El documento describe cómo un ingeniero encontró las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede inscribirse en una placa circular de 5cm de radio. El ingeniero determinó que el área máxima es 50 cm2 y que ocurre cuando el rectángulo se convierte en un cuadrado de 7.071cm de lado. Esto se encontró derivando la función del área, igualándola a cero y determinando que el punto crítico es una función cóncava de máximo en x=7.071cm.

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El problema a darse es el siguiente:
A un ingeniero electromecánico se da la tarea de
hallar las dimensiones del rectángulo de área
máxima que puede inscribirse en una placa de
metal circular de 5cm de radio.

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
La forma grafica del problema:
5cm

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
B
Es el rectángulo BCDE el que se encuentra en
la placa circular.
 Sea CD= x;
 entonces BC=
;
E
 y evidentemente, el área
5c
del rectángulo es:
m
5c
m
C
D

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
Así es como queda establecido lo anterior.
 Debe de existir un
rectángulo de área
máxima; en efecto, si la
base se aumenta hasta
10cm, entonces la altura
10cm
disminuirá hasta cero, y el
área llegara a ser cero.
x

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


Si ahora, se disminuye la base hasta
cero, entonces la altura aumentará hasta 10cm y
otra vez llegara a ser cero. Luego es evidente, por
intuición, que existe un rectángulo que es el
mayor a todos.
Estudiando la figura con atención podríamos
sospechar que cuando el rectángulo se convierte
en un cuadrado es cuando tiene mayor área, pero
esto seria una conjetura.
Por naturaleza del problema es evidente que x y
A deben de ser positivos y que los valores de x
varían de cero a 10.

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

Empezaremos a obtener el máximo de esta
función. En este caso nada mas se obtendrá
un máximo ya que los valores son positivos y
se quiere encontrar el área máxima.
1. Tenemos la función respecto a x para
encontrar las dimensiones en este caso.

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
2. Aplicamos la primera derivada.

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
3. Igualamos a cero la primera derivada.

Después encontramos el valor critico. Para
eso, despejaremos “x”.

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

Tenemos el valor crítico, ahora haremos los
intervalos para saber si es cóncava o convexa
la función establecida.
Tomaremos solo los valores positivos.

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
Intervalos
7.071
0
(0 , 7.071)
10
(7.071 , 10)
X=6
X=8
•
•
•
•
Por lo tanto:
Encontramos que en el intervalo (0 , 7.071)
es creciente.
Y en el intervalo (7.071 , 10) es
decreciente.
La función es cóncava.

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

Máximos y mínimos
Se obtendrá al aplicar la segunda derivada.

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
Obtuvimos la segunda derivada, ahora para
saber si es máximo, sustituiremos el valor
crítico en la segunda derivada.

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
El valor crítico es x = 7.071

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
Como ya vimos, nos dio el valor de -1.76; esto
quiere decir, que como es negativo tenemos
un máximo, y por lo tanto es cóncava como ya
habíamos dicho.

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
Sabemos que es un máximo y es cóncava.
Ahora, conoceremos donde esta ese punto
máximo ubicado en un plano cartesiano.

Tenemos la función original, se sustituye la x
con el valor que tiene, en este caso es
x=7.071
X = 7.071
Es la coordenada del punto
máximo.

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Construyamos ahora una tabla de valores y tracemos la grafica, tal como se
muestra.
X
A
0
0
1
9.9
2
19.6
3
28.6
4
36.6
5
43
6
48
7
49.7
8
48
9
39
10
0
60
50
40
A 30
20
10
0
0
1
2
3
4
5
X
6
7
8
9
10

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

Por lo tanto, todo lo que hemos hecho a sido
lo siguiente:
El valor crítico donde se encuentra, el valor
preciso para la máxima área.
Calculamos como es la función dando nada
mas números positivos ya que es un área.
Por el análisis, nos dimos cuenta de cómo es
la función, de cómo tiene un crecimiento y un
decrecimiento.

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
Para terminar, calcularemos las dimensiones
del rectángulo con el valor obtenido.

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
Cambiando todos los datos obtenidos, nos
daremos cuenta que de ser un
rectángulo, ahora será un cuadrado
x
7.071cm
10cm
10cm
7.071cm
A=49.99 cm²
A~50 cm²

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Conclusión
El rectángulo se convirtió en cuadrado.
5cm
5cm

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

Lo que se obtuvo fue la construcción de una
figura en una placa circular de metal.
El propósito era obtener la máxima área que
se podía obtener al trazar un rectángulo pero
esto a su vez, se muestra que solo obteniendo
la máxima área es hacer que el rectángulo se
convierta a cuadrado.
Por lo tanto, a todo esto, la área máxima que
se puede obtener es 50 cm²