Este documento define e interpreta los intervalos de confianza y describe cómo construirlos para la media poblacional y las proporciones. Explica que los intervalos de confianza estiman un valor desconocido con una cierta probabilidad y que su tamaño depende del tamaño de la muestra, la varianza poblacional y el nivel de confianza deseado. También cubre cómo usar los intervalos de confianza para verificar hipótesis sobre parámetros poblacionales.

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Lizandra Ayari Rodriguez Ortiz.

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¿Que es un intervalo de confianza?
• se llama intervalo de confianza a un par de números entre
los cuales se estima que estará cierto valor desconocido con una
determinada probabilidad de acierto. Formalmente, estos números
determinan un intervalo, que se calcula a partir de datos de una
muestra, y el valor desconocido es un parámetro poblacional. La
probabilidad de éxito en la estimación se representa con 1 - α y se
denomina nivel de confianza. En estas circunstancias, α es el
llamado error aleatorio o nivel de significación, esto es, una medida
de las posibilidades de fallar en la estimación mediante tal intervalo.

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Objetivos:
• Definir un estimador puntual.
• Definir nivel de confianza.
• Construir un intervalo de confianza para la media
poblacional cuando se conoce la desviación
estándar de la población.
• Construir un intervalo de confianza para la media
poblacional cuando no se conoce la desviación
estándar de la población.
• Determinar el tamaño de la muestra para un
muestreo de atributos y variables.

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Factores que afectan los
intervalos de confianza:
• Los factores que determinan el
ancho del intervalo de confianza
son:
• El tamaño de la muestra, n.
• La varianza de la población, usualmente σ es
estimada por Ѕ.
• El nivel deseado de confianza.

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Interpretación de los intervalos
de confianza.
• Para un intervalo de confianza alrededor del 95% se puede esperar
que alrededor del 95% de estos intervalos de confianza contenga la
media de la población. Cerca del 5% de los intervalos no
contendrían a la media de la población. A demás el 95% de las
medias de las muestras para una muestra especifica el tamaño
dado estarán dentro de 1.96 desviaciones estándar de la población
hipotética.

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Intervalo de confianza para un
promedio.
• Generalmente, cuando se quiere construir un intervalo de confianza
para la media poblacional , la varianza poblacional es
desconocida, por lo que el intervalo para construido al final de II es
muy poco práctico. Si en el intervalo se remplaza la desviación
estándar poblacional por la desviación estándar muestral s, el
intervalo de confianza toma la forma:

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• La cual es una buena aproximación para el intervalo de
confianza de 95% para con desconocido. Esta
aproximación es mejor en la medida que el tamaño
muestral sea grande. Cuando el tamaño muestral es
pequeño, el intervalo de confianza requiere utilizar la
distribución t de Student (con n-1 grados de
libertad, siendo n el tamaño de la muestra), en vez de la
distribución normal (por ejemplo, para un intervalo de
95% de confianza, los límites del intervalo ya no serán
construidos usando el valor 1,96).

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Tabla t student.

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Intervalo de confianza para una
Proporción.
• En este caso, interesa construir un intervalo de
confianza para una proporción o un porcentaje
poblacional (por ejemplo, el porcentaje de personas con
hipertensión, fumadoras, etc.) Si el tamaño muestral n
es grande, el Teorema Central del Límite nos asegura
que:

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O bien:
Donde p es el porcentaje de personas con la característica de
interés en la población (o sea, es el parámetro de interés) y p es
su estimador muestral.
Luego, procediendo en forma análoga al caso de la
media, podemos construir un intervalo de 95% de confianza para
la proporción poblacional p.

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Intervalo de confianza para Verificar
Hipótesis.
• Los intervalos de confianza permiten verificar hipótesis
planteadas respecto a parámetros poblacionales. Por
ejemplo, supongamos que se plantea la hipótesis de que el
promedio de peso de nacimiento de cierta población es igual
a la media nacional de 3250 gramos.
• Al tomar una muestra de 30 recién nacidos de la población
en estudio, se obtuvo:
• = 2930
s= 450
n= 30
• Al construir un intervalo de 95% de confianza para la media
poblacional, se obtiene:

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Luego, el peso de nacimiento varía entre 2769 y 3091
gramos, con una confianza de 95%.
Como el intervalo no incluye el valor =3250 gramos
planteado en la hipótesis, entonces esta es rechazada
con confianza 95% (o un valor p menor a 0,5).

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Cuando usar la distribución Z o t para
los intervalos de confianza..