Este documento presenta un resumen de conceptos básicos sobre ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales y no lineales, así como inecuaciones de primer grado. Explica que una ecuación es una igualdad entre expresiones que pueden contener números, letras y operaciones, y que las letras representan cantidades desconocidas llamadas incógnitas. También define conceptos como soluciones de ecuaciones, ecuaciones equivalentes, ecuaciones polinómicas de primer y segundo grado, y métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales y no

1. ECUACIONES E
INECUACIONES
Licenciatura en matemáticas
Álgebra, trigonometría y geometría analítica
Grupo 363
Tarea final
Tutor: Jaime Julio Buelvas
UNAD

2. Ecuaciones
• Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones en la que aparecen
números y letras ligados por operaciones. Las letras representan cantidades
indeterminadas, y se llaman incógnitas.
• Una igualdad que es cierta para cualquier valor de las variables es una
identidad.
3x2 – 18x + 19 = 12x – 29
Incógnita Igualdad
1er miembro 2o
miembro

3. Ecuaciones equivalentes
• Las soluciones de una ecuación son los valores que pueden tomar las incógnitas de
manera que, al sustituirlos en una ecuación, la igualdad sea cierta.
• Dos ecuaciones son equivalentes si tienen la mismas soluciones.
• Transformaciones que conservan las soluciones de una ecuación.
 Si se suma o resta el mismo número a los dos miembros de una ecuación se
obtiene una ecuación equivalente.
 Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación por un mismo
número no nulo se obtiene una ecuación equivalente
Ejemplos:
• La ecuación 3x2 – 18x + 19 = 12x – 29 tiene una solución para x = 2.
• x = 1 no es solución de la ecuación anterior.
• Una ecuación equivalente a la anterior es x2 – 10 x + 16 = 0
• La ecuaciones x2 = 1 y x3 = 1 no son equivalentes

4. Ecuaciones polinómicas.
• Una ecuación en la que sólo aparecen polinomios se llama polinómica.
• Toda ecuación polinómica se puede transformar en otra equivalente de la forma P(x) = 0, en
donde P(x) es un polinomio. Se llama grado de la ecuación al grado de P(x).
Ecuaciones polinómicas de primer grado: toda ecuación polinómica de primer grado se
puede transformar en otra de la forma ax + b = 0 con a  0
Soluciones: –b
aesta ecuación tiene una única solución: x =
Interpretación geométrica: un polinomio de grado 1 está representado por una recta. La
solución de la ecuación es la abcisa del punto de corte de la recta con el eje x
O
X
Y
y = ax + b
(–b/a, 0)

5. Ecuaciones cuadráticas
• Las ecuaciones polinómicas de segundo grado, también llamadas cuadráticas, son
equivalentes a ecuaciones de la forma ax2 + bx + c = 0 con a  0
Soluciones: estas ecuaciones pueden tener dos, una o ninguna solución.
Interpretación geométrica: un polinomio de segundo grado está representado por una
parábola. Según la parábola corte al eje X en dos, uno o ningún punto la ecuación cuadrática
tendrá dos, una o ninguna solución.
x2 + 1 = 0 tiene dos soluciones
complejas: i. No tiene
soluciones reales: la parábola
no corta al eje x
X
Y
y = x2 +1
X
Y
y = (x +2)2
(x + 2)2 = 0 tiene una
solución doble: –2. El
polinomio tiene una raíz real
doble. La parábola corta al
eje x en un punto
x2 –2 = 0 tiene dos soluciones. El
polinomio tiene dos raíces reales
distintas. La parábola corta al eje
x en dos puntos
X
Y
y = x2 – 2

6. Ecuaciones cuadráticas. Solución
Para resolver ax2 + bx + c = 0
x2
+
b
a x +
c
a = 0
x2
+ 2
b
2a
x +
c
a
= 0
x2
+ 2
b
2a
x +
b2
4a2 +
c
a
=
b2
4a2






x +
b
2a
2
+
c
a
=
b2
4a2






x +
b
2a
2
=
b2
4a2 –
c
a =
b2
– 4ac
4a2






x +
b
2a
= 2a
4acb2

x = 2a
4acbb 2

Se divide entre a
Se sustituye a
b
por 2
b
2a
Se suma
b2
4a2
Se utiliza el cuadrado perfecto






x +
b
2a
2
Se despeja






x +
b
2a
2
y se opera
Se despeja






x +
b
2a
Se despeja x

7. Sistemas de ecuaciones. Solución de un sistema
5x + y = 13
x + y = 1
Una solución de este sistema: x = 3; y = –2. En este caso es única
Y
X
Interpretación geométrica:
• Cada igualdad del sistema representa una
recta en el plano cartesiano.
• Una solución de este sistema es un punto
común a ambas rectas
5x+y=13
x+y=1
(3, –2)

8. Sistemas equivalentes.
Sistemas lineales y no lineales
Sistemas equivalentes:
Dos sistemas son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones
Se pueden aplicar a un sistema las mismas transformaciones que a una ecuación:
• Si se suma o se resta el mismo número a los dos miembros de una ecuación de un
sistema, se obtiene un sistema equivalente
• Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación de un sistema por un
mismo número distinto de cero, se obtiene un sistema equivalente
Sistemas lineales y no lineales:
• Si en un sistema todas la ecuaciones son polinómicas de grado 1, se
dice que es un sistema de ecuaciones lineales.
• En caso contrario se dice que el sistema es no lineal.

9. Número de soluciones de un sistema de
ecuaciones lineales 2x2
5x + y = 13
x + y = 1
Es un sistema con solución única.
x + y = 1
x + y = 2
Es un sistema sin solución.
2x + 2y = 2
x + y = 1 Es un sistema con infinitas soluciones.
Y
X
x + y = 1
5x + y = 13
X
Y
x + y = 1 x + y = 2
Y
X
x + y = 1
2x + 2y = 2

10. Un sistema de ecuaciones lineales
sin solución
x + y - 2z = 9
2x - y + 4z = 4
2x - y + 4z = -1

x + y - 2z = 9
- 3y + 8z = -14
- 3y + 8z = -19

x + y - 2z = 9
- 3y + 8z = -14
0 = -5
(1ª ec) (–2) + 2ª ec
(1ª ec) (–2) + 3ª ec
(2ª ec) (–1) + 3ª
ec
La ecuación 0 = – 5 no puede satisfacerse y el sistema al que se ha llegado no
tiene solución. Como el sistema original es equivalente, tampoco tiene solución.

11. Un sistema de ecuaciones lineales con infinitas
soluciones
x + y - 2z = 9
2x - y + 4z = 4
2x - y + 4z = 4

x + y - 2z = 9
- 3y + 8z = -14
0 = 0

x + y - 2z = 9
- 3y + 8z = -14
(1ª ec) (–2) + 2ª ec
(1ª ec) (–2) + 3ª ec
• La ecuación 0 = 0 es siempre cierta y puede ser eliminada, obteniéndose con
ello un sistema equivalente al original.

x + y = 9 + 2z
-3y = -14 - 8z
Dejamos en el primer miembro, el mismo número de ecuaciones que de incógnitas
x = 9 + 2z - =
y =
3
8z14
3
2z-13
3
8z14
•Al darle a z un valor cualquiera (por ejemplo z = –1), podemos obtener las otras incógnitas
por sustitución hacia arriba: y =2, x = 5. Ya tenemos una solución: x= 5, y = 2, z = –1
•Como a z se le puede dar cualquier valor concluimos que el sistema tiene infinitas soluciones.

12. Sistemas de ecuaciones no lineales
• No hay un método general que permita resolver todos los sistema de ecuaciones no lineales.
• Pueden tener cualquier número de soluciones, en número finito o infinito.
• Las ecuaciones del sistema pueden representar rectas o curvas: resolverlo es encontrar todos
los puntos en común a las rectas – curvas que forman el sistema
X
Y
•
•
El sistema tiene dos soluciones:
• x = 3, y = 4
• x = 4, y = 3
Estas soluciones corresponden a las coordenadas de los dos puntos en común
que tienen la circunferencia x2 + y2 = 25, y la recta x + y = 7
x2
+ y2
= 25
x + y = 7
Ejemplo
• Se despeja y de la segunda ecuación y se
sustituye en la primera.
• Se obtiene: x2 – 7x + 12 = 0
• Al resolver: x=3, x = 4
• Sustituimos estos valores de x en la segunda
ecuación y se obtiene: y = 4, y = 3

13. Inecuaciones
• Una inecuación es una desigualdad entre dos expresiones en la que aparecen números y
letras ligados por operaciones. Las desigualdades pueden ser de cualquiera de los tipos: >,
<, , o 
• Las letras representan cantidades indeterminadas, y se llaman incógnitas.
• Las soluciones de una inecuación son los valores que pueden tomar las incógnitas de
manera que, al sustituirlos en la inecuación, la desigualdad sea cierta .
3x2 – 18x + 19 > 12x – 29
Incógnita Desigualdad
1er miembro 2o
miembro

14. Inecuaciones equivalentes
• Dos inecuaciones son equivalentes si tienen la mismas soluciones.
• Transformaciones que conservan las soluciones de una inecuación.
 Si se suma o resta el mismo número a los dos miembros de una inecuación
se obtiene una inecuación equivalente.
 Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación por un
mismo número positivo se obtiene una inecuación equivalente.
 Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación por un
mismo número negativo y se invierte la desigualdad se obtiene una
inecuación equivalente.
Ejemplos:
• La inecuación 3x2 – 18x + 19 > 12x – 29 tiene una solución para x = 1.
• x = 2 no es solución de la inecuación anterior.
• Una inecuación equivalente a la anterior es x2 – 10 x + 16 > 0

15. Inecuaciones de primer grado
• Una desigualdad entre polinomios de primer grado es una inecuación de primer grado.
• Puede ocurrir que:
 Se satisfagan para cualquier valor de la variable.
 No tengan solución.
 Las que no están en ninguno de los casos anteriores son equivalentes a
inecuaciones de la forma: x < a, x > a, x  a, o x  a
Ejemplos:
2x + 3 < 5x + 2  x > 1/3
1/3
Soluciones: (1/3,+)
3 – 2x < 5 – 2x  0 < 2
Como esto es siempre cierto, son son solución todos los
números reales. Soluciones: (– ,+)
5 – 3x  2 – 3x  3  0 Como esto es siempre falso, la inecuación no tiene solución

16. INTEGRANTES
Yeiny Quintero
Ginna M. Montaño
Ingris P. Trespalacio
José F. Tirado
Roberto Cano