Este documento presenta el segundo teorema fundamental del cálculo y métodos para aproximar integrales definidas como las sumas de Riemann. Explica cómo dividir un intervalo en subintervalos y aproximar la integral como la suma de las áreas de los rectángulos definidos por los puntos de la partición.

2. CÁLCULO DIFERENCIAL E
INTEGRAL
UNIDAD 3: APLICACIONES EN INGENIERÍA
Marcelo Fernando Valdiviezo Condolo
Primero ‘B’
Carrera de Telecomunicaciones

3. INTEGRAL DEFINIDA

4. SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL
DEL CÁLCULO
TEOREMA: Segundo Teorema Fundamental del Cálculo

5. DEMOSTRACIÓN
Para x en el intervalo [a, b], defínase . Entonces el Primer Teorema Fundamental del Cálculo
establece que G’(x) = f(x) para toda x en (a, b). Lo que implica que G es una antiderivada de f; pero F es también
una antiderivada de f, por consiguiente como F’(x) = G’(x) las funciones F y G difieren por una constante. Así
para toda x en (a, b)
( ) ( )
x
a
G x f t dt= 
( ) ( )F x G x C= +
( ) ( )F a G a C= +
( ) ( )F b G b C= +
F y G continuas en el intervalo [a, b]
( ) ( ) 0,
a
a
G a f t dt= = tenemos
( ) ( ) 0F a G a C C C= + = + =
Por lo tanto
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b
a
F b F a G b C C G b f t dt− = + − = =   

6. EJEMPLO
Demuestre que es una constante( ),
b
a
kdx k b a k= −
( ) ( )es una antiderivada deF x kx f x k= =
( ) ( ) ( )
b
a
kdx F b F a kb ka k b a= − = − = −

7. EJEMPLO
Demuestre que
2 2
2 2
b
a
b a
xdx = −
( ) ( )
2
es una antiderivada de
2
x
F x f x x= =
( ) ( )
2 2
2 2
b
a
b a
xdx F b F a= − = −

8. EJEMPLO
Evalúe ( )
2
2
1
4 6x x dx
−
−
Mediante el uso del Segundo Teorema
Fundamental del Cálculo
( )
2
22 2 3
1
1
4 6 2 2x x dx x x −
−
 − = − 
( ) ( )8 16 2 2 12= − − + = −
Aplicando la Linealidad
( )
2 2 2
2 2
1 1 1
4 6 4 6x x dx xdx x dx
− − −
− = −  
2 22 3
1 1
4 6
2 3
x x
− −
   
= −   
   
4 1 8 1
4 6
2 2 3 3
   
= − − +   
   
12= −

9. EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
TEOREMA: Regla de sustitución para integrales indefinidas
( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )' ' 'xD F g x C F g x g x f g x g x + = = 

10. EJEMPLO
Evalúe ( )Sin 3x dx
3
3
u x
du dx
=
=
( ) ( )
1
Sin 3 Sin 3 3
3 du
u
x dx x dx= 
( ) ( ) ( )
1 1 1
Sin Cos Cos 3
3 3 3
u du u C x C= − + = − +

11. EJEMPLO
Evalúe 3 4
11x x dx+
4
3
11
4
u x
du x dx
= +
=
( ) ( )
1
3 4 4 321
11 11 4
4
x x dx x x dx+ = + 
( )
3
4 21
11
6
x C= + +
( )
31
22
1 1
4 6
u du u C= +

12. EJEMPLO
Evalúe ( ) ( )
4
3
0
Sin 2 Cos 2x x dx


( )
( )
Sin 2
2Cos 2
u x
du x dx
=
=
( )44
Sin 21
2 4 8
xu
C C= + = +
( ) ( ) ( ) ( )( )
3
3 31 1
Sin 2 Cos 2 Sin 2 2Cos 2
2 2
u du
x x dx x x dx u du
 
 = =
 
 
  
( ) ( )
( )4 44
3
0 0
Sin 2 1 1
Sin 2 Cos 2 0
8 8 8
x
x x dx

 
= = − = 
 


13. EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
TEOREMA: Regla de sustitución para integrales definidas
( )( )
( )
( ) ( )
( )
( )( ) ( )( )
g b g b
g ag a
f u du F u F g b F g a= = −  
( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )'
b
a
f g x g x dx F g x F g b F g a = = − 
( )( ) ( ) ( )( )'f g x g x dx F g x C= +

14. EJEMPLO
Evalúe
( )
1
22
0
1
2 6
x
dx
x x
+
+ +

( ) ( )
2
2 6
2 2 2 1
u x x
du x dx x dx
= + +
= + = +
0 6
1 9
x u
x u
= → =
= → =
( )
( )
( )
1 1
2 22 2
0 0
2 11 1
22 6 2 6
xx
dx dx
x x x x
++
=
+ + + +
 
99
2
66
1 1 1
2 2
u du
u
−  
= = −  

1 1 1
18 12 36
 
= − − − = 
 

15. INTEGRACIÓN NUMÉRICA
Suma de Riemann
Suponga que f está definida en [a, b] y que dividimos ese intervalo en n sub-intervalos mas pequeños con
puntos extremos . Entonces la Suma de Riemann está definida como:0 1 1n na x x x x b−=     =
( )
1
n
i i
i
f x x
=

 1:Algún punto en el intervalo ,i i ix x x−
1i i ix x x − = −
( )ix b a n = −
Partición Regular
:ix

16. EJEMPLO
Aproxime la integral definida , use las sumas de Riemann del punto izquierdo, del punto
derecho y del punto medio con n = 4
3
1
4 xdx−
( ) 4 , Tenemos 1, 3 4f x x a b y n= − = = = 0.5
b a
n
−
=
( ) ( )0 01.0 1.0 4 1 1.7321x f x f= = = − 
( ) ( )1 11.5 1.5 4 1.5 1.5811x f x f= = = − 
( ) ( )2 22.0 2.0 4 2 1.4142x f x f= = = − 
( ) ( )3 32.5 2.5 4 2.5 1.2247x f x f= = = − 
( ) ( )4 43.0 3.0 4 3 1.0000x f x f= = = − =

17. EJEMPLO
Aproxime la integral definida , use las sumas de Riemann del punto izquierdo, del punto
derecho y del punto medio con n = 4
3
1
4 xdx−
3
1
4 Suma de Riemann del punto izquierdoxdx− 
( ) ( ) ( ) ( )0 1 2 3
b a
f x f x f x f x
n
−
= + + +  
( ) ( ) ( ) ( )0.5 1.0 1.5 2.0 2.5f f f f= + + +  
 0.5 1.7321 1.5811 1.4142 1.2247 + + +
2.9761

18. EJEMPLO
Aproxime la integral definida , use las sumas de Riemann del punto izquierdo, del punto
derecho y del punto medio con n = 4
3
1
4 xdx−
3
1
4 Suma de Riemann del punto derechoxdx− 
( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4
b a
f x f x f x f x
n
−
= + + +  
( ) ( ) ( ) ( )0.5 1.5 2.0 2.5 3.0f f f f= + + +  
 0.5 1.5811 1.4142 1.2247 1.0000 + + +
2.6100

19. EJEMPLO
Aproxime la integral definida , use las sumas de Riemann del punto izquierdo, del punto
derecho y del punto medio con n = 4
3
1
4 xdx−
3
1
4 Suma de Riemann del punto medioxdx− 
0 1 2 3 3 41 2
2 2 2 2
x x x x x xx xb a
f f f f
n
 + + + +−       
= + + +       
       
( ) ( ) ( ) ( )0.5 1.25 1.75 2.25 2.75f f f f= + + +  
 0.5 1.6583 1.5000 1.3229 1.1180 + + +
2.7996

20. EJEMPLO
Aproxime la integral definida , use las sumas de Riemann del punto izquierdo, del punto
derecho y del punto medio con n = 4
3
1
4 xdx−
Aplicando Segundo Teorema Fundamental del Cálculo

21. MÉTOOS PARA APROXIMAR ( )
b
a
f x dx

22. MÉTOOS PARA APROXIMAR ( )
b
a
f x dx

23. MÉTOOS PARA APROXIMAR ( )
b
a
f x dx

24. MÉTOOS PARA APROXIMAR ( )
b
a
f x dx

25. MÉTOOS PARA APROXIMAR ( )
b
a
f x dx

26. ANÁLISIS DEL ERROR
TEOREMA

27. PREGUNTAS