Documento que desarrolla una fórmula inspirada en el método de coeficientes indeterminados para el cálculo de soluciones particulares de ecuaciones diferenciales lineales. De la misma manera en que se trabajan con derivadas en las ecuaciones diferenciales lineales y se asumen supuestos razonables, los sumatorios lo abordaremos de igual manera, pero aplicando el concepto de derivada sin el límite, es decir, con el principio de inducción, y plantenado supuestos razonables. Con esta fórmula se podrán calcular sumatorios para una pequeña familia de funciones cuyas identidades algebraicas tienen ciertas propiedades de linealidad.

1. Sumatorios con Álgebra Lineal
Jorge Vicente Olmos Jiménez
5 de junio de 2017
Dadas dos bases de un mismo espacio vectorial de funciones1 Fk con coeficientes reales:
B(n) = {f1 (n), f2 (n), · · · , fk
(n)}
B(n + 1) = {f1 (n + 1), f2 (n + 1), · · · , fk
(n + 1)}
(1)
si existe una matriz de cambio de base2
fi(n + 1) = Aj
i fj(n) (2)
1
En general las funciones no tendrán estructura de espacio vectorial en el sentido siguiente:
f(x + y) 6= f(x) + f(y) x, y ∈ R
pero sí que tendrán estrucutra de espacio vectorial en el sentido:
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
(αf)(x) = αf(x)
Los argumentos de las funciones se anotan para diferenciar las bases de funciones.
2
Esta matriz se calcula a partir de identidades algebraicas que cumplen que una función «desplazada»
α veces es una combinación lineal de funciones elementales:
f n + α
= α1f1(n) + α2f2(n) + · · · + αkfk(n)
donde n, α ∈ R, pero n es la variable de la función, y α es una constante. Funciones que cumplen esta
propiedad son del tipo exponenciales y trigonométricas, y combinación de éstas con polinómicas.
Por ejemplo, dada la función exponencial
f(n) = rn
r = cte
la función «desplazada» a veces será, por propiedades de las funciones exponenciales
f(n + a) = rn+a
= ra
· rn
= αrn
= αf(n) α = cte
es decir, la función exponencial desplazada es proporcional a la propia función.
Otro ejemplo, con la función senoidal
f1(n) = sin n
la función «desplazada» a veces será, por propiedades de las funciones trigonométricas
f1(n + a) = cos a sin n + sin a cos n = α1 sin n + α2 cos n = α1f1(n) + α2f2(n)
siendo α1, α2 constantes, y f2(n) = cos n, es decir, la función senoidal desplazada es combinación
lineal de funciones trigonométricas.
1

2. entonces, dado un vector de funciones f(n) ∈ Fk, su suma indefinida también pertenece
al espacio de funciones, exceptuando una constante, es decir:
n
X
i=io
f(i) = F(n) + C F(n) ∈ Fk (3)
Por el principio de inducción
n
X
i=io
f(i) =
n+1
X
i=io
f(i) − f(n + 1) ⇒ F(n) + C = F(n + 1) + C − f(n + 1)
F(n) = F(n + 1) − f(n + 1)
(4)
y puesto que
f(n) = αifi(n) → f(n + 1) = αifi(n + 1) = αiAj
i fj(n) f(n + 1) ∈ Fk (5)
cumpliéndose que las coordenadas tanto de f(n) como de f(n + 1) son las mismas pero
en sus respectivas bases, tratándose de vectores distintos, se tiene, de (4):
xifi(n) = xifi(n + 1) − αifi(n + 1) F(n) = xifi(n) ∈ Fk (6)
y aplicando (2)
xiδj
i fj(n) = xiAj
i fj(n) − αiAj
i fj(n) (7)
por tanto, la relación de coordenadas es
αiAj
i = xi
Aj
i − δj
i
(8)
que en forma matricial
AT
· f(n) =
AT − I
F(n) (9)
F(n) =
I − A−1T
−1
· f(n) (10)
Siguiendo con las funciones trigonométricas:
f2(n) = cos n
entonces
f2(n + a) = cos a cos n − sin a sin n = α1 cos n − α2 sin n = α1f2(n) − α2f1(n)
Así, juntando los dos últimos ejemplos, matricialmente se tiene
f1(n + a)
f2(n + a)
=
α1 α2
−α2 α1
f1(n)
f2(n)
⇒ f(n + a) = A · f(n)
de forma que se puede sacar una analogía con los cambios de base en espacios vectoriales, puesto que
A es una matriz de coeficientes, y las funciones f(n + a), f(n) pueden considerarse vectores de una
base, como en (1), tratándose de las mismas funciones, sólo diferenciadas por su argumento.
2

3. La solución de la suma
n
X
i=i0
f(i) = F(n) + C queda indefinida. Conociendo el índice del
sumatorio i0 se obtiene la condición inicial F(n = i0 ) + C = f(n = i0 ) que determina la
constante, o también F(n = i0 − 1) + C = 0
Las funciones que mediante identidades algebraicas puede formarse una matriz de cam-
bio de base (2), son del tipo exponenciales y trigonométricas, y combinación de éstas con
polinómicas. El sumatorio de polinomios también puede hallarse pero no directamente
con (10).
Por ejemplo, para hallar
n
X
i
ri , dadas las bases B(n) = {rn} ; B(n + 1) = {r(n+1)} ,
con r 6= 1 , y los vectores f(n) = (1) ; f(n + 1) = (1) , existe una matriz de cambio de
base que se obtiene de la siguiente identidad:
rn+1
= r · rn
⇒ A = r (11)
Resolviendo:
F(n) =
1 − r−1
−1
· f(n) =
1 − r−1
−1
· (1) =
r
r − 1
(12)
n
X
i
ri
=
r
r − 1
rn
+ C (13)
Si quisiéramos calcular el sumatorio
n
X
i=0
ri
(14)
usando la condición inicial de que, en n = 0 → f(0) =F(0) + C
n=0
X
i=0
ri
= r0
=
r
r − 1
r0
+ C ⇒ C = 1 −
r
r − 1
= −
1
r − 1
(15)
o también, en n = −1 el contador de la suma estará en cero, luego F(−1) + C = 0
r
r − 1
r−1
+ C = 0 ⇒ C = −
1
r − 1
(16)
Con el siguiente ejemplo,
n
X
i
cos(αi) , dadas las bases B(n) = {cos(αn), sin(αn)} ;
B(n+1) = {cos(αn+α), sin(αn+α)} , y los vectores f(n) = (1, 0)T ; f(n + 1) = (1, 0)T ,
existe una matriz de cambio de base que se obtiene mediante identidades trigonométricas:
(
cos(αn + α)
sin(αn + α)
)
=
cos α − sin α
sin α cos α
# (
cos(αn)
sin(αn)
)
⇒ A = R la matriz de rotación (17)
3

4. Resolviendo:
F(n) = (I − R)
−1
· f(n) =
1 0
0 1
#
−
cos α − sin α
sin α cos α
#!−1
·
1
0
!
(18)
F(n) =
1
2
,
sin α
2(1 − cos α)
T
(19)
n
X
i
cos(αi) =
1
2
cos(αn) +
sin α
2(1 − cos α)
sin(αn) + C (20)
Para el caso general
n
X
i=0
ik
· ri
h
cos(αi) + sin(αi)
i
k ∈ N (21)
aprovechando las identidades algebraicas que se deducen de las funciones que aparecen
en el sumatorio, dadas las siguientes bases
B(n) =

































nk · rn · cos(αn)
nk · rn · sin(αn)
nk−1 · rn · cos(αn)
nk−1 · rn · sin(αn)
.
.
.
n · rn · cos(αn)
n · rn · sin(αn)
rn · cos(αn)
rn · sin(αn)

































2(k+1)×1
B(n+1) =



































(n + 1)k · r(n+1) · cos(αn + α)
(n + 1)k · r(n+1) · sin(αn + α)
(n + 1)k−1 · r(n+1) · cos(αn + α)
(n + 1)k−1 · r(n+1) · sin(αn + α)
.
.
.
(n + 1) · r(n+1) · cos(αn + α)
(n + 1) · r(n+1) · sin(αn + α)
r(n+1) · cos(αn + α)
r(n+1) · sin(αn + α)



































2(k+1)×1
a partir de la ecuación (2), la matriz de cambio de base buscada es
Aj
i = mat
Ajm
il
j
i
(22)
siendo
Ajm
il = rPj
i Rm
l (23)
donde
Ajm
il tensor de cuarto orden obtenida de un producto tensorial de matrices de or-
den 2, que para su representación matricial se tomará la siguiente convención
de índices:
Ajm
il













i fila
j columna
l fila matricial
m columna matricial
(24)
4

5. Pj
i matriz de Pascal de dimensión (k + 1) × (k + 1), matriz triangular superior
compuesta por coeficientes binomiales
Pj
i =








k
k
· · · k
2
k
1
k
0
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 · · · 2
2
2
1
2
0
0 · · · 0 1
1
1
0
0 · · · 0 0 0
0








(25)
Rm
l matriz de rotación, de dimensión 2 × 2
Rm
l =
cos α − sin α
sin α cos α
!
(26)
mat
operador de «matrización», que convierte el tensor de cuarto orden Ajl
ik si-
guiendo la representación matricial dada en (24), en una matriz de orden 2
Aj
i con dimensiones 2(k + 1) × 2(k + 1)
De modo que, en formato matricial, la matriz de cambio de base es
A = r · P ⊗ R (27)
Evaluando un caso del sumatorio general (21) para k = 1
n
X
i=0
i · ri
· cos(αi) (28)
de la ecuación (10)
F(n) =










1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1





−





r cos(α) −r sin(α) r cos(α) −r sin(α)
r sin(α) r cos(α) r sin(α) r cos(α)
0 0 r cos(α) −r sin(α)
0 0 r sin(α) r cos(α)





−1T




−1
· f(n)
(29)
siendo f(n) = (1, 0, 0, 0)T . En definitiva
n
X
i=0
i · ri
· cos(αi) = a·n·rn
·cos(αn)+b·n·rn
·sin(αn)+c·rn
·cos(αn)+d·rn
·sin(αn)+C
(30)
donde
a =
(−r + cos (α)) r
−r2 + 2 r cos (α) − 1
b = −
r sin (α)
−r2 + 2 r cos (α) − 1
c = −
r cos (α) r2 + cos (α) − 2 r
4 r2 (cos (α))2
− 4 r3 cos (α) − 4 r cos (α) + r4 + 2 r2 + 1
d = −
r sin (α) r2 − 1
4 r2 (cos (α))2
− 4 r3 cos (α) − 4 r cos (α) + r4 + 2 r2 + 1
(31)
5

6. y el coeficiente de la sumación se deduce de la condición inicial
0
X
i=0
i · ri
· cos(αi) = 0 −→ C = −c (32)
El caso general (21) permite calcular sumatorios para una gran combinación de fun-
ciones. Sin embargo, como se ha indicado anteriormente, este método no funciona en el
caso de sumatorios de polinomios, debiéndose retocar el planteamiento y modificar la
solución. Para el sumatorio general de las potencias naturales
n
X
i=1
ik
(33)
un supuesto razonable sería considerar una solución polinómica de un grado mayor. Da-
das las bases Bk+2(n) = {nk+1, nk, nk−1, · · · , n2, n, 1} ; Bk+2(n + 1) = {(n + 1)k+1, (n +
1)k, (n + 1)k−1, · · · , (n + 1)2, n + 1, 1}, del espacio vectorial de funciones Fk+2, sien-
do f(n) = (0, 1, 0, · · · , 0, 0)T ∈ Fk+2 expresado respecto la base Bk+2(n), aplicando el
principio de inducción (4) en
n
X
i=1
f(i) = F(n) ∈ Fk+2 (34)
diferenciándose de la ecuación (3) en el término independiente, puesto que F(n) ya lo
contempla, estando expresado en la base Bk+2(n), se llega a la misma solución que en
(9), siendo la matriz de cambio de base la matriz de Pascal definida en (25)
P =











k+1
k+1
k+1
k
· · · k+1
2
k+1
1
k+1
0
0 k
k
· · · k
2
k
1
k
0
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 · · · 2
2
2
1
2
0
0 0 · · · 0 1
1
1
0
0 0 · · · 0 0 0
0











(35)
pero en este caso, el sistema lineal resultante
PT
· f(n) =
PT − I
F(n) (36)
es compatible indeterminado. Analizando este sistema se deduce que el término indepen-
diente de F(n) es indeterminado, quedando el resto de coeficientes desacoplados de éste.
Aparte, las componentes de los términos nk+1 se anulan entre sí, por lo que la ecuación
anterior deriva en el siguiente sistema compatible determinado
PT
1,1
· fE(n) =
PT − I
1,k+2
FE(n) (37)
6

7. siendo
fE(n) = (1, 0, · · · , 0) ∈ Fk+1 respecto Bk+1(n) = {nk, nk−1, · · · , n2, n, 1}
FE(n) ∈ Fk+1 respecto BE
k+1(n) = {nk+1, nk, nk−1, · · · , n2, n}
(38)
donde Mi,j representa la submatriz determinada por la eliminación de la fila i y la
columna j de la matriz M. Por tanto
FE(n) =
PT − I
−1
1,k+2
·
PT
1,1
· fE(n) (39)
de modo que (34) queda en
n
X
i=1
f(i) = FE(n) + C (40)
y el término independiente se obtiene mediante la condción inicial FE(n = 1) + C =
f(n = 1) , o también de FE(n = 0) + C = 0.
Por ejemplo, para k = 2, la suma de los primeros cuadrados naturales
n
X
i=1
i2
(41)
donde fE(n) = (1, 0, 0)T expresado respecto B3(n) = {n2, n, 1}, y FE(n) expresado
respecto BE
3 (n) = {n3, n2, n}, de (39) se tiene
FE(n) =










1 3 3 1
0 1 2 1
0 0 1 1
0 0 0 1





T
−





1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1










−1
1,k+2
·










1 3 3 1
0 1 2 1
0 0 1 1
0 0 0 1





T 




1,1
· fE(n)
=



3 0 0
3 2 0
1 1 1



−1
·



1 0 0
2 1 0
1 1 1


 ·



1
0
0


 =



1/3 0 0
1/2 1/2 0
1/6 1/2 1


 ·



1
0
0


 =



1/3
1/2
1/6



(42)
y como el coeficiente de sumación es nulo
n
X
i=1
i2
=
1
3
n3
+
1
2
n2
+
1
6
n (43)
7