Este documento presenta el Teorema Fundamental del Cálculo. Define el valor promedio de una función en un intervalo usando integrales definidas. Enuncia el TFC y cómo puede usarse para calcular integrales definidas cuando se conoce una antiderivada. Incluye ejemplos resueltos de aplicar el TFC y la regla del trapecio para aproximar integrales.

1. Cálculo Integral
El Teorema Fundamental del Cálculo
M. en C. Juliho Castillo
30 de enero de 2017
Facultad de Ingeniería, Universidad Panamericana
1

2. 1 El Teorema Fundamental del Cálculo
Valor promedio de una función
Enunciado del T.F.C
Ejercicios Resueltos
2

3. El Teorema Fundamental del
Cálculo
3

4. El Teorema Fundamental del
Cálculo
Valor promedio de una función
4

5. Valor promedio de una función
Si una función f se evalua en n puntos ξ1, ξ2, ..., ξN , el valor
promedio de la función para estos puntos es
f(ξ1) + f(ξ2) + ... + f(ξN )
N
=
1
N
N
k=1
f(ξk).
5

6. Sin embargo, si tratamos de promediar una función en un
intervalo [a, b], esta definición no es útil porque habrá una
infinidad1
de puntos.
Aun así, todavía podemos encontrar una definición, motivada
por el promedio en una cantidad finita de puntos
1
De hecho, una cantidad no numerable de puntos, por lo que ni siqueira
podemos tratar de aplicar algunas técnicas para series
6

7. Sin embargo, si tratamos de promediar una función en un
intervalo [a, b], esta definición no es útil porque habrá una
infinidad1
de puntos.
Aun así, todavía podemos encontrar una definición, motivada
por el promedio en una cantidad finita de puntos
1
De hecho, una cantidad no numerable de puntos, por lo que ni siqueira
podemos tratar de aplicar algunas técnicas para series
6

8. Escogiendo el tamaño del paso fijo para un número N dado de
subintervalos, tenemos que
h =
b − a
N
.
O de manera equivalente
1
N
=
1
b − a
h.
7

9. Escogiendo el tamaño del paso fijo para un número N dado de
subintervalos, tenemos que
h =
b − a
N
.
O de manera equivalente
1
N
=
1
b − a
h.
7

10. De manera que
1
N
N
k=1
f(ξk) =
1
b − a
N
k=1
f(ξk) · h.
Cuando N → ∞, el lado derecho se aproxima a
1
b − a
b
a
f(ξ)dξ.
8

11. De manera que
1
N
N
k=1
f(ξk) =
1
b − a
N
k=1
f(ξk) · h.
Cuando N → ∞, el lado derecho se aproxima a
1
b − a
b
a
f(ξ)dξ.
8

12. Definición 1.1.
El valor promedio de f en [a, b] está dado por
1
b − a
b
a
f(x)dx.
9

13. Sea f una función continua en [a, b]. Si x ∈ [a, b], entonces
F(x) =
x
a
f(ξ)dξ
es una función que depende de x tal que
DxF(x) = Dx
x
a
f(ξ)dξ = f(x). (1.1)
10

14. El Teorema Fundamental del
Cálculo
Enunciado del T.F.C
11

15. Teorema 1.1 (Teorema Fundamental del Cálculo).
Sea f una función continua en [a, b] y F(x) una antiderivada
de f(x). Entonces
b
a
f(ξ)dξ = F(b) − F(a). (TFC)
12

16. La ecuación (TFC) nos da una manera sencilla de calcular
b
a
f(ξ)dξ...
siempre y cuando podamos encontrar una antiderivada de
f(x), en términos de funciones elementales.
13

17. La ecuación (TFC) nos da una manera sencilla de calcular
b
a
f(ξ)dξ...
siempre y cuando podamos encontrar una antiderivada de
f(x), en términos de funciones elementales.
13

18. La expresión F(b) − F(a) generalmente se abrevia como
F(x) |b
a .
14

19. Calcule las siguientes fórmulas utilizando el (TFC):
1
b
a
xdx =
2
b
a
x2
dx =
3
b
a
xr
dx =
15

20. Calcule las siguientes fórmulas utilizando el (TFC):
1
b
a
xdx =
2
b
a
x2
dx =
3
b
a
xr
dx =
15

21. Calcule las siguientes fórmulas utilizando el (TFC):
1
b
a
xdx =
2
b
a
x2
dx =
3
b
a
xr
dx =
15

22. Proposición 1.1 (TFC con Cambio de Variables).
Supongamos que en el intervalo [a, b], la función f es continua
y la función g es diferenciable.
Entonces
b
a
f(g(x))g (x)dx =
g(b)
g(a)
f(u)du,
donde u = g(x).
16

23. Proposición 1.1 (TFC con Cambio de Variables).
Supongamos que en el intervalo [a, b], la función f es continua
y la función g es diferenciable.
Entonces
b
a
f(g(x))g (x)dx =
g(b)
g(a)
f(u)du,
donde u = g(x).
16

24. Ejemplo 1.1.
Evalue 9
1
√
5x + 4dx.
17

25. El Teorema Fundamental del
Cálculo
Ejercicios Resueltos
18

26. Ejercicio Resuelto 1.
Evalue
π/2
0
sin2
(x) cos(x)dx.
19

27. Ejercicio Resuelto 2.
Encuentre el área de la región entre la curva dada por
f(x) =
1
√
4 − x2
, el eje x, x = 0 y x = 1.
20

28. Figura 1.1: f(x) =
1
√
4 − x2
21

29. Ejercicio Resuelto 3.
Encuentre el valor promedio de f(x) = 4 − x2
en [0, 2].
22

30. Ejercicio Resuelto 4.
Demuestre la fórmula (1.1). Sugerencia: Utilice el teorema del
valor medio.
23

31. Teorema 1.2 (Teorema del Valor Medio para Integrales).
Sea f una función continua en [a, b]. Entonces existe c ∈ [a, b]
tal que
b
a
f(ξ)dξ = (b − a) f(c) (1.2)
24

32. Teorema 1.2 (Teorema del Valor Medio para Integrales).
Sea f una función continua en [a, b]. Entonces existe c ∈ [a, b]
tal que
b
a
f(ξ)dξ = (b − a) f(c) (1.2)
24

33. Ejercicio Resuelto 5.
Demuestre que
1 Si f es una función par, entonces para a > 0 :
a
−a
f(x)dx = 2
a
0
f(x)dx;
2 Si f es una función impar, entonces para a > 0 :
a
−a
f(x)dx = 0.
25

34. Ejercicio Resuelto 5.
Demuestre que
1 Si f es una función par, entonces para a > 0 :
a
−a
f(x)dx = 2
a
0
f(x)dx;
2 Si f es una función impar, entonces para a > 0 :
a
−a
f(x)dx = 0.
25

35. Ejercicio Resuelto 6 (Regla trapezoidal).
Sea f(x) ≥ 0 en [a, b]. Dividamos [a, b] en N subintervalos de
longitud fija h = b−a
N
, por medio de puntos
xk = a + k · h, k = 1, ..., N.
Muestre que
b
a
f(ξ)dξ ≈
h
2
f(a) + 2
N−1
k=1
f(ξk) + f(b)
26

36. Ejercicio Resuelto 6 (Regla trapezoidal).
Sea f(x) ≥ 0 en [a, b]. Dividamos [a, b] en N subintervalos de
longitud fija h = b−a
N
, por medio de puntos
xk = a + k · h, k = 1, ..., N.
Muestre que
b
a
f(ξ)dξ ≈
h
2
f(a) + 2
N−1
k=1
f(ξk) + f(b)
26

37. Figura 1.2: Regla trapezoidal
27

38. Ejercicio Resuelto 7.
Use la regla trapezoidal para aproximar
1
0
x2
dx
con N = 1.
Utilice el (TFC) para calcular la integral de manera exacta y
compare.
28

39. Ejercicio Resuelto 7.
Use la regla trapezoidal para aproximar
1
0
x2
dx
con N = 1.
Utilice el (TFC) para calcular la integral de manera exacta y
compare.
28