Este documento describe los sistemas de ecuaciones lineales con dos variables. Explica que resolver un sistema de dos ecuaciones lineales es encontrar los pares ordenados que satisfacen simultáneamente ambas ecuaciones. Además, presenta métodos para resolver sistemas como sustitución, adición-sustracción y analiza si un sistema tiene solución única, múltiples soluciones o no tiene solución.
Este documento presenta información sobre matrices y sus aplicaciones. Explica conceptos básicos como el tamaño y elementos de una matriz, así como operaciones como suma, resta, multiplicación por escalar y producto de matrices. También cubre la transpuesta y tipos especiales de matrices cuadradas como simétricas y triangulares. El objetivo es que los estudiantes aprendan a trabajar con matrices de forma básica y puedan resolver problemas sencillos que involucren matrices.
Las condiciones de kuhn tucker y lagrangeChely Briceño
Este documento compara y contrasta los métodos de Lagrange y Kuhn-Tucker para la optimización con restricciones. El método de Lagrange introduce multiplicadores de Lagrange para reducir problemas restringidos a problemas sin restricciones, mientras que las condiciones de Kuhn-Tucker proporcionan condiciones necesarias y suficientes para problemas de optimización con restricciones. Estos métodos se aplican comúnmente en economía, teoría del control y otros campos donde se busca optimizar objetivos sujetos a restricciones.
Este documento explica los sistemas de ecuaciones de primer grado. Define un sistema de ecuaciones como un conjunto de ecuaciones donde se buscan los valores de las incógnitas para satisfacer ambas ecuaciones. Explica tres métodos para resolver sistemas: igualación, sustitución y reducción. Finalmente, proporciona ejercicios de práctica para aplicar estos métodos.
La suma de matrices requiere que las matrices tengan la misma dimensión u orden para que se puedan sumar sus elementos correspondientes en cada posición y obtener así la matriz suma. No es posible sumar matrices si no cumplen con esta condición de tener la misma dimensión.
TEMA 1: MATRICES. OPERACIONES CON MATRICESelisancar
Este documento trata sobre matrices. Define una matriz, sus elementos, dimensión y orden. Explica los diferentes tipos de matrices como cuadradas, rectangulares, nulas, etc. Describe operaciones con matrices como suma, producto por escalar y producto entre matrices. También cubre cálculo de matriz inversa mediante el método de Gauss y el concepto de rango de una matriz.
4.4 base y dimension de un espacio vectorialalexMarcin
El documento introduce conceptos fundamentales sobre espacios vectoriales, incluyendo: (1) Cómo escribir sistemas de ecuaciones lineales en forma vectorial; (2) La definición de espacio generado por un conjunto de vectores; (3) La definición de base de un espacio vectorial y ejemplos de verificar si un conjunto es base; (4) La definición de dimensión de un espacio vectorial y teoremas relacionados. Además, presenta procesos para calcular la dimensión de espacios generados y subespacios.
Este documento trata sobre la combinatoria y su historia. Explica que la combinatoria estudia las diversas formas de agrupar elementos de un conjunto y cuantificar esas combinaciones. También describe los principales tipos de problemas combinatorios como variaciones y combinaciones, y los principios fundamentales como la suma y el producto para resolver problemas. Además, traza los orígenes de la combinatoria en los juegos de azar y su desarrollo en los siglos XVI y XVII gracias a matemáticos como Pascal, Fermat y otros.
Este documento presenta información sobre matrices y sus aplicaciones. Explica conceptos básicos como el tamaño y elementos de una matriz, así como operaciones como suma, resta, multiplicación por escalar y producto de matrices. También cubre la transpuesta y tipos especiales de matrices cuadradas como simétricas y triangulares. El objetivo es que los estudiantes aprendan a trabajar con matrices de forma básica y puedan resolver problemas sencillos que involucren matrices.
Las condiciones de kuhn tucker y lagrangeChely Briceño
Este documento compara y contrasta los métodos de Lagrange y Kuhn-Tucker para la optimización con restricciones. El método de Lagrange introduce multiplicadores de Lagrange para reducir problemas restringidos a problemas sin restricciones, mientras que las condiciones de Kuhn-Tucker proporcionan condiciones necesarias y suficientes para problemas de optimización con restricciones. Estos métodos se aplican comúnmente en economía, teoría del control y otros campos donde se busca optimizar objetivos sujetos a restricciones.
Este documento explica los sistemas de ecuaciones de primer grado. Define un sistema de ecuaciones como un conjunto de ecuaciones donde se buscan los valores de las incógnitas para satisfacer ambas ecuaciones. Explica tres métodos para resolver sistemas: igualación, sustitución y reducción. Finalmente, proporciona ejercicios de práctica para aplicar estos métodos.
La suma de matrices requiere que las matrices tengan la misma dimensión u orden para que se puedan sumar sus elementos correspondientes en cada posición y obtener así la matriz suma. No es posible sumar matrices si no cumplen con esta condición de tener la misma dimensión.
TEMA 1: MATRICES. OPERACIONES CON MATRICESelisancar
Este documento trata sobre matrices. Define una matriz, sus elementos, dimensión y orden. Explica los diferentes tipos de matrices como cuadradas, rectangulares, nulas, etc. Describe operaciones con matrices como suma, producto por escalar y producto entre matrices. También cubre cálculo de matriz inversa mediante el método de Gauss y el concepto de rango de una matriz.
4.4 base y dimension de un espacio vectorialalexMarcin
El documento introduce conceptos fundamentales sobre espacios vectoriales, incluyendo: (1) Cómo escribir sistemas de ecuaciones lineales en forma vectorial; (2) La definición de espacio generado por un conjunto de vectores; (3) La definición de base de un espacio vectorial y ejemplos de verificar si un conjunto es base; (4) La definición de dimensión de un espacio vectorial y teoremas relacionados. Además, presenta procesos para calcular la dimensión de espacios generados y subespacios.
Este documento trata sobre la combinatoria y su historia. Explica que la combinatoria estudia las diversas formas de agrupar elementos de un conjunto y cuantificar esas combinaciones. También describe los principales tipos de problemas combinatorios como variaciones y combinaciones, y los principios fundamentales como la suma y el producto para resolver problemas. Además, traza los orígenes de la combinatoria en los juegos de azar y su desarrollo en los siglos XVI y XVII gracias a matemáticos como Pascal, Fermat y otros.
Este documento presenta un resumen de conceptos básicos sobre ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales y no lineales, así como inecuaciones de primer grado. Explica que una ecuación es una igualdad entre expresiones que pueden contener números, letras y operaciones, y que las letras representan cantidades desconocidas llamadas incógnitas. También define conceptos como soluciones de ecuaciones, ecuaciones equivalentes, ecuaciones polinómicas de primer y segundo grado, y métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales y no
Este documento describe los conceptos básicos de la combinatoria, incluyendo variaciones, permutaciones y combinaciones. Explica las fórmulas para calcular cada uno y provee ejemplos de su aplicación en problemas matemáticos. También cubre conceptos como permutaciones y combinaciones con repetición, permutaciones circulares y propiedades importantes de los números combinatorios.
Este documento presenta ejercicios sobre teoría de conjuntos. Los ejercicios incluyen expresar afirmaciones sobre conjuntos de manera simbólica, completar proposiciones con los símbolos de pertenencia o no pertenencia, definir conjuntos por extensión y comprensión, determinar si un conjunto es vacío o no, y analizar relaciones entre conjuntos como subconjunto, unión e intersección.
Este documento presenta información sobre la unidad de geometría en el grado 11, incluyendo expectativas, indicadores, objetivos e introducciones a las pruebas directas e indirectas y a los teoremas y postulados importantes sobre triángulos rectángulos y congruencia de triángulos. Se explican los pasos para realizar pruebas directas e indirectas y se incluyen ejemplos para ilustrar su aplicación.
Este documento explica conceptos lógicos como tautología, contradicción y contingencia. Una tautología es una expresión lógica que es siempre verdadera independientemente de los valores de verdad de sus componentes. Una contradicción es siempre falsa. Una contingencia puede ser verdadera o falsa dependiendo de los valores de verdad. Para determinar si una expresión es una de estas, se construye una tabla de verdad.
El documento describe las leyes fundamentales del álgebra elemental, incluyendo las leyes idempotentes, asociativas, conmutativas, distributivas, de identidad y de complementación. Explica cada ley con ejemplos y también describe otras equivalencias como las leyes condicionales, bicondicionales, de disyunción exclusiva, del contrareciproco y de reducción al absurdo.
Sistema de ecuaciones lineales metodo de sustituciónAna Robles
Este documento describe el método de sustitución para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos variables. Explica los cinco pasos del método: 1) despejar una variable en una ecuación, 2) sustituir en la otra ecuación, 3) resolver para encontrar el valor de la otra variable, 4) sustituir de nuevo para encontrar el segundo valor, y 5) comprobar la solución. También incluye enlaces a videos explicativos y un ejemplo completo del proceso.
Este documento describe dos métodos para resolver ecuaciones diferenciales de coeficientes indeterminados: el método de superposición y el método del anulador. El método de superposición implica proponer una solución particular basada en la forma de la función dada, mientras que el método del anulador usa un operador que anula la función dada para encontrar una solución de orden superior. Se proporcionan ejemplos para ilustrar ambos métodos.
El documento presenta el método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que a diferencia del método de Cramer, el método de Gauss puede estudiar cualquier tipo de sistema lineal, determinar si es incompatible o encontrar su solución si es compatible. Define la matriz ampliada formada por la matriz asociada y el vector b, y muestra un ejemplo de una matriz ampliada "ideal" cuya solución es directa debido a su forma escalonada.
Este documento explica la ecuación de Bernoulli, un método para resolver ecuaciones diferenciales. La ecuación de Bernoulli estándar involucra términos con un número real n, que no puede ser 0 ni 1. El método implica pasar la ecuación a la forma estándar de Bernoulli, identificar sus términos, y realizar una sustitución que convierte la ecuación en una lineal más fácil de resolver. El documento también presenta un ejemplo numérico para ilustrar los pasos de resolución de una ecuación diferencial usando este método
El documento describe el método de reducción para resolver sistemas de ecuaciones. Este método implica multiplicar las ecuaciones por números para eliminar una incógnita, sumar las ecuaciones resultantes para obtener una ecuación con una sola incógnita, resolver esta ecuación para encontrar el valor de la incógnita, y sustituir este valor en una de las ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra incógnita.
El documento explica los sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita, cómo resolverlos y da ejemplos. Presenta también problemas tipo y cómo resolverlos mediante el establecimiento de inecuaciones y su resolución.
Este documento explica las diferencias entre igualdades y desigualdades matemáticas. Define una igualdad como una equivalencia entre dos expresiones numéricas o algebraicas separadas por el símbolo de igualdad "=". Las desigualdades indican que dos cantidades tienen valores diferentes y usan símbolos como "<" o ">". También describe tipos de igualdades como condicionales e identidades y los diferentes signos de desigualdad.
Este documento presenta una introducción a la teoría de la optimización. Explica que la optimización estudia cómo resolver problemas cuantitativos buscando valores máximos o mínimos de funciones sujetas a restricciones. También describe métodos clásicos como el cálculo de derivadas y el método de Newton, así como el uso de técnicas de optimización en diversas áreas como la ingeniería, economía y biología.
Este documento define relaciones y funciones. Explica que una relación conecta conjuntos de objetos y debe cumplir condiciones como el orden para ser una función. Las funciones mapean cada elemento de un conjunto a otro de forma unívoca y se clasifican como inyectivas, suprayectivas o biyectivas dependiendo de la correspondencia entre conjuntos. También describe funciones algebraicas y trascendentes según su regla de correspondencia.
El documento presenta información sobre conceptos de cálculo como integrales definidas e indefinidas, áreas entre curvas, centro de gravedad y momento de inercia. Incluye teoremas como los de Varignón, Steiner y el segundo teorema fundamental del cálculo para aplicarlos a distintas situaciones geométricas y físicas.
Este documento presenta un proyecto sobre sistemas de ecuaciones lineales realizado por estudiantes de ingeniería petrolera. Explica los objetivos del proyecto, resume los tipos de sistemas y métodos de solución, e incluye ejemplos y ejercicios resueltos sobre ecuaciones lineales.
Este documento habla sobre las ecuaciones algebraicas. Explica que una ecuación relaciona expresiones algebraicas con letras como x e y que representan incógnitas. Luego clasifica las ecuaciones en varias categorías como racionales vs irracionales, compatibles vs incompatibles, de primer grado vs segundo grado, y numéricas vs literales. Finalmente, explica cómo resolver ecuaciones de primer y segundo grado.
El documento describe las posiciones relativas de dos rectas en un plano. Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente. Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es -1. Dos rectas son secantes si se cortan en un punto común. El documento también presenta un taller de ejercicios para evaluar estas posiciones relativas.
Este documento describe los conceptos básicos de los conjuntos, incluyendo elementos, conjuntos, pertenencia, subconjuntos, uniones, intersecciones y complementarios. Explica cómo determinar conjuntos mediante enumeración o propiedades y define conjuntos especiales como el conjunto vacío y el conjunto unitario. También describe propiedades clave como la inclusión, igualdad, uniones, intersecciones y complementarios.
Este documento contiene 17 proyectos de matemáticas para estudiantes de segundo año de secundaria. Cada proyecto presenta un problema matemático, con la solución escrita debajo. Los problemas incluyen ecuaciones, sistemas de ecuaciones, inecuaciones, conjuntos de soluciones y otros conceptos matemáticos.
Este documento describe las ecuaciones de primer grado con una incógnita. Define conceptos como igualdad, identidad y ecuación. Explica las propiedades de la igualdad y las reglas para despejar literales. Proporciona ejemplos de cómo resolver ecuaciones de primer grado simples y con signos de agrupación.
Este documento presenta un resumen de conceptos básicos sobre ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales y no lineales, así como inecuaciones de primer grado. Explica que una ecuación es una igualdad entre expresiones que pueden contener números, letras y operaciones, y que las letras representan cantidades desconocidas llamadas incógnitas. También define conceptos como soluciones de ecuaciones, ecuaciones equivalentes, ecuaciones polinómicas de primer y segundo grado, y métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales y no
Este documento describe los conceptos básicos de la combinatoria, incluyendo variaciones, permutaciones y combinaciones. Explica las fórmulas para calcular cada uno y provee ejemplos de su aplicación en problemas matemáticos. También cubre conceptos como permutaciones y combinaciones con repetición, permutaciones circulares y propiedades importantes de los números combinatorios.
Este documento presenta ejercicios sobre teoría de conjuntos. Los ejercicios incluyen expresar afirmaciones sobre conjuntos de manera simbólica, completar proposiciones con los símbolos de pertenencia o no pertenencia, definir conjuntos por extensión y comprensión, determinar si un conjunto es vacío o no, y analizar relaciones entre conjuntos como subconjunto, unión e intersección.
Este documento presenta información sobre la unidad de geometría en el grado 11, incluyendo expectativas, indicadores, objetivos e introducciones a las pruebas directas e indirectas y a los teoremas y postulados importantes sobre triángulos rectángulos y congruencia de triángulos. Se explican los pasos para realizar pruebas directas e indirectas y se incluyen ejemplos para ilustrar su aplicación.
Este documento explica conceptos lógicos como tautología, contradicción y contingencia. Una tautología es una expresión lógica que es siempre verdadera independientemente de los valores de verdad de sus componentes. Una contradicción es siempre falsa. Una contingencia puede ser verdadera o falsa dependiendo de los valores de verdad. Para determinar si una expresión es una de estas, se construye una tabla de verdad.
El documento describe las leyes fundamentales del álgebra elemental, incluyendo las leyes idempotentes, asociativas, conmutativas, distributivas, de identidad y de complementación. Explica cada ley con ejemplos y también describe otras equivalencias como las leyes condicionales, bicondicionales, de disyunción exclusiva, del contrareciproco y de reducción al absurdo.
Sistema de ecuaciones lineales metodo de sustituciónAna Robles
Este documento describe el método de sustitución para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos variables. Explica los cinco pasos del método: 1) despejar una variable en una ecuación, 2) sustituir en la otra ecuación, 3) resolver para encontrar el valor de la otra variable, 4) sustituir de nuevo para encontrar el segundo valor, y 5) comprobar la solución. También incluye enlaces a videos explicativos y un ejemplo completo del proceso.
Este documento describe dos métodos para resolver ecuaciones diferenciales de coeficientes indeterminados: el método de superposición y el método del anulador. El método de superposición implica proponer una solución particular basada en la forma de la función dada, mientras que el método del anulador usa un operador que anula la función dada para encontrar una solución de orden superior. Se proporcionan ejemplos para ilustrar ambos métodos.
El documento presenta el método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que a diferencia del método de Cramer, el método de Gauss puede estudiar cualquier tipo de sistema lineal, determinar si es incompatible o encontrar su solución si es compatible. Define la matriz ampliada formada por la matriz asociada y el vector b, y muestra un ejemplo de una matriz ampliada "ideal" cuya solución es directa debido a su forma escalonada.
Este documento explica la ecuación de Bernoulli, un método para resolver ecuaciones diferenciales. La ecuación de Bernoulli estándar involucra términos con un número real n, que no puede ser 0 ni 1. El método implica pasar la ecuación a la forma estándar de Bernoulli, identificar sus términos, y realizar una sustitución que convierte la ecuación en una lineal más fácil de resolver. El documento también presenta un ejemplo numérico para ilustrar los pasos de resolución de una ecuación diferencial usando este método
El documento describe el método de reducción para resolver sistemas de ecuaciones. Este método implica multiplicar las ecuaciones por números para eliminar una incógnita, sumar las ecuaciones resultantes para obtener una ecuación con una sola incógnita, resolver esta ecuación para encontrar el valor de la incógnita, y sustituir este valor en una de las ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra incógnita.
El documento explica los sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita, cómo resolverlos y da ejemplos. Presenta también problemas tipo y cómo resolverlos mediante el establecimiento de inecuaciones y su resolución.
Este documento explica las diferencias entre igualdades y desigualdades matemáticas. Define una igualdad como una equivalencia entre dos expresiones numéricas o algebraicas separadas por el símbolo de igualdad "=". Las desigualdades indican que dos cantidades tienen valores diferentes y usan símbolos como "<" o ">". También describe tipos de igualdades como condicionales e identidades y los diferentes signos de desigualdad.
Este documento presenta una introducción a la teoría de la optimización. Explica que la optimización estudia cómo resolver problemas cuantitativos buscando valores máximos o mínimos de funciones sujetas a restricciones. También describe métodos clásicos como el cálculo de derivadas y el método de Newton, así como el uso de técnicas de optimización en diversas áreas como la ingeniería, economía y biología.
Este documento define relaciones y funciones. Explica que una relación conecta conjuntos de objetos y debe cumplir condiciones como el orden para ser una función. Las funciones mapean cada elemento de un conjunto a otro de forma unívoca y se clasifican como inyectivas, suprayectivas o biyectivas dependiendo de la correspondencia entre conjuntos. También describe funciones algebraicas y trascendentes según su regla de correspondencia.
El documento presenta información sobre conceptos de cálculo como integrales definidas e indefinidas, áreas entre curvas, centro de gravedad y momento de inercia. Incluye teoremas como los de Varignón, Steiner y el segundo teorema fundamental del cálculo para aplicarlos a distintas situaciones geométricas y físicas.
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El documento describe las posiciones relativas de dos rectas en un plano. Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente. Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es -1. Dos rectas son secantes si se cortan en un punto común. El documento también presenta un taller de ejercicios para evaluar estas posiciones relativas.
Este documento describe los conceptos básicos de los conjuntos, incluyendo elementos, conjuntos, pertenencia, subconjuntos, uniones, intersecciones y complementarios. Explica cómo determinar conjuntos mediante enumeración o propiedades y define conjuntos especiales como el conjunto vacío y el conjunto unitario. También describe propiedades clave como la inclusión, igualdad, uniones, intersecciones y complementarios.
Este documento contiene 17 proyectos de matemáticas para estudiantes de segundo año de secundaria. Cada proyecto presenta un problema matemático, con la solución escrita debajo. Los problemas incluyen ecuaciones, sistemas de ecuaciones, inecuaciones, conjuntos de soluciones y otros conceptos matemáticos.
Este documento describe las ecuaciones de primer grado con una incógnita. Define conceptos como igualdad, identidad y ecuación. Explica las propiedades de la igualdad y las reglas para despejar literales. Proporciona ejemplos de cómo resolver ecuaciones de primer grado simples y con signos de agrupación.
Este documento presenta ejercicios resueltos sobre magnitudes proporcionales y porcentajes. En la primera sección se calculan razones entre cantidades. La segunda sección aplica el concepto de razón a diferentes situaciones. La tercera sección comprueba si pares de razones forman proporción. La cuarta sección calcula el valor de letras en proporciones. Las secciones siguientes construyen series de razones, determinan si pares de magnitudes son directa o inversamente proporcionales, y completan tablas de proporcionalidad.
Ecuaciones de primer grado ejercicios resueltos (nx power-lite)Gaby Zapata
El documento presenta diferentes métodos para resolver ecuaciones enteras de primer grado, incluyendo ecuaciones con una incógnita, signos de agrupación, productos indicados. Luego, proporciona varios ejercicios para practicar la resolución de este tipo de ecuaciones.
El documento presenta 24 problemas de aritmética con sus respectivas opciones de respuesta. Los problemas incluyen cálculos sobre promedios, porcentajes, velocidades, áreas, entre otros. El objetivo es que los estudiantes practiquen y desarrollen sus habilidades en operaciones matemáticas básicas como suma, resta, multiplicación y división.
El documento presenta diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones de 2x2, incluyendo reducción, igualación, sustitución y graficación. Luego presenta ejemplos de sistemas compatibles e incompatibles y ejercicios para que los estudiantes practiquen los diferentes métodos.
Este documento explica conceptos básicos sobre ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales. Define ecuaciones, soluciones, ecuaciones algebraicas e identidades. Luego describe métodos para resolver ecuaciones de primer grado y sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, incluyendo el uso de determinantes. Finalmente, introduce determinantes de tercer orden y la resolución de sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas.
Este documento presenta un resumen de los sistemas de ecuaciones y los métodos para resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Explica qué es un sistema de ecuaciones, los tipos de sistemas (compatible determinado, compatible indeterminado e incompatible), y los cinco métodos para resolver sistemas: igualación, suma y resta, sustitución, determinantes y gráfico. Luego, procede a explicar con ejemplos cada uno de los métodos de igualación, suma y resta, y sustitución.
Este documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales de 2x2, incluyendo sustitución, igualación, reducción y determinantes. Explica que un sistema puede tener una solución única, infinitas soluciones o ninguna solución, y muestra ejemplos resueltos de cada caso usando diferentes métodos. También describe cómo resolver un sistema gráficamente trazando las ecuaciones como rectas y encontrando su punto de intersección.
Este documento resume diferentes temas de matemáticas como ecuaciones de primer y segundo grado, sistemas de ecuaciones y de inecuaciones lineales con dos incógnitas. Explica cómo resolver ecuaciones lineales ax+by=0, sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas mediante métodos como sustitución e igualación, y clasifica los tipos de sistemas en base a la relación entre sus coeficientes. También describe cómo representar gráficamente inecuaciones lineales y sistemas de inecuaciones, así como la forma general de resolver
Este documento define ecuaciones y sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Explica que un sistema está formado por dos ecuaciones con dos variables que deben satisfacer ambas ecuaciones. Presenta métodos para resolver sistemas, incluyendo sustitución, igualación y reducción. Además, clasifica sistemas como compatibles determinados, incompatibles o indeterminados.
El documento define ecuaciones y sistemas de ecuaciones de primer grado. Explica que una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas con valores conocidos y desconocidos. Un sistema de ecuaciones consiste en dos ecuaciones con dos incógnitas cuya solución satisface ambas ecuaciones. Se clasifican los sistemas y se describen métodos como sustitución, igualación y reducción para resolver sistemas de ecuaciones de primer grado.
1) El documento explica cómo resolver ecuaciones fraccionarias convirtiéndolas a ecuaciones enteras. 2) También cubre métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales como suma-resta, igualación y sustitución. 3) Finalmente, introduce conceptos de geometría analítica como puntos en una recta, teorema de Pitágoras y números complejos.
Este documento presenta diferentes temas de matemáticas como ecuaciones de primer y segundo grado, sistemas de ecuaciones y de inecuaciones lineales con dos incógnitas. Explica cómo resolver ecuaciones lineales ax+by=0, sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas usando métodos como sustitución e igualación, y clasifica los tipos de sistemas en base a la relación entre sus coeficientes. También describe cómo representar gráficamente inecuaciones lineales y sistemas de inecuaciones.
El documento describe los sistemas de ecuaciones lineales y métodos para resolverlos. Explica que los sistemas de ecuaciones lineales son importantes en matemáticas aplicadas y que se han desarrollado algoritmos sofisticados para resolverlos. Luego introduce conceptos clave como matrices, transformaciones elementales de filas, y teoremas sobre rangos que son útiles para determinar si un sistema es compatible o incompatible. Finalmente, presenta cuatro métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de Gauss-Jordan.
Este documento presenta el tema de los sistemas de ecuaciones lineales. Explica qué son los sistemas de ecuaciones lineales, cómo se escriben y clasifican. Luego, describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo sustitución, igualación y reducción. Finalmente, aplica estos métodos para resolver un problema de la vida real sobre los costos de cuadernos y plumones comprados.
Este documento proporciona una introducción a los sistemas de ecuaciones lineales. Explica qué son las ecuaciones lineales y los sistemas de ecuaciones lineales, y describe varios métodos para resolver sistemas de dos ecuaciones lineales, incluyendo igualación, sustitución, reducción y determinantes. El objetivo es brindar a los estudiantes conceptos básicos de álgebra lineal para que puedan aplicarlos en otras áreas.
Este documento proporciona una introducción a los sistemas de ecuaciones lineales. Explica qué son las ecuaciones lineales y los sistemas de ecuaciones, y describe varios métodos para resolver sistemas de dos ecuaciones lineales, incluyendo igualación, sustitución, reducción y determinantes. El objetivo es brindar a los estudiantes conceptos básicos de álgebra lineal para que puedan aplicarlos en otras áreas.
Este documento presenta información sobre ecuaciones lineales y cuadráticas. Explica los diferentes tipos de ecuaciones y métodos para resolver ecuaciones lineales como reducción, igualación, sustitución y método gráfico. También describe cómo resolver ecuaciones cuadráticas usando factorización simple, completando el cuadrado y la fórmula cuadrática. Finalmente, da un ejemplo aplicado de un problema de gestión ambiental.
1. El documento presenta los conceptos y métodos para resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.
2. Se describen tres métodos para resolver estos sistemas: sustitución, igualación y reducción.
3. Se explican los pasos para aplicar cada método y resolver problemas mediante sistemas de ecuaciones.
Este documento presenta un tema sobre la solución de sistemas de ecuaciones lineales. Explica los antecedentes históricos de los sistemas de ecuaciones lineales y cómo se pueden clasificar en determinados, indeterminados e incompatibles. Luego, describe tres técnicas para resolver sistemas de ecuaciones lineales: resolución por igualación, sustitución y reducción. Finalmente, presenta un ejemplo de resolución gráfica de un sistema.
Este documento presenta un tema sobre la solución de sistemas de ecuaciones lineales. Explica los antecedentes históricos de los sistemas de ecuaciones lineales y cómo se pueden clasificar según el número de soluciones. Luego, describe tres técnicas principales para resolver sistemas de ecuaciones lineales: resolución por igualación, sustitución y reducción. Finalmente, presenta un ejemplo de cómo resolver un sistema gráficamente.
Este documento trata sobre sistemas de ecuaciones lineales. Explica conceptos como ecuaciones lineales de dos incógnitas, sistemas de ecuaciones lineales y sus soluciones. También describe métodos para representar sistemas gráficamente y clasificarlos, así como métodos para resolver sistemas como la sustitución.
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La Unión Europea ha acordado un paquete de sanciones contra Rusia por su invasión de Ucrania. Las sanciones incluyen restricciones a las importaciones de productos rusos clave como el acero y la madera, así como medidas contra bancos y funcionarios rusos. Los líderes de la UE esperan que las sanciones aumenten la presión económica sobre Rusia y la disuadan de continuar su agresión contra Ucrania.
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El documento describe ecuaciones y fracciones algebraicas. Explica que las ecuaciones algebraicas involucran variables y operaciones racionales como adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. Distingue entre ecuaciones racionales enteras y fraccionarias. Luego resuelve ejemplos numéricos de ecuaciones cúbicas y cuárticas usando descomposición en factores y la regla de Ruffini. Finalmente, cubre conceptos básicos sobre fracciones algebraicas como simplificación, dominio de definición y operaciones como multiplicación y
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1. Se pide completar una tabla con operaciones y polinomios.
2. Se pide relacionar operaciones con polinomios resultados.
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2.4 ecuaciones, funciones e inecuaciones cuadráticas (mayo 0Raul Noguera Morillo
Este documento presenta ejemplos para ilustrar conceptos relacionados con ecuaciones y funciones cuadráticas. Introduce las ecuaciones cuadráticas y cómo resolverlas mediante factoreo o la fórmula cuadrática. Luego, define funciones cuadráticas y muestra su representación gráfica como parábolas, analizando propiedades como dominio, rango, ceros y extremos. Finalmente, analiza un ejemplo de una función cuadrática que modela la concentración de dióxido de carbono a lo largo del día.
El documento describe la evolución histórica del álgebra desde su introducción por matemáticos griegos y hindúes hasta su desarrollo en los siglos XVI y XVII. Específicamente, destaca las contribuciones de al-Jwārizmī, quien sentó las bases para resolver ecuaciones lineales y cuadráticas, y de René Descartes, quien introdujo los sistemas de coordenadas y contribuyó al concepto de función. Finalmente, explica la importancia de dominar conceptos algebraicos para resolver problemas tanto matemáticos como de la vida real
Este manual presenta los conceptos matemáticos básicos necesarios para la educación media superior, incluyendo: (1) los sistemas de numeración y operaciones con números reales e irracionales; (2) ecuaciones, funciones e inecuaciones lineales y cuadráticas; (3) ecuaciones y sistemas de ecuaciones racionales; y (4) geometría plana y elementos de trigonometría. Explica los conjuntos numéricos, sus propiedades y operaciones, así como ejemplos y ejercicios para cada tema.
José Luis Jiménez Rodríguez
Junio 2024.
“La pedagogía es la metodología de la educación. Constituye una problemática de medios y fines, y en esa problemática estudia las situaciones educativas, las selecciona y luego organiza y asegura su explotación situacional”. Louis Not. 1993.
La Unidad Eudista de Espiritualidad se complace en poner a su disposición el siguiente Triduo Eudista, que tiene como propósito ofrecer tres breves meditaciones sobre Jesucristo Sumo y Eterno Sacerdote, el Sagrado Corazón de Jesús y el Inmaculado Corazón de María. En cada día encuentran una oración inicial, una meditación y una oración final.
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Examen de Lengua Castellana y Literatura de la EBAU en Castilla-La Mancha 2024.
3.3 sistemas de ecuaciones (mayo 07)
1. 3.3 Sistemas de ecuaciones
3.3.1 Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables.
Las ecuaciones que pueden reducirse a la forma ax + by = c donde x y y son
variables (x ∈ R, y ∈ R) con a, b y c números reales dados, tales que a y b no
sean simultáneamente nulos se llaman ecuaciones lineales con dos variables.
El lugar geométrico de los puntos que satisfacen estas ecuaciones es una recta en
el plano.
Los métodos para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos
variables fueron ya estudiados en grados anteriores.
Resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables es hallar
los pares ordenados (x;y) que satisfacen simultáneamente las dos ecuaciones.
a1x + b1y = c1
(I)
a2 x + b2 y = c 2
Dichos pares ordenados forman el conjunto solución del sistema.
Si dos sistemas tienen el mismo dominio de definición y el mismo conjunto
solución, se llaman equivalentes.
Las transformaciones equivalentes consisten en intercambiar dos ecuaciones,
multiplicar una ecuación por un factor diferente de cero o en adicionar un múltiplo
constante de una ecuación a otra, con el propósito de eliminar una de las
incógnitas.
Ejemplo 1:
En una primera etapa de una competencia de tiro la razón de los puntos obtenidos
por Alberto y Enrique es de 10 a 13. Si en la segunda etapa Alberto acumula 10
puntos más y Enrique sólo 4, entonces estarán empatados. ¿Cuántos puntos han
acumulado Alberto y Enrique en la primera etapa?
Resolución:
Como se aprecia, resulta conveniente introducir variables. Para comparar los
puntos obtenidos en la primera y segunda etapa vamos a hacer una tabla:
Puntos obtenidos por:
Alberto
Enrique
Primera etapa
x
y
En el problema se dan dos relaciones:
Segunda etapa
x + 10
y+4
2. La razón de los puntos obtenidos por Alberto y Enrique es de 10 a 13 se expresa
como:
x 10
=
(I)
y 13
Si en la segunda etapa Alberto y Enrique acumulan los puntos que se plantean,
estarán empatados. Esto se representa como:
X + 10 = y + 4 (II)
Luego, podemos plantear un sistema de dos ecuaciones lineales en dos variables
para determinar el valor de las incógnitas.
x 10
(I)
=
y 13
x + 10 = y + 4 (II)
Este sistema se transforma en:
13x − 10y = 0 (I´)
x − y = −6 (II´)
Tratemos de resolver este sistema de ecuaciones aplicando el método de
sustitución:
Obviamente resulta más fácil despejar x o y en la ecuación (II):
X = y – 6 (III)
Sustituyendo (III) en (I), resulta:
13(y – 6) – 10y = 0
Resolviendo la ecuación anterior:
13y – 78 – 10y = 0
3y = 78
y = 26
Conviene entonces sustituir el valor hallado de y en la ecuación (III) y se obtiene
que x =26 – 6 = 20.
Comprobando en las dos ecuaciones originales, se verifica que:
Ecuación (I)
Ecuación II
20 10
=
26 13
20 + 10 = 26 + 4
211
3. 10 10
=
13 13
30 = 30
Además se aprecia que los valores obtenidos por Alberto y Enrique son
razonables porque están en la relación 10 a 13. Como 10 y 13 son primos, no
podrían ser menores que 10.
Respuesta: En la primera etapa Alberto y Enrique acumularon 20 y 26 puntos
respectivamente.
En resumen,
hemos procedido de la manera siguiente en la aplicación del
método de sustitución:
•
•
•
•
Despejamos en una de las ecuaciones del sistema una de las variables (se
debe tomar la ecuación más simple).
Sustituimos el valor de la variable despejada en la otra ecuación y de esta
forma obtenemos una ecuación en la que aparece una sola variable.
Resolvemos esta ecuación para obtener el valor de una de las variables.
Sustituimos el valor hallado en una de las ecuaciones, preferiblemente en la
ecuación despejada, para obtener el valor de la otra variable.
Tratemos de resolver el sistema anterior por el método de adición-sustracción:
13x − 10y = 0 (I´)
x − y = −6 (II´)
Multiplicando (II´) por –10 se obtiene:
13x − 10y = 0 (I´)
−10x + 10y = 60 (II´´)
3x = 60
x = 20
De manera análoga a como se hizo anteriormente se sustituye el valor hallado de
x en una de las ecuaciones, digamos en (II´), y se obtiene que y =26.
En resumen, hemos procedido de la manera siguiente en la aplicación del método
de adición-sustracción:
•
•
Transformamos convenientemente las ecuaciones del sistema de manera
que obtengamos dos ecuaciones, de modo que los coeficientes de una de
las variables sean iguales u opuestos.
Sustraemos o adicionamos según convenga, miembro a miembro, las
ecuaciones del sistema transformado, para obtener una ecuación en una
sola variable.
212
4. •
•
Hallamos la solución de dicha ecuación .
Sustituimos el valor obtenido de la variable en una de las ecuaciones del
sistema original según convenga, para hallar el valor de la otra variable.
La escritura del conjunto solución no siempre es necesaria de acuerdo con las
exigencias del ejercicio o problema.
La comprobación, debe realizarse en todas las situaciones, sean ejercicios
formales o problemas.
Ejemplo 2
Halla el conjunto solución de los sistemas de ecuaciones lineales que se dan a
continuación (Fig. 3.25):
7y − 15x = 1 (I)
a)
− y − 6x = 8 (II)
8
4
−4x + y = (I)
5
5
b)
5x − 2y = 9 (II)
8
4
−4x + y = (I)
5
5
c)
5x − 2y = −1 (II)
Resolución:
a) Si este sistema se resuelve por el método de adición – sustracción resulta más
fácil eliminar la variable y, debido a que en ambas ecuaciones tiene signos
opuestos. Multiplicando la ecuación (II) por 7 se obtiene:
7y – 15x = 1
7y – 15x = 1
–y – 6x = 8 | ·7
–7y – 42x = 56
–57x = 57
x = –1
Si x = –1, entonces al sustituir en una de las otras dos ecuaciones, obtenemos
que y = –2.
Comprobación
En la ecuación (I)
7y – 15x = 1
MI: 7y – 15x
En la ecuación (II)
–y – 6x = 8
MI: –(–2) – 6(–1)
=7(–2) –15(–1)
= +2 + 6
= –14 + 15
=8
=1
MD: 1
MD: 8
MI = MD
MD = MI
S = {(–1; –2)}
Fig. 3.25
213
5.
¿Las pendientes de las rectas que corresponden a cada una de las ecuaciones
del sistema son iguales o desiguales?
8
4
−4x + y = (I)
5
5
b)
5x − 2y = 9 (II)
Aplicando el método de adición – sustracción se puede multiplicar ambas
5
ecuaciones por un valor diferente de cero o multiplicar la ecuación (I) por , en
4
este caso resulta:
− 5x + 2y = 1 (I)
5x − 2y = 9 (II)
0x + 0y = 10
De manera evidente se aprecia que el resultado
obtenido es una contradicción, luego este sistema
no posee solución alguna. Por tanto, S = { }
¿Las pendientes y los interceptos con el eje de
las ordenadas de las rectas que corresponden a
cada una de las ecuaciones del sistema son
iguales o desiguales?
8
4
−4x + y = (I)
5
5
c)
5x − 2y = −1 (II)
Fig. 3.26
Resolviendo el sistema de forma análoga al inciso b), obtenemos:
− 5x + 2y = 1 (I)
5x − 2y = −1 (II)
0x + 0y = 0
Se aprecia que hemos obtenido un sistema formado
por dos ecuaciones equivalentes. Una se obtiene de
otra multiplicando por (–1) una de ellas. De modo que
los infinitos pares ordenados (x; y) que satisfacen una
cualquiera de estas ecuaciones, serán solución del
sistema, por tanto, el sistema tiene infinitas soluciones.
S = { ( x; y ) : x ∈ R, y ∈ R, 5x − 2y = −1}
¿Las pendientes y los interceptos con el eje de las
ordenadas de las rectas que corresponden a cada
214
6. una de las ecuaciones del sistema son iguales o desiguales?
Fig. 3.27
Un sistema puede tener solución única, no tener soluciones o tener infinitas
soluciones, en dependencia de si las rectas correspondientes a cada una de las
ecuaciones del sistema se cortan, son paralelas o coincidentes como se ilustra en
el ejemplo anterior.
Para determinar analíticamente, si el sistema
a1x + b1y = c1
a2 x + b2 y = c 2
tiene solución única, no tiene soluciones, o tiene infinitas soluciones se puede
despejar la y en cada una de las ecuaciones y representar el sistema en la forma:
a
c
y=− 1x− 1
b1 b1
y = − a2 x − c 2
b2 b2
De acuerdo con el valor de las pendientes y del intercepto con el eje de las
ordenadas de las rectas correspondientes a cada una de las ecuaciones del
sistema, tenemos:
a1
a
≠ − 2 , entonces el sistema tiene una única solución, porque las
b1
b2
rectas se cortan.
1. Si: −
a1
a
c
c
= − 2 (I) y − 1 ≠ − 2 el sistema no tiene solución, porque las
2. Si: −
b1
b2
b1
b2
rectas son paralelas.
a1
a
c
c
= − 2 (I) y − 1 = − 2 (II) , entonces el sistema tiene infinitas
3. Si: −
b1
b2
b1
b2
soluciones, porque las rectas son coincidentes.
Explica con tus palabras el significado de las igualdades que aparecen en
el recuadro anterior y comprueba estos resultados con los obtenidos en el
ejemplo 2.
Si a1 = k a2 y b1 = k b2, entonces los coeficientes de las variables son
respectivamente proporcionales y se cumple la relación (I).
Si c1 = k c2 y b1 = k b2, los coeficientes de una de las variables y del término
independiente son respectivamente proporcionales y se cumple la relación (II).
215
7. Si se cumplen simultáneamente (I) y (II), todos los coeficientes de una ecuación
son respectivamente proporcionales a los de la otra.
Verifica las afirmaciones que se hacen a continuación relativas al ejemplo
2:
a) Para el sistema del inciso a) se cumple:
a1 b1
≠
.
a2 b2
Por eso el sistema de ecuaciones tiene una única solución y las rectas
correspondientes a las ecuaciones del sistema se cortan.
b) Para el sistema del inciso b) se cumple:
a1 b1
=
a2 b2
y
b1 c1
≠
.
b2 c 2
Por eso el sistema de ecuaciones no tiene solución y las rectas
correspondientes a las ecuaciones son paralelas entre sí:
c) Para el sistema del inciso c) se cumple:
a1 b1 c1
=
=
.
a2 b2 c 2
Por eso el sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones y las rectas
correspondientes a las ecuaciones del sistema son coincidentes.
Ejemplo 3
Sea el sistema:
ay − (2a + b)x = b
− y − (a − b)x = a + b
Determina el valor de los parámetros a y b, para que el conjunto
solución del sistema sea S = {( –2; –1)}
Resolución:
Como nos dan el conjunto solución del sistema, entonces los valores
numéricos de las variables son x = –2 y y = −1, los cuales deben
satisfacer simultáneamente a las dos ecuaciones del sistema.
Sustituyendo estos valores en las ecuaciones y realizando las operaciones
indicadas, se obtieneun sistema de ecuaciones en las variables a y b:
(I)
− a + 2(2a + b) = b
1 + 2(a − b) = a + b (II)
Efectuando se obtiene:
3a + b = 0 (I´)
a − 3b = −1 (II´)
Despejando en (I´) b = –3a y sustituyendo en (II´) resulta:
a–3(–3a) = –1
a+9a = –1
a=–0,1
216
8. En consecuencia, b = 0,3.
Luego los valores de a y b son –0,1 y 0,3 respectivamente.
3.3.3 Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres variables.
Las ecuaciones que pueden reducirse a la forma ax + by+cz= d donde x,y
y z son variables (x ∈ R, y ∈ R, z ∈ R) con a, b, c y d números reales
dados, tales que a, b y c no sean simultáneamente nulos se llaman
ecuaciones lineales con tres variables. El lugar geométrico de los puntos
que satisfacen estas ecuaciones es un plano en el espacio.
Resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables es
hallar las ternas ordenados (x;y;z) que satisfacen simultáneamente las
tres ecuaciones
a1x + b1y + c1z = d1;
a2 x + b2 y + c 2 z = d2 ;
a x + b y + c z = d
3
3
3
3
.
Para resolver un sistema de tres ecuaciones con tres variables:
•
Se toman dos parejas de ecuaciones en las que se elimina la
misma variable, para obtener dos nuevas ecuaciones con solo dos
variables.
•
Se resuelve el sistema formado por estas dos ecuaciones.
•
Se sustituyen los valores encontrados en una de las ecuaciones
originales y se halla el valor de la otra variable.
El conjunto solución se escribirá de acuerdo con las exigencias del
ejercicio o problema.
La comprobación se realizará en las tres ecuaciones originales del
sistema.
Estos sistemas encuentran múltiple aplicación en actividades de la
industria, las ciencias y la tecnología o incluso, los servicios. Veamos
algunos ejemplos.
Ejemplo 1
Una planta produce ventanas de uno, dos y tres paños. Para ello
requiere tres departamentos: uno que se encarque de las labores de
troquelado, otro para el ensamble y otro para el empaque. Los
217
9. departamentos de troquelado, ensamble y empaque disponen como
máximo de 19, 330 y 120 horas de mano de obra por día,
respectivamente. ¿Cuántas ventanas de cada tipo se deben producir
Ventana
Ventana
Ventana
de 1
paño
de 2
paños
de 3
paños
Departamento
de troquelado
1
h
40
1
h
20
3
h
40
Departamento
de ensamble
3
h
5
9
h
10
6
h
5
Departamento
de empaque
1
h
5
3
h
10
1
h
2
diariamente para que la planta opere a su máxima capacidad, teniendo
en cuenta los tiempos respectivos que se requieren en cada
departamento para el trabajo con ellas, según se indica en la siguiente
tabla?
Tiempos para el trabajo con cada tipo de ventana por
departamento
Resolución:
Resulta conveniente introducir variables. Sean x, y, z la cantidad de
ventanas de 1, 2 y 3 paños que se deben producir por día para que la
planta opere a su máxima capacidad, respectivamente.
La cantidad de ventanas que se produzcan de un tipo multiplicada por
la cantidad de tiempo que demora su producción en un departamento
dado, nos da como resultado el tiempo que se consume en cada
departamento con cada tipo de ventana.
Así por ejemplo, en el departamento de troquelado, tendríamos:
x.
1
h: tiempo que demora producir las ventanas de 1 paño
40
y.
1
h: tiempo que demora producir las ventanas de 2 paños
20
218
10. z.
3
h: tiempo que demora producir las ventanas de 3 paños.
40
Hay que para averiguar cuánto se debe producir de cada tipo de
ventana para aprovechar la cantidad de horas que como máximo se
pueden dedicar diariamente al troquelado, que como se sabe son 19
horas. Luego se puede plantear la relación:
x.
1
1
3
+ y.
+ z.
= 19
40
20
40
Esto se pudiera hacer de forma análoga para cada departamento, lo
cual nos permite plantear el siguiente sistema de ecuaciones:
1
3
1
40 x + 20 y + 40 z = 19
9
6
3
y + z = 330
x+
10
5
5
3
1
1
5 x + 10 y + 2 z = 120
Multiplicando cada ecuación
denominadores, obtenemos:
por el mínimo común múltiplo de los
(I)
x + 2y + 3z = 760
6x + 9y + 12z = 3 300 (II)
2x + 3y + 5z = 1 200 (III)
Para eliminar una variable, digamos la variable x, de dos ecuaciones,
podemos elegir trabajar primero con las ecuaciones (I) y (III) y después
con la (II) y la (III).
Multiplicando la ecuación (I) por (–2) y adicionándole la ecuación (III)
obtenemos:
– 2x – 4 y –6 z = –1 520
2x + 3y +5 z =
1 200
–y – z = – 320 (IV)
Multiplicando la ecuación (III) por (–3) y adicionándole la ecuación (II)
obtenemos:
6x + 9y +12z =
3 300
–6x –9y –15z = –3 600
–3z = –300
z = 100 (V)
219
11. De (IV) y (V) se obtiene sustituyendo (V) en (IV) que y = 220.
Sustituyendo ambos valores en cualquiera de las ecuaciones (I), (II) o
(III) resulta x = 20.
De haber obtenido en (V) una ecuación en las variables y y z, habría
que haber resuelto el sistema de 2 ecuaciones con dos incógnitas
resultante de (IV) y (V).
Comprobando en el sistema original se verifica que los valores
obtenidos son efectivamente solución de este.
Comprobación:
Para (I) se tiene que 20 + 2(220) + 3(100) = 20 + 440 + 300 = 760
Para (II) se tiene que 6(20) + 9(220) + 12(100) = 120+1980 +1200 = 3 300
Para (III) se tiene que 2(20) + 3(220) + 5(100) = 40 + 660 + 500 = 1 200
Observa que todos son valores positivos, para los cuales tienen
sentido las condiciones del problema.
Por tanto, para que la planta opere diariamente a su máxima
capacidad se deben producir 20 ventanas de un paño, 220 de 2 paños
y 100 de 3 paños.
Ejemplo 2
Halla el conjunto solución del siguiente sistema de ecuaciones:
x + y + z = 7 (I)
6x + 2y − 2z = 6 (II)
2x + 4y + z = 12 (III)
Resolución:
Trabajaremos primero con las ecuaciones (I) y (II) para eliminar, por
ejemplo, la variable z.
Multiplicando la ecuación (I) por 2 y adicionándole la ecuación (II):
2x + 2y + 2z = 14
6x + 2y – 2z = 6
8x + 4y
= 20 (IV)
Trabajaremos ahora con las ecuaciones (I) y (III) para eliminar también
la variable z.
Multiplicando la ecuación (I) por –1 y adicionándole la ecuación (III)
obtenemos:
–x – y – z = –7
2x + 4y + z = 12
x + 3y
= 5 (V)
220
12. Con las ecuaciones (IV) (V) se forma el sistema:
8x + 4y = 20 (IV)
x + 3y = 5 (V)
Multiplicando la ecuación (V) por –8, y adicionándola con la ecuación
(IV), obtenemos:
8x + 4y =
20
–8x – 24y = –40
–20 y = –20
y=1
Sustituyendo este resultado en (IV) o (V) se obtiene que x = 2, y
sustituyendo los valores hallados para x, y en (I) , (II) o (III) resulta z = 4
Comprobación:
Para (I) se tiene que 2 + 1 + 4 = 7
Para (II) se tiene que 6(2) + 2(1) – 2(4) = 12 + 2 -8 = 6
Para (III) se tiene que 2(2) + 4(1) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12
Luego S = {(2; 1; 4)}.
Ejemplo 3 (Una receta para los meses de verano)
Cuando vayas a la playa, al campismo o simplemente cuando estés en
casa, puedes preparar un sabroso jugo que se obtiene mezclando agua
de coco, jugo de zanahoria y zumo de limón. Para obtener un vaso de
jugo (200 mL) debes conocer en qué proporciones mezclarlos y cómo
proceder. La tercera parte del agua de coco debe exceder en 5 mL a
los mililitros que se utilicen de zumo de limón; además, el zumo de
limón y el jugo de zanahoria deben estar en la razón 3:25. Se
recomienda endulzar el jugo con miel de abejas y que al final se bata
todo. Con la descripción realizada puedes determinar fácilmente las
cantidades necesarias de cada producto para obtener un vaso de jugo.
Entonces, ¿cuántos mililitros de cada ingrediente emplearías para
obtener un litro de este sabroso jugo?
Resolución:
Lee detenidamente la receta (el problema) para que encuentres qué
necesitas hallar y cómo expresar los datos que te dan . De nuevo
introduzcamos variables.
¿Cuáles son las cantidades de los ingredientes a utilizar?
x: mililitros de agua de coco
y: mililitros de jugo de zanahoria
z: mililitros de zumo de limón
221
13. ¿Cómo está conformada la mezcla?
x + y + z = 200 mL
¿Cómo expresar que la tercera parte de la cantidad de agua de coco
excede en 5 mL a la cantidad de mililitros de zumo de limón?
x
−5 = z
3
o
x
= z +5
3
La razón entre la cantidad de zumo de limón y de jugo de zanahoria
quedaría expresada como
z
3
=
.
y
25
Luego se puede plantear el sistema siguiente para averiguar el valor de
las incógnitas.
x + y + z = 200 (I)
x
(II)
−5 = z
3
3
z
(III)
y = 25
x
− 5 = z se puede escribir como x – 3z = 15 (II´) y
3
z
3
=
y
25
se puede expresar como 3y = 25z o –3y + 25z = 0 (III´)
x + y + z = 200 (I)
− 3z = 15 (II´)
x
− 3y + 25z = 0 (III´)
Multiplicando la ecuación (II´) por –1 y adicionándole la ecuación (I),
para eliminar la variable x resulta:
x + y + z = 200
–x
+ 3z = –15
y + 4z = 185 (IV)
Con las ecuaciones (III´) y (IV) formamos el sistema:
222
14. − 3y + 25z = 0 (III´)
y + 4z = 185 (IV)
Multiplicando la ecuación (IV) por (3) y adicionándole (III´), obtenemos:
–3y + 25z = 0
3y + 12z = 555
37z = 555
z=
555
37
z = 15
x
− 5 = z (II) podemos
3
obtener que x = 60 y sustituyendo en la ecuación (I), y = 125.
Si z = 15, entonces sustituyendo en la ecuación
A través de la comprobación se verifica que los valores obtenidos
satisfacen las condiciones del problema: x + y + z = 250.
Los resultados obtenidos significan que para un vaso se deben emplear:
60 mililitros de agua de coco
125 mililitros de jugo de zanahoria
15 mililitros de jugo de limón
Como se debe buscar la cantidad necesaria para un litro (1 000 mL) y
este contiene 5 vasos, debe multiplicarse cada una de las cantidades
obtenidas por cinco, o sea, para un litro de jugo deben mezclarse
300 mL de agua de coco, 625 mL de jugo de zanahoria y 75 mL de
zumo de limón.
223
15. Puedes comprobar también que la resolución ha sido correcta usando la
opción Resolver en el asistente Derive (Fig. 3.28).
Fig. 3.28
Basta señalar en el cuadro de diálogo que se pretende resolver un
sistema de tres ecuaciones. Al presionar “sí”, aparece otro cuadro de
diálogo en el que se deben introducir las ecuaciones (Fig. 3.29).
224
16. Fig. 3.29
Nota: Recuerde que las expresiones decimales se deben escribir
separadas por puntos y no por comas.
Haciendo click sobre la caja de diálogo que dice “Variables”, estas se
escriben automáticamente y solo queda dar la orden de “Resolver”, para
que en la pantalla aparezca el cuadro de la figura 3.30.
225
17. Fig. 3.30
3.3.3 Sistemas con ecuaciones no lineales
Resolver un sistema de una ecuación lineal y una cuadrática o de dos
ecuaciones cuadráticas con dos variables es hallar los pares ordenados
(x;y) que satisfacen simultáneamente ambas ecuaciones. Para algunas
clases de ellos resulta relativamente fácil su resolución.
Sistemas de una ecuación lineal y una cuadrática se presentan por
ejemplo cuando se quiere hallar la intersección de una curva de
segundo grado con una recta. Para resolver tales sistemas se
recomienda usar el método de sustitución.
Ejemplo 1
En grados superiores estudiarás que la ecuación de una circunferencia
desplazada en la dirección de los ejes coordenados es:
(x – h)2 + (y – k)2 = r2.
Halla el o los puntos de intersección, si existen, de la circunferencia
x 2 + y 2 + 8x − 2y − 44 = 0 y la recta de ecuación
dada por la ecuación
y – x – 4 = 0.
Resolución:
Se trata de hallar las coordenadas de los puntos que satisfacen ambas
ecuaciones, que no es más que resolver el sistema:
x 2 + y 2 + 8x − 2y − 44 = 0 (I)
(II)
y − x − 4 = 0
Despejando y en la ecuación (II), queda: y =x+4 (III) y sustituyendo en la
ecuación (I), obtenemos:
x 2 + (x + 4)2 + 8x − 2(x + 4) − 44 = 0
x 2 + x 2 + 8x + 16 + 8x − 2x − 8 − 44 = 0
2x 2 + 14x − 36 = 0
x 2 + 7x − 18 = 0
(x + 9)(x − 2) = 0
x1 = −9, x 2 = 2
Sustituyendo los valores hallados para la primera coordenada de los
puntos en la ecuación (III) para hallar los valores correspondientes a la
segunda coordenada, resulta:
y1 = −9 + 4 = −5,
y2 = 2 + 4 = 6
Luego las coordenadas de los puntos de intersección son (–9;–5) y
(2;6).
226
18. A través de una utilidad gráfica, como puede ser el asistente Derive, se
puede elegir en el menú la opción “Resolver”, introducir el sistema de
dos ecuaciones con dos incógnitas y las respectivas variables, y hacer
click en” Resolver”.
Usando las utilidades de un graficador se puede comprobar lo anterior.
Sistemas de dos ecuaciones cuadráticas se presentan por ejemplo
cuando se quiere hallar la intersección de dos curvas de segundo grado.
Ejemplo 2
Halla el o los puntos de intersección, si existen, de la circunferencia
dada por la ecuación 4x2 + 4y2 + 12y – 7 = 0 y la parábola descrita por
y = 2x2 + 3.
Resolución:
Ambas curvas no tienen puntos de intersección. Al sustituir la expresión
despejada para y en la ecuación de la circunferencia se obtiene una
ecuación de cuarto grado, que no tiene solución real.
Verifícalo
Esto se puede apreciar también en el gráfico de la figura 3.31, hecho
con ayuda del Derive. Este asistente da la posibilidad de hacer el gráfico
de curvas a partir de ecuaciones en las cuales no aparece expresada
una variable en función de otra, de manera explícita. Una vez que se
escribe cada una de las ecuaciones en el editor de la ventana gráfica,
se da retorno, se elige la opción “Insertar” y más adelante, Gráfica 2D,
como se explicó ya anteriormente. De este modo se puede obtener
sucesivamente la gráfica de cada una de las curvas.
.
227
19. Fig. 3.31
Estas utilidades gráficas son especialmente útiles cuando las raíces de
una ecuación son números irracionales o los puntos de intersección de
dos o más curvas tienen coordenadas irracionales, y se quiere hallar
valores aproximados.
Ejemplo 3
x 2 + y 2 = 11 (I)
(II)
x.y = 5
Resuelve el sistema
Resolución:
Este sistema se puede resolver al menos por dos vías. Veamos cada
una de ellas
228
20. Primera vía:
(x+y)2 = 11+2xy=21(I)
2
(x -y) = 11-2xy=1 (II)
Extrayendo raíz cuadrada en
(I) y (II):
x+y= ± 21 (I´)
x-y= ± 1 (II´)
Adicionando (I´)
obtenemos:
21 1
x1,2,3,4=±
±
2
2
Sustrayendo (II´)
obtenemos :
21 m 1
y1,2,3, 4=±
2
2
y
a
Para x1 ≈ 2,8, y1 ≈ 1,8
Para x2 ≈ –2,8, y2 ≈ –1,8
Para x3 ≈ 1,8, y3 ≈ 2,8
Para x4 ≈ –1,8, y41 ≈ –2,8
(II´),
Segunda vía:
Despejar en
(II) una de las
variables, digamos y, y sustituir en
(I). En este caso obtenemos:
25
x 2 + 2 = 11
x
Multiplicando por el mcm de los
denominadores resulta:
x4 – 11x2 + 25 = 0
Mediante un cambio de variable
resulta:
z2 – 11z + 25 = 0
D = 121 – 100 = 21
11
21 11 4,6
z1,2 = ±
≈
±
2
2
2
2
z1 ≈ 7,8
z2 ≈ 3,2
(I´)
x1,2 ≈ ± 7,8 ≈ ±2,8
x 3,4 ≈ ± 3,2 ≈ ±1,8
Sustituyendo en (II) obtenemos:
Para x1 ≈ 2,8, y1 ≈ 1,8
Para x2 ≈ –2,8, y2 ≈ –1,8
Para x3 ≈ 1,8, y3 ≈ 2,8
Para x4 ≈ –1,8, y41 ≈ –2,8
En resumen, obtenemos las mismas soluciones por ambas vías, como
se puede apreciar también en la ventana de Álgebra del Derive (Fig.
3.32).
229
21. Fig. 3.32
Ejercicios (epígrafe 3.3)
1.
Dadas las ecuaciones 3x + 2y = 7; –3x + 3y = 3, entonces el par
ordenado (x;y) que satisface ambas ecuaciones es:
A. (1; 2)
B. (–1; –2)
C. (2; 1)
D. (–2; –1)
2. Dadas las ecuaciones 2x + 3y = 7; –3x + 3y = –3, entonces el par
ordenado (x;y) que satisface ambas ecuaciones es:
A. (1; 2)
B. (–1; –2)
C. (2; 1)
D. (–2; –1)
3. Hallar el conjunto solución en cada caso.
x − 1 = 2(y + 6)
a)
x − 6 = 3(1 − 2y)
x y
7 + 3 = 5
b)
3y − x = 26
14
0,6x + 5y = 1,3
c)
2x − 0,3y = 0,94
230
22. 4.
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones
indistintamente el método de sustitución o el de reducción.
x = 6 − 3y
a)
5x = 2y + 13
y = 3x − 17
b)
y = 2x − 12
usando
2x + 3y = 8
6s + 5t = 22 d)
c)
−2x − 4y = 6
2s + 7t = 14
5. Halla los pares ordenados (x;y) para los cuales se cumplen las
siguientes parejas de ecuaciones:
a).
3x + 2 y = 40
4 x − 3 y = 25
3x − 2 y 7 y − 2 x
4 = 3
d).
x + 4y = 2y + 4
3
2
b).
9 x + 4 y = 19
2 x − 5 y = 16
2x
y =3
e)
2x + y = x + 6 y + 2
y
2y
c).
3x − 7 y = 1
9 y − 4x = − 1
3 x − 4 2 y + 3 x − 4
−
=
6
9
8
f).
6.
¿Qué condiciones se tienen que satisfacer para a i, bi, ci (i = 1,2)
con ai, bi, ci ∈ R{0} para que el conjunto solución del sistema de
ecuaciones
a1x + b1y = c1
a2 x + b2 y = c 2
sea el conjunto vacío, sea un conjunto con un único par ordenado o sea
un conjunto con infinitos pares ordenados?
7. Halla el conjunto solución de los siguientes sistemas de ecuaciones:
2x + y − 4z = 8
a). 3 x + 2 y − 3z = 2
x+ y− z = 0
x+ y = 5
b). z + x = 7
y+ z= 8
3t − 2u + 4v = 13
c). 4t − u − v = 13
− t + 3u − 2v = 2
231
23. x
1 +
x
d). −
2
x
3 +
y
+
2
y
+
3
y
+
4
z
= 32
3
z
= 14
4
z
= 17
5
x + 2y 7
5x + 6 z = 9
3y + 4z 8
=
e).
x + 2y 7
x + y + z = 128
x y z
3 + 5 + 7 = 44
5x y z
f). + + = 105
4 6 3
x y 7z
2 − 5 + 30 = 55
8. Calcula los coeficientes indeterminados A, B, C para que se verifique
la siguiente igualdad:
A(x − 2)(x − 3) + B(x − 1)(x − 3) + C(x − 1)(x − 2) = x 2 + 3
9.
Sea la función cuadrática definida por la ecuación
f(x) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) . Dicha función satisface las siguientes
condiciones:
a) f ( −2 ) = −14 , si se conoce que:
b) Su representación gráfica interseca al eje y en el punto P(0; –4).
c) El par (2; –2) pertenece a la función.
Determina las coordenadas de los puntos A y B, donde la
representación gráfica de f interseca al eje x.
10. Resuelve los sistemas de ecuaciones siguientes:
x 2 + 5 y 2 = 24
a)
4x − 3 y = 14
2 x 2 − 3 y 2 = 24
2x − 3y = 0
x 2 − 4 y 2 = 13
b)
x + 2 y = 13
x 2 + xy + y 2 = 52
e)
x+ y = 8
11. Las soluciones del sistema de ecuaciones
a 2 + 11ab + 12b 2 = 54
c)
d)
2a + 3b = 9
( 7 + x)( 6 + y ) = 80
f)
x+ y = 5
6ax − y = 40
−ax + y = 0
deben ser números enteros. Diga qué números fraccionarios se
pueden asignar al parámetro a para que el sistema satisfaga esa
condición.
12. Sea el sistema de ecuaciones:
232
24. x + ay − 3 = 0
bx + 1 = 2y
Determinar los valores de los parámetros a y b para que el conjunto
solución del sistema sea S ={(3;8)}
13. Sea el sistema de ecuaciones:
x 2 + 4y 2 = 20
y + x = k
¿Para qué valores de k el sistema dado tiene una , dos o ninguna
solución?
14. Calcula el valor de m para que el sistema siguiente no tenga
soluciones reales:
y + 2 = mx
(x + y)(x − y) = 1
15. Construye:
a) Un sistema de ecuaciones lineales (sistema cuadrático) cuyo
1
conjunto solución sea S = − ;4 .
2
b) Dos sistemas de ecuaciones lineales (sistemas cuadráticos)
equivalentes.
c) Un sistema cuadrático cuyo conjunto solución sea S={(0; 1),(–1; 0)}
16. La suma de dos números es 52. La diferencia entre el triplo de uno y
el quíntuplo del otro es 100. ¿Cuáles son los números?
17. La tercera parte de la diferencia de dos números es 11 y los
4
9
del
3
número mayor es igual a los 4 del menor. Hallar los números.
18. La suma de las cifras básicas de un número de dos lugares es 10. Si
se invierte el número de dos cifras se obtiene un número menor en 36
que el número original. ¿Cuál es el número?
19. Determina el número de dos cifras para el cual se cumple que la suma
del duplo de la cifra de las decenas y el triplo de las unidades es 5, si se
conoce que la diferencia entre el triplo de las decenas y el duplo de las
unidades es 1.
233
25. 20. La edad de Eduardo más el duplo de la edad de Enrique suman 65
años. El duplo de la edad de Eduardo excede en 30 años a la de
Enrique. ¿Qué edad tiene cada uno?
21. La edad del hijo más la tercera parte de la edad del padre suman 33
años. Dentro de 6 años la edad del padre excederá al duplo de la edad
de su hijo en 8 años. ¿Cuáles son sus edades actuales?
22. La edad actual de Juan es el 60% de la edad de Pedro. Si dentro de
28 años el promedio de sus edades es de 44 años. ¿Cuáles son sus
edades actuales?
23.
En un triángulo isósceles, la razón entre la amplitud de uno de los
ángulos de la base y la amplitud del ángulo opuesto a ella es 5:8.
Calcula la amplitud de los ángulos interiores del triángulo.
24. En un intercambio de experiencias socio-culturales participaron 15900
jóvenes entre mujeres y hombres. La tercera parte de los hombres
excede en 175 al 35% de las mujeres. ¿Cuántas mujeres y cuántos
hombres participaron en el evento?
25. En un cine los mayores pagan 60 ¢ y los niños 40 ¢. Si entran 250
personas y se recaudan $128. ¿Cuántos mayores y cuántos niños
entraron al cine?
26. Se han utilizado el 20 % de la cantidad de dextrosa y el 25 % de la
cantidad de solución salina, almacenada, lo que hacen 12 L de suero.
Si se disponían de 52 L de suero en total, hallar las cantidades actuales
de cada tipo de suero que quedan en el almacén.
27. El perímetro de una sala rectangular es de 56 m. Si el largo hubiera
disminuido en 2,0 m la sala sería cuadrada. Halla las dimensiones de la
sala.
28.
Un caballo y un mulo caminaban juntos cargando sobre sus lomos
pesados sacos. Lamentábase el caballo de su pesada carga a lo que el
mulo dijo: ¿De qué te quejas? Si yo tomará uno de tus sacos mi carga
sería el doble de la tuya, en cambio, si yo te diera uno mis sacos,
nuestra carga sería la misma. ¿Cuántos sacos lleva cada uno?
29. En un centro de recría hay conejos y faisanes. Esos animales tienen
en total 40 cabezas y 104 patas. ¿Cuántos animales de cada clase
hay?
30. En una granja tenían sembrados 480 ha más de papas que de
cereales. Después de haber recolectado el 80 % del cultivo de papa y el
25 % del de cereales quedaron en el campo 300 ha más de cereales
que de papas. ¿Qué cantidad de hectáreas en cada cultivo habían
sembrados inicialmente?
31. En una cooperativa dedicada al cultivo de viandas, 35 hectáreas están
sembradas de boniato y plátano. Después de recoger la mitad del
cultivo de plátano y la tercera parte del cultivo de boniato, quedaron aún
234
26. 20 hectáreas sembradas. ¿Cuántas hectáreas fueron sembradas de
cada tipo?
32. Un ómnibus en la transportación del personal de un lugar a otro debe
cubrir la distancia en un tiempo determinado; pero el chofer recorrió
todo el trayecto con
1
menos de velocidad habitual y llegó con retraso
5
de 4 min. ¿En qué tiempo debió realizar el recorrido para llegar
puntual?
33. Si el largo de un rectángulo se aumenta en 20 % y su ancho se
disminuye en 20 %, entonces el área disminuye en 162 m 2. ¿Cuál es el
área del rectángulo?
34. Dos automóviles parten simultáneamente de un mismo punto con igual
dirección y sentido; si al cabo de dos horas están a 40 km uno del otro.
¿Cuál es la velocidad de cada uno, si se conoce que la de uno es 3/5
de la del otro?
35. En un recipiente hay doble cantidad de combustible depositado que en
otro, si del primero se vacían 8 L en el segundo, en este último habrá el
80 % de los que hay en el primero. ¿Cuántos litros hay en cada
recipiente?
36. En una fiesta se observan 8 mujeres sentadas y tantas parejas
bailando como hombres sentados. En la siguiente pieza se observa que
todas las mujeres se encuentran bailando y 8 hombres se encuentran
sentados. ¿Cuántas personas asistieron a la fiesta?
37.
Un individuo acudió a una función de un espectáculo de variedades
acompañado de su esposa e hijos. Cuando se disponía a comprar
entradas de $ 8,50, se percató que le iba a faltar $ 5,50, por lo que
decidió comprar entradas de a $ 6,00 y le sobró aún para dos entradas
más. ¿Cuántos hijos tiene el individuo y cuánto dinero acudió al
espectáculo?
38.
El secretario de una sección sindical acudió con $ 300,00 a una
tienda para comprar regalos para obsequiarlos a sus trabajadores más
destacados, pero el dinero no cubría el costo, por lo que tuvo que
devolver un regalo y el vendedor le devolvió tanto como lo que le faltaba
para cubrir el costo de los 38 regalos. Si todos los regalos tenían el
mismo precio. Determínalo.
39. Una tripulación de 70 marinos tiene víveres para un viaje de 50 días.
Si durante el viaje rescataron 50 náufragos sin víveres y para que
alcancen los víveres para todo el viaje disminuyeron la ración en un
tercio. ¿A los cuántos días de viaje rescataron a los náufragos, si aun
así faltaron víveres para 5 días?
40. Un peatón sale de A al encuentro de otro que sale simultáneamente
de B distante 80 km de A. Si se cruzaron en M, entonces el primero
después de cruzarse tardaría 4 horas en llegar a B y el segundo
235
27. tardaría 9 horas en llegar a A. ¿A qué distancia de A se producirá el
encuentro?
41.
Una aleación pesa 2 kg y consta de plata y cobre, con la
particularidad que la masa de plata constituye el 14 2/7 % de la masa de
cobre. ¿Qué cantidad de plata hay en la aleación?
42. En una granja, si al número de gallinas y patos se le disminuyeran en
3 a cada uno, entonces el número de gallinas sería el quíntuplo de los
patos, pero si por el contrario se agregaran 4 patos y 4 gallinas,
entonces las gallinas serían solamente el triplo de los patos. ¿Cuántos
patos y cuántas gallinas tienen la granja? Si el incremento de los patos
y las gallinas es el mismo, ¿Cuántos animales habrá que incrementar
de cada tipo para que el número de patos sea el 30 % del de las
gallinas?
43. En la recogida de papas; la tercera parte de los sacos recogidos por la
brigada vanguardia excede en 2 sacos a la más rezagada y si ambas
recogieron 6 sacos más cada una; la brigada vanguardia excedería en
10 sacos al duplo de los sacos de la más rezagada. ¿Cuántos sacos
más deberá recoger la brigada rezagada para alcanzar a recoger el
75 % de los recogidos por la brigada vanguardia?
44. Un carpintero vendió 3 sillas más que mesas, pero tanto en sillas
como en las mesas obtuvo lo mismo. ¿Cuántos muebles vendió, si las
mesas cuestan $ 36,00 más que las sillas y en total recaudó $ 960,00?
45. Luis se lamentaba, pues tenía menos bolas que su hermano y su papá
para consolarlo le dijo: Luis, no te lamentes, pues el quíntuplo del
número de bolas que tú tienes excede en 10 bolas a las que tú
hermano tiene, y si ambos tuvieran 20 bolas más cada uno, entonces
tendrían el 56 % de las bolas que tendría tu hermano. Luis después de
escuchar a su papá, sonrió y salió a jugar. ¿Cuántas bolas tiene Luis?
46. Un ciclista recorrió 96 km en 2 h menos de los que se esperaba,
durante cada hora del recorrido avanzó un kilómetro más de los que
suponía que iba a avanzar en 1 h y 15 min. ¿A qué velocidad hizo el
ciclista el recorrido?
47. En una escuela con matrícula de 345 alumnos, el 75 % de los varones
y el 60 % de las hembras participaron en un concurso, sin embargo el
número de concursantes varones resultó ser el 40 % del número total
de concursantes. ¿Cuántas hembras no participaron en el concurso?
48. Ochocientos soldados se encuentran en un frente con víveres para 60
días. A los 8 días sufren un ataque y mueren 50 soldados y 12 días más
tarde sufren otro ataque con una perdida de 100 soldados más; 16 días
después del último ataque reciben un refuerzo sin víveres de modo que
estos alcanzaran para 5 días más. ¿De cuántos soldados estaba
constituido el refuerzo?
236
28. 49. El área y el perímetro de un rectángulo ABCD son numéricamente
iguales, si el lado menor, del rectángulo se disminuye en 2 unidades,
entonces el área es numéricamente igual al semiperímetro. Halla el
volumen y el área total del prisma cuya altura mide 3-√ 2 unidades y su
base es el rectángulo ABCD.
50.
El lado de un rectángulo excede en 8,0 m el ancho, si cada lado
aumentara en 3,0 m, el área del rectángulo aumentaría en 57m 2. Halla
el volumen de la pirámide cuya base es el rectángulo original y su
vértice está situado sobre uno de los vértices de la base y que dista
269 dm del más alejado.
51. Un tonel tiene una capacidad de 50 galones y está lleno de vino puro.
Se saca cierta cantidad de vino y se reemplaza por agua y
posteriormente se saca de la mezcla una cantidad igual a la extraída
inicialmente. Si la mezcla que queda en el tonel tiene 32 galones de
vino puro. ¿Cuántos galones se extrajeron cada vez?
52. Un zapatero se contrató para realizar un trabajo bajo la condición de
que recibiera $ 5,50 por cada día de trabajo y se le descontaría $ 6,60
por cada día que no trabajase. Si a los 30 días sólo se le pagó $ 7,70.
¿Cuántos días enteros trabajó el zapatero?
53. En el año 1998, nuestro país contaba con 720 instalaciones entre
hospitales y policlínicos. Si el número de policlínicos excede en el 20 %
del total de instalaciones al número de hospitales. ¿Con cuántos
hospitales y policlínicos contábamos ese año?
54. Un depósito A tiene un volumen de agua igual a
2
de su capacidad y
3
otro B cuya capacidad excede a la de A en 60 litros, tiene un nivel de
agua igual a
7
de su capacidad. Si entre ambos tienen 860 litros de
12
agua. ¿Cuántos litros le faltan al depósito A para llenarse?
55. En una industria siderúrgica deben producirse 12 toneladas de acero
con un 1,45 % de carbono a partir de la fundición de ciertas cantidades
de acero al 0,5 % y 2,5 % de carbono. ¿Qué cantidad de acero de cada
tipo se necesita fundir?
56. Se tiene un cuadrado tal que cuando se disminuye la longitud de un
lado en 0,2 dm y se aumenta la del lado consecutivo en el 75 % de su
longitud, se forma un rectángulo de 40 cm de perímetro. Calcula la
razón entre las áreas del cuadrado y del rectángulo.
57. En una evaluación recientemente aplicada, se examinaron 1607
alumnos de tres Institutos Preuniversitarios. Del primero se examinaron
939 alumnos. El número de alumnos examinados del tercero excedió
en 52 alumnos al 60% de los examinados del segundo. ¿Cuál es la
matrícula del grado 12 del segundo si se dejaron de examinar en la
comprobación 23 alumnos?
237
29. 58. Un estudiante cuando se graduó compró un álbum para poner todas
las fotos que se había tirado con sus compañeros a lo largo de los tres
años de estudio, poniendo una foto en cada hoja. Cuando terminó de
hacer este trabajo se percató que la razón entre el número total de fotos
y la cantidad de páginas que tenía el álbum era de 7:10 y además que
el número de fotos excedía en 24 a la mitad del número de páginas.
¿Cuántas fotos tenía el estudiante?
59. Se tiene un cuadrado tal que cuando se aumenta la longitud de un
lado en 2,0 cm y se disminuye la longitud del lado consecutivo en el 25
% se forma un rectángulo de 32 cm de perímetro. ¿En qué por ciento
disminuyó el área del cuadrado al convertirse en rectángulo?
60. En una jornada de 3 h de trabajo en las BET, Adrián recogió 560
naranjas y las envasó en bolsas de dos tipos: de 8 y 20 naranjas. Si al
final tenía 46 bolsas llenas, ¿cuántas bolsas llenas de cada tipo había?
61. Una empresa mecánica gastó 160 000 pesos en la compra de equipos
de dos modelos distintos. Una unidad de un modelo costó 10 000
pesos, y una unidad del otro, 12 000 pesos. ¿Cuántos equipos de cada
modelo se compraron, si el 40 % de los equipos del primer modelo más
el 20 % de los del segundo modelo representan la tercera parte del total
de equipos comprados?
62. En un edificio de apartamentos se hacen unos arreglos, y el costo
promedio es de $ 200,00 por apartamento. Los vecinos de ocho
apartamentos no pueden colaborar por lo que el costo promedio entre
los restantes apartamentos es ahora de $ 250,00. ¿Cuánto cuesta la
obra? ¿Cuántos apartamentos tiene el edificio?
63.
En un almacén, después de extraer 15 libros había 2 libretas por
cada libro que quedó. Al mes siguiente se extrajeron 45 libretas y
entonces había 5 libros por cada libreta que quedó. ¿Cuántas libretas
y libros había en el almacén antes de las extracciones?
64. Cierto número de personas alquiló un ómnibus para una excursión.
Si hubieran ido 10 personas más, cada una hubiera pagado 5 pesos
menos, y si hubieran ido seis personas menos cada una hubiera
pagado 5 pesos más. ¿Cuántas personas iban a la excursión?
65. Si dividimos un número de dos cifras por la suma de estas, en el
cociente se obtiene 7 y en el resto 6. Si el número se divide por el
producto de sus cifras en el cociente obtenemos 3 y en el resto un
número igual a la suma de sus cifras. Halle el número.
66. El área de un rectángulo es de 21 m 2 y su lado menor excede en
10 cm a la décima parte del lado mayor. Halle su perímetro.
238
30. 67.
Después de un trabajo voluntario en el que cosechaban tomates,
Pedro le dice a Juan: tú hubieras recogido un 40 % menos que yo, si yo
hubiera recogido 15 cajas más. Si entre ambos recogieron 305 cajas.
¿Cuántas cajas recogió cada uno?
68. En una tienda un par de medias cuesta el 35 % de lo que cuesta una
camiseta. Si se aumenta en 1 peso el precio del par de medias y se
rebaja en 2 pesos el de la camiseta, entonces con 16 pesos puedo
comprar 5 pares de medias y 2 camisetas. ¿Cuánto cuesta cada
artículo?
69. La suma de las áreas de dos cuadrados diferentes es 25 unidades
cuadradas. Si se construye un rectángulo cuyos lados sean iguales a
los lados de los cuadrados, su área sería de 10 unidades cuadradas.
Calcula las dimensiones del rectángulo.
70. Un ciclista recorre 30 km en 2 h, con viento en contra. Si tiene el
viento a favor hace el mismo recorrido en 0,75 h. Halla la velocidad del
viento y la del ciclista cuando no tiene aire a favor ni en contra.
71. Se tienen dos bolsas, una roja y otra azul, que contiene juntas 441
bolas. Si de la bolsa roja se saca la cuarta parte de las bolas y se echa
en la azul, entonces en la bolsa roja habrá el duplo de bolas que en la
azul. ¿Cuántas bolas había en cada bolsa?
72.
En un recipiente hay el duplo de la cantidad de refresco que hay en
otro, si del 2do se vierten 8 litros en el 1ro, en el 2do habrá el 20 % de
lo que hay en el 1ro. ¿Cuántos litros había en cada recipiente?
73. En un recipiente hay 10 litros de una mezcla de alcohol y agua. Se
añade cierta cantidad de agua de forma tal que el alcohol
representa el 30 % del total. Después se añade otra cantidad igual
de agua y entonces el alcohol representa un quinto del total. ¿Qué
cantidad de agua se añadió en total?
74.
Para desarrollar un chequeo de emulación los alumnos de dos
escuelas A y B deben reunirse en una explanada situada en el
camino entre ambas escuelas. Los alumnos de la A salen caminando a
las 7:00 am, con una velocidad promedio de 5,5 km/h; los de la B
parten 1/4 de hora más tarde en ómnibus, a una velocidad promedio
de 60 km/h. Las dos escuelas están a una distancia de 11,2 km una de
otra y llegan al mismo tiempo a la explanada.
a). ¿A qué hora se encontraron?
b). ¿Qué distancia existe entre la escuela A y el lugar de la actividad?
75. Una llave vierte cada minuto, 30 litros más de agua que otra y demora
10 minutos menos que esta última en llenar totalmente un tanque de
3600 litros de capacidad.
a). ¿Cuántos litros por minuto vierte cada llave?.
239
31. b). ¿Qué tanto por ciento de la capacidad del depósito llena la
segunda llave sola en 12 min?
76. Una cooperativa de producción agropecuaria sembró 35,6 ha entre
hortalizas y viandas. Por causa de las plagas se afectaron 6,0 ha de
hortalizas las cuales fueron demolidas y utilizadas para incrementar las
viandas y los pastos en 4,0 y 2,0 hectáreas respectivamente. Ahora en
la CPA las tierras dedicadas a viandas duplican a las sembradas de
hortalizas y los pastos se incrementaron en 1,7 %. ¿Qué cantidad de
tierra había dedicado la cooperativa a hortalizas, viandas y pastos?
77. En un circuito eléctrico están concectadas tres resistencias R 1,R2 y R3
y dos batería de 6V (Volts) y 12 V(Voltz) respectivamente. Se puede
demostrar, aplicando las leyes de Kirchhoff, que las intensidades de la
corriente que circula en los tres conductores en paralelo I 1, I2, I3, son las
soluciones del sistema de ecuaciones siguiente:
I1 − I2 + I3 = 0
=6
R1I1 + R2I2
R2I2 + R3I3 = 12
Calcula las intensidades de las corrientes si se conoce que:
a)
b)
R1 = R2 = R3 = 3 Ω
R1 = 4 Ω, R2 = 1 Ω, R3 = 4 Ω
78. Un número está compuesto por 3 cifras cuya suma es el doble de las
cifras de las decenas. La cifra de las centenas es la mitad de la de las
unidades, y cuando se invierte el orden de las cifras el número aumenta
en 198. ¿Cuál es el número?
79. En un número de tres cifras, la suma de ellas es 15. La suma de las
cifras de las centenas y las decenas es igual al cuádruplo de la cifra de
las unidades, si al número se le resta 18 se intercambian las cifras de
las unidades y de las decenas. ¿Cuál es el número?
80. Cinco sellos y tres libros cuestan $ 3,15; dos libros y tres revistas
cuestan $ 2,25 y ocho sellos, cinco libros y cuatro revistas cuestan $
5,82. ¿Cuál es el precio de cada artículo si todos los del mismo tipo
cuestan igual?
81. Un cajero automático contiene 95 billetes de 10, 20 y 50 pesos y un
total de 2000 pesos. Si el número de billetes de 10 pesos es el doble
que el número de billetes de 20 pesos, ¿cuántos billetes hay de cada
denominación?
240
32. 82.
El total de graduados de una escuela durante tres años consecutivos
fue de 360 alumnos. En el 2do. año se graduaron 30 alumnos más que
en el primer año, y en el tercer año se graduaron tantos como en los
dos años anteriores juntos. ¿Cuántos se graduaron cada año?
83. El aporte de los trabajadores de una fábrica al festival mundial de la
juventud fue de $920.00 en billetes de a 5, 10 y 20 pesos
respectivamente. Si el número de billetes de a $ 10 representa el 14 %
de los de $ 5 y estos exceden al número de los de $ 20 en 20 billetes.
¿Cuántos billetes fueron recaudados de cada tipo?
84. Un obrero necesita comprar dos artículos que importan 1750 pesos.
Puede adquirirlos al contado o a crédito. Por pagar al contado consigue
un descuento del 10 % para el primero y un 5 % para el otro y de esta
manera paga 90 pesos menos. ¿Cuál era el precio original de cada
artículo?
85. Tres depósitos de gasolina tienen una capacidad de 7654 L de
gasolina entre los tres. La capacidad que tiene el segundo excede en
674 L al quíntuplo del tercero. El primero tiene el 60 % de la capacidad
del tercero disminuido en 22 L. ¿Qué capacidad tiene cada depósito?
86. Para apoyar las actividades del evento Pedagogía 2005 fueron
elegidos 126 estudiantes de una escuela. Los estudiantes
seleccionados en onceno grado excedieron en dos a los de décimo
grado y un tercio de los de onceno grado equivale al 50 % de los de
duodécimo grado. ¿Cuántos estudiantes apoyaron por grado dicho
evento?
87. Un mango, una guayaba y un plátano cuestan $ 2,60; 2 mangos y 3
guayabas cuestan $ 5,60; 2 guayabas y 3 plátanos cuestan $ 2,90.
¿Cuánto cuesta cada fruta?
88. El promedio de las notas obtenidas por Luis, Alex y Adrián, en el 1er
TCP de Física, fue de 86 puntos. Luis obtuvo el 80 % de los puntos
obtenidos por Alex y la suma de las notas de Luis y Alex excede en 66
a los puntos obtenidos por Adrián. Uno de ellos obtuvo menos de 85
puntos. ¿Cuántos puntos debe obtener ese alumno en el otro TCP de
Física para ganar el requisito de permanencia en esta asignatura?
89.
Tres camiones de 3, 4 y 7 toneladas transportan 25 t de
mercancías para un almacén, dándose para ello 6 viajes. El camión de
4 t dio dos viajes más que el de 7 t. ¿Cuántos viajes realizó cada uno?
241
33. 90. En una cafetería se venden solamente tres tipos de dulces: torticas a 1
peso, marquesitas a 2 pesos y tartaletas a 3 pesos. En una semana se
vendieron 380 dulces y por esta venta se recaudaron 640 pesos. Si la
cantidad de tartaletas vendidas fue el 80 % de la cantidad de
marquesitas, ¿cuántos dulces de cada tipo se vendieron?
91. Una empresa tiene tres camiones diferentes. En la tabla a
continuación se describe cuántos contenedores de tres tipos distintos
(A, B, C) puede cargar exactamente cada camión en un viaje.
Contenedores
A
B
C
Camiones
1
5
3
4
2
2
5
5
3
4
3
6
Si se han de transportar 45 contenedores del tipo A,. 44 del tipo B y 58 del tipo
C, ¿cuántos viajes ha de hacer cada camión, si todos los viajes los hacen
totalmente llenos?
92. Un trabajador por cuenta propia vendió en una tarde 16 tabletas
de maní, cuyos precios eran de 1, 2 y 3 pesos; recaudando así
30 pesos. El duplo de las tabletas de 3 pesos vendidas excedió en 3 a
las de 1 peso. ¿Cuántas tabletas de cada tipo vendió?
93.
De un almacén de productos alimenticios se trasladan 800 kg de
harina en paquetes de 5, 10 y 12 kg. El duplo de los paquetes de 12 kg
excede en 30 a los de 10 kg, y los de 5 kg son 10 más que el duplo de
los de 12 kg. ¿Cuántos paquetes de cada tipo se trasladaron?
94. Tres productos industriales cuestan juntos 50 pesos. Los precios del
1ro y del 2do. están en la razón 2:3. Si el precio del 2do. y el 3ro. es
rebajado en un 20 %, entonces los tres juntos costarían 42 pesos.
¿Cuánto cuesta cada uno?
95. Tres objetos pesan en total 65 kg. Uno de ellos pesa el 75% de lo que
pesa el otro. Si la suma de los pesos de estos dos se divide por la
mitad del precio del 3ro, el cociente es 2 y el resto es 5. ¿Cuánto pesa
cada uno?
96. En una tienda se vendieron 42 artículos por un costo total de $ 206,00.
Dichos artículos costaban $ 3,00, $ 5,00 y $ 7,00, respectivamente. La
cantidad de artículos de 3 y 7 pesos, juntos, excede en 2 al total de
242
34. artículos del
vendieron?
otro
precio. ¿Cuántos artículos de cada tipo se
97. Un taxi por caminar 5 km o menos cobra una tarifa fija, y un precio
por km a partir de esa cantidad. ¿Cuánto debe pagar un usuario por
la tarifa fija y por cada km por encima si un viaje de 7 km cuesta
$ 4,70; uno de 12 km cuesta $ 10,20 y uno de 26 km cuesta $ 25,60?
98. . Para un encuentro entre amigos o familiares, te ofrecemos la receta
de la¨Migas de Gato cuyos ingredientes fundamentales lo constituyen
los 676 gramos, de pan, aceite y ajo. ¿Cómo proceder?
Se remoja el pan hasta que esté blando y se sofríe en aceite, pero la
diferencia entre las cantidades de estos dos ingredientes debe ser de
532 g, además el 25 % del aceite que se utiliza excede en 1 al duplo de
los gramos de ajo necesarios. Adiciona a las migas de pan, una pizca
de sal y pimienta al gusto, revolviendo hasta que estén secas. ¿Cuántos
gramos de cada ingrediente se necesitan para 30 raciones, si con las
cantidades descritas se pueden preparar migas de gato para seis
raciones?
99.
El perímetro de un triángulo es de 13 cm, el lado mayor excede al
menor en 4,0 cm y la suma de los cuadrados de las longitudes de los
3 lados es de 65 cm2. Halla la amplitud del ángulo menor, si las
longitudes de sus lados son cantidades enteras.
100. El perímetro de un triángulo isósceles es 50 m y su altura relativa al
lado desigual es de 15 m. Halla las longitudes de los lados del triángulo.
101. En un número de dos cifras la suma de los cuadrados de sus cifras
es 10. Si al número buscado se le adiciona 18, se obtiene un número
con las mismas cifras, pero en orden inverso. Halla el número.
102. La diferencia de los perímetros de dos círculos es de 14 π dm, y la
dferencia de sus áreas es de 21π2. Calcula las longitudes de los radios
de los círculos.
103. La longitud L de un cable suspendido entre dos puntos está dada por
la fórmula:
8d2
+s,
3s
donde d es la caída del cable en el centro (en metro) y s, la distancia (en
metro) entre los puntos. La curva descrita se denomina catenaria
(Fig. 3.33). Si un cable de 20,33 m se suspende en el aire entre dos
L=
243
35. puntos A y B, calcula la distancia entre dichos puntos y la caída en el
centro del cable, si se conoce que la razón entre estas distancias es 40.
s
A
B
d
D
Fig. 3.33
244