Este documento presenta tres métodos numéricos para aproximar el valor de integrales definidas: el método de los rectángulos, el método de los trapecios y el método de Simpson. Explica las fórmulas para cada método y cómo dividir el intervalo de integración en subintervalos para mejorar la aproximación. También incluye problemas de ejemplo para aplicar los métodos y comparar sus resultados.
Libro de calculo de varias variables con aplicaciones de integrales dobles y triples para la ingenierias industrial civil mecanicos, con aplicaciones sencillas que permitan se de facil comprecion para el estudiante, aqui les dejo una parte de los ejercicios donde consta las integrales triples y dobles y sus aplicaciones, espero que sea de su agrado
En esta sección, repasamos el concepto integral definida, motivada por áreas bajo curvas y algunas de las propiedades. Definimos de manera rigurosa la integra como el límite de una suma de Riemann.
En estas notas, revisamos el teorema fundamental del cálculo, el cuál relaciona los conceptos de antiderivada (integral indefinida) con área bajo la curva (integral definida).
Brevísima Intruducción a las Sumas de RiemannJuliho Castillo
Estas notas presentan una introducción informal a las sumas de Riemann, diferentes métodos para calcularlas y una introducción al uso del sistema algebraico de computo SageMath para su estudio.
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libro conabilidad financiera, 5ta edicion.pdfMiriamAquino27
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1º Caso Practico Lubricacion Rodamiento Motor 10CVCarlosAroeira1
Caso pratico análise analise de vibrações em rolamento de HVAC para resolver problema de lubrificação apresentado durante a 1ª reuniao do Vibration Institute em Lisboa em 24 de maio de 2024
Criterios de la primera y segunda derivadaYoverOlivares
Criterios de la primera derivada.
Criterios de la segunda derivada.
Función creciente y decreciente.
Puntos máximos y mínimos.
Puntos de inflexión.
3 Ejemplos para graficar funciones utilizando los criterios de la primera y segunda derivada.
1. PROYECTO DE “ANALISIS MATEMATICO I”: Integraci´on num´erica.
Objetivos: Aprender los m´etodos m´as sencillos de integraci´on n´umerica y aplicarlos en diversos
problemas.
F´ormulas de cuadratura.
Sea f(x) una funci´on continua definida en el intervalo [a, b]. Nuestro objetivo ser´a encontrar
f´ormulas aproximadas para calcular la integral
b
a
f(x) dx. En caso de conocer la primitiva F(x) es
evidente que podemos encontrar el valor exacto de la integral utilizando el Teorema fundamental del
c´alculo integral:
b
a
f(x) dx = F(b) − F(a). Sin embargo no siempre esto es posible. Por ejemplo,
para la funci´on f(x) = e−x2
no existe ninguna primitiva que podamos escribir utilizando funciones
elementales. En esta pr´actica vamos a aprender tres m´etodos para calcular aproximadamente el valor
n´umerico de las integrales definidas.
F´ormula de los rect´angulos.
Una aproximaci´on de la integral
b
a
f(x) dx consiste en aproximar el ´area bajo la curva y = f(x)
por un rect´angulo de base b − a y altura f a+b
2 (ver figura 1), entonces
b
a
f(x) dx = (b − a)f
a + b
2
+ R(ξ), ξ ∈ [a, b], (1)
donde el error R(ξ), si f tiene primera y segunda derivadas continuas en [a, b], se expresa de la forma
R(ξ) =
(b − a)2
24
f (ξ), ξ ∈ [a, b]. (2)
a b
f AREA BAJO LA CURVA f
a b
f AREA BAJO LA CURVA f
a b
f FORMULA DE LOS RECTANGULOS
a b
f FORMULA DE LOS RECTANGULOS
Figura 1: Aproximaci´on de una integral por el m´etodo de los rect´angulos.
Ahora si queremos aproximar la integral
b
a
f(x) dx con mejor exactitud podemos dividir el inter-
valo [a, b] en n puntos, o sea, consideremos la partici´on del intervalo
[a, b] = [a, x1] ∪ [x1, x2] ∪ · · · ∪ [xn−2, xn−1] ∪ [xn−1, b],
donde
xk = a +
b − a
n
k, n = 0, 1, 2, ..., n, x0 = a, xn = b.
De
b
a
f(x) dx =
x1
a
f(x) dx + · · · +
xk+1
xk
f(x) dx + · · · +
b
xn−1
f(x) dx.
1
2. si aplicamos a cada integral
xk+1
xk
f(x) dx la f´ormula (1)obtenemos la ecuaci´on
b
a
f(x) dx =
b − a
n
n−1
k=0
f
xk + xk+1
2
+ R(ξ), (3)
y
|R(ξ)| ≤ M
(b − a)2
24n2
, M = m´ax
x∈[a,b]
|f (x)|. (4)
Problema 1 Utilizando las f´ormulas (1) y (2) demostrar las f´ormulas (3) y (4).
Problema 2 (Opcional) Prueba la f´ormula (1) y (2) .
F´ormula de los trapecios.
Otra aproximaci´on de la integral
b
a
f(x) dx consiste en aproximar el ´area bajo la curva y = f(x)
no por un rect´angulo sino por un trapecio de base b − a (ver figura 2), entonces
b
a
f(x) dx = (b − a)
f(a) + f(b)
2
+ R(ξ), (5)
donde el error R(ξ), si f tiene primera y segunda derivadas continuas en [a, b] se expresa de la forma
R(ξ) = −
(b − a)2
12
f (ξ), ξ ∈ [a, b]. (6)
a b
f AREA BAJO LA CURVA f
a b
f AREA BAJO LA CURVA f
a b
f FORMULA DE LOS TRAPECIOS
a b
f FORMULA DE LOS TRAPECIOS
Figura 2: Aproximaci´on de una integral por el m´etodo de los trapecios.
Problema 3 Demostrar las f´ormulas (5) y (6). Para ello seguir los siguientes pasos:
1. Demostrar que
b
a
f (x)(x − a)(x − b) dx = −(b − a)[f(a) + f(b)] + 2
b
a
f(x) dx. (7)
2. Utilizando el teorema del valor medio integral demostrar que
b
a
f (x)(x − a)(x − b) dx = −
(b − a)3
6
f (ξ), ξ ∈ [a, b]. (8)
3. Usando los dos apartados anteriores obt´en las f´ormulas (5) y (6).
Ahora podemos aproximar la integral
b
a
f(x) dx con mejor exactitud dividiendo, igual que antes,
el intervalo [a, b] en n puntos, o sea, consideremos la partici´on del intervalo
[a, b] = [a, x1] ∪ [x1, x2] ∪ · · · ∪ [xn−2, xn−1] ∪ [xn−1, b],
2
3. donde
xk = a +
b − a
n
k, k = 0, 1, 2, ..., n, x0 = a, xn = b.
Nuevamente,
b
a
f(x) dx =
x1
a
f(x) dx + · · · +
xk+1
xk
f(x) dx + · · · +
b
xn−1
f(x) dx,
y, por tanto, si aplicamos a cada integral
xk+1
xk
f(x) dx la f´ormula (1) obtenemos la expresi´on
b
a
f(x) dx =
b − a
2n
f(a) + f(b) + 2
n−1
k=1
f(xk) + R(ξ), (9)
donde
|R(ξ)| ≤ M
(b − a)2
12n2
, M = m´ax
x∈[a,b]
|f (x)|. (10)
Problema 4 Utilizando las f´ormulas (5) y (6) demostrar las f´ormulas (9) y (10).
Problema 5 (Opcional) Prueba la f´ormula (5) y (6) .
M´etodo de Simpson.
El m´etodo de Simpson para calcular integrales consiste en aproximar la integral
b
a
f(x) dx de
la siguiente forma
b
a
f(x) dx = A f(a) + B f
a + b
2
+ C f(b) + R(ξ), (11)
donde A, B, C son tales que R(ξ) es igual a cero si f(x) = 1, f(x) = x y f(x) = x2, respectivamente.
Es decir si sustituimos en (11) la funci´on f por cualquiera de las funciones f(x) = 1, f(x) = x o
f(x) = x2, la f´ormula es exacta, o sea R(ξ) = 0. Esto es equivalente a aproximar el ´area debajo de f
por una parabola (ver figura 3)
a b
f AREA BAJO LA CURVA f
a b
f AREA BAJO LA CURVA f
a b
f FORMULA DE SIMPSON
a b
f FORMULA DE SIMPSON
Figura 3: Aproximaci´on de una integral por el m´etodo de Simpson.
Problema 6 Sustituyendo f(x) = 1, f(x) = x y f(x) = x2 en (11) encontrar un sistema de ecuacio-
nes para las inc´ognitas A, B, C y demostrar entonces que (12) se puede escribir de la forma
b
a
f(x) dx =
b − a
6
f(a) +
4(b − a)
6
f
a + b
2
+
b − a
6
f(b) + R(ξ). (12)
Si f es cuatro veces derivable y todas sus derivadas son continuas en [a, b] entonces se puede demostrar
que R(ξ) se expresa de la forma
R(ξ) =
(b − a)5
2880
f(4)
(ξ), ξ ∈ [a, b]. (13)
3
4. Problema 7 Demostrar la f´ormula anterior. Para ello seguir los siguientes pasos.
1. Comprobar que la funci´on F(x, t), con x = a+b
2 , definida por
F(x, t) =
x+t
x−t
f(ξ)dξ −
t
3
[f(x − t) + 4f (x) + f(x + t)] , (14)
es continua y tres veces diferenciable para todo t ∈ [0, b−a
2 ], y F (x, t) = − t
3 [f (x+t)−f (x−t)],
adem´as F(x, 0) = F (x, 0) = F (x, 0) = 0.
2. Probar que F (x, t) es tal que existen dos n´umeros reales m y M (¿qui´enes son dichos n´umeros?)
tales que
2
3
mt2
≤ F (x, t) ≤
2
3
Mt2
,
y deducir de aqu´ı que
1
90
mt2
≤ F(x, t) ≤
1
90
Mt5
.
3. Finalmente, substituyendo t = b−a
2 , deducir el resultado deseado.
Al igual que en los casos anteriores vamos aproximar la integral
b
a
f(x) dx con mejor exactitud
dividiendo el intervalo [a, b] en 2n puntos de la forma
[a, b] = [a, x1] ∪ [x1, x2] ∪ · · · ∪ [x2n−2, x2n−1] ∪ [x2n−1, b],
donde
xk = a +
b − a
2n
k, k = 0, 1, 2, ..., 2n, x0 = a, x2n = b.
Apliquemos ahora la f´ormula de Simpson (12) para cada subintervalo [x2k, x2k+2], k = 0, 1, ..., n − 1,
o sea, escribamos la integral original como la suma de las integrales
b
a
f(x) dx =
x2
a
f(x) dx + · · · +
x2k+2
x2k
f(x) dx + · · · +
b
x2n−2
f(x) dx.
y apliquemos el m´etodo de Simpson a cada uno de los sumandos. N´otese que los intervalos siguen
teniendo una longitud x2k+2 − x2k = b−a
n igual que antes. Esto nos conduce a la expresi´on
b
a
f(x) dx =
b − a
6n
f(a) + f(b) + 4
n
k=1
f(x2k−1) + 2
n−1
k=1
f(x2k) + R(ξ), (15)
donde
|R(ξ)| ≤ M
(b − a)5
2880n4
, M = m´ax
x∈[a,b]
|f(4)
(x)|. (16)
Problema 8 Utilizando las f´ormulas (12) y (13) demostrar las f´ormulas (15) y (16).
Comparaci´on de los m´etodos de cuadratura de los rect´angulos, los trapecios y de
Simpson.
Problema 9 Sea la funci´on f(x) = cos x. Calcular la inegral
I =
1
2
0
cos xdx,
utilizando las f´ormulas (1), (5), (12), respectivamente. Comparar los resultados con el resultado exacto
1
2
0
cos xdx = sin
1
2
= 0,4794255386 . . .
Calcular una aproximaci´on de la integral cambiando la funci´on f(x) por su polinomio de McLaurin
de orden 5. Comparar los resultados con los del apartado anterior.
4
5. Problema 10 Calcular el orden del error cometido al calcular la integral
I =
1
0
f(x) dx f(x) =
sin x
x
, x = 0
1, x = 0
por los m´etodos de de los rect´angulos, los trapecios y de Simpson, respectivamente, utilizando en todos
ellos una partici´on del intervalo [0, 1] con n = 4 puntos. ¿Qui´en aproxima mejor?
Problema 11 (Opcional) Calcular la integral
I =
1
0
e−x2
dx,
utilizando los m´etodos de de los rect´angulos, los trapecios y de Simpson cuando n = 4. Comparar los
resultados con el resultado exacto con 10 cifras decimales I = 0,7468241328...
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