SlideShare una empresa de Scribd logo
1 de 5
Descargar para leer sin conexión
Movimiento Armónico Simple y Movimiento
Oscilatorio
(Sí, esta letra de título es un poco hortera, pero es la que me recordaba a algo con muchas curvas, como un M.A.S.)
En el mundo que nos rodea, hay un montón de objetos que funcionan vibrando,
oscilando. De hecho, TODO vibra, TODO oscila. No sólo los péndulos, los muelles, las
cuerdas de guitarra o de violín, no sólo los tambores o las olas del mar, las mareas, la
luz, la electricidad, el sonido, sino también los átomos alrededor de sus posiciones de
equilibrio. Aún cuando pudiéramos coger un átomo y ponerlo a 𝑇𝑇 = 10−12
K, éste
vibraría alrededor de su posición de equilibrio. Por esto es fundamental conocer y
comprender el movimiento oscilatorio.
El movimiento oscilatorio se da en sistemas en equilibrio que han sufrido una
perturbación (usualmente pequeña, en caso contrario puede aparecer una
amortiguación del movimiento u otros factores no lineales) y que se mueven alrededor
de su posición de equilibrio con una cierta amplitud y frecuencia.
El más sencillo de todos, y en el que nos vamos a centrar por ahora, es el
movimiento armónico simple (m.a.s.). Este movimiento es el que se daría al dejar oscilar
un muelle del que colgara una masa, o un péndulo, o el movimiento que haría un punto
de una cuerda que vibrase en una guitarra. Y antes de ponernos más serios, vamos a
dar algunas…
Definiciones.
Ciclo: es una oscilación completa
Posición de equilibrio (𝑥𝑥0): es la posición donde se encontraría el sistema si no fuese
perturbado.
Elongación (𝑥𝑥(𝑡𝑡)): separación de la posición de equilibrio. En el S.I. se mide en m.
Amplitud (𝐴𝐴): el máximo desplazamiento que sufre el sistema desde su posición de
equilibrio. En el S.I. se mide en m.
Periodo (𝑇𝑇): tiempo que tarda el sistema en completar un ciclo. En el S.I. se mide en s.
Frecuencia (𝑓𝑓 𝑜𝑜 𝜈𝜈): es el número de ciclos que realiza el péndulo por unidad del tiempo.
Es la inversa del periodo. En el S.I. se mide en Hz (1 𝐻𝐻𝐻𝐻 = 1 𝑠𝑠−1
).
𝑇𝑇 = 1/𝜈𝜈
Frecuencia angular (𝜔𝜔): indica el ángulo barrido en la unidad de tiempo. En el S.I. se
mide en 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑠𝑠−1
.
𝜔𝜔 = 2𝜋𝜋𝜋𝜋 = 2𝜋𝜋/𝑇𝑇
Desfase inicial (𝜙𝜙0): es la separación angular inicial de la posición de equilibrio. En el
caso del péndulo, generalmente, 𝜙𝜙0 = 0.
Estas magnitudes pueden aplicarse a diferentes sistemas, de los cuales los más
sencillos son un muelle y un péndulo.
Ecuaciones de un M.A.S. para un muelle y un péndulo.
Lo primero de todo es recalcar que todas las ecuaciones que vamos a ver sirven para
cualquier sistema que realice un m.a.s. Sólo algunas relaciones entre magnitudes
vamos a restringirlas a estos dos sistemas.
Vamos a suponer un muelle que tira de un objeto sobre una superficie horizontal sin
rozamiento.
En este caso, la fuerza con la que el muelle tira del objeto, cuando éste se desplaza
hacia un lado será contraria al desplazamiento. Es decir, la llamada Ley de Hooke:
𝐹𝐹� = −𝑘𝑘Δ𝑟𝑟⃗ (1)
Para hacer más fácil de ver el cálculo, vamos a considerar el movimiento en una
dimensión sobre el eje X, y renombrar Δ𝑥𝑥⃗ → 𝑥𝑥⃗ , (es decir, vamos a hacer 𝑥𝑥0 = 0)
quedando así como:
𝐹𝐹 = −𝑘𝑘𝑘𝑘 (2)
La segunda Ley de Newton nos dice que:
𝐹𝐹� =
𝑑𝑑2
𝑝𝑝⃗(𝑡𝑡)
𝑑𝑑𝑡𝑡2
(3)
Volviendo a poner esto en una dimensión paralela al eje X y suponiendo un sistema
donde 𝑚𝑚 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐, tenemos que:
𝐹𝐹 = 𝑚𝑚
𝑑𝑑2
𝑥𝑥(𝑡𝑡)
𝑑𝑑𝑡𝑡2
= 𝑚𝑚𝑥𝑥̈(𝑡𝑡) (4)
Igualando las ecuaciones (2) y (4) y pasando la masa del cuerpo al otro miembro
obtenemos
𝑥𝑥̈(𝑡𝑡) = −
𝑘𝑘
𝑚𝑚
𝑥𝑥(𝑡𝑡) (5)
Esta es una ecuación diferencial, donde las soluciones serán una combinación lineal de
funciones. Estas funciones deben ser de tal manera que al derivarlas dos veces
obtengamos esa misma función por una constante y un signo menos delante. Esto nos
lleva a que las soluciones deben ser del tipo:
𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝐵𝐵1 sin(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜙𝜙0) + 𝐵𝐵2 cos(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜙𝜙0
′
) (6)
O bien,
𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝐵𝐵1
′
𝑒𝑒𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖𝑖
+ 𝐵𝐵2
′
𝑒𝑒−𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖𝑖
(7)
Esta última forma es la que se suele adoptar en el estudio de las ondas
electromagnéticas, por ejemplo.
Fig. 1 Un muelle que oscile realizará un movimiento que podremos describir mediante una
función sinusoidal.
Nosotros, sin embargo, vamos a quedarnos con la ecuación (6). En esta ecuación 𝐵𝐵1 y
𝐵𝐵2 son dos parámetros desconocidos que vamos a descubrir imponiendo una serie de
condiciones iniciales. Estas condiciones van a ser:
1. Inicialmente (𝑡𝑡 = 0), el cuerpo se encuentra en su posición de equilibrio, es decir:
𝑥𝑥(0) = 0 (C1)
2. Cuando lleva un cuarto de ciclo (𝑡𝑡 = 𝑇𝑇/4), debe encontrarse en su posición de
máxima elongación, esto es:
𝑥𝑥 �
𝑇𝑇
4
� = 𝐴𝐴 (C2),
donde 𝐴𝐴 representa la amplitud de la oscilación. Imponiendo la condición C1 en la
ecuación (6) obtenemos que 𝐵𝐵2 = 0; e imponiendo la condición C2, tenemos que 𝐵𝐵1 =
𝐴𝐴. Por tanto:
𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴 sin(𝜔𝜔𝜔𝜔) (8).
El desfase inicial no se tiene en cuenta en este caso, ya que hemos dicho que el tiempo
empieza a contar en el momento en el que el objeto que realiza el M.A.S. se separa de
su posición de equilibrio y, por tanto, 𝜙𝜙0 = 0. Si esto no fuera así, simplemente se añade,
obteniendo la ecuación más general:
𝒙𝒙(𝒕𝒕) = 𝑨𝑨 𝐬𝐬𝐬𝐬 𝐬𝐬(𝝎𝝎𝝎𝝎 + 𝝓𝝓𝟎𝟎) (9).
La velocidad, y la aceleración del objeto en función del tiempo, las obtenemos derivando.
La velocidad:
𝒗𝒗(𝒕𝒕) =
𝒅𝒅𝒅𝒅
𝒅𝒅𝒅𝒅
(𝒕𝒕) = 𝒙𝒙̇ (𝒕𝒕) = 𝑨𝑨𝑨𝑨 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜(𝝎𝝎𝝎𝝎 + 𝝓𝝓𝟎𝟎) (10),
y la aceleración:
𝒂𝒂(𝒕𝒕) =
𝒅𝒅𝟐𝟐
𝒙𝒙
𝒅𝒅𝒕𝒕𝟐𝟐
(𝒕𝒕) = 𝒙𝒙̈ (𝒕𝒕) = −𝑨𝑨𝝎𝝎𝟐𝟐
𝐬𝐬𝐬𝐬 𝐬𝐬(𝝎𝝎𝝎𝝎 + 𝝓𝝓𝟎𝟎) (11)1.
1
Tanto la velocidad como la aceleración tendrán un valor máximo cuando el coseno o el seno asociado a
dichas magnitudes sea igual a ±1, respectivamente. En ese caso: 𝑣𝑣𝑚𝑚á𝑥𝑥 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 y 𝑎𝑎 𝑚𝑚á𝑥𝑥 = 𝐴𝐴𝜔𝜔2
.
Podemos obtener de estas tres ecuaciones unas expresiones subsidiarias que pueden
ser útiles (aunque no son, ni mucho menos imprescindibles) en algunos casos. Estas
ecuaciones nos van a relacionar la aceleración con la posición de la masa mediante:
𝑎𝑎(𝑡𝑡) = −𝜔𝜔2
𝑥𝑥(𝑡𝑡) (12).
Y la velocidad con la posición mediante:
𝑣𝑣(𝑡𝑡) = 𝜔𝜔�𝐴𝐴2 − 𝑥𝑥2(𝑡𝑡) (13).
Si comparamos esta Ec. (11) con la anterior Ec. (5) observamos que la frecuencia
angular, en el caso de un muelle va a venir dada por:
𝝎𝝎 = �
𝒌𝒌
𝒎𝒎
(14).
Y, por tanto, su periodo por:
𝑻𝑻 = 𝟐𝟐𝟐𝟐�
𝒎𝒎
𝒌𝒌
(15).
Es importante darse cuenta de que el periodo de las oscilaciones (en el caso descrito
en el que se cumple la Ley de Hooke) no depende de la amplitud de la oscilación, sino
únicamente de propiedades intrínsecas al sistema, como la masa que se cuelga y la
constante elástica del muelle.
Podemos hacer también un estudio análogo para un péndulo que oscile libremente una
vez apartado de su posición de equilibrio.
Como indicio de lo que habría que hacer, se puede observar el dibujo que aparece
debajo de estas líneas, donde 𝜃𝜃 ≡ 𝑥𝑥.
Fig. 2 Descomposición de fuerzas en un péndulo de longitud 𝑙𝑙 y masa 𝑚𝑚 .
En este caso, llegamos a que el periodo de dicho péndulo vendrá dado por:
𝑻𝑻 = 𝟐𝟐𝟐𝟐�
𝒍𝒍
𝒈𝒈
(16).
Idealmente, esta expresión es exacta para ángulos pequeños, en los que se pueda
hacer la aproximación sin 𝑥𝑥 ≈ 𝑥𝑥. Además, para que podamos hacer uso de estas
ecuaciones, la cuerda debe ser inextensible y, tanto en este caso como en el muelle,
la masa del cuerpo que se supone atado a cualquiera de estos dos sistemas debe ser
mucho mayor que la masa de éstos. De esta forma podemos despreciar la
contribución del peso de la cuerda (o del muelle), que harían los cálculos más
complicados.
¡Hala! ¡A hacer ejercicios! (Las soluciones las tenéis al final)
1. Un péndulo oscila con una frecuencia 𝒇𝒇 = 𝟏𝟏, 𝟎𝟎 𝐇𝐇𝐇𝐇 y amplitud 𝑨𝑨 = 𝟑𝟑, 𝟎𝟎 𝐜𝐜𝐜𝐜.
a. ¿Cuál es su longitud?
b. ¿En qué posición se moverá con velocidad máxima y cuál será ésta?
c. Si para 𝒕𝒕 = 𝟏𝟏 𝐬𝐬 se encuentra en 𝒙𝒙 = 𝟏𝟏, 𝟓𝟓 𝐜𝐜𝐜𝐜, escribe la ecuación de su
movimiento.
2. Un cuerpo de 2,0 kg de masa unido al extremo de un muelle realiza 20
oscilaciones cada segundo. Calcula:
a. La constante elástica del muelle.
b. El valor de la fuerza que actúa sobre el cuerpo cuando la elongación valga
5 cm.
3. Se coloca una bola sobre una plataforma que oscila con una amplitud de
𝟏𝟏 𝐜𝐜𝐜𝐜 a una frecuencia inicial de 𝟏𝟏 𝐇𝐇𝐇𝐇. Al incrementarse la frecuencia, la bola
empieza a perder contacto con la plataforma. ¿A qué frecuencia ocurre eso?
4. Un cuerpo que realiza un m.a.s. alcanza una velocidad máxima de 𝟏𝟏, 𝟏𝟏 m/s, y
su máxima aceleración es de 𝟐𝟐𝟐𝟐, 𝟐𝟐 𝐦𝐦/𝐬𝐬𝟐𝟐
. Calcula la amplitud y la frecuencia
de las oscilaciones.

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

Sistema críticamente amortiguado
Sistema críticamente amortiguadoSistema críticamente amortiguado
Sistema críticamente amortiguado
josemanuelaz77
 
La ecuación canónica
La ecuación  canónica La ecuación  canónica
La ecuación canónica
Juan Vega
 
Periodo del pendulo simple
Periodo del pendulo simplePeriodo del pendulo simple
Periodo del pendulo simple
mavictorayo
 
Ejercicios resueltos de fisica movimiento parabolico ii
Ejercicios resueltos de fisica movimiento parabolico iiEjercicios resueltos de fisica movimiento parabolico ii
Ejercicios resueltos de fisica movimiento parabolico ii
Nepta Camargo
 
Movimiento de proyectiles
Movimiento de proyectilesMovimiento de proyectiles
Movimiento de proyectiles
paovqzc
 

La actualidad más candente (20)

Segunda Ley de Newton - Comprobación Experimental
Segunda Ley de Newton - Comprobación ExperimentalSegunda Ley de Newton - Comprobación Experimental
Segunda Ley de Newton - Comprobación Experimental
 
Fisica lunes 14 de septiembre
Fisica lunes 14 de septiembreFisica lunes 14 de septiembre
Fisica lunes 14 de septiembre
 
ECUACIONES DIFERENCIALES CON DERIVE
ECUACIONES DIFERENCIALES CON DERIVE ECUACIONES DIFERENCIALES CON DERIVE
ECUACIONES DIFERENCIALES CON DERIVE
 
Sistema críticamente amortiguado
Sistema críticamente amortiguadoSistema críticamente amortiguado
Sistema críticamente amortiguado
 
Ejercicios mcua
Ejercicios mcuaEjercicios mcua
Ejercicios mcua
 
Ej resueltos t4_dinamica
Ej resueltos t4_dinamicaEj resueltos t4_dinamica
Ej resueltos t4_dinamica
 
4.69 t
4.69 t4.69 t
4.69 t
 
Deberes de cuerpos en equilibrio vhcr 2016
Deberes de cuerpos en equilibrio vhcr 2016Deberes de cuerpos en equilibrio vhcr 2016
Deberes de cuerpos en equilibrio vhcr 2016
 
La ecuación canónica
La ecuación  canónica La ecuación  canónica
La ecuación canónica
 
Periodo del pendulo simple
Periodo del pendulo simplePeriodo del pendulo simple
Periodo del pendulo simple
 
Vectores
VectoresVectores
Vectores
 
Ejercicios resueltos de fisica movimiento parabolico ii
Ejercicios resueltos de fisica movimiento parabolico iiEjercicios resueltos de fisica movimiento parabolico ii
Ejercicios resueltos de fisica movimiento parabolico ii
 
Aplicaciones de las leyes de newton.docx
Aplicaciones de las leyes de newton.docxAplicaciones de las leyes de newton.docx
Aplicaciones de las leyes de newton.docx
 
Caida Libre 2007
Caida Libre 2007Caida Libre 2007
Caida Libre 2007
 
Ejercicios propuestos de diagramas de cuerpo libre
Ejercicios propuestos de diagramas de cuerpo libreEjercicios propuestos de diagramas de cuerpo libre
Ejercicios propuestos de diagramas de cuerpo libre
 
Movimiento de proyectiles
Movimiento de proyectilesMovimiento de proyectiles
Movimiento de proyectiles
 
Choques elasticos e inelasticos 2
Choques elasticos e inelasticos 2Choques elasticos e inelasticos 2
Choques elasticos e inelasticos 2
 
Fuerza y equilibrio
Fuerza y equilibrioFuerza y equilibrio
Fuerza y equilibrio
 
Oscilaciones.pdf
Oscilaciones.pdfOscilaciones.pdf
Oscilaciones.pdf
 
Movimiento de proyectiles
Movimiento de proyectilesMovimiento de proyectiles
Movimiento de proyectiles
 

Similar a Dinámica del movimiento armónico simple

Explicacion teorica de Trabajo y Energía en el Movimiento:Armónico Simple; Ro...
Explicacion teorica de Trabajo y Energía en el Movimiento:Armónico Simple; Ro...Explicacion teorica de Trabajo y Energía en el Movimiento:Armónico Simple; Ro...
Explicacion teorica de Trabajo y Energía en el Movimiento:Armónico Simple; Ro...
alejandro vargas
 
Filminas dinamica del punto. Facultad de ciencias fisicas y naturales
Filminas dinamica del punto. Facultad de ciencias fisicas y naturalesFilminas dinamica del punto. Facultad de ciencias fisicas y naturales
Filminas dinamica del punto. Facultad de ciencias fisicas y naturales
joaquinmartinezzoni
 
PRESENTACION DEL Movimiento armonico simple
PRESENTACION DEL Movimiento armonico simplePRESENTACION DEL Movimiento armonico simple
PRESENTACION DEL Movimiento armonico simple
Lorena Quintero
 
Ecuaciones de equilibrio
Ecuaciones de equilibrioEcuaciones de equilibrio
Ecuaciones de equilibrio
teresa may
 
Ecuaciones de equilibrio
Ecuaciones de equilibrioEcuaciones de equilibrio
Ecuaciones de equilibrio
teresa may
 

Similar a Dinámica del movimiento armónico simple (20)

Movimiento armónico simple y movimiento oscilatorio
Movimiento armónico simple y movimiento oscilatorioMovimiento armónico simple y movimiento oscilatorio
Movimiento armónico simple y movimiento oscilatorio
 
Movimiento armónico simple y movimiento oscilatorio
Movimiento armónico simple y movimiento oscilatorioMovimiento armónico simple y movimiento oscilatorio
Movimiento armónico simple y movimiento oscilatorio
 
Movimiento ondulatorio
Movimiento ondulatorioMovimiento ondulatorio
Movimiento ondulatorio
 
Movimiento armónico simple
Movimiento armónico simpleMovimiento armónico simple
Movimiento armónico simple
 
Brigitte moreno
Brigitte morenoBrigitte moreno
Brigitte moreno
 
FISICA
FISICAFISICA
FISICA
 
Movimiento armónico simple trabajo.
Movimiento armónico simple trabajo.Movimiento armónico simple trabajo.
Movimiento armónico simple trabajo.
 
Explicacion teorica de Trabajo y Energía en el Movimiento:Armónico Simple; Ro...
Explicacion teorica de Trabajo y Energía en el Movimiento:Armónico Simple; Ro...Explicacion teorica de Trabajo y Energía en el Movimiento:Armónico Simple; Ro...
Explicacion teorica de Trabajo y Energía en el Movimiento:Armónico Simple; Ro...
 
Filminas dinamica del punto. Facultad de ciencias fisicas y naturales
Filminas dinamica del punto. Facultad de ciencias fisicas y naturalesFilminas dinamica del punto. Facultad de ciencias fisicas y naturales
Filminas dinamica del punto. Facultad de ciencias fisicas y naturales
 
Fisica Para La Vida 01.pptx
Fisica Para La Vida 01.pptxFisica Para La Vida 01.pptx
Fisica Para La Vida 01.pptx
 
FISICA 1.pdf
FISICA 1.pdfFISICA 1.pdf
FISICA 1.pdf
 
Mas
MasMas
Mas
 
PRESENTACION DEL Movimiento armonico simple
PRESENTACION DEL Movimiento armonico simplePRESENTACION DEL Movimiento armonico simple
PRESENTACION DEL Movimiento armonico simple
 
Ecuaciones de equilibrio
Ecuaciones de equilibrioEcuaciones de equilibrio
Ecuaciones de equilibrio
 
Ecuaciones de equilibrio
Ecuaciones de equilibrioEcuaciones de equilibrio
Ecuaciones de equilibrio
 
Dinamica rotacional
Dinamica rotacionalDinamica rotacional
Dinamica rotacional
 
Dinamica rotacional
Dinamica rotacionalDinamica rotacional
Dinamica rotacional
 
Dinamica rotacional
Dinamica rotacionalDinamica rotacional
Dinamica rotacional
 
Dinamica rotacional
Dinamica rotacionalDinamica rotacional
Dinamica rotacional
 
movimiento armónico simple
movimiento armónico simplemovimiento armónico simple
movimiento armónico simple
 

Más de Javier Dancausa Vicent

Más de Javier Dancausa Vicent (20)

Problemas recientes de examen de campo eléctrico
Problemas recientes de examen de campo eléctricoProblemas recientes de examen de campo eléctrico
Problemas recientes de examen de campo eléctrico
 
Examen acumulativo de matemáticas 09 2016 04-13
Examen acumulativo de matemáticas 09 2016 04-13Examen acumulativo de matemáticas 09 2016 04-13
Examen acumulativo de matemáticas 09 2016 04-13
 
Examen 04 2016 01-20 acumulativo
Examen 04 2016 01-20 acumulativoExamen 04 2016 01-20 acumulativo
Examen 04 2016 01-20 acumulativo
 
Examen modelo 1 C 04 2015 01-23
Examen modelo 1 C 04 2015 01-23Examen modelo 1 C 04 2015 01-23
Examen modelo 1 C 04 2015 01-23
 
Olimpiada Nacional de Estadística 2016 bases
Olimpiada Nacional de Estadística 2016 basesOlimpiada Nacional de Estadística 2016 bases
Olimpiada Nacional de Estadística 2016 bases
 
El estudiante suicida
El estudiante suicidaEl estudiante suicida
El estudiante suicida
 
Cinemática vectorial
Cinemática vectorialCinemática vectorial
Cinemática vectorial
 
Ejercicios de representación Gráfica de funciones
Ejercicios de representación Gráfica de funcionesEjercicios de representación Gráfica de funciones
Ejercicios de representación Gráfica de funciones
 
Gráficas de exámenes 1415
Gráficas de exámenes 1415Gráficas de exámenes 1415
Gráficas de exámenes 1415
 
Examen acumulativo Física Bachillerato
Examen acumulativo Física BachilleratoExamen acumulativo Física Bachillerato
Examen acumulativo Física Bachillerato
 
07 campos 14 15
07 campos 14 1507 campos 14 15
07 campos 14 15
 
Selección de Ejercicios de Campo eléctrico
Selección de Ejercicios de Campo eléctricoSelección de Ejercicios de Campo eléctrico
Selección de Ejercicios de Campo eléctrico
 
Examen 08 2015 03-24
Examen 08 2015 03-24Examen 08 2015 03-24
Examen 08 2015 03-24
 
Ejercicios de Trabajo y Energía
Ejercicios de Trabajo y EnergíaEjercicios de Trabajo y Energía
Ejercicios de Trabajo y Energía
 
Lanzamiento vertical
Lanzamiento verticalLanzamiento vertical
Lanzamiento vertical
 
Integrales
IntegralesIntegrales
Integrales
 
Examen 04 2014 11-26 de evaluacion
Examen 04 2014 11-26 de evaluacionExamen 04 2014 11-26 de evaluacion
Examen 04 2014 11-26 de evaluacion
 
Examen de Física
Examen de FísicaExamen de Física
Examen de Física
 
E5 -Matemáticas Sociales
E5 -Matemáticas SocialesE5 -Matemáticas Sociales
E5 -Matemáticas Sociales
 
E4 f movimiento circular
E4 f   movimiento circularE4 f   movimiento circular
E4 f movimiento circular
 

Último

Pasos para enviar una tarea en SIANET - sólo estudiantes.pdf
Pasos para enviar una tarea en SIANET - sólo estudiantes.pdfPasos para enviar una tarea en SIANET - sólo estudiantes.pdf
Pasos para enviar una tarea en SIANET - sólo estudiantes.pdf
NELLYKATTY
 
Tema 14. Aplicación de Diagramas 26-05-24.pptx
Tema 14. Aplicación de Diagramas 26-05-24.pptxTema 14. Aplicación de Diagramas 26-05-24.pptx
Tema 14. Aplicación de Diagramas 26-05-24.pptx
Noe Castillo
 

Último (20)

Cerebelo Anatomía y fisiología Clase presencial
Cerebelo Anatomía y fisiología Clase presencialCerebelo Anatomía y fisiología Clase presencial
Cerebelo Anatomía y fisiología Clase presencial
 
TERCER GRADO PROGRAMACION ANUAL CCSS 3° - 2024.docx
TERCER GRADO PROGRAMACION ANUAL CCSS 3° - 2024.docxTERCER GRADO PROGRAMACION ANUAL CCSS 3° - 2024.docx
TERCER GRADO PROGRAMACION ANUAL CCSS 3° - 2024.docx
 
📝 Semana 09 - Tema 01: Tarea - Redacción del texto argumentativo
📝 Semana 09 - Tema 01: Tarea - Redacción del texto argumentativo📝 Semana 09 - Tema 01: Tarea - Redacción del texto argumentativo
📝 Semana 09 - Tema 01: Tarea - Redacción del texto argumentativo
 
a propósito de la globalización y sus efectos
a propósito de la globalización y sus efectosa propósito de la globalización y sus efectos
a propósito de la globalización y sus efectos
 
5º PARTE 3 SOY LECTOR -MD EDUCATIVO_240418_155445 (1).pdf
5º PARTE 3 SOY LECTOR -MD EDUCATIVO_240418_155445 (1).pdf5º PARTE 3 SOY LECTOR -MD EDUCATIVO_240418_155445 (1).pdf
5º PARTE 3 SOY LECTOR -MD EDUCATIVO_240418_155445 (1).pdf
 
Sesión de clase: Luz desde el santuario.pdf
Sesión de clase: Luz desde el santuario.pdfSesión de clase: Luz desde el santuario.pdf
Sesión de clase: Luz desde el santuario.pdf
 
DESCRIPCIÓN-LOS-DILEMAS-DEL-CONOCIMIENTO.pptx
DESCRIPCIÓN-LOS-DILEMAS-DEL-CONOCIMIENTO.pptxDESCRIPCIÓN-LOS-DILEMAS-DEL-CONOCIMIENTO.pptx
DESCRIPCIÓN-LOS-DILEMAS-DEL-CONOCIMIENTO.pptx
 
IMPLICACIONES BIOÉTICAS ANTE EL TRANSHUMANISMO A PARTIR DEL PENSAMIENTO FILOS...
IMPLICACIONES BIOÉTICAS ANTE EL TRANSHUMANISMO A PARTIR DEL PENSAMIENTO FILOS...IMPLICACIONES BIOÉTICAS ANTE EL TRANSHUMANISMO A PARTIR DEL PENSAMIENTO FILOS...
IMPLICACIONES BIOÉTICAS ANTE EL TRANSHUMANISMO A PARTIR DEL PENSAMIENTO FILOS...
 
Seguridad y virus informáticos 12°B 2024
Seguridad y virus informáticos 12°B 2024Seguridad y virus informáticos 12°B 2024
Seguridad y virus informáticos 12°B 2024
 
Pasos para enviar una tarea en SIANET - sólo estudiantes.pdf
Pasos para enviar una tarea en SIANET - sólo estudiantes.pdfPasos para enviar una tarea en SIANET - sólo estudiantes.pdf
Pasos para enviar una tarea en SIANET - sólo estudiantes.pdf
 
el poder del estado en el siglo XXI.pptx
el poder del estado en el siglo XXI.pptxel poder del estado en el siglo XXI.pptx
el poder del estado en el siglo XXI.pptx
 
ENUNCIADOS CUESTIONARIO S9 GEOLOGIA Y MINERALOGIA - GENERAL.docx
ENUNCIADOS CUESTIONARIO S9 GEOLOGIA Y MINERALOGIA - GENERAL.docxENUNCIADOS CUESTIONARIO S9 GEOLOGIA Y MINERALOGIA - GENERAL.docx
ENUNCIADOS CUESTIONARIO S9 GEOLOGIA Y MINERALOGIA - GENERAL.docx
 
La historia de la vida estudiantil a 102 años de la fundación de las Normales...
La historia de la vida estudiantil a 102 años de la fundación de las Normales...La historia de la vida estudiantil a 102 años de la fundación de las Normales...
La historia de la vida estudiantil a 102 años de la fundación de las Normales...
 
Análisis de la situación actual .La Matriz de Perfil Competitivo (MPC)
Análisis de la situación actual .La Matriz de Perfil Competitivo (MPC)Análisis de la situación actual .La Matriz de Perfil Competitivo (MPC)
Análisis de la situación actual .La Matriz de Perfil Competitivo (MPC)
 
RESPONSABILIDAD SOCIAL EN LAS ORGANIZACIONES (4).pdf
RESPONSABILIDAD SOCIAL EN LAS ORGANIZACIONES (4).pdfRESPONSABILIDAD SOCIAL EN LAS ORGANIZACIONES (4).pdf
RESPONSABILIDAD SOCIAL EN LAS ORGANIZACIONES (4).pdf
 
2.15. Calendario Civico Escolar 2024.docx
2.15. Calendario Civico Escolar 2024.docx2.15. Calendario Civico Escolar 2024.docx
2.15. Calendario Civico Escolar 2024.docx
 
11.NEOLIBERALISMO: que es, ventajas, desventajas, consecuenciaspptx
11.NEOLIBERALISMO: que es, ventajas, desventajas, consecuenciaspptx11.NEOLIBERALISMO: que es, ventajas, desventajas, consecuenciaspptx
11.NEOLIBERALISMO: que es, ventajas, desventajas, consecuenciaspptx
 
PROBLEMAS DE GENÉTICA CON ÁRBOLES GENEALÓGICOS.pdf
PROBLEMAS DE GENÉTICA  CON ÁRBOLES GENEALÓGICOS.pdfPROBLEMAS DE GENÉTICA  CON ÁRBOLES GENEALÓGICOS.pdf
PROBLEMAS DE GENÉTICA CON ÁRBOLES GENEALÓGICOS.pdf
 
Tema 14. Aplicación de Diagramas 26-05-24.pptx
Tema 14. Aplicación de Diagramas 26-05-24.pptxTema 14. Aplicación de Diagramas 26-05-24.pptx
Tema 14. Aplicación de Diagramas 26-05-24.pptx
 
TRABAJO CON TRES O MAS FRACCIONES PARA NIÑOS
TRABAJO CON TRES O MAS FRACCIONES PARA NIÑOSTRABAJO CON TRES O MAS FRACCIONES PARA NIÑOS
TRABAJO CON TRES O MAS FRACCIONES PARA NIÑOS
 

Dinámica del movimiento armónico simple

  • 1. Movimiento Armónico Simple y Movimiento Oscilatorio (Sí, esta letra de título es un poco hortera, pero es la que me recordaba a algo con muchas curvas, como un M.A.S.) En el mundo que nos rodea, hay un montón de objetos que funcionan vibrando, oscilando. De hecho, TODO vibra, TODO oscila. No sólo los péndulos, los muelles, las cuerdas de guitarra o de violín, no sólo los tambores o las olas del mar, las mareas, la luz, la electricidad, el sonido, sino también los átomos alrededor de sus posiciones de equilibrio. Aún cuando pudiéramos coger un átomo y ponerlo a 𝑇𝑇 = 10−12 K, éste vibraría alrededor de su posición de equilibrio. Por esto es fundamental conocer y comprender el movimiento oscilatorio. El movimiento oscilatorio se da en sistemas en equilibrio que han sufrido una perturbación (usualmente pequeña, en caso contrario puede aparecer una amortiguación del movimiento u otros factores no lineales) y que se mueven alrededor de su posición de equilibrio con una cierta amplitud y frecuencia. El más sencillo de todos, y en el que nos vamos a centrar por ahora, es el movimiento armónico simple (m.a.s.). Este movimiento es el que se daría al dejar oscilar un muelle del que colgara una masa, o un péndulo, o el movimiento que haría un punto de una cuerda que vibrase en una guitarra. Y antes de ponernos más serios, vamos a dar algunas… Definiciones. Ciclo: es una oscilación completa Posición de equilibrio (𝑥𝑥0): es la posición donde se encontraría el sistema si no fuese perturbado. Elongación (𝑥𝑥(𝑡𝑡)): separación de la posición de equilibrio. En el S.I. se mide en m. Amplitud (𝐴𝐴): el máximo desplazamiento que sufre el sistema desde su posición de equilibrio. En el S.I. se mide en m. Periodo (𝑇𝑇): tiempo que tarda el sistema en completar un ciclo. En el S.I. se mide en s. Frecuencia (𝑓𝑓 𝑜𝑜 𝜈𝜈): es el número de ciclos que realiza el péndulo por unidad del tiempo. Es la inversa del periodo. En el S.I. se mide en Hz (1 𝐻𝐻𝐻𝐻 = 1 𝑠𝑠−1 ). 𝑇𝑇 = 1/𝜈𝜈 Frecuencia angular (𝜔𝜔): indica el ángulo barrido en la unidad de tiempo. En el S.I. se mide en 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑠𝑠−1 . 𝜔𝜔 = 2𝜋𝜋𝜋𝜋 = 2𝜋𝜋/𝑇𝑇 Desfase inicial (𝜙𝜙0): es la separación angular inicial de la posición de equilibrio. En el caso del péndulo, generalmente, 𝜙𝜙0 = 0.
  • 2. Estas magnitudes pueden aplicarse a diferentes sistemas, de los cuales los más sencillos son un muelle y un péndulo. Ecuaciones de un M.A.S. para un muelle y un péndulo. Lo primero de todo es recalcar que todas las ecuaciones que vamos a ver sirven para cualquier sistema que realice un m.a.s. Sólo algunas relaciones entre magnitudes vamos a restringirlas a estos dos sistemas. Vamos a suponer un muelle que tira de un objeto sobre una superficie horizontal sin rozamiento. En este caso, la fuerza con la que el muelle tira del objeto, cuando éste se desplaza hacia un lado será contraria al desplazamiento. Es decir, la llamada Ley de Hooke: 𝐹𝐹� = −𝑘𝑘Δ𝑟𝑟⃗ (1) Para hacer más fácil de ver el cálculo, vamos a considerar el movimiento en una dimensión sobre el eje X, y renombrar Δ𝑥𝑥⃗ → 𝑥𝑥⃗ , (es decir, vamos a hacer 𝑥𝑥0 = 0) quedando así como: 𝐹𝐹 = −𝑘𝑘𝑘𝑘 (2) La segunda Ley de Newton nos dice que: 𝐹𝐹� = 𝑑𝑑2 𝑝𝑝⃗(𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑡𝑡2 (3) Volviendo a poner esto en una dimensión paralela al eje X y suponiendo un sistema donde 𝑚𝑚 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐, tenemos que: 𝐹𝐹 = 𝑚𝑚 𝑑𝑑2 𝑥𝑥(𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑡𝑡2 = 𝑚𝑚𝑥𝑥̈(𝑡𝑡) (4) Igualando las ecuaciones (2) y (4) y pasando la masa del cuerpo al otro miembro obtenemos 𝑥𝑥̈(𝑡𝑡) = − 𝑘𝑘 𝑚𝑚 𝑥𝑥(𝑡𝑡) (5) Esta es una ecuación diferencial, donde las soluciones serán una combinación lineal de funciones. Estas funciones deben ser de tal manera que al derivarlas dos veces obtengamos esa misma función por una constante y un signo menos delante. Esto nos lleva a que las soluciones deben ser del tipo: 𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝐵𝐵1 sin(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜙𝜙0) + 𝐵𝐵2 cos(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜙𝜙0 ′ ) (6) O bien, 𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝐵𝐵1 ′ 𝑒𝑒𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖𝑖 + 𝐵𝐵2 ′ 𝑒𝑒−𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖𝑖 (7)
  • 3. Esta última forma es la que se suele adoptar en el estudio de las ondas electromagnéticas, por ejemplo. Fig. 1 Un muelle que oscile realizará un movimiento que podremos describir mediante una función sinusoidal. Nosotros, sin embargo, vamos a quedarnos con la ecuación (6). En esta ecuación 𝐵𝐵1 y 𝐵𝐵2 son dos parámetros desconocidos que vamos a descubrir imponiendo una serie de condiciones iniciales. Estas condiciones van a ser: 1. Inicialmente (𝑡𝑡 = 0), el cuerpo se encuentra en su posición de equilibrio, es decir: 𝑥𝑥(0) = 0 (C1) 2. Cuando lleva un cuarto de ciclo (𝑡𝑡 = 𝑇𝑇/4), debe encontrarse en su posición de máxima elongación, esto es: 𝑥𝑥 � 𝑇𝑇 4 � = 𝐴𝐴 (C2), donde 𝐴𝐴 representa la amplitud de la oscilación. Imponiendo la condición C1 en la ecuación (6) obtenemos que 𝐵𝐵2 = 0; e imponiendo la condición C2, tenemos que 𝐵𝐵1 = 𝐴𝐴. Por tanto: 𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴 sin(𝜔𝜔𝜔𝜔) (8). El desfase inicial no se tiene en cuenta en este caso, ya que hemos dicho que el tiempo empieza a contar en el momento en el que el objeto que realiza el M.A.S. se separa de su posición de equilibrio y, por tanto, 𝜙𝜙0 = 0. Si esto no fuera así, simplemente se añade, obteniendo la ecuación más general: 𝒙𝒙(𝒕𝒕) = 𝑨𝑨 𝐬𝐬𝐬𝐬 𝐬𝐬(𝝎𝝎𝝎𝝎 + 𝝓𝝓𝟎𝟎) (9). La velocidad, y la aceleración del objeto en función del tiempo, las obtenemos derivando. La velocidad: 𝒗𝒗(𝒕𝒕) = 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 (𝒕𝒕) = 𝒙𝒙̇ (𝒕𝒕) = 𝑨𝑨𝑨𝑨 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜(𝝎𝝎𝝎𝝎 + 𝝓𝝓𝟎𝟎) (10), y la aceleración: 𝒂𝒂(𝒕𝒕) = 𝒅𝒅𝟐𝟐 𝒙𝒙 𝒅𝒅𝒕𝒕𝟐𝟐 (𝒕𝒕) = 𝒙𝒙̈ (𝒕𝒕) = −𝑨𝑨𝝎𝝎𝟐𝟐 𝐬𝐬𝐬𝐬 𝐬𝐬(𝝎𝝎𝝎𝝎 + 𝝓𝝓𝟎𝟎) (11)1. 1 Tanto la velocidad como la aceleración tendrán un valor máximo cuando el coseno o el seno asociado a dichas magnitudes sea igual a ±1, respectivamente. En ese caso: 𝑣𝑣𝑚𝑚á𝑥𝑥 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 y 𝑎𝑎 𝑚𝑚á𝑥𝑥 = 𝐴𝐴𝜔𝜔2 .
  • 4. Podemos obtener de estas tres ecuaciones unas expresiones subsidiarias que pueden ser útiles (aunque no son, ni mucho menos imprescindibles) en algunos casos. Estas ecuaciones nos van a relacionar la aceleración con la posición de la masa mediante: 𝑎𝑎(𝑡𝑡) = −𝜔𝜔2 𝑥𝑥(𝑡𝑡) (12). Y la velocidad con la posición mediante: 𝑣𝑣(𝑡𝑡) = 𝜔𝜔�𝐴𝐴2 − 𝑥𝑥2(𝑡𝑡) (13). Si comparamos esta Ec. (11) con la anterior Ec. (5) observamos que la frecuencia angular, en el caso de un muelle va a venir dada por: 𝝎𝝎 = � 𝒌𝒌 𝒎𝒎 (14). Y, por tanto, su periodo por: 𝑻𝑻 = 𝟐𝟐𝟐𝟐� 𝒎𝒎 𝒌𝒌 (15). Es importante darse cuenta de que el periodo de las oscilaciones (en el caso descrito en el que se cumple la Ley de Hooke) no depende de la amplitud de la oscilación, sino únicamente de propiedades intrínsecas al sistema, como la masa que se cuelga y la constante elástica del muelle. Podemos hacer también un estudio análogo para un péndulo que oscile libremente una vez apartado de su posición de equilibrio. Como indicio de lo que habría que hacer, se puede observar el dibujo que aparece debajo de estas líneas, donde 𝜃𝜃 ≡ 𝑥𝑥. Fig. 2 Descomposición de fuerzas en un péndulo de longitud 𝑙𝑙 y masa 𝑚𝑚 .
  • 5. En este caso, llegamos a que el periodo de dicho péndulo vendrá dado por: 𝑻𝑻 = 𝟐𝟐𝟐𝟐� 𝒍𝒍 𝒈𝒈 (16). Idealmente, esta expresión es exacta para ángulos pequeños, en los que se pueda hacer la aproximación sin 𝑥𝑥 ≈ 𝑥𝑥. Además, para que podamos hacer uso de estas ecuaciones, la cuerda debe ser inextensible y, tanto en este caso como en el muelle, la masa del cuerpo que se supone atado a cualquiera de estos dos sistemas debe ser mucho mayor que la masa de éstos. De esta forma podemos despreciar la contribución del peso de la cuerda (o del muelle), que harían los cálculos más complicados. ¡Hala! ¡A hacer ejercicios! (Las soluciones las tenéis al final) 1. Un péndulo oscila con una frecuencia 𝒇𝒇 = 𝟏𝟏, 𝟎𝟎 𝐇𝐇𝐇𝐇 y amplitud 𝑨𝑨 = 𝟑𝟑, 𝟎𝟎 𝐜𝐜𝐜𝐜. a. ¿Cuál es su longitud? b. ¿En qué posición se moverá con velocidad máxima y cuál será ésta? c. Si para 𝒕𝒕 = 𝟏𝟏 𝐬𝐬 se encuentra en 𝒙𝒙 = 𝟏𝟏, 𝟓𝟓 𝐜𝐜𝐜𝐜, escribe la ecuación de su movimiento. 2. Un cuerpo de 2,0 kg de masa unido al extremo de un muelle realiza 20 oscilaciones cada segundo. Calcula: a. La constante elástica del muelle. b. El valor de la fuerza que actúa sobre el cuerpo cuando la elongación valga 5 cm. 3. Se coloca una bola sobre una plataforma que oscila con una amplitud de 𝟏𝟏 𝐜𝐜𝐜𝐜 a una frecuencia inicial de 𝟏𝟏 𝐇𝐇𝐇𝐇. Al incrementarse la frecuencia, la bola empieza a perder contacto con la plataforma. ¿A qué frecuencia ocurre eso? 4. Un cuerpo que realiza un m.a.s. alcanza una velocidad máxima de 𝟏𝟏, 𝟏𝟏 m/s, y su máxima aceleración es de 𝟐𝟐𝟐𝟐, 𝟐𝟐 𝐦𝐦/𝐬𝐬𝟐𝟐 . Calcula la amplitud y la frecuencia de las oscilaciones.