Este documento introduce el concepto de integral definida o integral de Riemann. Explica que se construye a partir de la idea de pasar al límite una suma cuando el número de sumandos tiende a infinito y cada uno tiende a cero. Define la integral definida como el límite de las sumas de Riemann de una función en un intervalo cuando el número de puntos de las particiones tiende a infinito y la anchura máxima tiende a cero, siempre que este límite sea independiente de la elección de puntos. Presenta algunas propiedades básicas de las integrales defin
Este documento describe el método de las sumas de Riemann para calcular el área bajo una curva. Dividimos el área en rectángulos de anchura uniforme y calculamos el área de cada rectángulo usando la altura de la función en los puntos medios de cada intervalo. La suma de estas áreas de los rectángulos aproxima el área total bajo la curva a medida que aumentamos el número de subdivisiones. El Teorema Fundamental del Cálculo establece que esta aproximación converge al valor de la integral definida cuando el ancho máximo
Este documento presenta tres métodos numéricos para aproximar el valor de integrales definidas: el método de los rectángulos, el método de los trapecios y el método de Simpson. Explica las fórmulas para cada método y cómo dividir el intervalo de integración en subintervalos para mejorar la aproximación. También incluye problemas de ejemplo para aplicar los métodos y comparar sus resultados.
El documento trata sobre el Teorema Fundamental del Cálculo. 1) Proporciona un método para calcular integrales definidas sin necesidad de calcular límites de sumas de Riemann. 2) Muestra que la derivación e integración son procesos inversos. 3) Explica que si F es una primitiva continua de f, entonces F'(c)=f(c) para todo c en el intervalo.
Este documento contiene la solución a un examen final de álgebra lineal con 4 problemas. El primer problema califica varias proposiciones como verdaderas o falsas. El segundo problema determina transformaciones lineales de polinomios. El tercer problema encuentra subespacios ortogonales y proyecciones. El cuarto problema determina si una matriz es diagonalizable.
El documento presenta 6 problemas de álgebra lineal. El Problema 1 pide calificar proposiciones como verdaderas o falsas. El Problema 2 involucra determinar si vectores pertenecen al núcleo o imagen de una matriz dada. El Problema 3 pide determinar los valores reales de una variable para que un sistema tenga infinitas, única o ninguna solución. Los Problemas 4 y 5 involucran subespacios vectoriales y sus propiedades. Finalmente, el Problema 6 pide hallar la matriz de cambio de base y coord
Este capítulo trata sobre el cálculo integral. Se define la integral indefinida como la función primitiva de otra función, es decir, aquella cuya derivada es igual a la función dada. Se presentan varias integrales inmediatas y se explican métodos como la integración por cambio de variable para calcular otras integrales más complejas. Finalmente, se resuelven algunos ejemplos para ilustrar estos conceptos.
El documento explica cómo calcular el área bajo una curva usando aproximaciones de rectángulos. Primero se divide el intervalo en subintervalos y se dibujan rectángulos inscritos y circunscritos. Luego, al tomar más subintervalos, las sumas de las áreas de los rectángulos se aproximan al área real bajo la curva. Finalmente, el documento introduce la definición matemática precisa del cálculo del área bajo una curva como un límite de suma.
Este documento describe métodos de integración numérica como la regla del trapecio simple y compuesta. La regla del trapecio simple aproxima el área bajo una curva mediante un trapecio. La regla del trapecio compuesta divide el área en subintervalos y aplica la regla del trapecio en cada uno para obtener una mejor aproximación. El documento provee ejemplos para ilustrar cómo aplicar estos métodos y cómo el error se reduce al aumentar el número de subintervalos.
Este documento describe el método de las sumas de Riemann para calcular el área bajo una curva. Dividimos el área en rectángulos de anchura uniforme y calculamos el área de cada rectángulo usando la altura de la función en los puntos medios de cada intervalo. La suma de estas áreas de los rectángulos aproxima el área total bajo la curva a medida que aumentamos el número de subdivisiones. El Teorema Fundamental del Cálculo establece que esta aproximación converge al valor de la integral definida cuando el ancho máximo
Este documento presenta tres métodos numéricos para aproximar el valor de integrales definidas: el método de los rectángulos, el método de los trapecios y el método de Simpson. Explica las fórmulas para cada método y cómo dividir el intervalo de integración en subintervalos para mejorar la aproximación. También incluye problemas de ejemplo para aplicar los métodos y comparar sus resultados.
El documento trata sobre el Teorema Fundamental del Cálculo. 1) Proporciona un método para calcular integrales definidas sin necesidad de calcular límites de sumas de Riemann. 2) Muestra que la derivación e integración son procesos inversos. 3) Explica que si F es una primitiva continua de f, entonces F'(c)=f(c) para todo c en el intervalo.
Este documento contiene la solución a un examen final de álgebra lineal con 4 problemas. El primer problema califica varias proposiciones como verdaderas o falsas. El segundo problema determina transformaciones lineales de polinomios. El tercer problema encuentra subespacios ortogonales y proyecciones. El cuarto problema determina si una matriz es diagonalizable.
El documento presenta 6 problemas de álgebra lineal. El Problema 1 pide calificar proposiciones como verdaderas o falsas. El Problema 2 involucra determinar si vectores pertenecen al núcleo o imagen de una matriz dada. El Problema 3 pide determinar los valores reales de una variable para que un sistema tenga infinitas, única o ninguna solución. Los Problemas 4 y 5 involucran subespacios vectoriales y sus propiedades. Finalmente, el Problema 6 pide hallar la matriz de cambio de base y coord
Este capítulo trata sobre el cálculo integral. Se define la integral indefinida como la función primitiva de otra función, es decir, aquella cuya derivada es igual a la función dada. Se presentan varias integrales inmediatas y se explican métodos como la integración por cambio de variable para calcular otras integrales más complejas. Finalmente, se resuelven algunos ejemplos para ilustrar estos conceptos.
El documento explica cómo calcular el área bajo una curva usando aproximaciones de rectángulos. Primero se divide el intervalo en subintervalos y se dibujan rectángulos inscritos y circunscritos. Luego, al tomar más subintervalos, las sumas de las áreas de los rectángulos se aproximan al área real bajo la curva. Finalmente, el documento introduce la definición matemática precisa del cálculo del área bajo una curva como un límite de suma.
Este documento describe métodos de integración numérica como la regla del trapecio simple y compuesta. La regla del trapecio simple aproxima el área bajo una curva mediante un trapecio. La regla del trapecio compuesta divide el área en subintervalos y aplica la regla del trapecio en cada uno para obtener una mejor aproximación. El documento provee ejemplos para ilustrar cómo aplicar estos métodos y cómo el error se reduce al aumentar el número de subintervalos.
Este documento presenta varios métodos para calcular la integral definida de una función de forma aproximada. Introduce el método del punto medio y el método de los trapecios, que aproximan la función mediante funciones escalonadas o poligonales respectivamente. Explica que estos métodos tienen errores de orden h2 o superior, lo que los hace más precisos que los métodos elementales de aproximación por defecto o exceso, cuyo error es de orden h.
Este documento introduce el concepto de integrales dobles e iteradas de funciones de dos variables sobre un rectángulo. Explica cómo aproximar el volumen de un sólido dividiendo el rectángulo en subrectángulos y sumando los volúmenes de las "columnas" sobre cada subrectángulo. Define la integral doble como el límite de esta suma cuando el número de subdivisiones tiende a infinito. También presenta las integrales dobles iteradas y el Teorema de Fubini, el cual establece que el orden de integración no altera el resultado siempre que
1) El documento presenta conceptos básicos sobre funciones de varias variables como dominio, rango, derivadas parciales, gradiente, derivadas direccionales, máximos y mínimos condicionados y aplicaciones como planos tangentes.
2) Incluye ejercicios para calcular derivadas parciales, derivadas direccionales, gradientes y ecuaciones de planos tangentes de funciones.
3) También contiene problemas de optimización para encontrar máximos y mínimos de funciones sujetas a restricciones.
Este documento introduce el concepto de integral definida y describe varios métodos para calcularlas. Primero, presenta ejemplos motivadores de problemas de ciencias que involucran integrales definidas. Luego, define formalmente la integral definida y describe métodos para calcularlas exactamente mediante el uso de primitivas. Finalmente, discute métodos para aproximar numéricamente el valor de integrales definidas.
El documento trata sobre el cálculo infinitesimal, que estudia el cambio de manera similar a como la geometría estudia el espacio. Tiene amplias aplicaciones en ciencia e ingeniería para resolver problemas que el álgebra sola no puede. Incluye cálculo diferencial y cálculo integral, relacionados por el teorema fundamental del cálculo. En matemáticas avanzadas, el cálculo se denomina análisis y se define como el estudio de funciones.
El documento describe el sistema de números reales, incluyendo los axiomas de adición, multiplicación, igualdad y orden que satisfacen. Define conceptos como la sustracción y división utilizando la adición y multiplicación inversa. Explica intervalos como conjuntos de números reales y operaciones entre ellos. Finalmente, introduce ecuaciones e inecuaciones de primer y segundo grado, mostrando métodos para resolverlas.
Documento que desarrolla una fórmula inspirada en el método de coeficientes indeterminados para el cálculo de soluciones particulares de ecuaciones diferenciales lineales. De la misma manera en que se trabajan con derivadas en las ecuaciones diferenciales lineales y se asumen supuestos razonables, los sumatorios lo abordaremos de igual manera, pero aplicando el concepto de derivada sin el límite, es decir, con el principio de inducción, y plantenado supuestos razonables. Con esta fórmula se podrán calcular sumatorios para una pequeña familia de funciones cuyas identidades algebraicas tienen ciertas propiedades de linealidad.
El documento explica la relación entre la derivada y la integral. La derivada surge del concepto de pendiente tangencial, mientras que la integral surge de la necesidad de calcular áreas. La integral de una función es su antiderivada, ya que al derivar la función integral se obtiene la función original.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la integral definida. Explica que la integral definida es el límite de una suma de Riemann y que representa el área bajo la curva de una función. También introduce el Teorema Fundamental del Cálculo, que establece la relación entre la derivación e integración, y el Teorema de Integrabilidad, que determina si una función es integrable.
Este documento trata sobre el cálculo integral definido y el área bajo la curva. Explica la notación de suma, cómo aproximar el área bajo la curva mediante sumas de Riemann, la definición formal de la integral definida y algunas de sus propiedades como la linealidad. Finalmente, presenta ejemplos resueltos de cálculo de áreas y demostraciones de propiedades de la integral definida.
El documento describe diferentes métodos para calcular la integral definida numéricamente, como la fórmula de los trapecios, la regla de Simpson, el método de Romberg, y la cuadratura de Gauss. Explica los algoritmos para aplicar estos métodos y calcular la integral aproximada de una función en un intervalo dado.
Este documento presenta el Teorema Fundamental del Cálculo. Define el valor promedio de una función en un intervalo usando integrales definidas. Enuncia el TFC y cómo puede usarse para calcular integrales definidas cuando se conoce una antiderivada. Incluye ejemplos resueltos de aplicar el TFC y la regla del trapecio para aproximar integrales.
Aplicaciones de los máximos y mínimos en la ingenieria electromecanicaDiego Ruiz
El documento describe cómo un ingeniero encontró las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede inscribirse en una placa circular de 5cm de radio. El ingeniero determinó que el área máxima es 50 cm2 y que ocurre cuando el rectángulo se convierte en un cuadrado de 7.071cm de lado. Esto se encontró derivando la función del área, igualándola a cero y determinando que el punto crítico es una función cóncava de máximo en x=7.071cm.
Este documento presenta métodos numéricos para aproximar integrales. Explica que cuando una función es difícil de integrar directamente o está tabulada, se deben usar métodos aproximados como las fórmulas de Newton-Cotes. Estas se basan en reemplazar la función con polinomios que son más fáciles de integrar. Luego describe las reglas del trapecio simple y compuesta, las cuales dividen el área bajo la curva en trapecios para aproximar la integral. Finalmente introduce las reglas de Simpson, que usan polinomios de grado
Este documento trata sobre la integración indefinida. Define la primitiva de una función y proporciona ejemplos. Explica las propiedades de las primitivas y la notación de la integral indefinida. También presenta métodos para calcular integrales como el cambio de variable, la integración por partes y la integración de funciones racionales.
El documento resume los conceptos fundamentales de la integral definida, incluyendo la notación de sumatoria, la suma superior e inferior, la definición de integral definida, y algunas de sus propiedades más importantes como los teoremas del valor medio y del cálculo fundamental. También cubre métodos como la sustitución y el cambio de variables para calcular integrales definidas.
Este documento introduce los números reales de forma axiomática. Define las propiedades algebraicas como la adición, multiplicación, división y potencias que cumplen los números reales. También introduce las propiedades de orden, definiendo los números positivos y negativos. Finalmente, demuestra algunos teoremas como que la raíz cuadrada de 2 no es un número racional y que la suma de raíces cuadradas es irracional.
Este documento presenta los métodos de integración numérica de Newton-Cotes, en particular la regla del trapecio y las reglas de Simpson. Explica que la regla del trapecio aproxima el área bajo una curva mediante el área de un trapecio, mientras que las reglas de Simpson usan polinomios de grado superior. Luego detalla la regla del trapecio simple y compuesta, así como la regla de Simpson 1/3 simple, indicando cómo aproximan la integral reemplazando la función con una función polinómica más fácil
Este documento presenta una guía sobre métodos numéricos para ingeniería. Contiene 16 preguntas de selección múltiple sobre temas como integración numérica, ecuaciones no lineales y derivadas parciales. También incluye 6 problemas resueltos que ilustran el uso de métodos como Adams-Bashforth, Simpson compuesto, trapecio compuesto y Newton-Raphson.
Este documento presenta tres métodos numéricos para aproximar el valor de integrales definidas: el método de los rectángulos, el método de los trapecios y el método de Simpson. Explica las fórmulas para cada método y cómo dividir el intervalo de integración en subintervalos para mejorar la aproximación. También incluye problemas de ejemplo para aplicar los métodos y comparar sus resultados.
Este documento explica las funciones cuadráticas. Indica que una función cuadrática tiene la forma f(x)=ax2 + bx + c, con a ≠ 0. Explica cómo graficar una función cuadrática basándose en su eje de simetría, vértice, intersección con los ejes x e y. También cubre los intervalos de monotonía de una función cuadrática y cómo resolver problemas utilizando funciones cuadráticas cuando se conocen tres puntos de la curva.
1) El documento trata sobre funciones de varias variables reales, incluyendo su definición, gráficas, curvas de nivel y límites. 2) Explica cómo calcular derivadas parciales de funciones de dos variables respecto a cada variable. 3) Detalla las condiciones para que una función de dos variables sea continua en un punto.
Este documento presenta varios métodos para calcular la integral definida de una función de forma aproximada. Introduce el método del punto medio y el método de los trapecios, que aproximan la función mediante funciones escalonadas o poligonales respectivamente. Explica que estos métodos tienen errores de orden h2 o superior, lo que los hace más precisos que los métodos elementales de aproximación por defecto o exceso, cuyo error es de orden h.
Este documento introduce el concepto de integrales dobles e iteradas de funciones de dos variables sobre un rectángulo. Explica cómo aproximar el volumen de un sólido dividiendo el rectángulo en subrectángulos y sumando los volúmenes de las "columnas" sobre cada subrectángulo. Define la integral doble como el límite de esta suma cuando el número de subdivisiones tiende a infinito. También presenta las integrales dobles iteradas y el Teorema de Fubini, el cual establece que el orden de integración no altera el resultado siempre que
1) El documento presenta conceptos básicos sobre funciones de varias variables como dominio, rango, derivadas parciales, gradiente, derivadas direccionales, máximos y mínimos condicionados y aplicaciones como planos tangentes.
2) Incluye ejercicios para calcular derivadas parciales, derivadas direccionales, gradientes y ecuaciones de planos tangentes de funciones.
3) También contiene problemas de optimización para encontrar máximos y mínimos de funciones sujetas a restricciones.
Este documento introduce el concepto de integral definida y describe varios métodos para calcularlas. Primero, presenta ejemplos motivadores de problemas de ciencias que involucran integrales definidas. Luego, define formalmente la integral definida y describe métodos para calcularlas exactamente mediante el uso de primitivas. Finalmente, discute métodos para aproximar numéricamente el valor de integrales definidas.
El documento trata sobre el cálculo infinitesimal, que estudia el cambio de manera similar a como la geometría estudia el espacio. Tiene amplias aplicaciones en ciencia e ingeniería para resolver problemas que el álgebra sola no puede. Incluye cálculo diferencial y cálculo integral, relacionados por el teorema fundamental del cálculo. En matemáticas avanzadas, el cálculo se denomina análisis y se define como el estudio de funciones.
El documento describe el sistema de números reales, incluyendo los axiomas de adición, multiplicación, igualdad y orden que satisfacen. Define conceptos como la sustracción y división utilizando la adición y multiplicación inversa. Explica intervalos como conjuntos de números reales y operaciones entre ellos. Finalmente, introduce ecuaciones e inecuaciones de primer y segundo grado, mostrando métodos para resolverlas.
Documento que desarrolla una fórmula inspirada en el método de coeficientes indeterminados para el cálculo de soluciones particulares de ecuaciones diferenciales lineales. De la misma manera en que se trabajan con derivadas en las ecuaciones diferenciales lineales y se asumen supuestos razonables, los sumatorios lo abordaremos de igual manera, pero aplicando el concepto de derivada sin el límite, es decir, con el principio de inducción, y plantenado supuestos razonables. Con esta fórmula se podrán calcular sumatorios para una pequeña familia de funciones cuyas identidades algebraicas tienen ciertas propiedades de linealidad.
El documento explica la relación entre la derivada y la integral. La derivada surge del concepto de pendiente tangencial, mientras que la integral surge de la necesidad de calcular áreas. La integral de una función es su antiderivada, ya que al derivar la función integral se obtiene la función original.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la integral definida. Explica que la integral definida es el límite de una suma de Riemann y que representa el área bajo la curva de una función. También introduce el Teorema Fundamental del Cálculo, que establece la relación entre la derivación e integración, y el Teorema de Integrabilidad, que determina si una función es integrable.
Este documento trata sobre el cálculo integral definido y el área bajo la curva. Explica la notación de suma, cómo aproximar el área bajo la curva mediante sumas de Riemann, la definición formal de la integral definida y algunas de sus propiedades como la linealidad. Finalmente, presenta ejemplos resueltos de cálculo de áreas y demostraciones de propiedades de la integral definida.
El documento describe diferentes métodos para calcular la integral definida numéricamente, como la fórmula de los trapecios, la regla de Simpson, el método de Romberg, y la cuadratura de Gauss. Explica los algoritmos para aplicar estos métodos y calcular la integral aproximada de una función en un intervalo dado.
Este documento presenta el Teorema Fundamental del Cálculo. Define el valor promedio de una función en un intervalo usando integrales definidas. Enuncia el TFC y cómo puede usarse para calcular integrales definidas cuando se conoce una antiderivada. Incluye ejemplos resueltos de aplicar el TFC y la regla del trapecio para aproximar integrales.
Aplicaciones de los máximos y mínimos en la ingenieria electromecanicaDiego Ruiz
El documento describe cómo un ingeniero encontró las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede inscribirse en una placa circular de 5cm de radio. El ingeniero determinó que el área máxima es 50 cm2 y que ocurre cuando el rectángulo se convierte en un cuadrado de 7.071cm de lado. Esto se encontró derivando la función del área, igualándola a cero y determinando que el punto crítico es una función cóncava de máximo en x=7.071cm.
Este documento presenta métodos numéricos para aproximar integrales. Explica que cuando una función es difícil de integrar directamente o está tabulada, se deben usar métodos aproximados como las fórmulas de Newton-Cotes. Estas se basan en reemplazar la función con polinomios que son más fáciles de integrar. Luego describe las reglas del trapecio simple y compuesta, las cuales dividen el área bajo la curva en trapecios para aproximar la integral. Finalmente introduce las reglas de Simpson, que usan polinomios de grado
Este documento trata sobre la integración indefinida. Define la primitiva de una función y proporciona ejemplos. Explica las propiedades de las primitivas y la notación de la integral indefinida. También presenta métodos para calcular integrales como el cambio de variable, la integración por partes y la integración de funciones racionales.
El documento resume los conceptos fundamentales de la integral definida, incluyendo la notación de sumatoria, la suma superior e inferior, la definición de integral definida, y algunas de sus propiedades más importantes como los teoremas del valor medio y del cálculo fundamental. También cubre métodos como la sustitución y el cambio de variables para calcular integrales definidas.
Este documento introduce los números reales de forma axiomática. Define las propiedades algebraicas como la adición, multiplicación, división y potencias que cumplen los números reales. También introduce las propiedades de orden, definiendo los números positivos y negativos. Finalmente, demuestra algunos teoremas como que la raíz cuadrada de 2 no es un número racional y que la suma de raíces cuadradas es irracional.
Este documento presenta los métodos de integración numérica de Newton-Cotes, en particular la regla del trapecio y las reglas de Simpson. Explica que la regla del trapecio aproxima el área bajo una curva mediante el área de un trapecio, mientras que las reglas de Simpson usan polinomios de grado superior. Luego detalla la regla del trapecio simple y compuesta, así como la regla de Simpson 1/3 simple, indicando cómo aproximan la integral reemplazando la función con una función polinómica más fácil
Este documento presenta una guía sobre métodos numéricos para ingeniería. Contiene 16 preguntas de selección múltiple sobre temas como integración numérica, ecuaciones no lineales y derivadas parciales. También incluye 6 problemas resueltos que ilustran el uso de métodos como Adams-Bashforth, Simpson compuesto, trapecio compuesto y Newton-Raphson.
Este documento presenta tres métodos numéricos para aproximar el valor de integrales definidas: el método de los rectángulos, el método de los trapecios y el método de Simpson. Explica las fórmulas para cada método y cómo dividir el intervalo de integración en subintervalos para mejorar la aproximación. También incluye problemas de ejemplo para aplicar los métodos y comparar sus resultados.
Este documento explica las funciones cuadráticas. Indica que una función cuadrática tiene la forma f(x)=ax2 + bx + c, con a ≠ 0. Explica cómo graficar una función cuadrática basándose en su eje de simetría, vértice, intersección con los ejes x e y. También cubre los intervalos de monotonía de una función cuadrática y cómo resolver problemas utilizando funciones cuadráticas cuando se conocen tres puntos de la curva.
1) El documento trata sobre funciones de varias variables reales, incluyendo su definición, gráficas, curvas de nivel y límites. 2) Explica cómo calcular derivadas parciales de funciones de dos variables respecto a cada variable. 3) Detalla las condiciones para que una función de dos variables sea continua en un punto.
1) El documento presenta conceptos básicos sobre funciones de varias variables reales, incluyendo su definición, representación gráfica a través de gráficas y curvas de nivel, y cálculo de límites. 2) Explica cómo calcular límites direccionales y en coordenadas polares para determinar la existencia de límites de funciones de dos variables. 3) Introduce la noción de continuidad para funciones de dos variables y algunas de sus propiedades.
1. El documento explica cómo calcular integrales dobles e integrales iteradas de funciones de dos variables sobre un rectángulo. 2. Las integrales dobles representan el volumen bajo una superficie y sobre un rectángulo, y se calculan como un límite de sumas dobles de Riemann. 3. El Teorema de Fubini permite calcular una integral doble como una integral iterada, integrando primero respecto a una variable y luego a la otra, o viceversa.
Este capítulo trata sobre el cálculo integral. Introduce conceptos como el área, las sumas de Riemann, la integral definida e indefinida, y propiedades como el Teorema Fundamental del Cálculo. Explica métodos de integración como el cambio de variable y la integración por partes, e incluye tablas con fórmulas básicas de integración.
El documento resume los conceptos fundamentales del teorema fundamental del cálculo, incluyendo: (1) la definición del teorema como la afirmación de que la derivación e integración son operaciones inversas, (2) una discusión sobre cómo el teorema unificó el cálculo diferencial y el cálculo de áreas, y (3) detalles sobre cómo el teorema permite calcular integrales definidas mediante el uso de funciones primitivas.
Este documento describe la función cuadrática y sus propiedades. Explica que una función cuadrática se define como f(x)=ax2+bx+c, donde a, b y c son constantes reales y a ≠ 0. Señala que el signo de a determina si la parábola es cóncava hacia arriba o hacia abajo, y que el valor de c corresponde al punto donde la parábola intercepta el eje y. Finalmente, indica que dada una función cuadrática se pueden identificar sus elementos para graficarla.
Aplicacion de las funciones atematicas a la vida diariaJhunior Romero
1) Las funciones matemáticas se pueden aplicar a muchas situaciones de la vida cotidiana para determinar las relaciones entre magnitudes.
2) Se describen diferentes tipos de funciones como funciones cuadráticas, logarítmicas y exponenciales, así como sus propiedades y aplicaciones.
3) Se dan ejemplos de cómo funciones cuadráticas describen el puente Golden Gate y el crecimiento de ratas, ilustrando cómo las matemáticas se usan para modelar fenómenos del mundo real.
Este documento describe el método de interpolación de Lagrange y su aplicación para aproximar funciones mediante polinomios. Explica que el método construye un polinomio de grado n que pasa exactamente por n+1 puntos de datos, interpolando la función en el intervalo definido por esos puntos. Además, introduce el concepto de error de interpolación y cómo calcular un límite superior para este error. Finalmente, presenta un programa informático que implementa el método de Lagrange de forma didáctica.
1) El documento explica conceptos básicos de funciones y gráficas como dominio, rango, funciones crecientes, decrecientes y constantes. 2) También cubre temas como asíntotas verticales y horizontales, y cómo usar propiedades como intersecciones con los ejes y simetrías para graficar ecuaciones. 3) Incluye ejemplos de cómo calcular el dominio e imagen de funciones, y cómo graficar funciones racionales usando asíntotas.
El documento presenta una introducción a la notación sigma y la integral definida. Explica que la notación sigma representa sumas de valores y que la integral definida calcula el área bajo una curva. Luego describe los teoremas fundamentales del cálculo, los cuales establecen que calcular la derivada de una función y hallar el área bajo su curva son operaciones inversas, y que el valor de una integral definida puede calcularse a partir de cualquier primitiva de la función.
Universidad Técnica Particular de Loja
Ciclo Académico Abril Agosto 2011
Carrera:Ciencias de la Computación
Docente: Ing. Ricardo Blacio Maldonado
Ciclo: Segundo
Bimestre: Primero
1) El documento explica cómo aplicar derivadas para calcular la velocidad y aceleración de un objeto que se mueve en línea recta. 2) También cubre conceptos como derivadas implícitas, derivadas de orden superior, funciones crecientes y decrecientes, y cómo identificar máximos y mínimos. 3) Finalmente, discute temas como puntos críticos, concavidad, puntos de inflexión y cómo resolver problemas de máximos y mínimos.
Aplicar derivadas en el cálculo de velocidad y aceleración de un objeto que s...dinorkis
1. El documento explica conceptos fundamentales de cálculo como derivadas, velocidad, aceleración, derivación implícita y funciones crecientes y decrecientes. 2. Incluye ejemplos detallados sobre cómo calcular la velocidad y aceleración de objetos en movimiento, derivar funciones implícitas y determinar puntos críticos, máximos y mínimos. 3. Finalmente, define concavidad y criterios para identificar cambios en la concavidad de una función a través de su derivada segunda.
1. El documento contiene varios ejercicios y problemas relacionados con funciones, límites, derivadas y funciones trigonométricas.
2. Se piden resolver ecuaciones de círculos dados sus centros y radios, hallar límites de funciones, derivar funciones y encontrar puntos donde la derivada es igual a la función.
3. También incluye hallar incrementos de funciones, derivar funciones trigonométricas, funciones logarítmicas y exponenciales.
1. El documento describe funciones exponenciales y logarítmicas, incluyendo funciones de la forma y = bx
donde b es la base. Estas funciones tienen propiedades como ser biyectivas y tener dominio y rango específicos dependiendo del valor de b.
2. Se explican conceptos como crecimiento y decrecimiento exponencial usando ejemplos como cultivos de bacterias.
3. Se resuelven ecuaciones exponenciales aprovechando la propiedad de biyección de funciones como y = bx
.
Este documento explica cómo aplicar derivadas para calcular la velocidad y aceleración de un objeto que se mueve en línea recta. Primero define la velocidad como la derivada de la posición con respecto al tiempo y la aceleración como la derivada de la velocidad con respecto al tiempo. Luego ilustra estos conceptos con ejemplos numéricos y explica la derivación implícita para funciones donde la variable dependiente no puede ser despejada explícitamente.
Este documento introduce el concepto de integral definida como una herramienta para calcular el área debajo de una curva entre dos valores. Explica que la integral definida surge del método de exhausción griego y representa el límite de la suma de áreas de rectángulos cuando su número tiende a infinito. Además, presenta definiciones clave como función integral y teoremas como el fundamental del cálculo y la regla de Barrow, y muestra ejemplos de cálculo de áreas usando la integral definida.
El documento explica cómo calcular el área bajo una curva usando aproximaciones de rectángulos. Al dividir el intervalo en más subintervalos y dibujar más rectángulos, se obtiene una mejor aproximación del área real. El límite de esta suma, cuando el número de rectángulos tiende a infinito, es igual al área bajo la curva definida por la integral definida.
Ponencia en I SEMINARIO SOBRE LA APLICABILIDAD DE LA INTELIGENCIA ARTIFICIAL EN LA EDUCACIÓN SUPERIOR UNIVERSITARIA. 3 de junio de 2024. Facultad de Estudios Sociales y Trabajo, Universidad de Málaga.
Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinaria). UCLMJuan Martín Martín
Examen de Selectividad de la EvAU de Geografía de junio de 2023 en Castilla La Mancha. UCLM . (Convocatoria ordinaria)
Más información en el Blog de Geografía de Juan Martín Martín
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
Este documento presenta un examen de geografía para el Acceso a la universidad (EVAU). Consta de cuatro secciones. La primera sección ofrece tres ejercicios prácticos sobre paisajes, mapas o hábitats. La segunda sección contiene preguntas teóricas sobre unidades de relieve, transporte o demografía. La tercera sección pide definir conceptos geográficos. La cuarta sección implica identificar elementos geográficos en un mapa. El examen evalúa conocimientos fundamentales de geografía.
1. Tema 6
Integral Definida
6.1 Introducci´on
En este tema estudiaremos la Integral Definida o Integral de Riemann, un concepto
matem´atico que esencialmente puede describirse como el l´ımite de una suma cuando
el n´umero de sumandos tiende a infinito y cada uno de ellos tiende a cero. Desde el
punto de vista hist´orico la construcci´on del concepto riguroso de integral est´a asociado
al c´alculo de ´areas.
6.2 Definici´on de Integral Definida
Comenzaremos analizando el problema de calcular el ´area determinada por el eje de
abscisas, las rectas x = a, x = b y la gr´afica de la funci´on f(x), que supondremos en un
primer caso continua y positiva en el intervalo [a, b]:
La idea que utilizaremos es partir el intervalo [a, b] en varios subintervalos: [a, x1],
[x1, x2], . . . [xn−1, b], de manera que el ´area que buscamos ser´a la suma de las ´areas de
cada una de las figuras planas que resultan de dicha divisi´on. Tomemos ahora en cada
sub-intervalo un valor arbitrario de la abscisa: {ξ1, . . . , ξn}, y construyamos el rect´angulo
de altura f(ξ) correspondiente a cada uno de los subintervalos (ver Figura 8.1 derecha).
Podemos as´ı aproximar el valor del ´area buscada por la suma:
A ≈ f(ξ1) (x1 − a) + f(ξ2) (x2 − x1) + . . . + f(ξn) (b − xn−1)
Evidentemente esta aproximaci´on ser´a tanto mejor cuanto m´as subintervalos se in-
troduzcan, y en particular si el n´umero de ellos tiende a infinito (y la anchura de todos
y cada uno de ellos tiende a cero) entonces en dicho l´ımite el resultado ser´a exacto y nos
proporcionar´a el ´area buscada.
Este proceso de paso al l´ımite es el que define la integral definida o integral de
Riemann, que veremos a continuaci´on con m´as detalle:
59
2. 60 C´ALCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 8
a b
x
y
a Ξ1 x1 Ξ2 x2 Ξ3 x3 Ξ4 b
x
y
Figura 6.1: Construcci´on de una suma de Riemann.
El concepto de integral definida se construye a partir de la idea de pasar al l´ımite
una suma cuando el n´umero de sumandos tiende a infinito y simult´aneamente cada uno
de los sumandos tiende a cero. Para determinar con precisi´on esta idea introduciremos
las siguientes definiciones:
Definici´on. Dado un intervalo [a, b] llamaremos partici´on de [a, b] a toda colecci´on
de n + 1 puntos P = {x0, x1, · · · , xn} tales que a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b.
Toda partici´on P del intervalo [a, b] lo divide en n subintervalos [xk−1, xk] de anchuras
respectivas ∆xk = xk − xk−1.
Definici´on. Dada una funci´on f(x) definida en el intervalo [a, b], una partici´on P =
{x0, x1, · · · , xn} de [a, b] y dados n puntos ξ = {ξ1, ξ2, · · · , ξn} tales que ξk ∈ [xk−1, xk],
se llama suma integral o suma de Riemann de la funci´on f(x) en [a, b] correspondiente
a la partici´on P y a la elecci´on de puntos ξ a la suma siguiente:
S(f, P, ξ) =
n∑
k=1
f(ξk)∆xk = f(ξ1)∆x1 + · · · + f(ξn)∆xn
Si suponemos que la funci´on es continua1 en [a, b] entonces, por el teorema de Weierstrass,
f(x) alcanza su valor m´aximo Mk y su m´ınimo mk en cada subintervalo [xk−1, xk],
podemos entonces construir las sumas de Riemann correspondientes a dichos valores,
obteniendo la suma superior de Riemann de f(x) en [a, b] con respecto a la partici´on P:
U(f, P) =
n∑
k=1
Mk∆xk
y la respectiva suma inferior:
L(f, P) =
n∑
k=1
mk∆xk
1
Realmente ser´ıa suficiente con que f(x) fuera continua en cada subintervalo de la partici´on P.
3. C´ALCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 8 61
Es evidente entonces que el conjunto de todas las sumas de Riemann de una funci´on dada
en un intervalo, con respecto a una partici´on concreta P, est´a acotado superiormente
por U(f, P) e inferiormente por L(f, P).
Definici´on. Se dice que una funci´on f(x) definida en [a, b] es integrable (en el sentido de
Riemann, o simplemente integrable) en [a, b] si el supremo de todas sus sumas inferiores
de Riemann coincide con el ´ınfimo de todas sus sumas superiores. A dicho n´umero se le
denomina integral definida o integral de Riemann de f(x) en [a, b] y se denota como:
∫ b
a
f(x) dx
Es posible definir de manera equivalente la integral definida como el l´ımite de las sumas
de Riemann de la funci´on en el intervalo cuando el n´umero de puntos de las particiones
consideradas tiende a infinito mientras que la anchura m´axima de los subintervalos deter-
minados por la partici´on tiende a cero, siempre que dicho l´ımite sea adem´as independiente
de la elecci´on de puntos realizada para construir las sumas de Reiemann.
La definici´on de integral definida se completa a˜nadiendo que se considerar´a tambi´en el
caso en el que a > b, y el caso a = b, de la forma:
∫ b
a
f(x)dx = −
∫ a
b
f(x)dx ;
∫ a
a
f(x)dx = 0
Ejemplo: Calculemos las integrales:
∫ b
a
dx ,
∫ b
a
x dx
En el primer caso las sumas de Riemann ser´an de la forma:
S(f, P, ξ) = 1 ∆x1 + 1 ∆x2 + . . . + 1∆xn = b − a
independientemente de la partici´on tomada y de la elecci´on de puntos realizada. La integral por
tanto es: ∫ b
a
dx = b − a
que obviamente coincide con el ´area del rect´angulo de base b − a y altura 1. (Ver Figura 8.2,
izquierda).
Para calcular la segunda integral podemos proceder de varias formas. En primer lugar es
evidente que el resultado de la integral va a ser el ´area del trapecio de la Figura 8.2 (derecha), y
sabemos que el ´area de un trapecio es igual al producto de la altura (b − a) por la suma de las
bases dividida por dos 1
2 (a + b), es decir:
∫ b
a
x dx =
1
2
(a + b)(b − a) =
1
2
(
b2
− a2
)
4. 62 C´ALCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 8
a b
x
y
a b
x
a
b
y
Figura 6.2: Funciones f(x) = 1 y f(x) = x en el intervalo [a, b].
Demostraremos no obstante este resultado aplicando directamente la definici´on de integral
definida. Dado que la funci´on f(s) = x es continua, ser´a integrable en [a, b]. Las sumas de
Riemann correspondientes a una partici´on cualquiera P = {x0, x1, . . . , xn}, con a = x0 < x1 <
. . . < xn = b ser´a:
S(f, P, ξ) = ξ1 ∆x1 + ξ2 ∆x2 + . . . + ξn∆xn = ξ1(x1 − x0) + ξ2(x2 − x1) + . . . + ξn(b − xn−1)
siendo ξ = {ξ1, . . . , ξn} una elecci´on cualquiera de puntos en los subintervalos de la partici´on P.
Dado que f(x) es creciente siempre, las sumas superiores e inferiores de Riemann se obtienen
eligiendo ξi = xi y ξi = xi−1 respectivamente:
U(f, P) = x1(x1 − x0) + x2(x2 − x1) + . . . + xn(xn − xn−1) =
n∑
i=1
(x2
i − xixi−1)
L(f, P) = x0(x1 − x0) + x1(x2 − x1) + . . . + xn−1(xn − xn−1) =
n∑
i=1
(xixi−1 − x2
i−1)
Observamos entonces que sea cual sea la partici´on P la suma de U(f, P) y L(f, P) es:
U(f, P) + L(f, P) = x2
n − x2
0 = b2
− a2
Si tomamos ahora el l´ımite de Riemann, teniendo en cuenta que f(x) es integrable, resulta que
tanto U(f, P) como L(f, P) tienden a la integral definida y por tanto:
U(f, P) + L(f, P) −→ 2
∫ b
a
x dx = b2
− a2
⇒
∫ b
a
x dx =
1
2
(
b2
− a2
)
Q.E.D.
6.3 Propiedades b´asicas
1. Si f(x) es integrable en [a, b] entonces est´a acotada en [a, b].
5. C´ALCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 8 63
2. Si f(x) es continua en [a, b] entonces es integrable en [a, b].
3. Si f(x) est´a acotada en [a, b] y presenta en dicho intervalo un n´umero finito de
discontinuidades, entonces es integrable en [a, b]. Esta propiedad tambi´en es cierta si el
n´umero de discontinuidades es infinito pero contable (numerable).
4. La integral definida es lineal, es decir: Si f(x) y g(x) son dos funciones integrables
en [a, b], entonces su suma tambien lo es y se verifica:
∫ b
a
(f(x) + g(x))dx =
∫ b
a
f(x)dx +
∫ b
a
g(x)dx
mientras que si k es un n´umero real cualquiera, entonces:
∫ b
a
kf(x)dx = k
∫ b
a
f(x)dx
5. Dados tres n´umeros reales a, b y c, se verifica:
∫ b
a
f(x)dx =
∫ c
a
f(x)dx +
∫ b
c
f(x)dx
siempre que las integrales anteriores existan.
6. Si f(x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b] y ambas son integrables en [a, b], entonces se verifica:
∫ b
a
f(x) dx ≤
∫ b
a
g(x) dx
7. Si a < b y f(x) es integrable en [a, b], se verifica:
∫ b
a
f(x)dx ≤
∫ b
a
|f(x)| dx
6.4 Teorema Fundamental del C´alculo y Regla de Barrow
Teorema del Valor Medio del C´alculo Integral. Si f(x) es una funci´on continua
en el intervalo [a, b], entonces existe en [a, b] al menos un punto c tal que se verifica:
∫ b
a
f(x)dx = (b − a) f(c)
Nota: al n´umero real ¯f = 1
b−a
∫ b
a
f(x)dx se le llama valor medio o valor promedio de f(x) en
[a, b].
Demostraci´on: Dado que f(x) es continua en [a, b], por el teorema de Weierstrass alcanza
en [a, b] su valor m´aximo, M y su m´ınimo, m. Tendremos entonces, utilizando las propiedades
anteriormente expuestas:
m ≤ f(x) ≤ M, ∀x ∈ [a, b] ⇒
6. 64 C´ALCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 8
∫ b
a
m dx ≤
∫ b
a
f(x) dx ≤
∫
M dx ⇒ m(b − a) ≤
∫ b
a
f(x)dx ≤ M(b − a)
y as´ı:
m ≤
∫ b
a
f(x)dx
b − a
≤ M
Pero al ser M y m alcanzados en [a, b] (supongamos que en los puntos x1 y x2, [x1, x2] ⊂ [a, b]),
tendremos que f(x) alcanza todos los valores intermedios entre m y M, y por tanto: ∃c ∈
[x1, x2] ⇒ c ∈ [a, b] tal que:
f(c) =
∫ b
a
f(x)dx
b − a
Q.E.D.
Plantearemos a continuaci´on el Teorema Fundamental del C´alculo, que relaciona dos
conceptos aparentemente diferentes como son el de integral indefinida (operaci´on inversa
o rec´ıproca de la derivaci´on) y el de integral definida (l´ımite de sumas cuando el n´umero
de sumandos tiende a infinito mientras que cada sumando tiende a cero):
Teorema Fundamental del C´alculo. Sea f(x) una funci´on continua en el intervalo
[a, b], entonces la funci´on F(x) definida de la forma:
F(x) =
∫ x
a
f(t)dt
en el intervalo [a, b] es derivable en (a, b) y adem´as F′(x) = f(x).
Nota: Si f(x) es integrable pero no continua en [a, b] entonces s´olo podemos asegurar que F(x) es
continua en [a, b], pero la derivabilidad de F(x) s´olo est´a garantizada en los puntos de continuidad
de f(x).
La funci´on F(x) tiene un significado geom´etrico evidente dado que nos proporciona el “´area
determinada2
” por la gr´afica de f(x) entre el punto inicial a y un punto concreto x del intervalo
[a, b].
Regla de Barrow. Si f(x) es continua en [a, b] y G(x) es una primitiva de f(x) en
[a, b], entonces se verifica:
∫ b
a
f(x)dx = G(x)|b
a = G(b) − G(a)
Demostraciones:
Demostraremos en primer lugar el Teorema Fundamental del C´alculo: Dada la funci´on f(x)
continua en [a, b], definiremos entonces en [a, b] la funci´on:
F(x) =
∫ x
a
f(u)du
2
Evidentemente hablamos de ´area en sentido figurado, pues se trata realmente de un ´area para
funciones definidas positivas en [a, b].
7. C´ALCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 8 65
Consideremos h > 0 tal que x y x + h pertenezcan ambos al intervalo [a, b], tendremos entonces
(aplicando las propiedades b´asicas de las integrales) que:
F(x + h) − F(x) =
∫ x+h
a
f(u)du −
∫ x
a
f(u)du =
∫ x+h
x
f(u)du
Aplicando a continuaci´on el Teorema del Valor Medio en el intervalo [x, x + h], existir´a un valor
c ∈ [x, x + h] tal que:
∫ x+h
x
f(u)du = f(c)(x + h − x) = f(c) h
Pero entonces la derivada de F(x) en el punto x se re-escribe de la forma:
F′
(x) = lim
h→0
F(x + h) − F(x)
h
= lim
h→0
f(c)
y dado que f(x) es continua en [a, b] y, en consecuencia, en [x, x + h], tendremos que h → 0 nos
lleva a que x ≤ c ≤ x + h ⇒ x ≤ c ≤ x, y en definitiva, al ser f(x) continua:
lim
h→0
f(c) = lim
c→x
f(c) = f(x) ⇒ F′
(x) = f(x)
Q.E.D3
.
Demostraci´on de la regla de Barrow:
Dada al funci´on continua f(x) en [a, b], si G(x) es una primitiva de f(x) en [a, b] tendremos
que, dado que F(x) definida anteriormente tambi´en lo es, ambas deben diferenciarse tan s´olo en
una constante C, de esta forma:
G(x) − F(x) = C , ∀x ∈ [a, b]
En particular:
G(a) − F(a) = C ⇒ G(a) −
∫ a
a
f(x)dx = C
G(b) − F(b) = C ⇒ G(b) −
∫ b
a
f(x)dx = C
restando ambas expresiones, y considerando que
∫ a
a
f(x)dx = 0, tendremos:
∫ b
a
f(x)dx = G(b) − G(a)
Q.E.D.
6.5 Integrales Impropias
En la construcci´on y definici´on de integral definida o integral de Riemann hemos par-
tido de una funci´on f(x) definida en un intervalo finito [a, b] y adem´as acotada en el
mismo. Las integrales impropias se definen precisamente para contemplar la posibilidad
de integrar en intervalos infinitos, por un lado, e integrar funciones no acotadas, por
otro.
3
Estrictamente hablando hemos demostrado tan s´olo que la derivada por la derecha de F(x) es f(x).
Es trivial completar la demostraci´on en el otro sentido.
8. 66 C´ALCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 8
6.5.1 Integrales Impropias de Primera Especie
Una integral impropia de primera especie es una integral extendida a un intervalo no
finito. Para definirla utilizaremos la siguiente expresi´on:
∫ ∞
a
f(x)dx = lim
b→∞
∫ b
a
f(x)dx
Si dicho l´ımite existe y es finito diremos que la integral impropia de primera especie
∫ ∞
a
f(x)dx
es convergente, en caso contrario ser´a divergente.
De manera an´aloga se definen las integrales impropias de primera especie siguientes:
∫ b
−∞
f(x)dx = lim
a→−∞
∫ b
a
f(x)dx ;
∫ ∞
−∞
f(x)dx = lim
k→∞
∫ k
−k
f(x)dx
6.5.2 Integrales Impropias de Segunda Especie
Una condici´on necesaria para que f(x) fuera integrable en [a, b] era que estuviera acotada
en [a, b]. Si f(x) es integrable en [a, b−ε] y no est´a acotada en un entorno de b, definimos
la integral impropia de segunda especie:
∫ b
a
f(x) dx = lim
ε→0+
∫ b−ε
a
f(x) dx
La integral ser´a convergente si el l´ımite existe y es finito.
Ejemplos: Una integral impropia de primera especie convergente:
∫ ∞
0
dx
x2 + 1
= lim
b→∞
(arctan b − arctan 0) =
π
2
y otra de segunda especie:
∫ 1
0
dx
√
1 − x2
= lim
ε→0+
(arcsen(1 − ε) − arcsen 0) =
π
2
6.6 Aplicaciones geom´etricas de la Integral definida
6.6.1 C´alculo de ´Areas.
Funciones expl´ıcitas en Coordenadas Cartesianas.
Dada una curva y = f(x), el ´area determinada por dicha curva, las rectas x = a,
x = b (con a < b) y el eje de abscisas nos viene dada por la integral definida:
A =
∫ b
a
|f(x)| dx
9. C´ALCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 8 67
En el caso de que la variable despejada sea la x, es decir una ecuaci´on expl´ıcita de
la forma x = g(y), la expresi´on:
A =
∫ d
c
|g(y)| dy
nos proporciona el ´area determinada por el eje de ordenadas, las rectas y = c, y = d y
la gr´afica de g(y).
Expresiones en param´etricas:
El ´area delimitada por la curva c expresada en ecuaciones param´etricas, c ≡
{
x = x(t)
y = y(t)
y el eje OX entre las abscisas x(t1) y x(t2) es,
A =
∫ t2
t1
|y(t)||x′
(t)|dt
Expresiones en coordenadas polares:
El ´area delimitada por la curva c expresada en ecuaciones polares r = r(θ) y las
rectas radiales θ = θ1 y θ = θ2 es dada por,
A =
1
2
∫ θ2
θ1
r2
(θ)dθ
6.6.2 C´alculo de longitudes de arco de curva:
Expresiones en coordenadas cartesianas:
La longitud de la curva y = f(x) entre las abscisas x = x1 y x = x2 viene expresada
mediante la f´ormula:
L =
∫ x2
x1
√
1 + (f′(x))2dx
Expresiones en param´etricas:
La longitud de la curva c ≡
{
x = x(t)
y = y(t)
entre las abscisas x(t1) y x(t2) viene dada
por:
L =
∫ t2
t1
√
(x′(t))2 + (y′(t))2dt
Expresiones en coordenadas polares:
La longitud de la curva r = r(θ) entre las coordenadas angulares θ = θ1 y θ = θ2
viene dada como:
L =
∫ θ2
θ1
√
(r(θ))2 + (r′(θ))2dθ
10. 68 C´ALCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 8
6.6.3 C´alculo de vol´umenes de revoluci´on (alrededor del eje OX):
Expresiones en coordenadas cartesianas:
El volumen generado por la curva y = y(x) al girar alrededor del eje OX entre las
abscisas x1 y x2 corresponde a la f´ormula:
V = π
∫ x2
x1
(f(x))2
dx
Expresiones en param´etricas
El volumen de revoluci´on respecto del eje OX de la curva (x(t), y(t)) delimitado por
las abscisas x(t1) y x(t2) est´a dado por:
V = π
∫ t2
t1
(y(t))2
|x′
(t)|dt
Expresiones en coordenadas polares:
El volumen de revoluci´on de la curva r = r(θ) sobre el eje OX delimitado por las
variables angulares θ1 y θ2 es
V =
2π
3
∫ θ2
θ1
r3
(θ)|senθ|dθ
6.6.4 C´alculo de ´areas de revoluci´on (alrededor del eje OX):
El ´area generado por la curva c al girar alrededor del eje OX puede ser calculado seg´un
las siguientes expresiones:
Expresiones en coordenadas cartesianas:
El ´area lateral referido anteriormente de la curva y = f(x) entre las abscisas x1 y x2
ser´a:
AL = 2π
∫ x2
x1
|f(x)|
√
1 + (f′(x))2dx
Expresiones en param´etricas:
En ecuaciones param´etricas, el ´area lateral limitada por las abscisas x(t1) y x(t2)
viene dada por:
AL = 2π
∫ t2
t1
|y(t)|
√
(x′(t))2 + (y′(t))2dt
Expresiones en coordenadas polares:
La expresi´on en coordenadas polares es:
AL = 2π
∫ θ2
θ1
r(θ) sen θ
√
(r(θ))2 + (r′(θ))2dθ