Este documento presenta la resolución de varios sistemas de ecuaciones por diferentes métodos como reducción, sustitución, igualación y gráficamente. Se resuelven ejemplos de sistemas compatibles determinados e indeterminados, así como sistemas incompatibles. Se comprueban las soluciones con una calculadora.

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Resuelve todos los sistemas de ecuaciones siguientes por el método que se señala:
Reducción Sustitución Igualación Gráficamente (en caso de que haya
infinitas soluciones, propón al menos 2 de ellas):
(a) Reducción, sustitución, igualación y gráficamente. Simultáneamente, comprueba con la
calculadora los resultados, señalando las soluciones lo más simplificadas posibles.
(b) A la vista de las soluciones obtenidas, di el nombre que recibe cada uno de los
sistemas anteriores e interprétalos geométricamente.
25.



=+
−=−
13
832
yx
yx
REDUCCIÓN
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE REDUCCIÓN



=+
−=−
+
−
13
832
2
3
yx
yx
)(
)(
→
26110
226
2496
=+



=+
=+−
yx
yx
yx
y = 26/11
y ≅ 2.36
Cuando obtengamos soluciones fraccionarias se sugiere volver a utilizar el método de
reducción para averiguar la otra incógnita



=+
−=−
13
832
3
1
yx
yx
)(
)(
→
5011
339
832
−=+



=+
−=−
yx
yx
yx
x = – 5/11
x ≅ 0.45
(b) A la vista de las soluciones obtenidas se trata de 2 rectas que se cortan en el punto
(– 5/11, 26/11)
(c) A la vista del número de soluciones el sistema se dice que es COMPATIBLE
DETERMINADO
Comprobación de las soluciones con la calculadora
26.



−=−
=−
852
738
yx
yx
IGUALACIÓN
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE IGUALACIÓN:
Por ejemplo despejamos la x
8x = 7 + 3y
x =
8
37 y+
2x = – 8 + 5y
x =
2
58 y+−
8
37 y+
=
2
58 y+−
m.c.m. = 8
7 + 3y = 4(– 8 + 5y)
7 + 3y = – 32 + 20y

2. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas
Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas
– 3y – 20y = – 32 – 7
– 17y = – 39
17y = 39
y = 39/17 → y ≅ 2.29
Sustituimos el valor de "y" en la segunda ecuación 2x – 5y = – 8
2x – 5·
17
39
= – 8
m.c.m. = 17
34x – 195 = – 136
34x = 195 – 136
34x = 59
x = 59/34
x ≅ 1.74
x = 59/34 ; y = 39/17 Esta solución es común en ambas ecuaciones
(b) A la vista de las soluciones obtenidas se trata de 2 rectas que se cortan en el punto
(59/34, 39/17)
(c) A la vista del número de soluciones el sistema se dice que es COMPATIBLE
DETERMINADO
Comprobación de las soluciones con la calculadora
27.



−=−
=+−
33
2
yx
yx
GRÁFICAMENTE
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO GRÁFICO:
Realizamos una sencilla tabla de valores:
– x + y = 2 x – 3y = – 3
x y x y
0 2 0 1
– 2 0 – 3 0
Buscamos con la calculadora un 3º punto perteneciente a ambas rectas:
Representamos gráficamente ambas rectas y buscamos el punto de corte:
x = – 1.5 ; y = 0.5 Esta solución es común en ambas ecuaciones

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SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO
28.



−=+
=−−
462
03
yx
yx
SUSTITUCIÓN
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN:
Despejamos la x de la primera ecuación:
– x – 3y = 0
– x = 3y
x = – 3y
Sustituimos el valor de "x" en la segunda ecuación 2x + 6y = – 4
2(– 3y) + 6y = – 4
– 6y + 6y = – 4
0y = – 4
Como 0 ≠ – 4
IMPOSIBLE
No existe ninguna solución común en ambas ecuaciones
(b) A la vista de las soluciones obtenidas se trata de 2 rectas paralelas y que, por lo tanto,
no se cortan en ningún punto.
(c) A la vista del número de soluciones el sistema se dice que es INCOMPATIBLE
Comprobación de las soluciones con la calculadora
COMPROBACIÓN CON LA CALCULADORA GRÁFICA DE TODAS ESTAS SOLUCIONES PROPUESTAS
29.



=+
−=−−
296
732
yx
yx
IGUALACIÓN
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE IGUALACIÓN:
Por ejemplo la y
– 2x – 3y = – 7
– 3y = 2x – 7
3y = – 2x + 7
y =
3
27 x−
6x + 9y = 2
9y = 2 – 6x
y =
9
62 x−
3
27 x−
=
9
62 x−
9(7 – 2x) = 3(2 – 6x)
63 – 18x = 6 – 18x
18x – 18x = 6 – 63

4. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas
Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas
0x = – 57
0 = – 57
Pero… 0 ≠ 57
No existe ningún valor de "x" e "y" que verifique simultáneamente las 2 ecuaciones
(b) A la vista de las soluciones obtenidas se trata de 2 rectas paralelas que no tienen ningún
punto en común.
(c) A la vista del número de soluciones el sistema se dice que es INCOMPATIBLE
Comprobación de las soluciones con la calculadora
COMPROBACIÓN CON LA CALCULADORA GRÁFICA DE TODAS ESTAS SOLUCIONES PROPUESTAS
30.



=+−
=+
52
32
yx
yx
GRÁFICAMENTE
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO GRÁFICO
Realizamos una sencilla tabla de valores:
x + 2y = 3 – x + 2y = 5
x y x y
0 3/2 0 5/2
3 0 – 5 0
Buscamos con la calculadora un 3º punto perteneciente a ambas rectas:
Representamos gráficamente ambas rectas y buscamos el punto de corte:
x = – 1 ; y = 2 Esta solución es común en ambas ecuaciones
SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO

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31



=−
=−
1533
5
yx
yx
Vamos a resolverlo por diferentes métodos:
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE REDUCCIÓN



=−
=−−
1533
5
1
3
yx
yx
)(
)(
→
000
1533
1533
=+



=−
−=+−
yx
yx
yx
0 = 0
INFINITAS SOLUCIONES; Tendría por solución todos aquellos valores de “x” e “y” que
verifiquen la igualdad x – y = 5; así, algunas soluciones serían:
x = 5 + y
x = 0 ; y = – 5
x = 8 ; y = 3
x = 5 ; y = 0
etc.
Geométricamente se trata de 2 rectas SUPERPUESTAS
Sistema COMPATIBLE INDETERMINADO
Comprobación de las soluciones con la calculadora
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
Despejamos la "x" de la primera ecuación:
x = 5 + y
Sustituimos el valor de "x" en la segunda ecuación 3x – 3y = 15
3(5 + y) – 3y = 15
15 + 3y – 3y = 15
0y = 15 – 15
0 = 0
INFINITAS SOLUCIONES; Tendría por solución todos aquellos valores de "x" e "y" que
verifiquen la igualdad x – y = 5; así, algunas soluciones serían las anteriormente señaladas.
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE IGUALACIÓN
Por ejemplo la x
x – y = 5
x = 5 + y
3x = 15 + 3y
x =
3
315 y+
x = 5 + y
5 + y = 5 + y
y – y = 5 – 5
0 = 0
INFINITAS SOLUCIONES; Tendría por solución todos aquellos valores de "x" e "y" que
verifiquen la igualdad x – y = 5; así, algunas soluciones serían las anteriormente señaladas.
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO GRÁFICO:
Se trata de 2 rectas por lo que basta con realizar unas sencillas tablas de valores:

6. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas
Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas
y = x – 5 3x – 3y = 15
x y x y
0 – 5 0 – 5
5 0 5 0
Las dos ecuaciones que forman el sistema tienen ∞ soluciones en común. Geométricamente
son dos rectas coincidentes, o sea, que están superpuestas, con todos los puntos en común.
Así pues, cuando presentan una o más soluciones se dicen que son SISTEMAS
COMPATIBLES, y si éstas NO se puede determinar de modo único, como es el caso que nos
ocupa, se les llaman Sistemas Compatibles INDETERMINADOS. Algunas soluciones podrían
ser aquellas que verifican la igualdad 4x + 12y = 6, es decir, las anteriormente señaladas.
32



−=+
−=+−
152
523
yx
yx
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE IGUALACIÓN:
– 3x + 2y = – 5
2y = – 5 + 3x
y =
2
53 −x
2x + 5y = – 1
5y = – 1 – 2x
y =
5
21 x−−
2
53 −x
=
5
21 x−−
5(3x – 5) = 2(– 1 – 2x)
15x – 25 = – 2 – 4x
15x + 4x = – 2 + 25
19x = 23
x = 23/19
x ≅ 1.21
Para calcular el valor de "y" podemos hacerlo de varias formas:
Método 1
y =
2
53 −x
 y =
2
5
19
23
3 −
 y =
2
19
9569 −

y =
2
19
24−
→ y =
19
24−
: 2 → y =
38
26−
y = – 13/19 ≅ – 0.68
Método 2
– 3x + 2y = – 5  – 3
19
23
+ 2y = – 5
2y = – 5 +
19
69

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2y =
19
6995+−
y =
219
26
⋅
−
→ y =
38
26−
y = – 13/19  y ≅ – 0.68
Método 3
– 3x + 2y = – 5
– 3
19
23
+ 2y = – 5
– 69 + 38y = – 95
38y = – 95 + 69 → 38y = – 26 → y =
38
26−
y = – 13/19  y ≅ – 0.68
Como se puede apreciar este último método es el más aconsejable en el caso de obtener
como valor de "x" una fracción.
(b) A la vista de las soluciones obtenidas se trata de 2 rectas que se cortan en el punto
(23/19, –13/19)
(c) A la vista del número de soluciones el sistema se dice que es COMPATIBLE
DETERMINADO
Comprobación de las soluciones con la calculadora
COMPROBACIÓN CON LA CALCULADORA GRÁFICA DE ESTAS SOLUCIONES PROPUESTAS
33



=+
=+
xy
yx
82
5
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN:
Despejamos la "x" de la primera ecuación:
x = 5 – y
Sustituimos el valor de "x" en la segunda ecuación 2y + 8 = x
2y + 8 = 5 – y
2y + y = 5 – 8 → 3y = – 3
y = – 1
Sustituimos el valor obtenido en la segunda ecuación:
x = 2y + 8 → x = 2·(– 1) + 8
x = 6
x = 6 ; y = – 1 Esta solución es común en ambas ecuaciones

8. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas
Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas
(b) A la vista de las soluciones obtenidas se trata de 2 rectas que se cortan en el punto (6, 1)
(c) A la vista del número de soluciones el sistema se dice que es COMPATIBLE
DETERMINADO
Comprobación de las soluciones con la calculadora
34



=
=+
xy
yx 833
SUSTITUCIÓN
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN:
De la segunda ecuación y = x
Sustituimos el valor de "y" en la primera ecuación 3x + 3y = 8
3x + 3x = 8
6x = 8
x = 4/3 → x ≅ 1.33
Sustituimos el valor obtenido en la segunda ecuación:
y = x
y = 4/3 → y ≅ 1.33
x = 4/3 ; y = 4/3 Esta solución es común en ambas ecuaciones
Comprobación de las soluciones con la calculadora
35



−=+
−=+−
123
175
yx
yx
REDUCCIÓN
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE REDUCCIÓN:



−=+
−=+−
123
175
5
3
yx
yx
)
)
→
8310
51015
32115
−=+



−=+
−=+−
yx
yx
yx
y = – 8/31 → y ≅ – 0.26
Cuando obtengamos soluciones fraccionarias se sugiere volver a utilizar el método de
reducción:



−=+
−=+−−
123
175
7
2
yx
yx
)
)
→
5031
71421
21410
−=+



−=−
=−
yx
yx
yx
31x = – 5
x = – 5/31 → x ≅ 0165
(b) A la vista de las soluciones obtenidas se trata de 2 rectas que se cortan en el punto
(– 5/31, –8/31)

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(c) A la vista del número de soluciones el sistema se dice que es...
COMPATIBLE DETERMINADO
Comprobación de las soluciones con la calculadora
36



=−
−=+−
486
243
yx
yx
IGUALACIÓN
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE IGUALACIÓN:
Por ejemplo la x
– 3x + 4y = – 2
– 3x = – 4y – 2
3x = 4y + 2
x =
3
24 +y
6x – 8y = 4
6x = 4 + 8y
x =
6
84 y+
x =
3
42 y+
3
24 +y
=
3
42 y+
4y + 2 = 2 + 4y
4y – 4y = 2 – 2
0 = 0
INFINITAS SOLUCIONES; Tendría por solución todos aquellos valores de "x" e "y" que
verifiquen la siguiente igualdad 6x – 8y = 4; así, algunas soluciones serían:
x = 0 ; y = – 1/2
x = 4/6 ; y = 0
x = 1 ; y = 1/4
x = – 1 ; y = – 5/4
(b) A la vista de las soluciones obtenidas se trata de 2 rectas superpuestas.
(c) A la vista del número de soluciones el sistema se dice que es COMPATIBLE
INDETERMINADO.
Comprobación de las soluciones con la calculadora
COMPROBACIÓN CON LA CALCULADORA GRÁFICA DE TODAS ESTAS SOLUCIONES PROPUESTAS
37



−=−
=−−
224
132
yx
yx
SUSTITUCIÓN

10. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas
Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN:
Despejamos la "y" de la primera ecuación:
– 3y = 1 + 2x
3y = – 1 – 2x
y =
3
21 x−−
Sustituimos el valor de "y" en la segunda ecuación 4x – 2y = – 2
4x – 2
3
21 x−−
= – 2
12x + 2 + 4x = – 6
16x = – 6 – 2
16x = – 8
x = – 8/16
x = – 0.5
Calculamos el valor de la otra incógnita sustituyendo en y =
3
21 x−−
y =
3
5021 ).(−−−
=
3
11 +−
= 0
y = 0
x = – 0.5 ; y = 0 Esta solución es común en ambas ecuaciones
(b) A la vista de las soluciones obtenidas se trata de 2 rectas secantes que se cortan en el
punto
(– 0.5, 0).
(c) A la vista del número de soluciones el sistema se dice que es COMPATIBLE
DETERMINADO
Comprobación de las soluciones con la calculadora
38



=−
=+−
132
02
yx
yx
GRAFICAMENTE
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO GRÁFICO
Realizamos una sencilla tabla de valores:
– x + 2y = 0 2x – 3y = 1
x y x y
0 0 0 – 1/3
1 0.5 0.5 0
Buscamos con la calculadora un 3º punto perteneciente a ambas rectas:
Representamos gráficamente ambas rectas y buscamos el punto de corte:

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x = 2 ; y = 1 Esta solución es común en ambas ecuaciones
(b) Se trata de 2 rectas que se cortan en el punto (2, 1)
(c) A la vista del número de soluciones el sistema se dice que es COMPATIBLE
DETERMINADO
39



−=+−
=−−
243
52
yx
yx
SUSTITUCIÓN
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN:
Despejamos la "y" de la primera ecuación:
– y = 5 + 2x
y = – 5 – 2x
Sustituimos el valor de "y" en la segunda ecuación – 3x + 4y = – 2
– 3x + 4(– 5 – 2x) = – 2
– 3x – 20 – 8x = – 2
– 11x = 20 – 2
– 11x = 18 → 11x = – 18
x = – 18/11 → x ≅ – 1.64
Calculamos el valor de la otra incógnita sustituyendo en
y = – 5 – 2x
y = – 5 – 2 




 −
11
18
y = – 5 +
11
36
=
11
3655 +−
=
11
19−
→ y ≅ – 1.73
x = – 18/11 ; y = – 19/11 Esta solución es común en ambas ecuaciones
(b) A la vista de las soluciones obtenidas se trata de 2 rectas secantes que se cortan en el
punto
(– 1.64, – 1.73).

12. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas
Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas
A la vista del número de soluciones el sistema se dice que es COMPATIBLE
DETERMINADO
Comprobación de las soluciones con la calculadora
COMPROBACIÓN CON LA CALCULADORA GRÁFICA DE TODAS ESTAS SOLUCIONES PROPUESTAS
40



−=−
=−
322
27
yx
yx
SUSTITUCIÓN
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
Consiste en despejar una de las incógnitas de una de las ecuaciones y sustituir la expresión
resultante en la otra ecuación.
Despejamos la "x" de la primera ecuación:
7x – y = 2
7x = 2 + y
x =
7
2 y+
Sustituimos el valor de "x" en la segunda ecuación 2x – 2y = – 3
2·
7
2 y+
– 2y = – 3
m.c.m. = 7
2 (2 + y) – 14y = – 21
4 + 2y – 14y = – 21
– 12y = – 25
12y = 25
y = 25/12 → y ≅ 2.08
Sustituimos el valor de "y" en la segunda ecuación 2x – 2y = – 3
2x – 2·
12
25
= – 3
m.c.m. = 12
24x – 50 = – 36
24x = 50 – 36
x = 14/24
x = 7/12 → x ≅ 0.58
x = 7/12 ; y = 25/12 Esta solución es común en ambas ecuaciones
(b) A la vista de las soluciones obtenidas se trata de 2 rectas secantes que se cortan en el
punto
(– 1.64, – 1.73)
A la vista del número de soluciones el sistema se dice que es COMPATIBLE
DETERMINADO

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Comprobación de las soluciones con la calculadora
41



=+
−=−
633
1024
yx
yx
GRAFICAMENTE
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO GRÁFICO
Realizamos una sencilla tabla de valores:
4x – 2y = – 10 3x + 3y = 6
x y x y
0 5 0 2
– 2.5 0 2 0
Buscamos con la calculadora un 3º punto perteneciente a ambas rectas:
Representamos gráficamente ambas rectas y buscamos el punto de corte:
x = – 1 ; y = 3 Esta solución es común en ambas ecuaciones
Se trata de 2 rectas que se cortan en el punto (– 1, 3)
A la vista del número de soluciones el sistema se dice que es COMPATIBLE
DETERMINADO.
42



−=+−
−=+
432
3
yx
yx
GRAFICAMENTE
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO GRÁFICO

14. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas
Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas
Realizamos unas sencillas tablas de valores:
x + y = – 3 – 2x + 3y = – 4
x y x y
0 – 3 0 – 4/3
– 3 0 2 0
Buscamos con la calculadora un 3º punto perteneciente a ambas rectas:
Representamos gráficamente ambas rectas y buscamos el punto de corte:
x = – 1 ; y = – 2 Esta solución es común en ambas ecuaciones
(b) Se trata de 2 rectas que se cortan en el punto (– 1, – 2)
(c) A la vista del número de soluciones el sistema se dice que es COMPATIBLE
DETERMINADO.
43



−=−
−=+−
13
32
xy
yx
REDUCCIÓN
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE REDUCCIÓN:



−=+−
−=+−
+
−
13
32
1
3
yx
yx
)(
)(
→
850
13
963
=−



−=+−
=−+
yx
yx
yx
– 5y = 8
y = – 8/5
y = – 1.6
Cuando obtengamos soluciones fraccionarias se sugiere volver a utilizar el método de
reducción:

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


−=+−
−=+−
+
−
13
32
2
1
yx
yx
)(
)(
→
105
226
32
=+−



−=+−
=−
yx
yx
yx
x = – 1/5
x = – 0.2
(b) A la vista de las soluciones obtenidas se trata de 2 rectas que se cortan en el punto
(–0.2, – 1.6)
(c) A la vista del número de soluciones el sistema se dice que es COMPATIBLE
DETERMINADO
Comprobación de las soluciones con la calculadora
44



=+
−=−
7
2272
yx
yx
GRAFICAMENTE
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO GRÁFICO
Realizamos una sencilla tabla de valores:
2x – 7y = – 22 x + y = 7
x y x y
0 22/7 0 7
– 11 0 7 0
Buscamos con la calculadora un 3º punto perteneciente a ambas rectas:
Comprobación de las soluciones con la calculadora
Representamos gráficamente ambas rectas y buscamos el punto de corte:
x = 3 ; y = 4 Esta solución es común en ambas ecuaciones
Se trata de 2 rectas que se cortan en el punto (3, 4)

16. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas
Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas
45



=+−
−=−−
123
345
yx
yx
SUSTITUCIÓN
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
Despejamos la "x" de la primera ecuación:
– 5x = – 3 + 4y
5x = 3 – 4y
x =
5
43 y−
Sustituimos el valor de "x" en la segunda ecuación – 3x + 2y = 1
– 3
5
43 y−
+ 2y = 1
m.c.m. = 5
– 3 (3 – 4y) + 10y = 5
– 9 + 12y + 10y = 5
22y = 14 → y = 14/22
y = 7/11 → y ≅ 0.64
Sustituimos el valor de "y" en la segunda ecuación – 3x + 2y = 1
– 3x + 2·
11
7
= 1
m.c.m. = 11
– 33x + 14 = 11
– 33x = 11 – 14 → – 33x = – 3 → 33x = 3
x = 3/33
x = 1/11 → x ≅ 0.09
x = 7/12 ; y = 25/12 Esta solución es común en ambas ecuaciones
(b) A la vista de las soluciones obtenidas se trata de 2 rectas secantes que se cortan en el
punto
(1/11, 7/11).
A la vista del número de soluciones el sistema se dice que es COMPATIBLE
DETERMINADO
Comprobación de las soluciones con la calculadora