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1. CÁLCULO DIFERENCIAL
DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR.
DERIVACIÓN IMPLÍCITA
Semana 11 - Sesión 02

2. LOGRO DE LA SESIÓN
Al finalizar la sesión de aprendizaje el estudiante es
capaz de calcular las derivadas de segundo orden, de tercer
orden, sucesivamente, y de utilizar sus diferentes notaciones.
También será capaz de calcular la derivada de una
función que no está expresada en forma explícita utilizando el
proceso denominado Derivación Implícita.

3. Si f es una función derivable, su derivada f´ también es una función
que también puede tener derivada. Dicha derivada se representa como
( f´ )´= f´´ . Esta nueva función f´´ se llama Segunda Derivada de f .
Usando la notación de Leibniz, si y = f (x) , podemos escribir:
2
2
[ ]   
 
 
 
dy d yd d
f (x) f (x)
dx dx dx d x
Otras notaciones son:
2( 2 )
  
x
f (x) f (x) D f (x)
DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

4. Ejemplo 1
Si f (x) = x Cos (x) :
f (x) Cos(x) x Sen (x)  
f (x) x Cos(x) 2 Sen(x)   
        








x
y
f
f ´´
f ´

5. Ejemplo 2
La posición de una partícula está dada por la ecuación
, donde t se mide en segundos y s en
metros.
a. Halle la aceleración en el instante t. ¿Qué valor tiene la ace-
leración a los 4 segundos?
b. ¿Cuándo va aumentando la rapidez de la partícula?¿Cuándo
va perdiendo rapidez?
c. Grafique la posición, velocidad y aceleración para 0  t  5.
3 2s f (t) t 6t 9t   

6. a.
ds 2
dt
2
2
v (t) f (t) 3t 12t 9
d s
a (t) f (t) 6t 12
dt


   
  
2En el instante t 4 segundos, a (4) 12m / s 
Respuesta
Va perdiendo rapidez en el intervalo de tiempo [ 0, 2 ] .
Va aumentando rapidez en el intervalo [ 2, 5 ] segundos.
b.

7. c.

8. Extensión
1
y , entonces
x
Si 
2
3
4
1
y
x
2!
y
x
3!
y
x
  
 
  
1
y
x

En forma sucesiva se puede hallar la Tercera Derivada,
la Cuarta Derivada, la Derivada de Orden n de una fun-
ción f . Se les denota:
Ejemplo 3
3 3 (3)
3 3
d [ f (x) ] d y
f (x) f (x)
dx dx
  

9. Ejemplo 4
La figura muestra las gráficas de f , f ´ y f ´´. Identifique cada curva y
explique su elección.
Respuesta
f
f
f



10. DERIVACIÓN IMPLÍCITA
Es una aplicación muy sencilla de la Regla de la Cadena que
permite hallar la derivada dy/dx aún en los casos en que no es posible
expresar la función y en una forma explícita en términos de x .
Esto se presenta por ejemplo cuando existe una ecuación entre
las dos variables x y y , que determina la dependencia de la variable y
como función implícita de x .
Por ejemplo, se desea hallar dy/dx en el punto (x , y) = (2, 1) de
la curva
donde es muy difícil, por no decir imposible, despejar y en términos de x
para luego derivarla.
3 2 3
2 5x xy y- + =

11. ESTRATEGIA
APLICAR EL OPERADOR EN AMBOS MIEMBROS.
Es decir, se deriva respecto a la variable x cada sumando de ambos
miembros, y se aplica la Regla de la Cadena en el momento en que sea
requerida.
:
d
dx

12. SOLUCIÓN DEL EJEMPLO PROPUESTO
3 2 3
2 5x xy y- + =
2 2 3
3 2 0
PRODUCTO
d d
x ( xy ) ( y )
dx dx
- + =
2 2 2 3
3 2 2 0x y x (
d d
dx d
y ) ( y )
x
{ }- + + =
2 3
2 2
3 2 2 0
(R .CADENA ) (R .CADENA )
( y ) ( yd d
dx dx
dy dy
d
)
x x
y dy
y- - × × + × =
2 2 2
3 2 2 2 3 0
dx
x y x y y (
d
dy y
)
x
d
- - × × + × =
3 2 3
2 5
d d
(x xy y ) ( )
dx dx
- + =

13. En este caso se aplicará el punto de la curva (x , y) =
(2, 1) en el paso , así :
2 2 2
3 2 2 1 2 2 2 1 3 1 0
dx
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
d
dx
dy y
- - × × + × =
10 8 3 0
10 5
2
y y
y
y
- + =
=
¢
¢
¢ =
¢
Si se tiene el dato del punto de la curva donde se quiere
calcular esta derivada, se utilizará en este momento y así se
podrá despejar dy/dx más fácilmente.

( )

14. Si no tuvieras este dato numérico puedes despejar dy/dx en
forma genérica, desde el paso :
2 2 2
3 2 4 3
dy
x y ( xy y )
dx
- = -
2 2
2
3 2
4 3
x ydy
dx xy y
-
=
-
( )
0 4 3y , x y¹ ¹
Una característica de esta técnica de Derivación Implícita
es que, en general, la derivada dy/dx resultará expresada en
términos de las dos variables x y y .



15. 4 2 2
2 6 4 5x y x y+ = + -
CIERRE DE LA SESIÓN
EJERCICIO: Hallar la pendiente de la recta tangente en el punto
(x, y) = (1, 2) de la curva:
Clave:(C)
A) 3/ 2
B) 2
C) 2
D) 0


16. MUCHAS GRACIAS POR TU
ATENCIÓN