equivale a i .
¿Cómo llega a este resultado? Si desdoblamos no Jo consegui-
mos. Por otro lado, si, en vez de desdoblar, descomponemos en ter-
cios:
2 1 1
5=5+5
Pero
1 1 1 1
5=15+15+15 ). :_ 1 I
y
2 1 [ 1 1 1¡
5=15+ 15+15+5
1 1
=15+3.
E . l ~ Ah f. i i i . 1 z
¡emp o J. mes a irma que 8 + 52 + 104 es 1gua a 13 .
¿Cómo podemos llegar a este resultado?
Por desdoblamientos sucesivos.
1 . 1 1
13:;::13+13,
1 1 1
=u+u+13"
1 1 1 1
=52+52+u;+13,
1 1 1 1 1
=104+104+52+u+13,
1 1 [ l 1 1 l
=104+52+ 104+u;+13,
1 1 1
=104+52+3
. l 5 1 1 1 1
E¡emp o 4. 13 = ¡ + u; + 52 + 13 ·
¿Cómo podemos obtener este resultado?
5 2 2 t . d 1 ·1 d 2
13 = 0 + 13 + 13 y, conoc1en o e equ1va ente e 0 , es re-
lativamente fácil encontrar la solución.
P 1 f . 2 1 1 1 . 1 •
arece que as racc1ones 3, 3, 2• ¡eran especia mente aprecia-
das por los egipcios, quizá debido a su continua presencia en la vida
diaria. Por desdoblamiento, se obtienen dos secuencias de fraccio-
2 1 1 1 1 1 l l 1 l '
ne~ «naturales»: 3, 3, 6· 12• 24, etc., y 2• ¡, s• 16· 32, etc. As1, el
egipcio tratará de utilizar estas dos secuencias para reducir las
-·-··-
~
¡
l
¡¡
:1
¡
i
.,
~
i.
!
.
¡
'i
J
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ll
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48 le<;t;..Pau/ Col/elle
fracciones a fracciones unitarias. Volviendo a la reducció11 de i
(ejemplo 2), los egipcios pudieron, por tanto, darse cuenta de que el
desdoblamiento era ineficaz, pero que la reducción mediante la
fracción t daba la respuesta buscada. Así tomando i de±, lo que da
1 2 d 1 1 d ., . . d
15, basta con tomar 13 e 5 para que a re ucc1on siga sien o
equivalente. Resumiendo, si se quiere representar~ en la forma
*+ ~. se elige *de modo que resulte naturalmente (mediante la
utilización de fracciones naturales) de i, es decir
1 1 1
p = 3 5'
1
=Is'
y la fracción ~ toma entonces la forma
t = (1 + t) .t'
1
= 3.
•:.
"t·
Hay que entender que, con la ayuda del simbolismo actual, la in-
terpretación precedente hace comprensible el proceso, pero no co-
rresponde al modo operatorio real del egipcio. La reducción efec-
tuada por Ahmes de i a fracciones unitarias es la siguiente:
La l.ª línea significa que todo es 5;
la 2.a línea que t de 5 es 3-}
..!. de 5 es 1l
3 3
'l . 1 d 5 1
por u limo Is e es 3
. . 2 1 1
por consiguiente 5 = 3 + Is
1
2
3
..!.
3
1
¡:;
5
3-}
lt]
..!. +
3
2
~
En esta reducción se observa el uso de la fracción] en la), ~ línea.
Esta fracción~ ·se utiliza tanto .co~o operador en las multiplicacio-
nes y divisione-
s que nos incÚa a pensar que los egipcios debían hacer
uso de tablas de_
la fracción lcon la misma frecuencia con la que ne-
cesitamos hacer cálculos mentales.· Además, ·el problema· 61B del
papiro Rhind estipula claramente la regla egipcia para calcular los
dos .tercios de cualquier fracción unitaria impar (denominador im-
par): .,,
La civilización egipcia 49
Calcular t de una fracción impar. Si se te dice:
«¿Qué es -j de ?» Haces 2 veces su denominador, y 6 veces su denominador;
t de la fracción , es esto. Esta regla se aplica a cualquier fracción impar.
El escriba sabía que esta regla podía también ser aplicada a cada
fracción «par», pero poseía ya una regla simplificada pará el caso de
las fracciones pares. Por esto, raras veces se encuentra la aplicación
de la primera regla a las fracciones pares, puesto que la regla
simplificada se reduce a sumar al denominador su mitad, cálculo más
sencillo que el realizado si se aplica la primera regla.
En el ejemplo 2, en vez de desdoblar, se descompone en tercios.
Esto equivale a calcular el tercio de una fracción, pero generalmente
el escriba calcula primero los dos tercios y después no tiene más que
dividir por 2 para obtener el producto de un tercio. Consideremos
algunos ejemplos prácticos sacados del papiro Rhind:
Problema 25
1
3 de 3 = 1 Solución
~~~
i/ 1
3
Se observa, en la solución del problema, que el autor calcula pri-
mero los ~ de 3 y después 1de 3 para llegar al resultado deseado.
Problema 32
1 1 1 1
t de 1 + 3 + 4 = 2 + 36
1
2
3
2
3
2
3
2
3
l.
3
Solución
1 + ..!. + ..!.
3 4
2 f 1 1 J ¡
- + -- + - + -
3 l6 18 6
2 ll 1¡ 1
3+ 6 + 6 +18
2 1 1
3+3+18
1
1 + 18
1 1
2 + 36

50 Jean-Paul Collelle
Es importante señalar que la solución del escriba es mucho más
corta y que las etapas intermedias desaparecen como pone de
manifiesto la solución real de! autor:
1 1+1.+1.
3 4
2 . 1
3 1 + 18
l 1 1
3 2 + 36
Problema 33
. ¡ · 1 _!_. _?
t de 16 + 56 + 679 + 776 - ·
Solución
6 1 l l
1 + 56 + 679 + 776
2 2 l . 1 .. 1 l
3 10 + 3 + 84 + 1 358 + 4 074 + 1 164
La solución del problema 33 no consta más que de dos líneas y
proporciona de forma inmediata el producto de t por 16 + 5
1
6 +
1 l
+ 679 + 776.
Está claro que Ja multiplicación de fracciones unitarias por t, o
por}, se realiza atendiendo al denominador de la fracción unitaria.
. . . . ·2
·Regla de _
la fracción 3 --------·--.
Los dos t.ercios de cu~lquier fracción impar (o par) son iguaie¡: ·.
a 2 veces el denominador de la fracción más 6 veces el denomi-
nador de la fracción.
A partir de la precedente, se deduce muy fácilmente la regla
1
para 3.
~-------- Regla de la fracción } - - - - -
El tercio de cualquier fracción impar (o par) es igual a 4 veces
el denominador de Ja fracción más 12 veces el denominador
de la fracción. ·
La civilización egipcia 51
Ejemplo 5. tde } == ?
Solución: Según la regla de t·
2 de 1. == .! + .l... ·
3 .3 . 6 18
Ejemplo 6. ±de i == ?
Solución:Según la regla de }
1 1 1 l
3 de 5 = 20 + 60 •
Ejemplo 7. .t de t == ?
Solución:Según la regla simplificada.
2 1 1
3 de 8 == 4+8
l
=12.
En el ejemplo 7, puede aplicarse también la reglad~ la fracción t
y tenemos:
2 1 l 1
3 de 8 == 16 + 48 '
l
=12.
El egipcio puede por tanto, utilizando las reglas enunciadas más
arriba, así como el desdoblamiento, aplicar las dos secuencias de
• 2 1 l l l 1 l l l l
fracc10nes «naturales»: 3, 3, 6, 12, 24, etc., y 2• ¡, 8· 16· 32, etc.
La reducción de las fracciones t.1.~...., 1~1 a partir de las reglas
conocidas, relacionadas con la fracción t. y el empleo del desdobla-
miento planteó serios problemas a los egipcios. Sin embargo, Gi-
llings4 opina que, en la elaboración de la tabla de ~. de n == 3 a
n = 101, con n impar, los escribas pudieron tener en cuenta los si-
guientes preceptos:
~ R. J. Gillings, ob. cit., p. 52.
¡
L...~--.........

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