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Ejercicios 25a36
- 1. www.aulamatematica.com © Marta MartínSierra 1 Resuelve todos los sistemas de ecuaciones siguientes por el método que se señala: Reducción Sustitución Igualación Gráficamente (en caso de que haya infinitas soluciones, propón al menos 2 de ellas): (a) Reducción, sustitución, igualación y gráficamente. Simultáneamente, comprueba con la calculadora los resultados, señalando las soluciones lo más simplificadas posibles. (b) A la vista de las soluciones obtenidas, di el nombre que recibe cada uno de los sistemas anteriores e interprétalos geométricamente. 25. =+ −=− 13 832 yx yx REDUCCIÓN RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE REDUCCIÓN =+ −=− + − 13 832 2 3 yx yx )( )( → 26110 226 2496 =+ =+ =+− yx yx yx y = 26/11 y ≅ 2.36 Cuando obtengamos soluciones fraccionarias se sugiere volver a utilizar el método de reducción para averiguar la otra incógnita =+ −=− 13 832 3 1 yx yx )( )( → 5011 339 832 −=+ =+ −=− yx yx yx x = – 5/11 x ≅ 0.45 (b) A la vista de las soluciones obtenidas se trata de 2 rectas que se cortan en el punto (– 5/11, 26/11) (c) A la vista del número de soluciones el sistema se dice que es COMPATIBLE DETERMINADO Comprobación de las soluciones con la calculadora 26. −=− =− 852 738 yx yx IGUALACIÓN Por ejemplo despejamos la x 8x = 7 + 3y x = 8 37 y+ 2x = – 8 + 5y x = 2 58 y+− 8 37 y+ = 2 58 y+− m.c.m. = 8 7 + 3y = 4(– 8 + 5y) 7 + 3y = – 32 + 20y – 3y – 20y = – 32 – 7 – 17y = – 39
- 2. MÉTODOS DE RESOLUCIÓNde sistemas de ecuaciones con dos incógnitas Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas 17y = 39 y = 39/17 → y ≅ 2.29 Sustituimos el valor de "y" en la segunda ecuación 2x – 5y = – 8 2x – 5· 17 39 = – 8 m.c.m. = 17 34x – 195 = – 136 34x = 195 – 136 34x = 59 x = 59/34 x ≅ 1.74 x = 59/34 ; y = 39/17 Esta solución es común en ambas ecuaciones (b) A la vista de las soluciones obtenidas se trata de 2 rectas que se cortan en el punto (59/34, 39/17) (c) A la vista del número de soluciones el sistema se dice que es COMPATIBLE DETERMINADO Comprobación de las soluciones con la calculadora 27. −=− =+− 33 2 yx yx GRÁFICAMENTE Realizamos una sencilla tabla de valores: – x + y = 2 x – 3y = – 3 x y x y 0 2 0 1 – 2 0 – 3 0 Buscamos con la calculadora un 3º punto perteneciente a ambas rectas: Representamos gráficamente ambas rectas y buscamos el punto de corte: x = – 1.5 ; y = 0.5 Esta solución es común en ambas ecuaciones SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO
- 3. www.aulamatematica.com © Marta MartínSierra 3 28. −=+ =−− 462 03 yx yx SUSTITUCIÓN Despejamos la x de la primera ecuación: – x – 3y = 0 – x = 3y x = – 3y Sustituimos el valor de "x" en la segunda ecuación 2x + 6y = – 4 2(– 3y) + 6y = – 4 – 6y + 6y = – 4 0y = – 4 Como 0 ≠ – 4 IMPOSIBLE No existe ninguna solución común en ambas ecuaciones (b) A la vista de las soluciones obtenidas se trata de 2 rectas paralelas y que, por lo tanto, no se cortan en ningún punto. (c) A la vista del número de soluciones el sistema se dice que es INCOMPATIBLE Comprobación de las soluciones con la calculadora 29. =+ −=−− 296 732 yx yx IGUALACIÓN Por ejemplo despejo la y – 2x – 3y = – 7 – 3y = 2x – 7 3y = – 2x + 7 y = 3 27 x− 6x + 9y = 2 9y = 2 – 6x y = 9 62 x− 3 27 x− = 9 62 x− 9(7 – 2x) = 3(2 – 6x) 63 – 18x = 6 – 18x 18x – 18x = 6 – 63 0x = – 57 0 = – 57 Pero… 0 ≠ 57 No existe ningún valor de "x" e "y" que verifique simultáneamente las 2 ecuaciones (b) A la vista de las soluciones obtenidas se trata de 2 rectas paralelas que no tienen ningún punto en común. (c) A la vista del número de soluciones el sistema se dice que es INCOMPATIBLE Comprobación de las soluciones con la calculadora
- 4. MÉTODOS DE RESOLUCIÓNde sistemas de ecuaciones con dos incógnitas Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas 30. =+− =+ 52 32 yx yx GRÁFICAMENTE Realizamos una sencilla tabla de valores: x + 2y = 3 – x + 2y = 5 x y x y 0 3/2 0 5/2 3 0 – 5 0 Buscamos con la calculadora un 3º punto perteneciente a ambas rectas: Representamos gráficamente ambas rectas y buscamos el punto de corte: x = – 1 ; y = 2 Esta solución es común en ambas ecuaciones SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO 31 =− =− 1533 5 yx yx Vamos a resolverlo por diferentes métodos: RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE REDUCCIÓN =− =−− 1533 5 1 3 yx yx )( )( → 000 1533 1533 =+ =− −=+− yx yx yx 0 = 0 INFINITAS SOLUCIONES; Tendría por solución todos aquellos valores de “x” e “y” que verifiquen la igualdad x – y = 5; así, algunas soluciones serían: x = 5 + y x = 0 ; y = – 5 x = 8 ; y = 3 x = 5 ; y = 0 etc. Geométricamente se trata de 2 rectas SUPERPUESTAS Sistema COMPATIBLE INDETERMINADO Comprobación de las soluciones con la calculadora
- 5. www.aulamatematica.com © Marta MartínSierra 5 32 −=+ −=+− 152 523 yx yx RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE IGUALACIÓN: – 3x + 2y = – 5 2y = – 5 + 3x y = 2 53 −x 2x + 5y = – 1 5y = – 1 – 2x y = 5 21 x−− 2 53 −x = 5 21 x−− 5(3x – 5) = 2(– 1 – 2x) 15x – 25 = – 2 – 4x 15x + 4x = – 2 + 25 19x = 23 x = 23/19 x ≅ 1.21 Para calcular el valor de "y" podemos hacerlo de varias formas: Método 1 y = 2 53 −x y = 2 5 19 23 3 − y = 2 19 9569 − y = 2 19 24− → y = 19 24− : 2 → y = 38 26− y = – 13/19 ≅ – 0.68 Método 2 – 3x + 2y = – 5 – 3 19 23 + 2y = – 5 2y = – 5 + 19 69 2y = 19 6995+− y = 219 26 ⋅ − → y = 38 26− y = – 13/19 y ≅ – 0.68 Método 3 – 3x + 2y = – 5 – 3 19 23 + 2y = – 5 – 69 + 38y = – 95 38y = – 95 + 69 → 38y = – 26 → y = 38 26− y = – 13/19 y ≅ – 0.68
- 6. MÉTODOS DE RESOLUCIÓNde sistemas de ecuaciones con dos incógnitas Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas Como se puede apreciar este último método es el más aconsejable en el caso de obtener como valor de "x" una fracción. (b) A la vista de las soluciones obtenidas se trata de 2 rectas que se cortan en el punto (23/19, –13/19) (c) A la vista del número de soluciones el sistema se dice que es COMPATIBLE DETERMINADO Comprobación de las soluciones con la calculadora 33 =+ =+ xy yx 82 5 RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN: Despejamos la "x" de la primera ecuación: x = 5 – y Sustituimos el valor de "x" en la segunda ecuación 2y + 8 = x 2y + 8 = 5 – y 2y + y = 5 – 8 → 3y = – 3 y = – 1 Sustituimos el valor obtenido en la segunda ecuación: x = 2y + 8 → x = 2·(– 1) + 8 x = 6 x = 6 ; y = – 1 Esta solución es común en ambas ecuaciones (b) A la vista de las soluciones obtenidas se trata de 2 rectas que se cortan en el punto (6, 1) (c) A la vista del número de soluciones el sistema se dice que es COMPATIBLE DETERMINADO Comprobación de las soluciones con la calculadora 34 = =+ xy yx 833 SUSTITUCIÓN RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN: De la segunda ecuación y = x Sustituimos el valor de "y" en la primera ecuación 3x + 3y = 8 3x + 3x = 8 6x = 8 x = 4/3 → x ≅ 1.33 Sustituimos el valor obtenido en la segunda ecuación: y = x y = 4/3 → y ≅ 1.33
- 7. www.aulamatematica.com © Marta MartínSierra 7 x = 4/3 ; y = 4/3 Esta solución es común en ambas ecuaciones Comprobación de las soluciones con la calculadora 35 −=+ −=+− 123 175 yx yx REDUCCIÓN −=+ −=+− 123 175 5 3 yx yx ) ) → 8310 51015 32115 −=+ −=+ −=+− yx yx yx y = – 8/31 → y ≅ – 0.26 Cuando obtengamos soluciones fraccionarias se sugiere volver a utilizar el método de reducción: −=+ −=+−− 123 175 7 2 yx yx ) ) → 5031 71421 21410 −=+ −=− =− yx yx yx 31x = – 5 x = – 5/31 → x ≅ 0165 (b) A la vista de las soluciones obtenidas se trata de 2 rectas que se cortan en el punto (– 5/31, –8/31) (c) A la vista del número de soluciones el sistema se dice que es... COMPATIBLE DETERMINADO Comprobación de las soluciones con la calculadora 36 =− −=+− 486 243 yx yx IGUALACIÓN RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE IGUALACIÓN: Por ejemplo la x – 3x + 4y = – 2 – 3x = – 4y – 2 3x = 4y + 2 x = 3 24 +y 6x – 8y = 4 6x = 4 + 8y x = 6 84 y+ x = 3 42 y+ 3 24 +y = 3 42 y+ 4y + 2 = 2 + 4y 4y – 4y = 2 – 2 0 = 0
- 8. MÉTODOS DE RESOLUCIÓNde sistemas de ecuaciones con dos incógnitas Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas INFINITAS SOLUCIONES; Tendría por solución todos aquellos valores de "x" e "y" que verifiquen la siguiente igualdad 6x – 8y = 4; así, algunas soluciones serían: x = 0 ; y = – 1/2 x = 4/6 ; y = 0 x = 1 ; y = 1/4 x = – 1 ; y = – 5/4 (b) A la vista de las soluciones obtenidas se trata de 2 rectas superpuestas. (c) A la vista del número de soluciones el sistema se dice que es COMPATIBLE INDETERMINADO. Comprobación de las soluciones con la calculadora