Este documento resume tres leyes de Newton y sus aplicaciones a la conservación de la cantidad de movimiento y la energía. Explica conceptos como la inercia, fuerzas, equilibrio y fricción, ilustrando estas ideas con ejemplos y ecuaciones. También incluye ejercicios resueltos sobre sumas vectoriales, diagramas de cuerpos libres y análisis de sistemas en equilibrio.

1. Leyes de Newton y sus aplicaciones Conservación de la cantidad de movimiento Conservación de la Energía Anthony Macedo, Yuri Milachay, Lily Arrascue

2. Conocimientos previos El vector es un ente matemático que se caracteriza por tener valor numérico (módulo) y dirección (ángulo respecto a la horizontal). Se componen (suman) de acuerdo con reglas específicas: polígono, paralelogramo.  A – módulo del vector  – dirección del vector A =longitud A a c b a b c R

3. Conocimientos previos Recordemos algo de cálculo Derivada de una constante Integral de una constante Ecuaciones de movimiento: MRUV a b R

4. La inercia ¿Qué es la inercia? La inercia es la propiedad de los cuerpos de mantenerse en estado de reposo o en m.r.u. ¿Cómo se mide la inercia? La inercia se mide a través de la magnitud denominada “ masa ”. A mayor masa, el cuerpo tendrá mayor inercia. http://www.youtube.com/watch?v=BwkUNrSCNMg Si se tira bruscamente, ¿qué cuerda se romperá primero? http://www.pulsephotonics.com/gallery/originals/Bullet%20exploding%20a%20pear.jpeg

5. Inercia de los cuerpos en movimiento La inercia de los cuerpos en movimiento depende de un factor más: la velocidad . La magnitud física que cuantifica la propiedad inercial de los cuerpos en movimiento se denomina “ cantidad de movimiento ”. Unidad: [ p ]=kg x m/s Las fuerzas se manifiestan cuando se produce un cambio en la cantidad de movimiento, y es mayor cuando el tiempo que tarda en cambiar es menor . Así, la fuerza es igual a: ¿La inercia de la bala en reposo es la misma que la de la bala en movimiento?

6. Las leyes de Newton Primera ley de Newton . En ausencia de fuerzas externas, la velocidad del cuerpo se mantiene constante. Segunda ley de Newton . La aceleración que adquiere un cuerpo es directamente proporcional a la fuerza resultante e inversamente proporcional a la masa de dicho cuerpo. Tercera ley de Newton . En toda interacción las fuerzas surgen en pares. Estas fuerzas actúan sobre cada cuerpo que participa en la interacción, son iguales en valor numérico y tienen dirección opuesta.

7. Fuerza La fuerza es una medida cuantitativa de la interacción de dos cuerpos en contacto o entre un cuerpo y su entorno. Para describir una fuerza se necesita determinar su magnitud y dirección, por ello la fuerza es una magnitud vectorial. La unidad SI de la magnitud fuerza es el newton ( N ). Si varias fuerzas actúan sobre un cuerpo , el efecto sobre su movimiento es igual al que se le da cuando una sola fuerza, igual a la suma vectorial de las fuerzas (resultante o fuerza neta), actúa sobre el cuerpo. Los vectores se pueden sumar gráficamente . Para ello, debes dibujar los vectores a escala en un papel milimetrado, de tal modo que la cola del segundo vector coincida con la punta del primero. El vector resultante se dibuja desde la cola del primer vector a la punta del último vector. En la figura, varios músculos actúan simultáneamente en el hombro para producir la fuerza total ejercida en el brazo. Tomado de Biomedical Applications of Introductory Physics,Tuszynski, J. A. 2 002 John Wiley & Sons Fuerza resultante

8. Ejercicio Estrategias Para sumar vectores analíticamente se debe: Elegir un sistema de coordenadas. Dibujar los vectores a sumar con un rótulo, desde el origen de coordenadas. Determinar las componentes x e y de todos los vectores. Determinar la suma algebraica de las componentes en las direcciones x e y . Encontrar el módulo del vector resultante utilizando el teorema de Pitágoras. Utilizar una relación trigonométrica idónea para encontrar el ángulo que el vector resultante forma con el eje + x . 1. En la figura se muestran tres fuerzas que actúan sobre un cuerpo. Obtener: (1) las componentes x, y de la fuerza neta, (2) la magnitud y (3) la dirección de la fuerza neta. Solución x y F 1 = 500 N F 2 = 200 N 53,0° F 3 = 150 N Componentes de las fuerzas Componentes de la fuerza neta Magnitud de la fuerza neta Dirección de la fuerza neta

9. Preguntas conceptuales 1. (a) Sobre un objeto actúa una sola fuerza. ¿Puede el objeto estar en reposo? ¿Puede tener aceleración? (b) La aceleración de un objeto es cero. ¿Significa esto que ninguna fuerza actúa sobre él? Respuesta . (a) Tendría aceleración por la segunda ley. (b) No, la suma de fuerzas debe ser nula . 2. Si un objeto está en reposo, ¿podemos concluir que ninguna fuerza externa actúa sobre él? Respuesta . Es imposible tener un objeto que no interaccione con otro. Si el objeto está en reposo la fuerza neta debe ser nula. 3. ¿Es posible que un objeto se mueva si ninguna fuerza actúa sobre él? Respuesta . Sí, por la primera ley. 4. Una pasajera sentada en la parte posterior de un autobús afirma que sufrió una lesión cuando el conductor frenó bruscamente y una maleta se proyectó hacia ella desde la parte delantera del vehículo. Si Usted fuera el juez en este caso, ¿cuál sería su veredicto? ¿Por qué? Respuesta . La pasajera miente, pues si el conductor frena, la maleta debió moverse hacia delante, no hacia atrás.

10. Tipos de fuerza: fuerzas mecánicas Peso Tensión Normal Elástica Fricción Flotación

11. Diagramas de cuerpo libre - Ejercicio Un diagrama de cuerpo libre ( DCL ) es un diagrama que muestra el cuerpo escogido solo, libre de su entorno, con vectores que muestran los módulos y direcciones de todas las fuerzas aplicadas sobre el cuerpo por todos los cuerpos que interactúan con él. En un DCL no se deben incluir las fuerzas que el cuerpo escogido ejerce sobre otro cuerpo. Si en un problema intervienen dos o más cuerpos, hay que descomponer el problema y dibujar un DCL para cada cuerpo. Dos cajas de madera se encuentran en contacto como se muestra en la figura. Si se aplica una fuerza a la primera caja (de masa m 1 ), dibuje el DCL de cada caja. Considere que no hay fricción entre las cajas y el suelo. Solución m 1 m 2 N 1 m 1 F R w 1 m 2 R w 2 N 2

12. Diagrama de cuerpo libre (DCL) ¿Qué fuerzas están actuando sobre el sistema mostrado? Nos referimos a las fuerzas de acción. W N W N w sen  w cos   f r

13. Equilibrio Si la suma vectorial de todas la fuerzas que actúan sobre un cuerpo es cero, el cuerpo está en equilibrio. Haga el DCL de los cuerpos mostrados en las figuras y diga cuál o cuáles están en equilibrio:

14. Ejercicio N°1 Estrategias Para analizar cuerpos en equilibrio se debe: Hacer un dibujo que represente el problema. Dibujar el DCL para cada cuerpo. Elegir un sistema de coordenadas apropiado y descomponer todas las fuerzas en sus componentes x e y . Usar la primera condición de equilibrio. Debe tener en cuenta los signos de las diversas componentes de las fuerzas. Resolver las ecuaciones simultáneas. Ejercicio Para inmovilizar una pierna enyesada se aplican las tensiones T 1 =110 N y T 2 mostradas en la figura. Si la pierna enyesada pesa w = 220 N, calcule la tensión T 2 y el ángulo  necesarios para que la pierna enyesada esté en equilibrio y no ejerza fuerza alguna sobre la articulación de la cadera. Solución En y : T 2 sen  + T 1 sen 40,0° = w En x : T 2 cos  = T 1 cos 40,0° Resolviendo las ecuaciones: tan  = ( w  T 1 sen 40,0°) / T 1 cos 40,0° De donde  = 60,6° Además T 2 = 172 N T 1 T 2 w 40,0°  T 1 cos 40,0° T 2 cos  w T 2 sen  x y T 1 sen 40,0°

15. Ejercicio N°2 En los dos extremos de una cuerda que pasa por dos poleas están colgadas dos masas iguales “ m ”. ¿A qué distancia bajará una tercera masa (del mismo valor m ) si está sujeta en el centro de la cuerda? La distancia entre los centros de las poleas es 2,00 m .  h l=1,00 m  T T mg mg T Igualando:

16. Ejercicio N°3 Estrategias Para analizar cuerpos en equilibrio se debe: Dibujar un diagrama del sistema. Dibujar el DCL para cada objeto. Elegir un sistema de coordenadas apropiado y descomponer todas las fuerzas en sus componentes x e y . Aplicar la segunda ley de Newton en las direcciones x e y para cada objeto. Tener cuidado con la dirección de la aceleración. Resolver las ecuaciones para determinar las incógnitas. Solución Para m 1 : T  m 1 g = m 1 a Para m 2 : T  m 2 g =  m 2 a Resolviendo: Además Dos masas de m 1 = 4,00 kg y m 2 = 12,0 kg están conectadas por un cordel fino que pasa sobre una polea sin fricción como en la figura. Determine ( a ) la aceleración de cada masa y ( b ) la tensión en la cuerda. 12,0 kg Copyright © 2004 Pearson Education, Inc., publishing as Addison Wesley. 4,00 kg T T m 2 g m 1 g x y a a

17. Aplicaciones de las leyes de Newton FUERZA DE FRICCIÓN Cuando un cuerpo está en movimiento ya sea sobre una superficie o a través de un medio viscoso, como el aire o el agua, existe una resistencia al movimiento por que el cuerpo interactúa con su entorno. A esta resistencia le llamamos fuerza de fricción o rozamiento . La fuerza máxima de fricción estática f s max , es proporcional a la fuerza normal que actúa sobre el objeto. Se produce la fuerza máxima cuando el objeto está a punto de deslizarse. En general Donde  s es el coeficiente de fricción estática. f s   s N f k =  k N f s = F F F F F f s max =  s N f F Fricción estática Fricción cinética F

18. Leyes de Newton: Fuerzas de fricción Fuerza de fricción Cuando un objeto se desliza sobre una superficie, la dirección de la fuerza de fricción cinética f k , es opuesta a la dirección de movimiento, y su módulo es: Donde  k es el coeficiente de fricción cinética. En general  s >  k . Coeficientes de fricción de algunas sustancias http:// es.wikipedia.org / wiki / Fricci%C3%B3n

19. Ejercicio Un cargador jala una caja de 100 kg de masa con una fuerza de 800 N mediante un cable de peso despreciable. Si la caja se desliza por una superficie rugosa cuyo coeficiente de fricción es 0,500, calcule la aceleración de la caja. Solución DCL Aplicando la segunda ley de Newton: En x : T  f = ma (1) En y : N  m g = 0 (2) Como f =  N =  m g , la ecuación (1) se puede expresar como T   m g = ma De donde Copyright © 2004 Pearson Education, Inc., publishing as Addison Wesley. T N f mg x y a

20. Conservación de la cantidad de movimiento La ley de conservación de la cantidad de movimiento señala que si sobre un sistema de partículas no actúan fuerzas externas o la suma de las fuerzas externas es nula, entonces la cantidad de movimiento total del sistema es constante. ¿En cuál de las situaciones siguientes se aplica la conservación de la cantidad de movimiento? Si sobre el cuerpo no actúa ninguna fuerza F/2 F/2 F 2F 2F Si sobre el cuerpo las fuerzas se cancelan

21. Conservación de la cantidad de movimiento ¿En qué casos se aplicaría la ley de conservación de la cantidad de movimiento? ¿Por qué? Caso A Caso B

22. Cantidad de movimiento La conservación de la cantidad de movimiento aplicada a un sistema de dos objetos que interactúan establece que, cuando la suma de las fuerzas externas sobre el sistema es nula, la cantidad de movimiento total del sistema antes del choque es igual a la cantidad de movimiento total del sistema después del choque: Un choque elástico es aquel en el cual la cantidad de movimiento se conserva pero la energía cinética no. Un choque perfectamente inelástico es aquel en el cual los objetos que chocan se mantienen juntos después del choque. Un choque elástico es aquel en el que se conserva tanto la cantidad de movimiento como la energía cinética. En los choques bidimensionales la conservación de la cantidad de movimiento se puede aplicar a lo largo de un eje x y de un eje y . Antes del choque Después del choque 2 1 2 1

23. Preguntas conceptuales 1. Analice los siguientes casos e indica en cual de ellos la cantidad de movimiento se conserva: (a) dos patinadores moviéndose sobre una superficie sin fricción, (b) dos bolas de billar aceleradas que van a colisionar y (c) un hombre caminando sobre una balsa (el agua no ejerce fricción sobre la balsa). Respuesta . En (a) y en (c). 2. Al mirar una película de Superman, usted advierte que Superman se sostiene inmóvil en el aire y arroja un piano sobre ciertos tipos malos mientras permanece estacionario en el aire. ¿Cuál es el error en esta escena? Respuesta . Por conservación de la cantidad de movimiento Superman debió moverse en dirección opuesta al piano. 3. Un objeto de masa m que se desplaza hacia la derecha con una rapidez v choca de frente en una colisión perfectamente inelástica con un objeto de masa dos veces mayor pero que se mueve con la mitad de su rapidez y en dirección opuesta. ¿Cuál es la rapidez de los objetos después del choque? Solución Sobre el sistema de los dos objetos sólo actúan el peso y la normal, entonces la cantidad de movimiento se mantiene constante: mv  2 mv/2 = 3 mv f v f = 0 2 m m Antes del choque

24. Ejercicio N°1 Un hombre y un muchacho de 80,0 kg y 35,0 kg de masa respectivamente, llevan patines en una superficie de hielo ( rozamiento nulo ). Después de empujarse mutuamente, el hombre se aleja con una velocidad de 0,300 m/s respecto al hielo. ¿A qué distancia estarán alejados al cabo de 5,00 s? Solución Ideas generales: Se aplica la conservación de la cantidad de movimiento porque la fuerza neta es cero. - hombre - muchacho

25. Ejercicio N°3 Una rana de 50,0 g de masa está en el extremo de una tabla de madera de 5,00 kg de masa y de 5,00 m de longitud. La tabla está flotando en la superficie de un lago. La rana salta con velocidad v 0 , que forma un ángulo de 30,0° con la horizontal. Calcular el valor de v 0 para el cual la rana, al saltar, llega al otro extremo de la tabla. Suponga que no hay rozamiento entre el agua y la madera. Solución A – alcance de la rana t – tiempo de vuelo de la rana m – masa de la rana M – masa de la tabla V – velocidad de la tabla Se conserva la cantidad de movimiento La distancia recorrida por la rana es: igualando (1) Reemplazando (1) en (2) (2) (3)

26. Ejercicio N°3 (Cont.) En el movimiento vertical, considerando que las posiciones final e inicial son iguales a cero. Reemplazando el tiempo de (4) en (3), se tendrá: (4)

27. Trabajo y Energía Si una fuerza provoca el desplazamiento de un cuerpo, entonces se dice que dicha fuerza ha realizado un trabajo sobre el cuerpo. Si la fuerza es tal que el trabajo depende sólo de las posiciones final e inicial, entonces se dice que la fuerza es conservativa ; por ejemplo, el peso. ¿Cuál es la expresión del trabajo realizado por el peso durante la caída de un cuerpo? Por otro lado, de la segunda ley de Newton, resulta que el trabajo del peso es igual a: y 1 y 2 +y -mg

28. Conservación de la Energía Mecánica La expresión (1) representa el trabajo que puede realizar la fuerza de gravedad debido a la posición relativa del cuerpo respecto a un nivel de referencia elegido arbitrariamente. Recibe el nombre de energía potencial . La expresión (2) representa el trabajo que puede realizar una fuerza debido al estado de movimiento del cuerpo. Recibe el nombre de energía cinética. Igualando las expresiones para el trabajo y separando los términos comunes a los lados de la igualdad producida, se llega a la ley de conservación de la energía mecánica. (1) (2)

29. Conservación de la Energía Mecánica: gravedad, elasticidad, movimiento En general, si se tienen en cuenta la gravedad y las fuerzas elásticas, la energía potencial del cuerpo es una expresión un poco más compleja que la definida para la energía potencial gravitatoria. Igualando a la expresión del trabajo relacionado con la energía cinética, se tiene:

30. Preguntas conceptuales 1. (a) Si se duplica la rapidez de una partícula, ¿cuánto cambia su energía cinética? (b) Si el trabajo neto realizado sobre una partícula es cero, ¿qué se puede afirmar acerca de su rapidez? Respuesta . (a) Aumenta a 4 K . (b) Es constante. 2. Un trabajador empuja una caja de masa m por una pendiente de longitud L , inclinado un ángulo  con respecto a la horizontal. El coeficiente de fricción cinética es  k y la caja subre aceleradamente por que el trabajador aplica una fuerza F paralela a la pendiente. Determine el trabajo efectuado por: (a) el trabajador sobre la caja, (b) la fuerza de fricción, (c) el peso y (d) la normal. Además (e) determine el trabajo neto sobre la caja. Solución Para determinar el trabajo debemos dibujar el DCL y descomponer las fuerzas. (a) W F = +FL (b) W fk =  f k L =   k N L =   k mgcos  L (c) W mg =  mgsen  L (d) W N = 0 (e) W neto = W F + W fk + W mg + W N mg cos  mgsen  N f k F x y L 

31. Ejercicios Estrategias Para aplicar el principio de conservación de la energía se debe: Definir el sistema que puede constituir más de un objeto. Elegir un nivel de referencia para el punto de energía potencial nula. Determinar si hay fuerzas no conservativas presentes. Si la energía mecánica se conserva use: Ec i + Ep i = Ec f + Ep f para despejar la incógnita. Si la energía mecánica no se conserva use: W nc = ( Ec f + Ep f )  ( Ec i + Ep i ) para despejar la incógnita. Un objeto que parte del reposo resbala por un plano inclinado sin fricción, cuya altura vertical es 17,0 cm. ¿Qué rapidez tiene al llegar abajo del plano? Solución Como no hay fuerzas de fricción la energía mecánica se conserva. K i + U i = K f + U f Pero K i = U f = 0 Entonces: Mgh = Mv f 2 /2 h v i = 0 v f Nivel de referencia

32. Ejercicios Un hombre de 75,0 kg sale por una ventana y cae (desde una posición de reposo) 1,00 m hasta una vereda. ¿Cuál es su rapidez un instante antes que sus pies toquen la vereda? Si el hombre cae con sus rodilla y sus tobillos rígidos, lo único que amortigua su caída es una deformación de aproximadamente de 5,00 mm en las plantas de sus pies. Calcule la fuerza media que el suelo ejerce sobre él en esta situación. Observe que esta fuerza media es suficiente para causar daños a los cartílagos de las articulaciones o para romper huesos. Solución (a) Sobre el hombre sólo actúa el peso y la energía mecánica se conserva: Ec i + Ep i = Ec f + Ep f Pero Ec i = Ep f = 0 Entonces v f = 4,43 m/s (b) Según el diagrama mostrado, el trabajo hecho por la fuerza media es: W =  F med d = Ec f  Ec i = 0  mv i 2 /2 De donde, F med = mv i 2 /2d = 147 000 N v i = 0 v f Nivel de referencia h v f = 0 V i = 4,43 m/s F med d

33. Tarea Ejercicios 6 – 12 pág. 69 - 70