geometría analitica

1. DGETA SEMS
CENTRO DE BACHILLERATO TECNOLÓGICO
AGROPECUARIO N° 20
RIO GRANDE, ZAC.
INTRODUCCIÓN
El presente trabajo está dirigido a los alumnos del CBTA 20 que cursan el tercer semestre del
Bachillerato Tecnológico con la intención de que sirva de guía y material de trabajo mínimo para cubrir
los contenidos programáticos que especifica el programa de estudios de Geometría Analítica;
asignatura correspondiente al componente básico del bachillerato citado y que se cursa en el tercer
semestre.
Los conceptos que en este trabajo se presentan constituyen una herramienta básica para quienes
se inician en el estudio de la Geometría Analítica, parte de las Matemáticas que representa la aplicación
del álgebra y el análisis matemático a la Geometría. Para ello asocia a cada punto del plano o del
espacio unas coordenadas, ello permite expresar las propiedades y relaciones geométricas de las figuras
mediante ecuaciones algebraicas.
El comprender los conceptos aquí desarrollados, garantiza al estudiante un tránsito feliz en
asignaturas relacionadas con el análisis matemático y requiere tener conocimientos fundamentales de
álgebra, geometría y trigonometría. Conceptos desarrollados en los cursos de Algebra , Geometría y
Trigonometría del componente básico del bachillerato tecnológico.
En esta recopilación de conceptos se incluyen algunas aportaciones que han realizado las
diferentes culturas, que pueden hacer más interesante y facilitar la comprensión de los contenidos
temáticos del curso; al mismo tiempo el poder valorar las aportaciones que diversos personajes han
legado a la humanidad y que ha permitido el desarrollo de la matemática.
Con el desarrollo de los contenidos programáticos en el aula, mediante Estrategias Centradas en
el Aprendizaje a través de temas integradores los participantes en dicho proceso deben ir
construyendo los conceptos que permitan comprender los conceptos de esta asignatura y una adecuada
1

2. aplicación a diversos problemas de la vida cotidiana. Ello contribuirá a que todos los estudiantes
puedan lograr el propósito del curso que es:
Propósito General de la Asignatura: Los alumnos desarrollarán las capacidades de análisis y
síntesis a partir del estudio de las propiedades de las figuras geométricas representadas en el plano
cartesiano, mediante la aplicación de métodos algebraicos que les permitan la utilización de modelos
matemáticos en las diversas áreas de la ciencia y la tecnología.
ANTECEDENTE HISTÓRICOS.
La idea básica de geometría analítica y de coordenadas es muy antigua, ya Arquímedes (250 A C) ,
Apolunio de Perga (210 años A. C) en sus estudios de las secciones cónicas usaron para sus
representaciones, las coordenadas. Transcurrieron muchos años para que los estudios de los griegos y
otros filósofos y matemáticos llegaran a crear las herramientas que sirven para la representación de las
propiedades de las figuras y su análisis. Ideas que culminan con las aportaciones de Descartes (1506-
1650). Análisis de las figuras basado en el sistema de los números reales y el uso de un enfoque
algebraico sistemático para el estudio de estas figuras y sus propiedades. Con las investigaciones
realizadas por el grupo se podrá hacer una ampliación más detallada sobre el desarrollo de la Geometría
Analítica. Completa estos antecedentes.
Personaje Periodo de
Vida,
Nacionalidad y Aportaciones a la Geometría Analítica
Menaíemo Siglo IV ac Se le atribuye la invención de la parábola, elipse, hipérbola equilátera (tíade
de Menaíemo)
Apolunio de Perga Siglo II ac Usa números para representar puntos, considera las secciones cónicas
originadas por la intersección del plano y el cono, definiendo las curvas
originadas
Arquímedes de
Siracusa
( 287 – 212
a.C.)
Fue el más grande matemático de la antigüedad inventor y científico practico,
invento un tornillo para elevar el agua, estableció las propiedades de las
poleas y palancas, construyo un modelo mecánico que reproducía el
movimiento de la luna y los planetas;; aportó las formulas del área del circulo,
el segmento de la parábola y de la elipse, el volumen y área de la esfera, del
cono y de otros sólidos de revolución.
Usa números para representar puntos,
F. Viète 1540-
1603
En sus obras hay aplicaciones del álgebra a la geometría
Nicolás Oresme 1323-
1382
Maneja como coordenadas la latitud y la longitud (coordenadas rectangulares)
Determina que en la proximidad de una curva en la cual la ordenada es
máxima o mínima, dicha ordenada varía más lentamente, no se considera
2

3. creador, el atribuye a otras personas sus ieas
Johannes. Kepler 1571-
1630
Alemania: estudio matemáticas y astronomía en la universidad de
Tubingen. nombrado como asistente de tycho brahe. en el observatorio de
Praga , adquirió datos exactos sobre las órbitas de los planetas.
las máximas aportaciones de Kepler fueron sus tres leyes del movimiento
planetario:
1) los planetas se mueven en el elipse ,con el sol en uno de sus focos.
2) la recta que une al sol con un planeta barre áreas iguales en tiempos
iguales.
3) el cuadrado del periodo es proporcional al cubo de sus cuadrados.
Hace la misma observación que Oresme.
Usa números para representar puntos, emplea la palabra foco para determinar
un elemento de la elipse
Personaje Periodo de
Vida,
Nacionalidad y Aportaciones a la Geometría Analítica
René Descartes 1596 - 1650 Mejor conocido como un gran filosofo moderno. También fue un fundador de
la biología moderna, físico y matemático. Su trabajo matemático de mayor
trascendencia fue la géometrie, publicado en 1637. En el, intento la
unificación de la antigua y venerable geometría con el álgebra. En (1637 –
1665) tiene crédito por la unión que llamamos hoy geometría analítica o
geometría coordenada. En su obra establece una relación entre el número y el
espacio
F. Van Schooten 1615-1660 Sugirió el uso de de coordenadas en el espacio tridimensional
Blaise Pascal 1625 –1662 :Hizo aportaciones al calculo, a la edad de 19 años invento la primera
maquina de sumar. Tiene el crédito de la iniciación de estudios serios sobre
la teoría de la probabilidad.
Se da el nombre del triángulo de Pascal al arreglo de números que contienen
los coeficientes del teorema del binomio.
Pedro de Fermat 1601-1665 Determinó el área bajo algunas parábolas,
Hace estudios sobre de lugares planos y sólidos interpretando ecuaciones
sencillas geométricamente.
Isaac Newton 1642-1727 Inglaterra: Comparte con Gotfried Leibniz el crédito del descubrimiento del
Cálculo, siendo el primero en concebir las principales ideas del Método de
Fluxiones. Descubrió el teorema del Binomio que lleva su nombre, los
elementos del cálculo integral y diferencial , la teoría del color y la ley
universal de la gravitación
Considera el signo de las coordenadas en los diferentes cuadrantes
Considera la hipérbola como una curva con dos ramas
Gottfriel Wilhelm.
Leibniz
1646-1716 Alemania: Comparte con Newton el crédito del descubrimiento del Cálculo,
descubrió independientemente de Newton las ideas de éste, sobre el Cálculo,
no recibe el mismo reconocimiento que Newton; pero fue uno de los más
grandes inventores de los símbolos matemáticos a él se debe el nombre de
Cálculo integral y Cálculo Diferencial y el uso de dy/dx para la derivada y
∫ para la integral el término de función y el uso de =, desarrollando con
mayor rapidez el cálculo con el uso de estos símbolos
3

4. Jacobo Bernoulli 1654-1705 Inventa las coordenadas polares que se habían usado para el estudio de
espirales
Guillaume F. A.
de L ‘Hôpital
1661-1704 Francia: discípulo de Johann. Bernoulli de ahí que en sus trabajos hay
disputas entre ambos,
Publicó el libro de texto más importante de geometría analítica. Introdujo los
dos ejes no por fuerza perpendiculares
A Parent 1666-1716 Representa por primera vez mediante una ecuación cartesiana la superficie de
una esfera y otros sólidos, para ello no menciona ni ejes ni planos
J. E Herman 1678-1733 Indicó la consideración de los tres ejes coordenados de un sistema cartesiano,
dando impulso a la geometría del espacio. Observa que un punto en cualquier
eje tiene las otras coordenadas nulas. Demuestra que toda ecuación de primer
grado con tres variables representa un plano, partiendo de esta ecuación
deduce las coordenadas de la intersección del plano con cada uno de los ejes
de los ejes coordenados.
Personaje Periodo de
Vida,
Nacionalidad y Aportaciones a la Geometría Analítica
Leonard Euler 1707-1783 Suiza: Escribió 75 libros de matemáticas, contribuye con sus estudios a la
interpretación de las funciones trascendentes, introdujo al número “e” base de
los logaritmos naturales, demostró que e y e2
son irracionales, Complementa
dando fundamentos a la geometría analítica del espacio . Estudia las
ecuaciones de segundo grado y las clasifica en 5 tipos
A. C. Clairaut 1713-1765 Amplia los trabajos de Herman y sus trabajos representan un tratado de
geometría analítica del espacio
María Gaetana
Agnesi
1718-1799) Italia. comenzó su mas importante trabajo, en un libro de texto de calculo.
su estudio de una curva conocida entonces como la versiera.
Milán reconoció a Agnesi dándole en su honor su nombre a una calle.
Joseph-Louis.
Lagrange
1736 – 1813 Turín Italia: Por la lectura de un ensayo sobre el calculo, dominó esta ciencia.
Se cree que a los 19 años, comenzó su obra máxima “Mécanique Analytique”.
La carrera de Langrage fue ilustre. En París, ayudo a perfeccionar el sistema
métrico de pesas y medidas. Sus contribuciones, incluyen el método de
multiplicadores de Langrage.
Carl Friedrich
Gauss
1777 – 1855 Alemania: La matemática es la reina de las ciencias y la teoría de los números
es la reina de la aritmética, expresión de este personaje, el más grande
matemático después de Newton, Conocido como el príncipe de las
matemáticas, propone estratagemas para el conteo, concibe la idea de
geometría no euclidiana, inventa el método de mínimos cuadrados, resuelve el
problema de construir con regla y compás el polígono de 17 lados. Hace la
primera demostración del teorema fundamental del Álgebra. Su obra
“Disquistiones Arithmeticae” ha influido notablemente sobre la teoría de los
números. En Cálculo sus trabajos sobre superficies curvas incluye el teorema
de la divergencia. Una unidad de los campos magnéticos lleva su nombre.
A: F: Möbius 1790-1868 Primero que Considera de manera sistemática el signo de los segmentos,
ángulos y áreas
4

5. Unidad 1: Geometría Analítica.
1.1. Sistemas Coordenados
Geometría Analítica: parte de las matemáticas que establece una conexión entre el Álgebra y
la Geometría Euclidiana estudiando las propiedades de las figuras mediante procedimientos algebraicos
1.1.1 Unidimensional
Si se tiene una recta X’ X, cuya dirección positiva es de izquierda a derecha y sea O un punto
fijo de esta recta , cualquier número real x puede representarse por un punto “P” sobre la recta X’X y
recíprocamente cualquier punto dado “P” situado sobre la recta X’X representa un número real x, cuyo
valor numérico es igual a la longitud del segmento OP .
Como se puede observar aquí se establece una correspondencia entre un punto y un número real
por lo que a esta correspondencia se le puede llamar sistema coordenado lineal
0 1
* * = OP
O P
Si O(0) y P(1) se lee: si O tiene como coordenada 0 y P tiene como coordenada 1 OP = unidad de
medida.
Como habrás observado, ya estás familiarizado con esta recta numérica y en ella has
representado los números reales.
Retomando el concepto de segmento de recta: parte de una recta comprendida entre dos
puntos llamados extremos. Encontramos que los extremos los podemos identificar como punto inicial
y punto final, si en la recta anterior al decir OP el punto inicial es O y el punto final P, en este caso
estamos hablando de un segmento dirigido, ello nos da una idea de que el segmento tiene de sentido
o dirección , si hablamos del segmenta BA , el punto B es el punto inicial y el punto A es el punto
final, ello implica que el punto x se dirige de B hacia A para formar el segmento
A sentido B
* *
Si se considera al segmento AB como una longitud positiva, el segmento BA será una longitud
negativa, entonces:
BA = - AB
Si se tienen tres puntos distintos en una sem-recta cuya dirección es positiva, ¿Cuántas
ordenaciones posibles pueden tener estos tres puntos en la semirrecta (3!)
* * * * * * * * *
A B C C A B A C B
* * * * * * * * *
En estas ordenaciones y considerando la igualdad de segmentos dirigidos: BA = - AB
En todas las ordenaciones se puede verificar que AB + BC = AC
En CA + AB = CB sust por sus equivalentes se tiene : -AC + (-BA) = -BC permutando términos
BC –BA = AC como –BA = AB se tiene que AB + BC = AC
5

6. Es importante tener presente que en un sistema de coordenadas unidimensionales donde
los puntos de la recta a los que se les hace corresponder un número real pertenecen una recta en
posición horizontal; la distancia entre dos puntos es P1P2 =x2 – x1 For:(1)
0 x1 x2
* * * en esta figura se tiene que:
P0 P1 P2
La distancia de P1P2 = P0 P2 - P0P1 = X2 - X1 de donde: D horizontal = X2 - X1 for(1)
Si la recta está en posición vertical se verifica que D = y2 – y1 for(2)
Estas distancias se consideran positivas ddd =−−=− )( valor absoluto
dd =
1.1.2. Sistema de coordenadas bidimensionales:
Si en un plano se dibujan dos rectas perpendiculares una vertical y la otra horizontal, al punto de
intersección de estas rectas le llamaremos origen y se les hará corresponder x = 0 , y = 0
Y (vertical)
(ordenada)
II I
(-,+) (+,+) (horizontal)
X’ O X (abscisa)
(-,-) (+,-)
III IV
Y’
Esquema con el que estás familiarizado, al que se le llama: Plano cartesiano
Plano de coordenadas rectangulares
Plano de ejes coordenados
Plano de coordenadas bidimensionales.
En este plano a cualquier punto se le hace corresponder una pareja ordenada de números reales
y cada pareja ordenada de números reales se les hace corresponder un solo punto de dicho plano; de ahí
que reciba el nombre de plano coordenado.
Se le llama pareja ordenada de números reales (x,y) por ser su primer componente x y el
segundo componente de la pareja siempre es y
Los dos ejes, el de las abscisas (x’x) y el de las ordenadas (y’,y), dividen al plano en cuatro
partes, llamados cuadrantes. I, II, III, IV. Visto de esta forma, los puntos del plano pueden pertenecer a
uno de estos cuadrantes o bien estar sobre cualquiera de los ejes coordenados, así se tiene que habrá
puntos del primer cuadrante, del segundo, del tercer o del cuarto cuadrante, ello depende de los signos
de sus coordenadas (pareja ordenada)
Cuadrante I P(x,y) (+,+)
II P(x,y) (-,+)
6

7. III P(x,y) (-,- )
IV P(x,y) (+,-)
Con estos conceptos estamos en posibilidades de comprender como obtener la distancia entre
dos puntos cuando éstos, no están en una recta vertical u horizontal.
Y2 P2(x2.y2)
Y1 P(x1,y1) R(x2,y1)
X1 X2
Determinar la distancia entre los puntos P1 y P2 , por Pitágoras:
(P1P2)2
= (P1R)2
+ (RP2)2
estos segmentos forman un triángulo rectángulo
(P1P2)2
= (x2 –x1)2
+ (y2 – y1)2
Es un segmento horizontal y un segmento vertical for(1) for(2)
P1P2 = )y-(y)x-(x 2
12
2
12 + for(3) distancia entre dos puntos
Con estos conceptos podrás realizar las siguientes actividades o resolver los problemas relacionados.
Actividades:
1. Localizar los siguientes puntos en el plano e indicar a que cuadrante pertenecen.
A(5,3) B(-4, 3) C( -6,-5)
D(5, -3) E(5, -3) F(-6,4)
G( )
5
19
,
3
7
H(-10,7) I ( )7,
3
7
−
J ( -3, )
7
12
K(0,-5) L(-5,0)
2. Trazar la recta que une los puntos A(3,-1) y B(-2,3); C(-1,4) y D(3,-2) ¿Cómo son las rectas?
3 ¿Qué figura se forma al unir los puntos A(-2,-3), B(3,0), C(5,4), D(0,2)?
4 Si un lugar geométrico es un conjunto de puntos que gozan de una propiedad común:
a) ¿Cuál será el lugar geométrico de todos los puntos de abscisa = 3?
b) ¿Cuál será el lugar geométrico de los puntos cuya ordenada es = -7?
5 Por P(-2,0), trazar una paralela a y’y y por R(04) trazar una paralela a x’x . ¿Cuál es el punto de
intersección de estas rectas trazadas?
6 Trazar la bisectriz del ángulo XOY de los ejes coordenados, si la ordenada de ésta es 3 ¿Cuánto
vale la abscisa? ¿Qué relación guardan estos valores de las parejas ordenadas pertenecientes a la
bisectriz trazada?
7 Hallar las coordenadas de los puntos que distan 13 unidades de P(1,5) y 6 unidades del eje y’y
7

8. 8 Si el triángulo ABC isósceles cuya base AB está sobre x’x y el vértice C en y’y, si AB = 16,
BC = 15, ¿Cuáles son las coordenadas de cada vértice y las coordenadas de los puntos medios
de los lados: AC, BC, AB
9 Hallar la distancia entre las siguientes parejas de puntos:
a) A(3,0) y B(7,0) AB =
b) C(-1,0) y D(4,0) CD =
c) D(0,9) y E(0,3) DE =
d) M(9,5) y N (-3,5) MN =
e) A(-5) y B(6) AB =
f) A(-8) y B(-12) AB =
g) A(2,1) y B(5,5) AB=
h) A(1,2/3) y B(-3/5,18/7) AB =
10 Si la distancia entre 2 puntos es 9 y la coordenada de uno de los puntos es -2, hallar el otro
punto ( dos casos)
11 Tres de los vértices de un rectángulo son los puntos A(2,-1), B(7,-1) y C(7,3). Hallar el cuarto
vértice.
12 Demostrar que los puntos A(-5,0), B(0,2), C(0,-2) son vértices de un triángulo isósceles
13 Demostrar que los puntos A(7,5), B(2,3), C(6,-7) son los vértices de un triángulo rectángulo
14 Hallar el perímetro del triángulo de vértices A(2,9), C(8,3), C(6,-2)
15 En el sistema de coordenadas lineales P1(x1), P2(x2), extremos de un segmento. Demostrar que la
coordenada (x) de P que divide al segmento P1P2 en la razón dada.
2
1
PP
PP
r = es x =
r
rxx
+
+
1
21
r 1−≠
Fórmulas para determinar las coordenadas de un punto que divide a un segmento en una razón
dada.
X =
r
rxx
+
+
1
21
for(4)
Y =
r
ryy
+
+
1
21
for(5)
Si r = 1 se tiene las fórmulas para determinar las coordenadas del punto medio de un segmento
X =
2
21 xx +
for(6)
Y =
2
21 yy +
for(7),
Actividades:
1. Encontrar las coordenadas del punto medio del segmento de extremos:
a) A(2,2) y B(5,5)
b) A(3,6) y B(2,1)
c) A(1,-3) y B(-4,6)
2. Determinar las coordenadas de P(x,y) que divide al segmento AB en la razón que se especifica
a) A(2,0) y B(2,10) r = 4/1 , 4/-1
8

9. b) A(5,3) y B(1,4) r =2/5
c) A(5,3) y B(-3,-3) r = 1:3
d) A(0,3) B(7,4) r = 7: 2
3. Hallar y de modo que P1P2 = P2P3 si P1(-3,6) y P2(3,1) , P3(8,y)
4. Si P1(0,6), P2(-1.2) y P3(x,3) x = donde P1P2= P2P3
5. ¿Qué punto sobre y’y es equidistante de A(3,-2) y B(5,6)
6. Si P1(1,7), P2(6,-3) r = 2:3 hallar P(x,y) que divide en dicha razón al segmento determinado por
éstos
7. Si P1(-2,1), P2(3,-4) r = -8 : 3, hallar p(x,y) que divide al segmento determinado por dichos
puntos
8. El extremo de un diámetro de una circunferencia de centro P1(-4,1) es P2(2,6), hallar las
coordenadas del otro extremo.
9. Determinar por medio de la distancia si los puntos A(-2,-2), B(5,-2) y (-11,2) están sobre la
misma recta.
10. Demostrar que los puntos A(- ),1,3 B( )2,32( − , C(2 )4,3 son vértices de un triángulo
equilátero
11. Hallar las coordenadas de los puntos que dividen al segmento AB en 5 partes iguales A(-5,-4)
B(6,2)
1.1.3. Relaciones:
Producto Cartesiano: Es el conjunto formado por todas las parejas ordenadas, cuyo primer
elemento de la pareja ordenada pertenece a un primer conjunto y cuyo segundo elemento pertenece
a un segundo conjunto. Si A y B son dos conjuntos su producto cartesiano se denota por A x B o B
x A
Si A = {Pedro, Juan, José}, B= {Rodríguez, Robles, Sanchez, Pérez}
A x B = {(Pedro, Rodríguez), (Pedro, Robles), (Pedro, Sánchez), (Pedro, Pérez),
(Juan,Rodríguez)....(José, Pérez)}
Relación: Es un subconjunto del producto cartesiano de con juntos. Esto es un conjunto de parejas
ordenadas , formadas de la correspondencia entre los elementos de dos conjuntos dados.
Ejem. Del producto anterior R1 = Personas que tienen el mismo apellido ={(Pedro,Rodríguez),
(Juan, Rodríguez), (José, Rodríguez)}
Las relaciones se pueden clasificar como:
1) De un elemento del primer conjunto a un elemento del segundo conjunto
2) De dos o mas elementos del primer conjunto a un elemento del segundo conjunto
3) De un elemento del primer conjunto a dos o mas elementos del segundo conjunto
En el esquema dibujar el tercer caso.
9
X
Y
z
1
2
3
X
Y
z
1
2

10. A los elementos de cada pareja ordenada se les llama variables; al primer elemento de la pareja se le
llama variable independiente y al segundo componente se le llama variable dependiente (x,y)
Al conjunto de valores que toma la variable independiente se le llama dominio.
Al conjunto de valores que toma la variable dependiente se le llama rango o codominio
Si Y = 5x -6
Por qué y es la variable dependiente?_____________________________________________
Por qué x es la variable independiente?___________________________________________
Las relaciones pueden expresarse en forma Implícita 3x + y – 5 – 2xy = 0
Explícitas: y = x2
– 5x – 12
Actividad.
¿Cuáles son las características de cada una de ellas?
Explícitas:________________________________________________________________
Implícitas:_____________________________________________________________
Gráfica las relaciones anteriores.
¿A qué tipo de relaciones pertenecen estas relaciones de los tres casos que se especifican?
Ejercicios:
1) Si A = {a,b,c} B= { 1,2,3,4,5} Hallar: a) A x B b) B x A
2. Gráfica la relación y = 3x2
– 2x + 5
3. Grafica la relación Y = 162
−x
1.1.4. La Recta
10

11. Pendiente de una recta.
Formando ángulo con x’x una recta puede tener una de las cuatro posiciones siguientes y se le
llama inclinación de la recta, su símbolo esα y para cada inclinación existe una pendiente (m)
1. Si α < 90O
la pendiente es positiva m = +
2. Si α = 90o
la pendiente no está definida m = ∞
3. Si α > 90o
la pendiente es negativa m = -
4. Si α = 180o
la pendiente es 0 m = 0
La inclinaron es un número concreto, se mide; la pendiente es un número abstracto y corresponde al
valor natural de la tangente del ángulo de inclinación.
Las posiciones de la recta en el plano las puedes identificar en el esquema siguiente:
Y 1
4
3 2
x’ x
y’
Figura: Las rectas en el plano
El ángulo de inclinación de una recta no orientada, es el ángulo positivo mas pequeño que tiene
como lado inicial la parte positiva del eje x’x y como lado final la recta, siempre que ésta no sea
paralela a x’x
y
Lado final
Ángulo de inclinación
X’ x Lado inicial
Y’
Problema: Si P1(x1,y1), P2(x2, y2) , puntos de una recta, demostrar que la pendiente de esta recta es:
12
12
xx
yy
m
−
−
= observemos el siguiente esquema: B
11

12. y P2 en el esquema se tiene el triángulo P1P2 R
que es rectángulo, P1R y RP2 catetos, P1P2
P1 α R hipotenusa segmento perteneciente a la
X’ α 1 x Recta AB
α =α 1 por ser correspondientes
A y’ como: Tan α =
RP
RP
1
2
---1 y RP2 = y2 – y1-
(2)
P1R= x2 – x1-----(3)
Tan α =
12
12
xx
yy
−
−
sust en (1) con (2) y (3)
Como Tan α = m entonces m =
12
12
xx
yy
−
−
For(9) u utilizada para hallar la pendiente de una
recta dados dos puntos de ella.
Condición de paralelismo y perpendicularidad
Paralelismo: las recta de la siguiente figura son paralelas; por lo tanto sus ángulos de inclinación
son iguales α 1 = α 2 de esto se deduce que Tan α 1 = Tan α 2 por lo que:
Tan α 1 = m1
Tan α 2 = m2 por lo tanto
m1 = m2 Condición de paralelismo Dos rectas son paralelas si sus pendientes
son iguales. Y A C
X’ α 1 α 2 x
Y’
B D
Condición de perpendicularidad:
Observando la siguiente figura se puede notar que:
Y R1 α 1 + B + 90o
= 180o
(1) ángulos interiores del triángulo
α 2 + B = 180 (2) ángulos suplementarios
90 α 1 + B + 90o
= α 2 + B (3) prop. transitiva
α 1 + 90o
= α 2 (4)
α 1 B α 2 Sen(α 1 + 90o
) = Sen α 2 (5)
Cos(α 1 + 90o
)= Cosα 2 (6)
Sen α 1 Cos 90o
+Sen90o
Cos α 1= Senα 2 (7) Seno de la
suma
Y’ Dos ángulos
R 2 Cosα 1 Cos 90º - Sen 90o
Sen α 1= Cosα 2 (8)Cos de la
+
De 2 <s
12

13. Sen α 1(0) +1 Cosα 1 = Senα 2 (9) dando valores a(7)
Cos α 1(0) – 1 Senα 1 = Cos α 2 (10)dando valores a
(8)
De donde: Cos α 1 = Sen α 2 (11) simplificando (9)
- Sen 1 = Cos α 2 (12) simplificando (10)
2
2
1
1
α
α
α
α
Cos
Sen
Sen
Cos
=
−
(13) dividiendo (11) ÷ (12)
-Cot α 1 = Tan α 2 (14) identidad por cociente
2
1
1
α
α
Tan
Tan
=− (15) identidad por cociente
por lo tanto 2
1
1
m
m
=− o m1 m2 = -1 condición de perpendicularidad
Como se observa:
“Dos rectas son perpendiculares si sus pendientes son recíprocas y de signo contrario”
o
“Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es -1”
Problemas de aplicación:
1. Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de las rectas que pasan por:
a) A(-8,-4) y B(5,9)
b) A(10, -3), B(14,-3)
solución de a) Como m =
12
12
xx
yy
−
−
m = 1
13
13
)8(5
)4(9
==
−−
−−
m = 1 como m =Tan α
Tan α = 1 por lo que Arc tan 1 = α de donde α = 45o
Grafica esta recta y mide el ángulo de inclinación para comprobar el resultado obtenido
Resuelve el ejercicio b), si quedan dudas pide ayuda al asesor o a un compañero. Debes obtener
α = 0o
3. Determinar la pendiente y el ángulo de inclinación de las rectas que pasan por:
c) A(-3,2), B(7,-3)
d) M(7,-3), N(-1,5)
3. Hallar la pendiente y los ángulos de inclinación de los lados del triángulo ABC si sus vértices
son A(3,2), B(4,7), C(6,-1)
4. Demostrar que la recta que pasa por A(-5,2), B(-3,-4) es Paralela a la recta que pasa por C(9,5),
D(6,-1)
5. Si una recta pasa por P1(-1,y) y P2(3,8) y es paralela a otra recta que pasa por A(4,5) y B(2,4)
6. Demostrar que los puntos A(-4,2), B(-2,-1) y C(2,-7) son colineales
7. Demostrar que los puntos A(4,5), B(-1,2), C(2,-2) y D(7,1) son vértices de un paralelogramo.
8. Una recta de pendiente 3 pasa por P1(3,2). La abscisa de P2 es 4, hallar la ordenada.
13

14. 9. Aplicando los criterios anteriores di como son los siguientes pares de rectas:
a) R1 pasa por A(-2,5) y B(4,1) , R2 pasa por C(-1,1) y D(3,7)
b) R1 A(-10,9) y B(-5,15), R2 C(-6,2) y D(-1,8)
c) R1 A(-8,3) y B(-1,1), R2 C(-9,-1) y D(-2,-3)
d) R1 M(1,-3) y N(3,-1) R2 O( 9,1) y P(11,3)
e) R1 A(5,4) y B(2,6) R2 C(-4,2) y D(3,1)
10. Si la recta uno pasa por A(3,2) y B(-4,-6) y la recta 2 pasa por C(-7,1) y el punto D(x,-6), hallar
“x” sabiendo que las rectas son perpendiculares (1) y que las rectas son paralelas(2)
11. Una recta de pendiente 3 pasa por P1(4,5) y P2(1,y) determinar y
12. Mediante pendiente demostrar si el triángulo de vértices A(8,1), B(-1,-2) y C(6,-4) es
rectángulo
13. Demostrar mediante pendiente que los puntos: A(-3,4), B(3,2), C(6,1) son colineales.
FORMAS DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA.
Una ecuación de primer grado con dos variables representa una recta y recíprocamente al lugar
geométrico de todos los puntos que tienen la misma dirección se representan con una ecuación de
primer grasado con dos variables.
Esta ecuación toma la forma: Ax + By + C = 0, llamada forma general de la ecuación de una
recta.
En esta ecuación se distinguen 3 cantidades constantes:
A = coeficiente de la variable x
B = Coeficiente de la variable y
C= término independiente
Ejemplo: 3x + 2y + 3 = 0 A = 3 B = 2 C = 3 en esta ecuación si A = 0 la ec. Es:
si A = 0 la ec. Es:
y
2y + 3 = 0 donde Y = -
2
3
x´ x
*
2y + 3 = 0 horizontal
*
y’ y
Si B = 0 la ecuación se transforma en: 3x + 3 = 0 x= -1 x’ * x
y y
3x + 3 = 0´ vertical
* *
Si C = 0 la ecuación se transforma en: 3x + 2y = 0
*
*
+ +
14

15. 3x + 2y = 0 la recta pasa por el Origen
Observando las gráficas anteriores la ecuación: 3x + 2y + 3 = 0 gráficamente se representa así ,
analiza que conservan las gráficas anteriores de la ecuación general
3x + 2y + 3 = 0
Conclusiones:
a) En una recta de ecuación: Ax + By + C = 0 donde A, B, C son diferentes de cero su gráfica no
pasa por el origen, ni es vertical, ni es horizontal, forma general de la ecuación de la recta
donde m = -A/B
b) Si A = 0 la recta es vertical y corta a x’x en el mismo punto que su forma general de donde se
deriva
c) Si B = 0, la recta correspondiente a su gráfica es una horizontal que corta a y’y en el mismo
punto que la recta donde se derivó
d) Si C = 0 La gráfica correspondiente pasa por el origen y conserva de la grafica original su
pendiente.
Observa la gráfica y comprueba lo dicho.
x
y
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
15

16. Del concepto de recta: “Conjunto de puntos que siguen la misma dirección”, se puede
deducir que una recta está bien definida si se conocen dos puntos o bien un punto y su dirección
(pendiente)
FORMA DOS PUNTOS DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA
PROBLEMA. Una recta pasa por los puntos: P1(x1,y1) y P2(x2,,y2), determinar su ecuación.
Como la recta debe tener dos variables se considera un punto cualquiera de ella P(x,y) y como los
tres puntos pertenecen a la misma recta se tiene que:
mp1p = mp1p2
12
12
1
1
xx
yy
xx
yy
−
−
=
−
−
si multiplicamos la segunda pendiente por el denominador
de la primera pendiente se tiene:
y-y1 = )( )1
12
12
xx
xx
yy
−
−
−
Form(11) Forma dos puntos de la ecuación de una recta.
O recta apoyada en dos puntos.
Problema de aplicación: Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(3,4) y B(-2,1)
Utilizando la fórmula 11 se tiene: y-y1 = )( )1
12
12
xx
xx
yy
−
−
−
y-4 = =−
−−
−
)3(
32
41
x y-4 = )3(
5
3
−
−
−
x 5(y-4) = 3(x-3) 5y -20 = 3x -9 igualando a cero para
expresar la ecuación en forma general se tiene: -3x + 5y -11 = 0 o 3x - 5y +11 = 0
x
y
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
16

17. 3x - 5y +11 = 0
FORMA PUNTO PENDIENTE DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA:
Observando la forma dos puntos de la ecuación de una recta y-y1 = )( )1
12
12
xx
xx
yy
−
−
−
Se distingue en el primer factor del miembro de la derecha que éste corresponde a la fórmula de la
pendiente de una recta por lo que la fórmula dos puntos se puede expresar de la siguiente forma:
y - y1 = )( )1xxm − Fórmula 12 conocida como la forma punto pendiente de la ecuación de una
recta.
Problema: Determinar la ecuación de una recta que tiene como pendiente -3/5 y pasa por A(-3-7)
Según fórmula 12:
y - y1 = )( )1xxm − se tiene: y – (-7) = ])3[(
5
3
−−− x = y + 7 = )3(
5
3
+− x = 5(y + 7)= )3(3 +− x
= 5y-35 = -3x -9 de donde se tiene la ecuación general: 3x + 5y – 26 = 0
. (3,4)
* (-2,1)
x
y
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
17

18. Forma simplificada de la ecuación de una recta:(Forma pendiente y ordenada al origen)
Problema: hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(0, b) y tiene como pendiente m.
En este caso, como el punto A(0,b), b es el valor de y representa el valor donde la recta corta el eje
y’y, de ahí que recibe el nombre de: b = ordenada al origen
Utilizando fórmula 12:
y - y1 = )( )1xxm − , se tiene y - b = )0( )1−xm de donde: y = mx + b fórmula (13)
Problema: Hallar la ecuación de la recta si: b = -5 y b = -3
Como y = mx + b , y = - 5x + (-3), y = -5x -3 y forma general : 5x + y +3 = 0
3x + 5y -26 = 0
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Ordenada al origen
x
y
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
18

19. Forma simétrica de la ecuación de una recta(Intersección con los ejes)
Problema. Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(a,0) y B(0,b).
Por forma dos puntos: y-y1 = )( )1
12
12
xx
xx
yy
−
−
−
se tiene y-0 = )(
0
0
ax
a
b
−
−
−
, y = )( ax
a
b
−
−
de
donde –ay = bx –ab
Pasando variables a la izquierda: -bx –ay = -ab dividiendo por –ab
ab
ab
ab
ay
ab
bx
−
−
=
−
−
+
−
−
1=+
b
y
a
x
fórmula 14 forma simétrica de la ecuación de la rcta. Donde m = -b/a
a = abscisa al origen. b = ordenada al origen
Problema: Determinar la ecuación de la recta si a = -3 y b = 4
Por fórmula (14): 1=+
b
y
a
x
, 1
43
=+
−
yx
multiplicando por mcd (-12) 4x – 3y = -12 que en forma
general es: 4x – 3y + 12 = 0
FORMA NORMAL DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA.
Observar la siguiente gráfica:
Ordenada al origen
Abscisa al origen
.
x
y
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
A
Normal al origen N
R S
Q O
B .
x
y
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
19

20. Normal al origen: Cualquier perpendicular a una recta se conoce como normal. La perpendicular a
la recta AB que pasa por el origen es conocida como normal al origen. Esta recta tiene como
pendiente un valor reciproco y de signo contrario al valor de la pendiente de la recta AB:
P :la distancia del origen a la recta (segmento de la normal entre O y el punto de intersección con la
recta AB
Ángulo ω : es ángulo positivo que tiene como lado inicial la parte positiva de x’x (OX) y como lado
final la normal al origen.
Una recta puede trazarse si se conoce la distancia de la recta al origen (p) y el ángulo ω .
La ecuación de una recta puede expresarse en términos de su normal al origen y del ángulo que dicha
normal forma con la dirección positiva del eje de las abscisas (x´x)
Sea la recta AB de la gráfica anterior, donde
ON: Normal al origen
R: Punto de intersección de la recta con la normal al origen
P: Distancia del origen al punto de intersección de la normal con la recta (S) p = RO
ω = Angulo formado por la dirección positiva del eje x’x, lado inicial: y la normal como lado
final
Q: Proyección de R en x’x
S: Proyección de Q en la normal
En esta gráfica se comprueba que: <SOQ = <SQR = ω reducido al primer cuadrante. 180-ω
Por tener sus lados perpendiculares entre si. O paralelos.
Por construcción se tiene que: OS + SR = OR = P (1)
en el Triángulo OQS Cos ω =
OO
OS
Por despeje OS = OQ Cos ω , como OQ = x, que se tiene OS = c Cos ω (2)
En el triángulo SQR Sen ω =
QR
SR
por despeje SR = QR Sen ω , como QR = y se tiene que
SR = y Sen ω (3)
Sustituyendo en 1 con 2 y 3 se tiene que: x Cos ω + y Sen ω = p
Igualando a 0 se tiene que x Cos ω + y Sen ω - p = 0 fórmula (15) forma normal de la
ecuación de una recta
Problema: Determinar la ecuación de la recta en términos de su normal al origen, si se sabe que Tan
ω = 4/3 p = 4 y ω pertenece al tercer cuadrante.
x Cos ω + y Sen ω - p = 0 Sustituyendo 04
5
4
5
3
=−−− yx ec pedida
Como Tan ω 4/3 Cat op = 4, cat ady = 3 por Pitágoras
Hip = 5 sustituyendo estos valor en for(15)
y en el III cuadrante Sen y cos son positivos.
20

21. CAMBIO DE LA FORMA GENERAL A LA FORMA NORMAL DE LA ECUACIÓN DE UNA
RECTA.
Para expresar la ecuación de una recta en términos de su normal al origen, dada su ecuación en forma
general se considera lo siguiente:
AX + BY + C = 0 (1) Forma general
Para hacer esta transformación es necesario sustituir A; B por dos valores que representen el seno
y el coseno de ω , para ello: dividir AX + BY + C = 0 por K
X Cos ω + Y Sen ω - p = 0 (2) Forma normal o de Hesse
0
K
CBYAX
=
++
(3) división por K
de donde
ω
ω
Sen
k
B
Cos
K
A
=
=
Elevando al cuadrado estas expresiones
Cos2 ω = 2
2
K
A
y Sen2 ω = 2
2
K
B
de donde 2
22
2
K
BA
SenCos
+
=+ ωω
Como Cos2 ω + Sen ω = 1 se tiene que 12
22
=
+
K
BA
Por lo que K = 22
BA +±
La ecuación general toma la forma: 0
22
=
+±
++
BA
CBYAX
Fórmula (16)
Utilizada para transformar la forma general a la forma normal de la ec. De la recta.
Nota. El signo del radical se seleccionara según el signo de C (contrario) para obtener – p
Problema: Transformar la ecuación de la recta 3x – 4y -15 = 0
Utilizando 0
22
=
+±
++
BA
CBYAX
se tiene 0
)4(3
1543
22
=
−+
−− YX
=
−−
25
1543 YX
0
5
1543
=
−− YX
De este modo: 03
5
4
5
3
=−− yx ecuación pedida:
Analizando se tiene que: Cos ω = + Sen ω = - de donde ω es del cuarto cuadrante y P = 3
21

22. Actividades: Utilizando las diversas formas de la ecuación de una recta, según el caso resolver los
siguientes problemas:
1. la recta pasa por A(-1,-4) y m = 2/3
2. La recta pasa por B(-1/4,3/4) y m = 2/5
3. La recta pasa por A(7,-3), B(-4,1)
4. La recta pasa por A(-5,2) y B(3,-2)
5. la recta pasa por C(7,1) y D(0,4)
6. la recta pasa por A( -5, 3) m = 4
7. La recta pasa por A(-1/3, 17/2) m = ¾
8. La recta pasa por A(0, 3) m = ½
9. Hallar la ec. De la recta Si b = 5 , m = 2
10. la recta pasa por P(2,0) y m = ¾
11. la recta tiene como b = -3 y m = ½
12. la recta tiene por b = -4/3, m = -3/4
13. Transformar la ecuación 3x – 5y – 7 = 0 a la forma simplificada y decir valor de b= , m =
14. Transformar la ecuación 5x + 4y + 9 = 0 a la forma simplificada hallar b = m =
15. transformar 7x – 2y = 0 a la forma simplificada y hallar m = b =
cuarto cuadrante
3x - 4y -15 = 0
P
Normal al origen
x
y
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
22

23. 16. hallar la ecuación de la recta si a = 5 b = -6
17. Si a = 3 , b = 5 hallar la ecuación de la recta
18. transformar la ecuación 5x -3y + 12 = 0 y hallar a = b = m =
19. Transformar la ecuación 7x – 2y – 15 = 0 hallar a = b = m =
20. transformar la ecuación y = 5x/3 + 5 a la forma simétrica a = b = m =
21. Hallar m = , b = de la recta 3x+ 2y – 7 = 0
22. Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(2,-3) y es paralela a la recta 3x – 2y -7 = 0
23. Hallar la ecuación de la recta que pasa por B(-2,3) y es perpendicular a la recta 2x-3y+6=0
24. Hallar la ecuación de la recta si b = 5 y es perpendicular a la recta que pasa por A(4,-3) y
B(2/3,3/5)
25. Si la pendiente de una recta es -3/4. Encontrar la ecuación de una recta perpendicular a la
primera y que pase por B(-3,4)
26. Si una recta pasa por A(0,3) y B(4,0) hallar la ecuación de la perpendicular a ella que pase
por D(2,5)
27. transformar la ecuación 5x-3y+8=0 para determinar a = b = m =
28. Transformar la ecuación de la recta 5x – 3y + 12 = 0 para hallar m = b =
29. Comprobar si y = 3x-5 pasa por A(2,1) y por B(3,2); si 3x -2y-1=0 pasa por A(3,4) y B(5,7)
30. hallar y si x = 4 en la ecuación y = 2x -8 y decir si A(4,3/2) pertenece a la recta x+2y-1=0
31. Pasa por A(2,3) y tiene una inclinación de 135o
32. Pasa por A(-4,1) y forma con x´x un ángulo tal que α = Arc tan 5
33. Hallar la ecuación de la recta p = 2 ω = Arc Sen 5/13 ω es del primer cuadrante
34. p = 5 ω = ArcCos 24/25, ω es del cuarto cuadrante
35. escribir en forma normal y especifique los parámetros y el cuadrante.
5x + 12y = 15
20x -21y = 15
4x + 3y = 21
3x – 7y = 8
36. Obtener las ecuaciones de los lados del triángulo de vértices A(2,1), B(3,-2), C(-4,1)
23

24. 37. Del lado AC obtenga la ec. De la mediatriz
38. Obtener la mediana del lado AB
39. Obtener la altura al lado BC
40. Obtener la Bisectriz del ángulo A
1.1.5. Relación entre Rectas
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA:
Para determinar la distancia de un punto a una recta se utilizará la forma normal de la
ecuación de una recta.
Pensemos: ¿Dónde puede estar este punto respecto a la recta?
a) Al mismo lado que el origen o que p la distancia se considera negativa
b) En sentido opuesto al origen o a p la distancia se considera positiva
c) El punto está sobre la recta la distancia es 0
Fórmula normal de la ecuación de la recta: x Cos ω + y Sen ω - p = 0
Caso 1: Si el punto está entre la recta AB y el origen.
*b
+
*c 0
p
*a -
x
y
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
24

25. Primero: Trazar por p una paralela a la recta AB la ecuación de la paralela a AB es
x Cos ω + y Sen ω - (p+d) = 0
Esto mismo sucede si la recta AB está entre el origen y P1
Caso 2: Si el origen está entre la recta AB y el punto .
La ecuación es: x Cos ω 1 + y Sen ω 1 – p1 = 0
Donde p1 es positivo, ya que el sentido positivo es determinado por ω 1= ω +180o
por lo tanto:
x Cos (ω +180) + y Sen (ω +180)+(p+d)=0
puesto que p1 y p + d son de igual magnitud pero de sentidos positivos opuestos. Por lo tanto:
A d *P1
p
d
P*
B
x
y
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
A
1
P
p1
d
* P1
B
x
y
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
25

26. -x Cos (ω +180) - y Sen (ω +180)+(p+d)=0 ya que Cos(ω +180) = - Cosω y Sen(ω +180)
= -Senω lo que al multiplicar por -1 da como resultado:
x Cos ω + y Sen ω - (p+d) = 0 ecuación de la recta paralela a AB y que pasa por p1
Como la recta pasa por P1 su ecuación es satisfecha por: x = x1 , y = y1 en cada caso se tiene:
X1 Cos ω + y1 Sen ω - (p + d) = 0. despejando d en esta ecuación, se obtiene el siguiente
teorema:
Teorema: La distancia y el sentido desde la recta: x Cos ω + y Sen ω - p = 0 hasta el punto
P1(x1,y1) se obtienen con:
X1 Cos ω + y1 Sen ω - p = d. fórmula (17)
Así la distancia y el sentido desde Ax + By + C = 0 hasta P1(x1 , y1) se encuentran sustituyendo
las coordenadas de P1 en la forma normal de la ecuación, y son:
D = 22
11
BA
CByAx
+±
++
Fórmula (17 a)
Problema: determinar la distancia y el sentido desde la recta 7x + 24y -75 = 0 al P(5,-6)
D = 25
184
57649
7514435
)24(7
75)6(24)5(7
22
−
=
++
−−
=
++
−−+
Problema 2: Determinar la distancia de la recta 3x- 4y – 6 = 0 al origen P(0,0)
D =
5
6
)
5
6
(
5
6
5
6
25
6
43
6)0(4)0(3
22
=−−=−=−=
−
=
++
−−
7x + 24 y -75 = 0
P
D =
x
y
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
26

27. Como se observa la distancia de una recta al origen está dada por:
D = p
BA
lCl
=
+ 22
fórmula (18) distancia del origen a una recta
Distancia entre rectas paralelas:
1. Tomar un punto cualquiera de una recta y determinar la distancia de dicho punto a la recta.
2. Si las rectas están dadas en forma normal sus ecuaciones se diferencian en p por lo que solo se
diferenciarán por su distancia al origen siendo la distancia entre ellas l p – p’l ó l p + p’ l
3. Considerando la ordenada al origen y la pendiente: 2
21
1
'
m
bb
pp
+
−
= siendo el signo de b2
algebraico.
Notas sobre el signo de la distancia de un punto a una recta:
Existen diferentes criterios para determinar el signo de la distancia de un punto a una recta, si solo
interesa la distancia, ésta se considera en su valor absoluto (+), hay ocasiones donde se requiere
considerar el sentido como al determinar las bisectrices de un triangulo, ello se puede determinar
observando los siguientes criterios:
Toda recta que no pasa por el origen divide al plano en dos regiones, una que contiene al origen
y otra que no lo contiene y que el primer miembro de la ecuación AX + BY + C = 0 tiene el
mismo signo para las coordenadas de los puntos situados a un mismo lado de la recta Ax + By +
C = 0.
Convenio:
1. en la fórmula de la distancia d = 22
11
BA
CByAx
+±
++
el radical del denominador se considera
positivo
2. A la distancia del origen a la recta se le asigna el mismo signo que tenga “C”
3. A la distancia de los puntos que están en la misma región que el origen se les asigna el mismo
signo que tenga la distancia del origen a la recta y a la distancia de los puntos que se hallan en la
otra región de la RECTA se les asigna el signo contrario
Ejemplo: La fórmula de la distancia de P1(x1,y1) a la recta 2x - 5y – 10 = 0 es: d=
29
1052 11 −− yx
1. Signo del denominador positivo
1. la distancia del origen a la recta es negativa por ser C = -10
2. La distancia del punto A(1,2) que está en la misma región que el origen se considera
negativa. La distancia de B(2,-3) que se halla en la región que no contiene al origen se
considera positiva
27

28. D =
29
18
29
10102
29
10)2(5)1(2
−=
−−
=
−−
D = =
29
1052 11 −− yx
29
9
29
10154
=
−+
Actividades:
1. Hallar la distancia del punto A(-2,-3) a la recta 8x + 15y -24 = 0
2. hallar la distancia del punto B(-1, 7) a la recta 6x – 8y + 5 = 0
3. Hallar la distancia de la recta 6y + 18 = 5x + 10 al punto A(4,5)
4. Encontrar las bisectrices del ángulo cuyos lados son las rectas 3x + 4y = 8 y 5y + 15 = 12x
5. Obtener las rectas y puntos notables del triángulo que tiene como vértices A(6,8), B(-2,4),
C(0,-4)
6. La distancia del origen a una recta es 2 y esta distancia forma con x’x un ángulo de 45o
.
Hallar la ecuación de la recta
7. transformar la ecuación de la recta a su forma normal 4x + 3y -12 = 0
8. Calcular el valor absoluto y el sentido de la distancia del origen a las rectas.
a) 3x + 2y – 1 = 0
b) y = 3x -1
c) 4x + 8y + 3 = 0
A
D = -
D = +
B
2x – 5y – 10 = 0
x
y
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
28

29. d) y = 6x + 2
9. Calcular el valor absoluto y el sentido de la distancia del punto dado a cada una de las rectas.
a) 5x – 12y – 26 = 0 A(3,-5)
b) x + y – 3 = 0 B(4,1)
c) 4x – 3y = 15 C(4,2)
10. calcular la distancia entre cada par de rectas
a) 4x – 3y - = 0 y 4x – 3y + 6 = 0
b) 2x + 5y – 4 = 0 y 2x + 5y – 2 = 0
c) y = -3x + 6 y y = - 3x + 4
ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS
Dos rectas al cruzarse forman cuatro ángulos, siendo iguales los ángulos opuestos por el vértice
y se define como el ángulo que forman dichas rectas. Al ángulo positivo mas pequeño que tiene su
lado inicial en R1 el lado final en R2 . Este ángulo lo identificaremos con θ
Y R2 R1
θ
α 1 α 2
x’ x
Y’
Como la inclinación de R1 puede ser mayor o menor que la inclinación de R2
En el caso donde Tan α 1 > Tan α 2 se tiene que θ = α 2 -α 1
Y R2 R1
29

30. θ
R1
α 2 α 1
x’ x
Y’
En este caso se observa que la inclinación de R1 es menor que la inclinación de R2
En este caso Tan α 1 < Tan α 2 se tiene que θ = 180o
+(α 2 -α 1)
En los dos casos se tiene una diferencia de ángulos y como una suma o una diferencia de ángulos es :
Tan (A
TanATanB
TanBA
B
+
±
=±
1
tan
)
Por lo tanto Tan θ = tan (α 2 -- α 1) =
12
12
1 αα
αα
TanTan
TanTan
+
−
por lo tanto Tan θ =
12
12
1 mm
mm
+
−
for (10)
En estos problemas m1 es la pendiente del lado inicial y m2 es la pendiente del lado final, el
ángulo positivo (giro contrario alas manecillas del reloj
Actividad: hallar los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son: A(-2,1), B(3,4), C(5,-2)
3. Se recomienda graficar el problema par ubicar los ángulos
B
m =
5
3
m = -3
A
m = -
7
3
C
2. Obtener las pendientes de los lados del triángulo utilizando m =
12
12
xx
yy
−
−
mAB =
)2(3
14
−−
−
=
5
3
m BC = 3
2
6
35
42
−=
−
=
−
−−
mAC =
7
3
)2(5
12 −
=
−−
−−
3. Hallar los ángulos aplicando for (10) Tan θ =
12
12
1 mm
mm
+
−
30

31. Tan A =
13
18
)7
3
(
5
3
1
7
3
5
3
2
=
−+
−−
Arc Tan A =
13
18
< A = 54o
10’
Tan B = Tan B= 4.5 < B = 77o
28’ comprobar
E
Tan C = Tan C = 1.125 < C = 48o
22’
A + B + C = 180o
2. Dos rectas se cortan formando un ángulo de 135o
, sabiendo que la recta final tiene una pendiente de -
3 calcular la pendiente de la recta final
3 El ángulo formado por la recta que pasa por los puntos A(-4,5) y B(3,y) con la recta que pasa por
C(-2,-4) y D(9,1) es de 1352
, hallar el valor de “y”
4 Hallar el ángulo agudo del paralelogramo cuyos vértices son: A(-2,1), B(1,5), C(10,7) y D(7,3)
5 Encontrar los ángulos interiores de los siguientes triángulos
a) A(2,5), B(8,-1) , C(.2,1). b) A(-3.-2), B(2,5), C(4,2) c) A(-2,1), B(3,4), C(5,2)
d) A(1,-2), B(3,2), C(5,-4) e) A(0,-1), B(7,2), C(9,3)
1.1.6. Áreas
Área de un polígono:
En este apartado se tratará de desarrollar un procedimiento para obtener al área de un triángulo
conocidas las coordenadas de sus vértices y con ello generalizar como hallar el área de cualquier
polígono convexo, conocidos sus vértices.
y P4 P6 P1
1
P7 P2
2 3
P3 P5
X’ X
Y’
1. ¿Cómo determinarías el área del triángulo?, pensemos:
área de triángulo = área del rectángulo-(área del cuadrado + área del triángulo 1 + triangulo 2 +
triángulo 3)
Área de P1P2P3 = área P1P4P3P5-áreas(P2P6P4P7 + P1P6P2 + P2P3P7 + P1P3P5)
Considerando las fórmulas para hallar estas áreas y por distancia entre dos puntos en segmentos
verticales u horizontales, tenemos:
31

32. Área ∆ = (x1 –x3) (y1 – y3) – [ (x2 –x3) (y1 – y2) +1/2{(x2 –x3) (y2 –y3) + (x1 – x2) (y2 – y1) + (x1 – x3)
(y1 – y3)}]
Desarrolla estos productos, sumas y resta hasta obtener el área del triángulo
Área ∆ =
2
1
[(x1y2 + x2y3 + x3y1) – (x1y3 + x3y2 + x2y1)]
Esta expresión ordenada en forma rectangular (matriz) se expresa así:
A =
2
1
11
33
22
11
yx
yx
yx
yx
el desarrollo de esta matriz se puede realizar multiplicando las
diagonales principales y a la suma de estos productos restar el producto de las diagonales
secundarias, esto coincide con la expresión que se obtuvo con el desarrollo de las áreas anterior.
Actividades:
1. Obtener el área del polígono cuyos vértices son: A(3,2), B(5,4), C(-3.-4) (si el resultado
obtenido es cero los puntos están en la misma línea, los puntos son clineales.
2. A(5,-3), B(-2.-1), C(9,3)
3. A(x,-3), B(-2,-1), C(9,3) hallar x si el área es -25 u2
4. A(2,5) , B(8,-1) , C(-2,1)
5. A(-3,-2), B(2,5), C(4,2)
6. E(-2,1), F(3,4), G(5,-2)
7. Hallar el valor de x si A = 14u2
y los vértices son (3,4), (x,-5) y (-1,2)
8. Hallar el área del polígono de vértices: A(-5,2), B(-2,5), C(2,7), D(5,1), E(2,-4)
9. A(1,5), B(-2,4), C(-3,-1), D(2,-3), E (5,1)
1.2. Las cónicas como lugares geométricos
32
For(8)

33. 1.2.1 Las cónicas.
Al ser cortado un cono por un plano dichos cortes originan curvas que reciben el nombre de
cónicas, según la posición del plano respecto a la base del cono es la cónica originada:
Un corte paralelo a la base forma una circunferencia
Un corte oblicuo a la base forma una elipse
Un corte perpendicular a la base forma una parábola
Un corte perpendicular a las bases en dos conos puestos de punta forman una hipérbola
LA CIRCUNFERENCA
Las actividades hasta este momento realizadas para el desarrollo de los contenidos del
programa relacionados con los conocimientos básicos de Geometría Analítica y el desarrollo de
actividades tendientes a conocer el cómo representar la línea recta mediante una ecuación, facilita el
33

34. tratado del siguiente tema de este curso, la circunferencia, tema con el que estás familiarizado en
cuanto a sus elementos, conceptos, trazo, etc. Ahora abordarás el análisis de esta curva de forma
analítica por lo que es necesario retomar el concepto de circunferencia.
Circunferencia: es el lugar geométrico de todos los puntos equidistantes de un punto fijo
llamado centro.
La distancia de cualquier punto de la circunferencia al centro se llama radio.
Esto nos lleva a reflexionar que para trazar una circunferencia basta conocer el centro y
la medida de su radio.
Hechas estas consideraciones pensemos en la forma de obtener la ecuación de la
circunferencia, es fácil comprender que el centro de la circunferencia puede estar en el origen o fuera
del origen. Analicemos el primer caso:
Por distancia entre dos puntos determinemos la medida del radio:
R = 2222
)0()0( yxyx +=−+− si esta expresión la elevamos al cuadrado para eliminar el
radical:
2222
)( ryx =+ por lo que x2
+ y2
= R2
fórmula (19) utilizada para obtener la ecuación
de una circunferencia con centro en el origen o para conocer la medida del radio.
Problema de aplicación: Hallar la ecuación de la circunferencia con centro O(0,0) y R = 4
Según fórmula (19) x2
+ y2
= 42
de donde la ecuación es: x2
+ y2
= 16 o x2
+ y2
- 16 = 0
Ecuación de la Circunferencia con dentro fuera del origen
Forma ordinaria:
Circunferencia con centro en el origen
P(x,y)
Radio
.
O(0,0) x
y
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
34

35. Consideremos como centro el punto O’ de coordenadas, h, k O’(h,k) y un punto de la
circunferencia P(x,y).
Como: PO’ = R (1) Por definición de circunferencia
Rkyhx =−+− 22
)()( (2) Por distancia entre dos puntos
(x – h)2
+ (y – k)2
= R2
fórmula (20) (3) Elevando al cuadrado
Esta expresión (x – h)2
+ (y – k)2
= R2
representa la ecuación ordinaria de la circunferencia con
centro fuera del origen y radio R.. Esta ecuación representa la ecuación de la circunferencia con
O’(0,0), O’(h,0), (0,k)
Es fácil comprender que si el centro O’(h, 0) la ec es :(x-h)2
+y2
= R2
O’ (0, k) la ec. Es: x2
+ (y – k)2
= R2
Ejemplos:
1. La ecuación: (x-3)2
+ (y +8)2
= 25 representa una circunferencia de centro O’(3, -8) y radio 5
1. La ecuación de la circunferencia de R = 4 y centro O’(-3,-2) es:
(x +3)2
+ (y + 2)2
= 16
3. La ecuación de la circunferencia con centro O’(2, -5) y que pasa por A(-2,8) es:
Como: AO’ = R según fórmula (20) (-2- 2)2
+ (8 +5)2
= R2
de donde R2
= 185
Y según formula (20) (x – 2)2
+ (y + 5)2
= 185 forma ordinaria de la ec. Circunferencia
Como habrás observado la fórmula (20) nos sirve para determinar el radio y la ecuación de la
circunferencia. Si en esta fórmula se desarrollan las binomios se obtiene:
(x – h)2
+ (y – k)2
= R2
, x2
– 2hx + h2
+ y2
– 2ky + k2
= R2
fórmula (21)
Resultado que ordenado e igualado a 0 es:
x2
+ y2
– 2hx – 2ky + h2
+ k2
– R2
= 0 (2)
Expresión que representa la forma general de la ecuación de la circunferencia.
Como la forma general de la ecuación de segundo grado está representada por la expresión:
Ax2
+ Bxy + Cy2
+ Dx + Ey + F = 0 (1)
Comparando esta ecuación con el desarrollo realizado de la fórmula (20) se tiene que:
A = C = 1 Las variables al cuadrado tienen signos y coeficientes iguales
B = 0 en la ec de la circunferencia no existe este término (Bxy)
D = -2h valor representado por el doble de h cambiado de signo
35

36. E = -2k valor representado por el doble de k cambiado de signo
F= (h2
+ k2
– R2
) término que carece de variable y representa el resultado de la operación
Indicada
Esto conduce a afirmar que para que una ecuación de segundo grado represente una
circunferencia los coeficientes de (1) y (2) del mimo grado, deben ser proporcionales y como (2)
carece de xy, resulta B = 0
22
22211 Rkh
F
k
E
h
DCA
−+
=
−
=
−
== de estas igualdades se observa que: Una ecuación de
segundo grado representa una circunferencia si:
Condiciones:
1. Que la ecuación no tenga el término en xy
2. que los coeficiente de las variables al cuadrado sean iguales y del mismo signo
Con estas fórmulas y criterios establecidos se está en posibilidades de resolver problemas
donde se pida hallar la ecuación de la circunferencia o determinar el centro y el radio de la misma. dada
su ecuación
Ejemplos:
1. Hallar la ecuación de la circunferencia de O´(-3,4) y R = 5
Aplicando forma ordinaria: (x +3)2
+ (y – 4)2
= 25 forma ordinaria
Desarrollando y ordenando: x2
+ 6x +9 + y2
-8y+16 = 25 de donde: x2
+ y2
+ 6x – 8y = 0 forma gral.
Aplicando forma gral: D = -2(-3) = 6, E = 2(4) = 8, F =(-3)2
+42
– 52
= 9 + 16 – 25 = 25-25= 0 la ec es:
x2
+ y2
+ 6x – 8y = 0
2. Si la ecuación de una circunferencia es: x2
+ y2
– 4x – 10y – 71 = 0 determinar su centro y su
radio.
Utilizando la forma ordinaria: Se requiere cambiar la ecuación general a la forma ordinaria,
procedimiento llamado completando trinomios cuadrados perfectos. Hacer lo siguiente:
1) Agrupar términos en x y términos en y. (x2
-4x) + (y2
– 10y) = 71
2) Completar los trinomios cuadrado perfectos agregando
22
)()
2
(
s
E
y
D
en ambos miembros
(x2
-4x +4) + (y2
– 10y+25) = 71 +4 +25
3. factorizar los trinomios cuadrados perfectos
(x – 2)2
+ (y – 5)2
= 100 ecuación en forma ordinaria donde es fácil identificar O´(2,5) R = 10
36

37. Utilizando la forma general:
D = - 2h de donde -4 = - 2h y h = 2
2
4
=
−
−
E = - 2k de donde -10 = -2k y k = 5
2
10
=
−
−
por lo que O’(2,5)
F = h2
+ k2
– R2
de donde (-71) = 22
+ 52
- R2
por lo que: R2
= 71+4+25 = 100 por lo tanto R = 10
ACTIVIDADES:
1. Dados los datos requeridos o bien las condiciones necesarias para determinar los datos para
tener una circunferencia, hallar la ecuación o los elementos de la circunferencia, según se
requiera:
a) O’(0,0), pasa por (5,5)
b) O’(0,0) y es tangente a la recta 2x + 5y – 9 = 0
c) O’(2,7) pasa por B(4,-1)
d) A(-5,-4) y B(4,-1)son extremos de un diámetro
e) O’(3,2) y R = 3
f) O’(0,5) R =3
g) O’(-4,0) , R = 6
h) O’ en la intersección de las rectas 2x-3y = 5 y 5x+y = 9 , pasa por (8,3)
i) D = 8 , E = -10, R = 3
j) O’(-2/3,-1/2) R = 3
k) R = 6, tangente a los dos ejes , 4 casos.
l) X2
+ y2
= 4 O’ R =
m) (x-3)2
+ (y-2)2
= 4
n) (x+3)2
+ (y-2)2
= 25/4
o) x2
+ y2
+14x +24 = 0
p) x2
+ y2
+ 8y = 0
q) x2
+ y2
+ 6x – 2y -2 = 0
r) 4x2
+ 4y2
= 10y
37

38. s) 2x2
+2y2
+8x- 4y + 11 = 0
t) 4x2
+ 4y2
-4x -24y +33 = 0
Relación entre circunferencia y recta:
u) Determinar los puntos de intersección de la recta x – 7y = -25 con la circunferencia x2
y2
= 25
v) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por A(2,3) y B(-1.1) y su centro está en la recta
x – 3y -11 = 0 (la distancia de A y B a la recta son iguales) ambas rectas cumplen con h,k
w) Las coordenadas del centro son O’(-4,2) y es tangente a la recta 3x + 4y – 16 = 0
x) Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia x2
+ y2
= = 13 en el punto A(3,2),
(determina la pendiente de la norma al origen)
y) Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia x2
+ y2
+ 4x –
8y -5 = 0 en A(2,1),
( pendiente de O’A)
z) Hallar la ecuación de las tangentes a la circunferencia x2
+ y2
+2x + 4y +3 = 0 y pasan por el
punto A(2,-3) (de la ecuación de la circunferencia O´(2,-3), R = 2 )
1o
. determinar ecuación de familia de rectas que pasan por A(2,-3)
2o
- Por distancia del centro a la ec de la familia de rectas hallar m
3o
. determinar ecuación de las tangentes (x+y+1 = 0 , x-7y-23 = 0)
1) Hallar los puntos de intersección de la recta con la circunferencia que se indica
a) x2
+ y2
-8y - 9 = 0 con la recta: 3x + y + 11 = 0
b) x2
+ y2
– 6x – 8y +17 = 0 con la recta x + y – 3 = 0
2) hallar la ecuación de las tangentes a la circunferencia en el punto que se indica
a) x2
+ y2
= 5 en B(1,2)
b) (x + 1)2
+ y2
= 32 en A(3,4)
3) hallar la ecuación de las tangentes a las circunferencias dadas en los puntos que se indican
a) x2
+ y2
– 6y – 4x + 8 = 0 pasan por A(1,-2)
b) x2
+ y2
– 4x – 5 = 0 pasan por B(-1,3)
4) Hallar la ecuación de las tangentes a la circunferencia x2
+ y2
-4x -22 = 0 y que son paralelas< ala
recta 5x – y + 3 = ‘
5) Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en 2x – y -10 = 0 y pasa por A(1,3) y
B(5,-3)
Ecuación de la circunferencia dadas tres condiciones:
38

39. Ya se analizó que la ecuación de la circunferencia en forma general es:
Ax2
+ Ay2
* Dx + Ey + F = 0
Que en forma ordinaria la ecuación tiene la forma:
(x + h)2
+ (y – k)2
= R2
En ambas formas de la ecuación de una circunferencia se observan tres parámetros (constantes)
En la primera forma de la ecuación (general) los parámetros son: D, E, F , generalmente A = 1
En la forma ordinaria de la ecuación de la circunferencia, los parámetros son: h, k y R
Hechas estas observaciones se concluye que para determinar la ecuación de una circunferencia se
deben tener los datos necesarios que permitan conocer los tres parámetros especificados en cada forma
de la ecuación de la circunferencia. A estos datos requeridos se les puede llamar condiciones para
determina la ecuación de la circunferencia.
La forma de determinar estas condiciones es determinar analíticamente cada parámetro y una vez
conocidos los tres parámetros requeridos determinar la circunferencia, entre estos problemas se pueden
identificar:
1. Dados tres puntos por donde pasa la circunferencia
2. Dados dos puntos y una recta
3. dados dos rectas y un punto.
Es recomendable para una mejor comprensión del problema, graficar los datos proporcionados.
Ejemplo 1: Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por A(2,0), B(1,-1), C(-1,3).
Este problema puede abordarse de dos formas:
1. Determinando el circuncentro del triángulo formado con los tres vértices por donde pasa la
circunferencia; realiza este proceso gráficamente, ello te conducirá a realizar el proceso
analítico.
2. Como la circunferencia pasa por tres puntos, cada punto (x,y) sustituido en la forma general de
la ecuación de la circunferencia conduce a una ecuación de primer grado con tres variables.,
analiza este procedimiento.
Para el punto A(2,0) en la forma general se obtiene 2 2
+ 02
+ D(2) + E(0) + F = 0 de donde:
2D + F = - 4 ecuación (1)
Para B(1,-1) se tiene 12
+(-1)2
+ D(1) + E(-1) +F = 0 de donde
D – E + F = -2 ecuación (2)
39

40. Para C(-1,3) se tiene (-1)2
+ (3)2
+ D(-1) + E(3) + F = 0 de donde
-D + 3E + F = - 10 ecuación (3)
Con estas tres ecuaciones se forma un sistema de tres ecuaciones y se resuelve por el método
seleccionado por la persona que lo resuelve.
2D + F = - 4 ecuación (1)
D – E + F = -2 ecuación (2) sistema que se resolverá por reducción (suma o resta)
-D + 3E + F = - 10 ecuación (3)
Como en ecuación (1) no existe (E) en ec (2) y (3) se eliminará el parámetro E
(3)D – E + F = -2
-D + 3E + F = - 10 multiplicar la ecuación (1) por tres para eliminar E
3 D – 3 E + 3 F = -6
- D + 3 E + F = - 10 sumando estas dos ecuaciones se tiene la ecuación (4)
2 D + 4 F = - 16 dividiendo por 2
D + 2 F = -8 ec (4) con ecuación (1) y ecuación (4) formar otro sistema y resolver
2D + F = - 4 (1)
D + 2 F = -8 (4) multiplicando por (-2) la ecuación (1), para eliminar F
- 4 D – 2 F = 8
D + 2 F = - 8
- 3 D = 0 de donde D = 0
Sustituyendo este valor en ec (4) se tiene que 0 + 2 F = - 8 por lo que:
F = - 4, haciendo D = 0, F = - 4 determinar E
En ecuación (2)
0 – E + (-4) = - 2 de donde
E = - 2 de este modo hallados los parámetros la ecuación de la circunferencia que pasa por los
puntos citados es: x2
+ y2
– 2y – 4 = 0
Actividades:
1) hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por A(5,3), B(2,6), C(3,-1)
2) Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene como extremos de un diámetro A(5,-1),
B(-3,7)
3) Hallar la ecuación exinscrita al triángulo si las ecuaciones de sus lados son las rectas:
L1: 2x – 3y + 21 = 0
L2: 3x – 2y– 6 = 0
40

41. L3: 2x + 3y + 9 = 0
4) hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por A(-2,1) y sea tangente a la recta
3x- 2y – 6 = 0 en B(4,3)
5) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por A(11,2) y sea tangente a la recta
2x – y - 2 = 0 en B(3,4)
6) Los extremos de un diámetro son los puntos A(-3,5), B(7,-3)
7) Tiene como centro O’(-4,3) y es tangente al eje yy’
8) Radio = 5 y el centro en la intersección de las rectas L1: 3x – 2y -24 = 0 y L2 : 2x + 7y +
9 = 0
9) Si la ecuación de una circunferencia es (x – 3)2
+ (y + 4)2
= 36 demostrar que los puntos
A(2,-5) es interior de la circunferencia, B(-4,1) es exterior a la circunferencia y C(3,2)
está sobre la circunferencia
10) Obtener el área del círculo si la ecuación de su perímetro es 9x2
+9y2
+72x-12y+103 = 0
11) Hallar el perímetro del círculo representado por la ecuación 25x2
+ 25y2
+ 30x – 20y – 62
= 0
12) Hallar el valor de F para que la ecuación x2
+ y2
-8x + 10y + F = 0 represente una
circunferencia de radio 8
13) Hallar el centro y el radio del las circunferencias:
a) 2x2
+ 2y2
-10x + 6y – 15 = 0
b) 36x2
+ 36y2
+ 48x – 108 y + 97 = 0
c) x2
+ y2
– 8x + 6y + 29 = 0
14) ¿Cómo es el radio de a?’, ¿cómo es el radio de b? y ¿Cómo es el radio de c?
15) ¿Las tres son circunferencias o cómo interpretas esto? Obtén tus conclusiones
Parábola.
Observa la gráfica siguiente:
41

42. Notarás que en ella aparecen diversas parábolas, podrías dar ejemplos de movimientos que
describan esta trayectoria o formas de objetos o cosas:
Como se observa la parte más baja de la curva puede estar en cualquier punto del plano y la
gráfica abre hacia arriba; también la grafica pude abrir hacia abajo, hacia la derecha o hacia la izquierda
Abren hacia arriba
x
y
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Abre hacia abajo
Abre hacia la derecha x
y
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
42

43. Si como ejemplos has propuesto la trayectoria que describe un balón de futbol., la pelota de
básquetbol, etc., al ser golpeadas con cierta estrategia originan este tipo de trayectorias; a este tipo de
curvas se les llama parábolas.
La parábola se origina al cortar un cono por un plano paralelo a la superficie lateral de dicho
cono. Esta curva cumple con diversas propiedades que son aplicadas en la construcción de: radares,
aparatos de microondas, receptores, lámparas, faros para automóviles, arcos, puentes, etc.
CONCEPTO:
Parábola es el lugar geométrico formado por el conjunto de puntos que equidistan de una
recta fija llamada directriz y de un punto fijo llamado foco
Parábola
D M
Directriz Lado recto
H V * * Foco Eje focal
D’ N
vértice
En el esquema podrás localizar e identificar los elementos que integran una parábola y su
notación
DD’ : directriz
VF = HV = a = (p) parámetro
MN : lado recto (Lr)
H : Punto de intersección de la directriz y del eje de simetría estas rectas son perpendiculares.
Trazo:
1. Sobre una recta localizar los puntos H y F y el punto medio de HF que será V (vértice)
2. Con distancias, mayores que FV, marcar puntos entre HV, como S, T , U etc.
3. Apoyando el compás en “s” y distancia SF se marcan los puntos K y K’ sobre la directriz
4. Con la misma distancia SF y haciendo centro en F, K, K’ se trazan arcos que determinan los
puntos M y M’ de la curva que cumplen con la definición de parábola
5. Se procede en igual forma que en el paso 4 con el punto “U” y “T”
43

44. 6. Se unen los puntos trazados de la curva con una línea a mano alzada, dos puntos que ayudan a
determinar la trayectoria son los extremos del lado recto que es equivalente a 4p; además esta
curva pasa por el vértice (V)
Nota: si el foco está cerca de la directriz la curva es más cerrada, si está más alejado es más
abierta.
Claramente se puede observar que Hx es llamado eje de simetría porque divide a la parábola en
dos ramas iguales con puntos simétricos al eje. El foco, el vértice y H siempre están en el eje de
simetría o focal.
Actividad:
a) Trazar las siguientes parábolas:
F(3,0) DD’ : x = -3 V(0,0)
F(0,5) DD’ : y = - 5 V(0,0)
F(-3,2) DD’ : x = 5 V(1,2)
ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA:
Para determinar la ecuación de una parábola debe considerarse la posición de su vértice y el eje
de simetría, esta posición puede ser vertical, horizontal, tener su vértice en el origen o fuera de él, abrir
a la derecha, a la izquierda, hacia arriba o hacia abajo. El eje puede estar en posición inclinada. Estas
consideraciones permiten deducir que debe haber diversas formas de la ecuación de una parábola.
Primer caso: Ecuación de la parábola con vértice en el origen y abre hacia la derecha:
Datos: V(0,0), eje de simetría x’x dirección ox, F(p,0) M(x,y) punto cualquiera de la curva,
Q(-p,y) punto sobre D’D:
y Parábola
D M(x,y)
*Q(-p,y)
x´ H -p V * p * F(p,0) x
D’ N
Y’
44

45. Por definición FM = QM………………1
Por distancia 2222
)()()0()( yypxypx −++=−+− …..2
Elevando al cuadrado: (x-p)2
+ y2
= (x+p)2
Desarrollando: x2
-2px + p2
+ y2
= x2
+ 2px + p2
Pasando variable x a la derecha se tiene:
y2
= 4px ecuación pedida de la párabola con V(0,0) eje de simetría x´x dirección OX
de ello se deduce que: Fórmula (22)
y2
= -4px ecuación de la parábola con V(0,0), eje de simetría x’x dirección OX’ F (23)
x2
= 4py ecuación de la parábola con V(0,0), eje de simetría y’y, dirección OY F (24)
x2
= - 4py ecuación de la parábola con V(0,0), eje de simetría y’y, dirección OY’ F(25)
Aplicación:
Con las fórmulas anteriores obtener la ecuación de la parábola:
1) V(0,0) F(0,4)
a) Como V y F tienen la misma abscisa el eje de simetría es y’y
b) Como el foco queda arriba del vértice la curva abre hacia arriba
c) La fórmula a aplicar debe ser: x2
= 4py
d) Como p = VF = VH, y VF es vertical se tiene que p = y2- y1 = 4 – 0 = 4
e) La ecuación pedida es: x2
= 4(4)y x2
= 16 y forma ordinaria o canónica
x2
-16 y = 0 forma general
Gráfica:
2) Datos: V(0,0) F(-5,0)
Lado recto = 4p
x
y
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
45

46. a) Como V y F tienen la misma ordenada el eje de simetría es x’x
b) Como el foco queda a la izquierda del vértice la curva abre hacia la izquierda
c) La fórmula a aplicar debe ser: y2
= - 4px
d) Como p = VF = VH, y VF es vertical se tiene que p = x2 - x1 = - 5 – 0 = - 5 valor absoluto 5
e) La ecuación pedida es: y2
= -4(5)x y2
= - 20 x forma ordinaria o canónica
y2
+ 20 x = 0 forma general
Gráfica:
3) datos V(0,0) H(0,6)
a) Como V y H tienen la misma abscisa el eje de simetría es y’y
b) Como H queda arriba del vértice la curva abre hacia abajo, F está opuesto a H F(0,-6)
c) La fórmula a aplicar debe ser: x2
= - 4py
d) Como p = VF = VH, y VF es vertical se tiene que p = y2- y1 = -6 – 0 = -6 valor absoluto = 6
e) La ecuación pedida es: x2
= - 4(6)y x2
= - 24 y forma ordinaria o canónica
x2
+ 24 y = 0 forma general
Gráfica:
2. Ecuación de la parábola cuando el eje de simetría es paralelo a los ejes coordenados:
directriz
x
y
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
y
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
46

47. a) Eje de simetría paralelo a X’X
Problema: Hallar la ecuación de la parábola que tiene como Vértice (3,2), F(6,2)
Observación: Como se conoce el vértice y el foco se tiene que: VF = 6-3 = 3 de donde p = 3
Ello permite ubicar la directriz que estará 3 unidades a la izquierda de V
D M
Directriz
Q(0,y) R(x,y)
H(0, 2) V * (3,2) * F(6,2)
. . . . .
N
Por definición: QR = FR………………………(1)
Por distancia 2222
)2()6()()0( −+−=−+− yxyyx
Elevando al cuadrado: x2
= (x-6)2
+ (y-2)2
Transponiendo términos con una misma variable: (y-2)2
=x2
– (x-6)2
Desarrollando en la derecha : (y-2)2
= x2
–x2
+ 12x -36
Eliminando términos y factorizando: (y - 2)2
= 12(x - 3)
En la expresión obtenida podrás notar que los binomios: (y – 2) y (x – 3), tienen respectivamente la
ordenada y la abscisa del vértice que les llamaremos V(h , k).
El coeficiente de (x-3) es 12 que corresponde a 4(3) , p = 3 generalizando 12 = 4p de este modo si
se generaliza esta ecuación: se tiene: (y – k)2
= 4p(x – h)
(y – k)2
= 4p(x – h) Fórmula 26, ecuación de la parábola V(h,k) eje paralelo a X’X dir →
(y – k)2
= - 4p(x – h) Fórmula 27, ecuación de la parábola V(h,k) eje paralelo a X’X dir ←
(x – h )2
= 4p( y – k) fórmula 28, ecuación de la parábola V(h,k) eje paralelo a Y’Y dir ↑
(x – h )2
= - 4p( y – k) fórmula 29, ecuación de la parábola V(h,k) eje paralelo a Y’Y dir ↓
Aplicación:
Problema 1: Determinar la ecuación de la parábola cuyo vértice es V(-5,1), F(-5,6)
47

48. a) Como V y F tienen la misma abscisa el eje de simetría es paralelo a y’y
b) Como F queda arriba del vértice la curva abre hacia arriba
c) La fórmula a aplicar debe ser: (x – h )2
= 4p( y – k)
d) Como p = VF = VH, y VF es vertical se tiene que p = y2- y1 = 6 – 1 = 5
e) La ecuación pedida es: (x + 5 )2
= 4(5)( y – 1) forma ordinaria o canónica
f) Desarrollando e igualando a 0 se tiene la forma general:
x2
+ 10x + 25 = 20 y – 20
x2
+ 10x -20y + 45 = 0 forma general
Gráfica:
problema 2: Determinar la ecuación de la parábola si V(3,7) y F(3,3)
a) Como V y F tienen la misma abscisa el eje de simetría es paralelo a y’y
b) Como F queda abajo del vértice la curva abre hacia abajo
c) La fórmula a aplicar debe ser: (x – h )2
= - 4p( y – k)
d) Como p = VF = VH, y VF es vertical se tiene que p = y2- y1 = 3 – 7 = -4
e) La ecuación pedida es: (x - 3 )2
= 4(-4)( y – 7) forma ordinaria o canónica
f) Desarrollando e igualando a 0 se tiene la forma general:
x2
- 6x + 9 = -16 y +112
x2
-6 x + 16y - 103 = 0 forma general
Gráfica:
x
y
-12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
0
1
2
3
4
5
6
7
8
48

49. problema 3: Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice es V(3,4) y F(3,2), hallar la ecuación de
la directriz y la longitud del lado recto
a) Como V y F tienen la misma abscisa el eje de simetría es paralelo a y’y
b) Como F queda abajo del vértice la curva abre hacia abajo
c) La fórmula a aplicar debe ser: (x – h )2
= - 4p( y – k)
d) Como p = VF = VH, y VF es vertical se tiene que p = y2- y1 = 2 – 4 = - 2 , valor absoluto 2
e) La ecuación pedida es: (x - 3 )2
= 4(-2)( y – 4) forma ordinaria o canónica
f) Desarrollando e igualando a 0 se tiene la forma general:
x2
- 6x + 9 = - 8 y +32
x2
-6 x + 8y - 23 = 0 forma general
g) Ecuación de la directriz: como p = 2 del vértice se suben 2 unidades para determinar H(3,6) por l
que: y – 6 = 0 será la ecuación de la directriz.
h) Longitud del lado recto: Como Lr = 4p y p = 2 Lr = 4(2) = 8
Gráfica:
V
Eje de simetría
F lado recto
x
y
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0
1
2
3
4
5
6
7
Lado recto
Eje de simetría
x
y
-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
49

50. Problema: Demostrar que la ecuación 4x2
– 20x – 24y + 47 = 0 representa una parábola, hallar las
coordenadas de. V( , ), F( , ), H ( , ), ecuación de la directriz y la longitud del lado recto.
Solución: Como Ax2
+ Bxy + Cy2
+ Dx + Ey + F = 0 ec. General de segundo grado
4x2
– 20x – 24y +97 = 0
como A ≠ 0 , B = 0, E ≠ 0 la ecuación es una parábola con eje paralelo a Y’Y
pasando la ecuación a la forma ordinaria:
4x2
– 20x = 24 y -97 entre 4
x2
– 5x = 6y – 97/4 completando el trinomio cuadrado perfecto
x2
– 5x + 25/4 = 6y + 25/4 -97/4
x2
– 5x + 25/4 = 6y -72/4 factorizando
(x – 5/2)2
= 6(y -3) de donde se tienen que P = 6/4 = 3/2
V(5/2 , 3) como la parábola abre hacia arriba F(5/2, k + p), H(5/2, -p)
F(5/2, 9/2) ecuación de la directriz : Y = 3/2 o 2y -3 = 0
H(5/2, 3/2) Lr = 4(p) = 4(3/2) = 6 u
Gráfica:
Problema: hallar la ecuación de la parábola cuyo eje es paralelo a X’X, que pase por A (3/2, -1),
B(0,5), C(-6.-7)
a) la ecuación que se busca es de la forma (y-k)2
= 4p(x-h) o Cy2
+ Dx + Ey + F = 0
Cy2
+ Dx + Ey + F = 0 dividiendo por C 0
2
=
+++
C
FEyDxCy
=y2
+D’x +E’y +F’ = 0
D’ = D/C, E’ = E/C, F’ = F/C constantes que se deben de determinar.
y
-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
2
4
6
8
10
12
14
16
50

51. b) Como la ecuación debe cumplir con los puntos pertenecientes a ella, sustituir en ésta a x e y por
las coordenadas de los puntos:
1) (- 1)2
+ D’(3/2)+ E’(-1) + F’ = 0 ecuación (1) 3/2 D’ – E’ + F’ = - 1
2) (5)2
+ D’(0) +E’(5) + F’ = 0 ecuación (2) 5E’ + F’ = -25
3) (-7)2
+ D’(-6) + E’(-7) + F’ = 0 ecuación (3) -6D’ – 7E’ + F’ = -49
Con estas ecuaciones se resuelve el sistema por reducción u otro método.
3/2 D’ – E’ + F’ = - 1
5E’ + F’ = -25 Resolver este sistema y obtener D’ = 8, E’ = -2, F = -15
6D’ – 7E’ + F’ = -49
por lo que la ecuación es: y2
+ 8x – 2y – 15 = 0
Si esta ecuación se transforma a la forma ordinaria se tiene que: (y – 1)2
= -8( x – 2)
Problema: Determinar la ecuación de la parábola que tiene como V(3,2) Y F(5,3), P(x,y)
a) la ecuación de la parábola que se busca tiene su eje inclinado ya que tanto la abscisa como la
ordenada del foco y el vértice son diferentes, por lo que la distancia de FP = QF siendo Q un
punto de la directriz, esta distancia se puede determinar como la distancia del punto P a la
directriz por lo que es necesario determina la ecuación de la directriz, para ello primero
determinar las coordenadas de H, si se considera el Vértice como punto medio de HF se tiene:
3 =
2
)(5 x+
2(3) = 5+x 6-5 = x de donde X = 1
2 =
2
3 y+
de donde 4 = 3+y 4-3 = y, y = 1 por lo que H(1,1)
x
y
-100 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900
-200
-100
0
100
200
51

52. como la pendiente del eje de simetría es: m =
2
1
35
23
=
−
−
su recíproca es y de signo
contrario m = -2 la ecuación de la directriz es y – 1 = -2(x-1) de donde D’D: 2x + y -3 = 0
b) por distancia y definición de parábola se tiene que: 22
22
12
32
)3()5(
+
−+
=−+−
yx
yx
igualdad que debe de darnos la ecuación de la parábola que se está pidiendo.
Elevando al cuadrado. (x – 5)2
+ (y -3)2
=
5
)32( 2
−+ yx
5(x2
– 10x + 25) + 5(y2
– 6y +9) =
1
612494 22
yxxyyx −−+++
reduciendo e igualando a 0
se tiene: x2
– 4xy + 4y2
– 38x – 24y +161 = 0 ecuación de la parábola que contiene dos incógnitas
al cuadrado y el término rectangular (4xy)
En la forma general de la ecuación de segundo grado se tiene Ax2
+ Bxy+ Cy2
+Dx + Ey + F = 0
En la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado el discriminante es la cantidad
subradical y nos sirve para determinar a quien pertenece la ecuación de segundo grado con 2
incógnitas y cuando hay término rectangular, si el discriminante es = 0, la ecuación pertenece a una
parábola
El discriminante de la ecuación obtenida es igual = B2
- 4AC es el discriminante
42
-4(1)(4) = 165 – 16 = 0
probemos con una ecuación conocida:
y2
+ 24x-2y-23 = 0 B2
_ 4AC es 02
-4(0)(1), 0 = 0 el valor del discriminante es 0 la ecuación
pertenece a una parábola.
Gráfica:
x
y
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0 4 5 5 0 5 5 6 0
- 5
0
5
1 0
1 5
2 0
2 5
52

53. ACTIVIDADES: Una vez analizadas las diversas formas de la ecuación de una parábola estás en
posibilidades de intentar determinar la ecuación de la parábola dados los datos requeridos para ello,
resuelve los problemas que a continuación se plantean, si tienes problemas consulta el material anterior,
a tus compañeros o a tu asesor.
1. V(0,0) , F(0,4)
2. V(0,0) F(-5,0)
3. V(0,0) F(0.-4)
4. V(0,0) pasa por M(-5,-2) Dirección OX’
5. V(0,0) pasa por N(5,9) Dirección OY
6. V(0,0) Lr = 12 dirección OX
7. F(-2,0) Dirección OY’ p = 3
8. determinar V, H, F, Lado recto, ecuación de la directriz y ecuación del eje de simetría de
las siguientes parábolas:
a) x2
– 16y = 0
b) 3y2
= 8x
c) y2
= 20x
d) x2
– 14y = 0
9. determinar la ecuación de las siguientes parábolas:
a) F(3,3) V(3,7)
b) F(3,3) H(3,11)
c) V(2,1) F(0,1)
d) V(-2,3) eje paralelo yý pasa por N(4,5)
e) F(2,3) p = 4 concavidad hacia arriba
f) Pasa por A(1,1) B(2,2) C(-1,5) eje paralelo a y’y
g) Eje horizontal , pasa por A(-1,1) , B(3,4) , C(2,-2)
10) determinar V, H, F, Lado recto, ecuación de la directriz y ecuación del eje de simetría
de las siguientes parábolas.
a) (y-3)2
= 8x
b) (y + 5)2 =
3(x – 1)
c) (x + 4)2
= -6(y + 3)
d) (x + 4)2
= 3/2 (y + 1)
e) (x – 1)2
= y +5
f) y2
= 6(x + 1)
53

54. g) x2
- 3x + 8y – 5 =0
h) 2y2
+ 5x –y +1 = 0
11) Escribir las ecuaciones de las parábolas en su forma ordinaria.
a) 3y2
+ 6y + x + 3 = 0
b) -2y2
+ 4y – x – 1 = 0
c) 8x2
+ x – 3y – 5 = 0
d) 2x2
– 6x + y + 10 = 0
11. determinar lo que se te pide en cada problema
a) Determina la ecuación de la parábola cuando D’D : y = - 2x + 4 y F(3,4), considerar Q(0, b)
M(x, y), FM = QM (distancia de un punto a u na recta
b) Determinar la ecuación de la parábola V(-2,-5), F(-4,-2)
54

55. LA ELIPSE
Hasta este momento se han analizado algunas formas geométricas, entre ellas la recta, la
circunferencia y la parábola; ahora iniciaremos el estudio de otra figura formada por un conjunto de
puntos que cumplen, al igual que en las anteriores figuras, con propiedades específicas que son
diferentes a las anteriores figuras ya estudiadas. De cualquier forma la elipse es una cónica que resulta
por el corte que se hace de un cono por un plano oblicuó a la base del cono.
¿has observado esta figura? Enumera ejemplos:
Definición: Elipse es el lugar geométrico determinado por la trayectoria de un punto que se mueve de
tal manera que las sumas de las distancias del punto a dos puntos fijos llamados focos es una constante.
Esa constante se llama eje mayor.
P(x,y)
O’
F(-c,0) F(c,0)
Trazo: Para comprender este concepto y familiarizarnos con los elementos de esta curva, realicemos el
trazo, para ello seguiremos los siguientes pasos.
a. Sobre una recta determinar los puntos A y A’ que formarán el eje mayor = 2ª
b. Localizar el punto medio de A’A, que será el centro de la elipse O’
c. Localizar en A’A, F y F’ que serán los focos de le elipse, considerar que O’F =
O’F’ y O’F < O’A
d. Con distancia O’A y haciendo centro en F y F’ se marcan los puntos B y B’ ,
extremos del eje menor B’B = 2b
e. trazar entre O’F los puntos: S, T, U, etc.
f. Con distancias SA y SA’ y haciendo centro en F y F´ , trazar y cortar arcos para
determinar los puntos M, M’, N, N’, que cumplirán con la definición y por lo
tanto pertenecerán a la curva
g. repetir el proceso con los puntos T, U, etc.
h. Unir a mano alzada los puntos pasando por A y A’ para cerrar la curva
55

56. B
*P(x,y)
A’ F’ O’ F A
S T U
B’
NOMENCLATURA:
A’A y B’B: son los diámetros principales o ejes de simetría, eje mayor y eje menor respectivamente
A, A’ vértices de la elipse
A’A : es eje focal, eje mayor, se representa con 2a
B’B: es eje no focal, eje menor, se representa con 2b
F y F’ son los focos, F¨F es la distancia focal se representa con 2c
PF y PF’ se llaman radios vectores y PF + PF’ = 2 a = eje mayor
las cuerdas perpendiculares a los focos se llaman lado recto Lr = 2b2
/a
Cualquier cuerda que pase por el centro se le llama diámetro
Las curdas que pasen por el foco y no por el centro se llaman cuerdas focales
O’ : centro de simetría
La relación entre la distancia focal y el eje mayor se llama excentricidad e = c/a, si e se acerca a 1 la
curva se acerca a una recta , si e se acerca a cero la curva se aproxima la circunferencia por lo
que 0 < e < 1
Actividad: trazar las siguientes elipses:
a) A(5,0) F(4,0)
b) 2 a = 12, B(3,0), O’(0,0)
c) O’(3,2) A(3, 7) B(7, 2)
d) Con una cuerda y dos clavos traza una elipse, coloca los clavos en el lugar que ocuparán los focos,
amarra los extremos de la cuerda en los clavos, la medida de la cuerda representa el eje mayor, debe ser
mayor que la distancia focal; con un lápiz tensa la cuerda y desliza el lápiz sobre la cuerda teniéndola
siempre tensa hasta completar el trazo de la curva. Observa que en este caso, la suma de los radios
vectores que se forman al tensar la cuerda son igual al eje mayor.
Como habrás observado la elipse presenta diversas formas si se considera la posición del centro
en el plano o la posición del eje mayor, éste puede ser vertical horizontal o inclinado, el centro puede
estar en el origen o fuera del origen.
56

57. ECUACIÓN DE LA ELIPSE:
Por definición:
PF + PF’ = A’A = 2 a
Propiedad importante de la elipse:
En el triángulo BO’F que es rectángulo se tiene:
O’B = b y O’F = c son los catetos, BF = hipotenusa = a semieje mayor
Por Pitágoras: a2
= b2
+ c2
propiedad importante de la elipse porque nos da la relación entre los
semiejes y la semidistancia focal
Casos: y
x’ x eje mayor horizontal O’(0,0)
y
x’ x eje mayor vertical O’(0,0)
y’
y
eje horizontal O’(h,k)
x’ x
y’
y
eje vertical O’(h,k)
x’ x
y’
y
eje inclinado O’(h,k)
x’ x
y’
57

58. Caso 1: O’(0,0) , F(3,0) , A (5,0) centro de simetría en el origen , eje mayor en x’x
Por definición: FP + F’P = A’A …………… (1)
Por distancia entre dos puntos:
FP = 2222
)()0()( ycxycx +−=−+− ……..(2)
F’P = 2222
)()0()( ycxycx ++=−++ ………(3)
22
)( ycx +− + 22
)( ycx ++ = 2 a………………(4) sustituyendo en (1) con (2) y (3)
22
)( ycx +− = 2 a- 22
)( ycx ++ (5) despejar un radical y elevar al cuadrado
(x-c)2
+ y2
= 4 a2
– 4 a( 22
)( ycx ++ )+ (x+c)2
+y2
desarrollando
x2
-2cx +c2
+ y2
= 4 a2
-4a 22
)( ycx ++ + x2
+ 2cx + c2
+ y2
reduciendo términos semejantes
-4cx – 4 a2
= 4a 22
)( ycx ++ dividiendo entre -4
cx +a2
=a 22
)( ycx ++ elevando al cuadrado
c2
x2
+ 2cxa 2
+ a4
= a2
(x2
+ 2cx + c2
+ y2
) =
c2
x2
+2cxa 2
+ a4
= a2
x2
+2 a2
c x + a 2
c2
+ a 2
y2
) pasar variables comunes a la izquierda
c2
x2 2
-a2
x2
- a 2
y2
= a 2
c2
– a4
ordenando y factorizando y multiplicando por (-1)
a2
x2
– c2
x2
+a2
y2
= a2
(a2
- c2
)
(a2
–c2
)x2
+ a2
y2
= a2
(a2
– c2
) como: a2
– c2
= b2
b2
x2
+ a2
y2
= a2
b2
…………………….. (6) por propiedad importante
dividiendo por a2
b2
12
2
2
2
=+
b
y
a
x
forma ordinaria de la ecuación de la elipse con O’(0,0)
Has de observar que el semieje mayor al cuadrado se relaciona con x2
, si el semieje mayor se
relaciona con la variable y la posición del eje mayor será vertical y la ecuación tendrá la forma
12
2
2
2
=+
b
x
a
y
forma ordinaria de la ecuación de la elipse con O’(0,0) eje mayor vertical
Propiedad intrínseca de la elipse:
Si se baja una perpendicular de un punto cualquiera de la elipse al eje mayor se tiene que:
PQ es perpendicular A’A y P(x,y)
PQ = y , O’Q = x
PQ2
= y2
O’Q2
= x2
x’ O’ Q x
Y’
58

59. Como ya sabemos 12
2
2
2
=+
b
y
a
x
sustituyendo 1
'
2
2
2
2
=+
b
PQ
a
QO
Propiedad Intrínseca: “La distancia del centro al pie de la perpendicular bajada de un punto de la
elipse al eje mayor al cuadrado es al semieje mayor al cuadrado más la longitud de la propia
perpendicular al cuadrado es al semieje menor al cuadrado como 1”
Problemas de aplicación:
1) Hallar la ecuación de la elipse que tiene como focos (0, ),4± y un vértice en (0,6)
a) Graficar la elipse: V
F
B O’ B
F?
V’
b) la gráfica nos indica que el eje mayor es vertical por lo que se requiere utilizar la forma:
12
2
2
2
=+
b
y
a
x
por lo que se requiere conocer el valor de a y de b
como O’A = a = y2 – y1 = 6-0 = 6 a = 6
O’F = c = y2 – y1 = 4 – 0 = 4 c = 4
b2
= a2
– c2
, b2
= 62
– 42
= 36 – 16 = 20
Entonces: 1
2036
22
=+
yx
de donde 20x2
+ 36 y2
= 720 simplificando 5x2
+ 9y2
– 180 = 0 ecuación pedida
Ecuación de la elipse con centro fuera del origen y ejes de simetría paralelos a los ejes
coordenados.
Sea P(x,y), Q(x,k) O’(h,k)
B P
V’ F’ O’ Q F V
B’
Como: O’Q = x, QP = y , x = (x – h), x2
= (x – h)2
,
QP = y , y = y – k, y2
= (y – k)2
, sustituyendo estos valores en la propiedad intrínseca
59

60. 1
'
2
2
2
2
=+
b
PQ
a
QO
,
1
)()(
2
2
2
2
=
−
+
−
b
ky
a
hx
Ecuación de la elipse centro (h,k) eje mayor paralelo a x’x
1
)()(
2
2
2
2
=
−
+
−
a
ky
b
hx
Ecuación de la elipse centro en (h,k) eje mayor paralelo a y’y
Aplicación:
2) Hallar la ecuación de la elipse con focos en (4,-2) y (10, -2) y un vértice en (12, -2)
a) Graficar
B
V’ F’ O’ F V
B’
b) Como se conocen los dos focos el punto medio entre ellos es el centro de simetría de la elipse, ello lo
determinamos con el punto medio:
x = 7
2
410
2
1
=
+
=
+ xxx
y = 2
2
)2(2
2
12
−=
−+−
=
+ yy
O’(7,-2)
c) Como O’V = a = distancia horizontal a = 12-7 = 5, a = 5
d) O’F = c = distancia horizontal, c = 10-7 = 3 c = 3
e) aplicando propiedad: b2 =
a2
– c2
b2
= 52
– 32
= 25 – 9 = 16 por lo tanto b = 4
f) Como el eje mayor es horizontal la fórmula a utilizar es 1
)()(
2
2
2
2
=
−
+
−
b
ky
a
hx
por lo que:
1
4
)2(
5
)7(
2
2
2
2
=
+
+
− yx
, 1
16
)2(
25
)7( 22
=
+
+
− yx
forma ordinaria.
16(x – 7)2
+ 25(y+2)2
= 400 desarrollando esta expresión se tiene:
16 x2
– 224 x + 784 + 25 y2
+ 100 y + 100 – 400 = 0
16 x2
+ 25 y2
-224x + 100 y + 584 = 0
Aquí se puede observar que la ecuación general de la elipse presenta la forma: con centro en (h,k) y
ejes paralelos a los ejes coordenados es = Ax2
+ Cy2
+ Dx + Ey + F = 0 donde A = C pero de signos
iguales.
Actividades: Analizados los ejemplos anteriores, habrás observado que para hallar la ecuación de una
elipse es necesario determinar los parámetros, h, k , a, b si se utiliza la forma ordinaria. Teniendo en
cuenta esta observación, determinar la ecuación de las siguientes elipse, cuyos datos son:
a) O’(2,2), F(5,2) , A(6,2)
60

61. b) O’(-3,3), F(3,7) , A(-3,8)
c) A(8,2) A’(-2,2) , 2c = 8
d) F(2,3) F’(8,3), eje mayor = 10
e) F(5,1) F’(5,-3) eje menor = 16
f) B(3,5) ,, B’(3, -3) A(-2,1)
g) b = 3, lado recto = 3 eje mayor sobre y’y O’(0,0)
h) F(5,0), e = 2/3 eje mayor horizontal
i) e = 0.7 2 a = 20 O’(0,0) vertical
j) e = 4/5, O’(0,0) horizontal
k) Considerando la definición de elipse determinar la ecuación si se sabe que la suma
de las distancias de cada punto de la curva a los puntos (5,3) y (4,-2) es 6
l) La suma de las distancias de cada punto de la curva a los puntos (2,3) y (5,-1) es 7
m) El centro es el origen , el eje mayor mide 6 unidades, el lado recto mide 8/3 u y
los focos están sobre x´x
n) Hallar la ecuación de la elipse con vértices (1,-4), (1,6) y cuyo foco está sobre la
recta: x - 2y + 7 = 0
Proceso inverso: si conocemos la ecuación de una elipse podremos determinar sus elementos y
elaborar la gráfica correspondiente:
Si consideramos las condiciones para que una ecuación de segundo grado represente una elipse
de ejes paralelos a los ejes coordenados, estas condiciones son:
La ecuación general de segundo grado es: Ax2
+ Bxy + Cy2
+ Dx + Ey + F = 0 ………..(1)
1
)()(
2
2
2
2
=
−
+
−
b
ky
a
hx
Ecuación de la elipse centro (h,k) eje mayor paralelo a x’x……………(2)
1
)()(
2
2
2
2
=
−
+
−
a
ky
b
hx
Ecuación de la elipse centro en (h,k) eje mayor paralelo a y’y ………..(3)
Desarrollando 2 y 3 se tiene:
b2
x2
+ a2
y2
- 2b2
h x – 2 a2
k y + b2
h2
+ a2
k2
- a2
b2
= 0……………………………………….(4)
a2
x2
+ b2
y2
– 2 a2
h x – 2 b2
k y + a2
h2
+ b2
k2
–a2
b2
= 0………………………………………(5)
Para que la ecuación (1) pertenezca a una elipse de ejes paralelos a los ejes coordenados, sus
coeficientes y los de las ecuaciones (4) y (5) deben ser proporcionales
1. Como (4) y (5) carecen de x y, B = 0
2. Los coeficientes de A y C deben ser del mismo signo pero de diferente valor ya que A = b2
y C
= a2
o A = a2
y C = b2
y a2
= b2
+ c2
según la posición del eje mayor
61

62. Por lo tanto: para que una ecuación de la forma Ax2
+ Cy2
+ Dx + Ey + F = 0 represente una elipse de
ejes paralelos a los ejes coordenados los coeficientes A y C deben ser de diferente valor ; pero del
mismo signo..
Ejemplo: 4x2
+ 9y2
– 8x + 36y + 4 = 0, -x2
– 4y2
-2x +8y -4 = 0
Considerando estos criterios podemos determinar si la ecuación representa una elipse y una vez
identificada podremos determinar sus elementos. Para ello procederemos como en la circunferencia.
Ejemplo: dada la ecuación: 9x2
+ 16y2
-54x +64y +1 = 0 determinar los elementos de la curva:
1. Como A = 9, C= 16 A y C son positivos, B = 0, la ecuación representa una elipse.
2. Los elementos a determinar son: O’, a, b, c, V, V’, B, B’, F, F’, e, Lr, ecuación eje mayor, ecuación
eje menor y su gráfica.
3. Pasar la ecuación a la forma ordinaria:
(9x2
– 54x) + (16y2
+ 64y) = -1 agrupando términos en x y términos en y
9(x2
- 6x) + 16(y2
+ 4y) = -1 factorizando los términos agrupados
9(x2
– 6x + 9) + 16(y2
+ 4y + 4) = -1 + 81 + 64 completando trinomios cuadrados perfectos
9(x -3)2
+ 16(y + 2)2
= 144 factorizando los trinomios
1
9
)2(
16
)3( 22
=
+
+
− yx
dividiendo por 144 para igualar a 1 tenemos la forma ordinaria, en ésta
ecuación se puede observar que 16 valor de (a) se relaciona con (x –h)2
por lo que el eje mayor de esta
elipse es paralelo a x’x. Hecho este análisis se procede a determinar los elementos:
O’ (3 , -2) se consideran las cantidades conocidas de los binomios con signo diferente
a2
= 16 a = 4, b2
= 9 , b = 3, c = 22
ba − c = 22
34 − = 7916 =−
V(h + a, k), V(7,-2) V’(h-a, k), V’(-1,-2) puntos que están en una recta horizontal
B(h, k + b), B(3, 1) B’(h, k-b) B’(3, -5) puntos que están en una recta vertical
F(h + c, k) , F(3+ 7 , -2) F’(h-c, k) F’(3- 7 , -2) puntos que están en una horizontal
e = c/a e = 7 /4
Lr =
2
9
4
18
4
)3(22 22
===
a
b
Ecuación del eje mayor: y = k, y = -2 , y + 2 = 0 eje paralelo a x’x
Ecuación del eje menor: x = h, x = 3, x-3 = 0 eje paralelo a y’y
Gráfica:
62

63. Actividades: hallar los elementos de las siguientes elipses y trazar la curva:
(O’, a, b, c, V, V’, B, B’, F, F’ e, Lr., ecuación de los ejes)
1. 1
25
)2(
16
)1(
2
2
=
+
+
− yx
2. 1
16
)1(
25
)4(
2
2
=
−
+
+ yx
3. 4(x-1)2
+ (y+3)2
= 4
4. x2
+ 4y2
+ 8x -16y +28 = 0
5. 4x2
+ y2
= 4
6. 49 x2
+ 4y2
= 196
7. 1
128
22
=+
yx
8. 1
910
22
=+
yx
LA HIPERBOLA
Concepto:
x
y
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
63

64. Es el lugar geométrico de todos los puntos tales que cuya diferencia de distancias de cada
uno de ellos a dos puntos fijos llamados focos es igual a una constante (al eje focal).
La definición excluye el caso en que el punto móvil se mueve sobre la recta que pasa por los
focos a excepción del segmento comprendido entre ellos, los focos y el punto medio no pueden
pertenecer al lugar geométrico.
Trazo:
1. Sobre una recta trazar los puntos V y V’, vértices de la hipérbola
2. Determinar el punto medio de A’A, éste será O’ = centro de simetría
3. Trazar F y F’, puntos que determinarán los focos, considerando que O’F>O’A y
O’F = O’F’
4. Con distancia O’F y haciendo centro en A y A’ trazar B y B’extremos del eje imaginario
5. Trazar puntos a la derecha de F, como S ,T, R etc.
6. Con distancia SA y SA, haciendo centro en F y F’ trazar arcos para marcar los puntos
M, M’, N y N’ de la curva.
7. El paso 6 se repite con los demás puntos que se hayan marcado.
Comprueba mediante medición que: MF’ – MF = SA’- SA = A’A
NF’- NF = SA – SA’ = A’A y así se pueden verificar las diferencias de las
distancias de un punto de la curva a dos puntos fijos (focos)
Nomenclatura:
A’A : Eje real, focal o transverso = 2 a
’B : Eje imaginario, no focal o conjugado = 2b
F’F : Distancia focal = 2c
O’ . Centro de simetría
L´L : lado recto es la perpendicular a los focos llamada cuerda focal o (eje normal)
F’M y FM = radios vectores de M
H B L
M
F A’ A F S T R
J M’
B’ L’
x
y
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
64

65. HJ = cuerda
Observación: En la hipérbola 2 a >, =, < 2b, ello significa que el eje focal puede ser mayor, igual o
menor que el eje imaginario
Propiedad de la Hipérbola: relación entre ejes y distancia focal
En el triángulo BO’A Rectángulo: O’A = a cateto
O’B = b cateto
AB = c hipotenusa
Por Pitágoras se tiene que: c2
= a2
+ b2
“la semidistancia focal al cuadrado es igual al semieje focal al cuadrado
más el semieje no focal al cuadrado”
la longitud de los lados rectos está dada por la relación: Lr =
a
b2
2
A la razón entre la semidistancia focal y el semieje focal se le llama excentricidad , relación que
siempre es mayor que 1
e =
a
ba
a
c 22
+
= e > 1
Ecuación de la hipérbola como lugar geométrico
Centro (0,0), ejes sobre los ejes coordenados: Eje real sobre x’x
Sean las coordenadas de los focos de una hipérbola los puntos F’(-c, 0), F(c,0) y un punto cualquiera de
la curva P(x,y), el eje real AÄ = 2ª
Por distancia entre dos puntos y considerando la definición de la hipérbola, tenemos que:
F’P - FP = 2ª
aycxycx 2)0()()0()( 2222
=−+−−−++
aycxycx 2)0()()0()( 2222
+−+−=−++ …………despejando un radical
(x + c)2
+ y2
= (x - c)2
+ y2
+ 4a 222
4)0()( aycx +−+− ……elevando al cuadrado
x2
+2cx + c2
+ y2
= x2
– 2cx + c2
+ y2
+4a 222
4)0()( ayhx +−+− … desarrollando
4cx - 4 a2
= 4a 22
)0()( −+− yhx reduciendo términos semejantes
cx – a2
= a 22
)0()( −+− yhx ……………dividiendo por 4
c2
x2
-2 a2
cx + a4
= a2
[(x- c)2
+ y2
] ………………elevando al cuadrado
c2
x2
-2 a2
cx + a4
= a2
x2
- 2 a2
cx + a2
c2
+ a2
y2
……………desarrollando
c2
x2
- a2
x2
– a2
y2
= a2
c2
– a4
……pasando variables a la izquierda constantes a la derecha
(c2
– a2
) x2
– a2
y2
= a2
(c2
– a2
) ……….factorizando
65

66. b2
x2
– a2
y2
=a2
b2
…………sustituyendo ya que: c2
– a2
= b2
12
2
2
2
=−
b
y
a
x
………….dividiendo por a2
b2
12
2
2
2
=−
b
y
a
x
Fórmula que nos da la ecuación de la hipérbola con centro en (0,,0) eje real sobre x’x
12
2
2
2
=−
b
x
a
y
Fórmula que nos da la ecuación de la hipérbola con centro en (0,,0) eje real sobre y’y
Aplicación: Hallar la ecuación de la hipérbola con centro en (0,0), F(3,0), A(2,0)
1 Analizando los datos se tiene que: O’F = c = 3- 0 = 3
O’A = a = 2- 0 = 2
2. Por relación entre ejes y distancia focal: b2
= c2
– a2
por lo que b = 49 − = 5
Sustituyendo en la fórmula horizontal 1
52
2
2
2
=−
yx
5 x2
– 4y2
– 20 = 0 ecuación de la hipérbola forma general.
gráfica de la hipérbola 5 x2
– 4y2
– 20 = 0
Actividades: Obtener la ecuación de las hipérbolas, cuyos datos se te proporcionan
1) O’(0,0) A(0,3), F(0,5)
2) O’(0,0) 2 a = 8, e = 17 ,2 a ,sobre x’x
3) O’(0,0), 2b = 6, A(0,5)
4) F(0, c), F’(0, c) , P(x,y) punto de la curva
5) F(5,0), F’(-5,0) , 2 a = 8
Ecuación de la hipérbola con centro en (h,k), ejes paralelos a los ejes coordenados
x
y
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
66

67. PROPIEDAD INTRÏNSECA: Si se baja una perpendicular de un punto de la hipérbola al eje focal , se
tiene que:
12
2
2
2
=−
b
y
a
x
….(1) O’Q = x por lo tanto O’Q2
= x2
…(2)
PQ = y por lo tanto PQ2
= y2
…(3)
1
'
2
2
2
2
=−
b
PQ
a
QO
sustituyendo en (1) con (2 )y (3) se tiene que:
Propiedad: “La distancia del centro de simetría al pie de la perpendicular bajada de un punto P al
eje focal (Q) al cuadrado es al semieje focal al cuadrado, menos la longitud de la propia
perpendicular al cuadrado, es al semieje imaginario al cuadrado como uno”
Si se considera el O’(h, k) Q estaría en (x, k) P(x, y) entonces:
OQ2
= (x - h)2
………..(1)
PQ2
= (y – k)2
……….(2) sustituyendo en propiedad 1
)()(
2
2
2
2
=
−
−
−
b
ky
a
hx
en este resultado
tenemos la ecuación de la hipérbola con centro en (h, k) eje real paralelo a x’x
1
)()(
2
2
2
2
=
−
−
−
b
hx
a
ky
ecuación de la hipérbola con O’(h, k), eje real paralelo a y’y
Aplicación: hallar la ecuación de la hipérbola con O’(1,2), A(4,2) F(5,2).
1. Analizando los datos se tiene que: O’F = c = 5-1 = 4
P(x,y)
Q(x,0)
x
y
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
67

68. O’A = a = 4-1 = 3
2. Por relación entre ejes y distancia focal: b2
= c2
– a2
por lo que b = 916 − = 7
Sustituyendo en la fórmula horizontal 1
)()(
2
2
2
2
=
−
−
−
b
ky
a
hx
1
7
)2(
9
)1( 22
=
−
−
− yx
forma ordinaria de la ecuación
7(x – 1)2
– 9(y – k)2
= 63 multiplicando por 63
7x2
-14x + 7 – 9y2
+ 36y – 36 -63 = 0 desarrollando operaciones
7x2
– 9y2
-14x + 36y – 92 = 0 ecuación general de la hipérbola
Gráfica de la hipérbola 7x2
– 9y2
– 14x + 36y – 92 = 0
Observaciones:
1.- Hipérbolas conjugadas: Dos hipérbolas son conjugadas cuando el eje real de la primera
es el eje imaginario de la segunda y el eje imaginario de la primera es el eje real de la
segunda.
2.- Si los dos eje de una hipérbola son iguales las hipérbolas son equiláteras, en este caso su
ecuación será: x2
– y2
= a2
si O’(0,0) y el eje real está sobre x’x
3.- Por los resultados obtenidos, se observa que la ecuación de una hipérbola cuyos ejes
coinciden con los ejes coordenados o son paralelos a ellos, tiene dos variables al cuadrado,
los coeficientes de estas variables pueden ser diferentes o iguales en valor absoluto pero
siempre de diferente signo.
4.- Si O’(0,0) o O’(h,k) y el eje focal está sobre x’x el ancho focal es el doble de la
ordenada que pasa por el foco, y su valor es
a
b2
2
x
y
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
68