Brevísima Intruducción a las Sumas de RiemannJuliho Castillo
Estas notas presentan una introducción informal a las sumas de Riemann, diferentes métodos para calcularlas y una introducción al uso del sistema algebraico de computo SageMath para su estudio.
Brevísima Intruducción a las Sumas de RiemannJuliho Castillo
Estas notas presentan una introducción informal a las sumas de Riemann, diferentes métodos para calcularlas y una introducción al uso del sistema algebraico de computo SageMath para su estudio.
Este material está pensado para todos aquellos jóvenes que quieren iniciar en el estudio de funciones, contiene ejercicios desde el nivel básico hasta llegar a ejercicios de nivel avanzado.
1. UNIVERSIDAD FERMIN TORO
ESCUELA DE INGENIERIA
CABUDARE ESTADO LARA
MATEMATICA II
INTEGRAL DEFINIDA
JORGE MENDOZA
INTEGRAL DEFINIDA
RESUMEN DEL TEMA (PARTE PRÁCTICA)
2. 1.-INTEGRAL DEFINIDA
El concepto de integral definida surge al intentar calcular el área encerrada bajo
una función continua , es decir, nuestro objetivo es calcular el área encerrada
entre el eje X, dos rectas paralelas al eje Y x = a y x = b , y la función continua:
Definición: Sea f una función continua en [a,b] tal que f(x) ≥ 0 en el intervalo.
El área encerrada entre la gráfica de f, el eje X y las abcisas x = a y x=b, la
llamaremos integral definida de f(x) entre a y b y se designa por f x dx
a
b
( )∫ .
Hay que hacer notar que el resultado de f x dx
a
b
( )∫ no depende de la variable x
ya que se trata de un valor numérico puesto que es el resultado de calcular un
área. Así f x dx
a
b
( )∫ = f t dt
a
b
( )∫ .
2. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
1. f x dx
a
a
( )∫ = 0 cualquiera que sea f . Esta claro que su valor es 0 ya que no
existe un recinto del que podamos calcular un
área.
2. Si f(x) > 0 y continua en [a,b], entonces
f x dx
a
b
( )∫ > 0 y si f(x) < 0 y continua en [a,b],
entonces f x dx
a
b
( )∫ < 0.
3. Si a < b < c y f es continua en [a,c], entonces :
f x dx
a
b
( )∫ + f x dx
b
c
( )∫ = f x dx
a
c
( )∫
Las propiedades 2 y 3 nos dan la clave para calcular el
área bajo una función que cambia de signo en el
intervalo dónde lo estamos calculando, así en el
siguiente ejemplo si calculamos directamente
f x dx( )
2
9
∫ obtendremos 5-3+1 = 3 u2
lo cuál es falso ya
que el área correspondiente a la parte negativa también
3. se debe sumar y no restar. Para evitar esto debemos calcular la integral en
cada uno de los intervalos de forma que la función sea siempre positiva o
siempre negativa y cambiar de signo a la que le corresponde la parte negativa:
Área = f x dx( )
2
5
∫ - f x dx( )
5
8
∫ f x dx( )
8
9
∫ = 5+3+1=9 u2
.
4. f x dx
a
b
( )∫ + g x dx
a
b
( )∫ = ( ( ) ( ))f x g x dx
a
b
+∫
5. K· f x dx
a
b
( )∫ = K f x dx
a
b
• ( )∫ Para K un número real cualquiera.
6. Si para cada x ∈ [a,b] se cumple que f(x) ≤ g(x), entonces f x dx
a
b
( )∫ ≤
g x dx
a
b
( )∫ .
7. Si f es una función continua en [a,b], entonces existe c ∈ [a,b] tal que:
f x dx
a
b
( )∫ = f(c) (b-a) (Teorema del valor medio del cálculo integral)
3. LA INTEGRAL Y SU RELACIÓN CON LA DERIVADA
Función área: Dada una función f continua en [a,b] podemos calcular f t dt
a
x
( )∫
para cualquier x ∈ [a,b] (corresponderá al área comprendida entre a y x). Por
tanto podemos considerar la función F(x) = f t dt
a
x
( )∫ , que asigna a cada x ∈
[a,b] el valor del área bajo f(x) entre a y el punto x.
Teorema fundamental del cálculo integral: Si f es una función continua en
[a,b], entonces F(x) = f t dt
a
x
( )∫ con x ∈ [a,b], es derivable y además F´(x) =
f(x).
Regla de Barrow: Si f(x) es una función continua en [a,b] y G(x) es una
primitiva suya, entonces : f x dx
a
b
( )∫ = G(b) -G(a)
EJEMPLO
Queremos calcular ( )x x dx2
1
3
+∫ :
1. Calculamos una primitiva de f(x) : ( )x x dx2
+∫ = x x3 2
3 2
+ = G(x)
2. Calculo G(1) = 5/6 y G(3) = 27/2
4. 3. Calculo: ( )x x dx2
1
3
+∫ = x x3 2
3 2
+ ]x
x
=
=
1
3
= 27/2 -5/6 = 76/6 =38/3 u2
4. CÁLCULO DE ÁREAS MEDIANTE INTEGRALES
A) CÁLCULO DEL ÁREA ENCERRADA BAJO UNA FUNCIÓN ENTRE
DOS PUNTOS:
EJEMPLO : Nos piden calcular el área comprendida entre f(x)= x3
-9x , los
puntos de abcisa x=-2, x=3 y el eje X.
Para ello calcularemos: ( )x x dx3
2
3
9−
−
∫ Si aplicamos directamente la regla de
Barrow obtendremos un resultado erróneo ya que no hemos comprobado si
existen tramos negativos de la función en el intervalo (-2, 3) .
Para calcular el área pedida seguiremos los siguientes pasos:
1. Resolvemos la ecuación x3
-9x = 0 para calcular dónde corta al eje X. El
resultado son los puntos -3, 0 y 3.
2. Seleccionamos las raíces afectadas en nuestro problema, que son las que
pertenezcan al intervalo [-2,3] : en nuestro caso 0 y 3.
3. Descomponemos Área = | ( )x x dx3
2
0
9−
−
∫ | +| ( )x x dx3
0
3
9−∫ |
4. Calculamos una primitiva de x3
- 9x : G(x) = x4
/4-9x2
/2.
5. Calculamos cada una de las integrales definidas ( )x x dx3
2
0
9−
−
∫ = 0 -(4- 18) =14
u2
y ( )x x dx3
0
3
9−∫ = 81/4 - 81/2 -0 = -81/4 y ya podemos concluir que el área
buscada es 14 + 81/4 = 137/4 u2
B) ÁREA COMPRENDIDA ENTRE DOS CURVAS
El área comprendida entre dos curvas f y g es igual al área de f menos el área de
g entre los puntos de corte de f y g.
5. En el dibujo tenemos f(x) = -x2
+6x -4 y g(x) = x . Calculamos los puntos de
corte y resultan x =1 y x = 4 y calculamos f(x)-g(x) = -x2
+5x -4 y calculamos el
área comprendida entre 1, 4 bajo f-g:
Resolvemos -x2
+5x -4=0 y resulta 1 y 4 que coinciden con los extremos de la
integral definida .
Calculamos
]− + − =
−
+ − =
−
+ − −
−
+ − =∫ x x dx
x x
x u2
3 2
1
4 2
1
4
5 5
3
5
2
5
64
3
40 20
1
3
5
2
5
3
2
) ( )
B) VOLUMEN DE UN CUERPO DE REVOLUCIÓN
Un trozo de curva y = f (x) en el intervalo [a, b], se hace girar alrededor del eje
X y se engendra un cuerpo de revolución:
El volumen del cuerpo será igual a Π f x dx
a
b
2
( )∫
6. En el dibujo tenemos f(x) = -x2
+6x -4 y g(x) = x . Calculamos los puntos de
corte y resultan x =1 y x = 4 y calculamos f(x)-g(x) = -x2
+5x -4 y calculamos el
área comprendida entre 1, 4 bajo f-g:
Resolvemos -x2
+5x -4=0 y resulta 1 y 4 que coinciden con los extremos de la
integral definida .
Calculamos
]− + − =
−
+ − =
−
+ − −
−
+ − =∫ x x dx
x x
x u2
3 2
1
4 2
1
4
5 5
3
5
2
5
64
3
40 20
1
3
5
2
5
3
2
) ( )
B) VOLUMEN DE UN CUERPO DE REVOLUCIÓN
Un trozo de curva y = f (x) en el intervalo [a, b], se hace girar alrededor del eje
X y se engendra un cuerpo de revolución:
El volumen del cuerpo será igual a Π f x dx
a
b
2
( )∫