Bioestadistica 7

Bioestadística

Tema 7: Intervalos de Confianza

Bioestadística. U. Málaga. Tema 7: Intervalos de Confianza 1

Estimación
• Un estimador es una cantidad numérica calculada sobre una
muestra y que esperamos que sea una buena aproximación
de cierta cantidad con el mismo significado en la población
(parámetro).

• En realidad ya hemos trabajado con estimadores cada vez
que hacíamos una práctica con muestras extraídas de una
población y suponíamos que las medias, etc… eran próximas
de las de la población.

– Para la media de una población:
• “El mejor” es la media de la muestra.

– Para la frecuencia relativa de una modalidad de una variable:
• “El mejor” es la frecuencia relativa en la muestra.

• Habría que precisar que se entiende por “el mejor estimador”
pero eso nos haría extendernos demasiado. Ver libro.
Tema 7: Intervalos de
2 Bioestadística. U. Málaga.
Confianza

INTERVALOS DE CONFIANZA

POBLACIÓN
Queremos estimar
un parámetro:
media (μ) o
proporción (π)
MUESTRA

Calculamos: media muestral x o
proporción muestral (p)

Inferimos el valor del Estimación
parámetro en la población:
puntual
INTERVALO DE CONFIANZA
para una media o
proporción


POBLACIÓN
¿Porcentaje de
fumadores en la
uma?.
N = 65.000
x MUESTRA

Estimación
INTERVALO DE CONFIANZA puntual
AL 95% DE CONFIANZA:
n = 200 participantes
I.C.(95%) : 0.24 – 0.37
Fuman 60 ; p = 0.30

Intervalo de confianza:
• Se denomina estimación confidencial o intervalo
de confianza para un nivel de confianza 1-α dado,
a un intervalo que ha sido construido de tal
manera que con frecuencia 1-α realmente
contiene al parámetro.
• Obsérvese que α es la frecuencia de que no
contenga al parámetro

NIVEL DE CONFIANZA
POBLACIÓN

MUESTRA
1
IC1
MUESTRA
2
IC2
MUESTRA
3
IC3
… MUESTRA
100
IC100
Un nivel de confianza del 95% significa que si calculásemos 100
intervalos con 100 muestras distintas, 95 de ellos contendrían al
verdadero valor del parámetro

Normalmente: Ocasionalmente:
95% 90% o 99%

Conceptualmente: Intervalo
calculado
Intervalos con LA
de confianza UNICA
de varias muestra
muestras obtenida
(solo teórico)

Verdadero valor
del parámetro

Tema 7: Intervalos de
9 Bioestadística. U. Málaga.
Confianza

¿Es útil conocer la distribución de un estimador?
• Es la clave para hacer inferencia. Ilustrémoslo con un ejemplo que
ya tratamos en el tema anterior (teorema del límite central).

– Si de una variable conocemos μ y σ, sabemos que para muestras
“grandes”, la media muestral es:
• aproximadamente normal,
• con la misma media y, 
• desviación típica mucho menor (error típico/estándar) EE 
n



La forma general que tiene un IC al nivel de
confianza 1-α para un parámetro es:

estimador ± za /2 × EE _ del _estimador
VAMOS A ESTUDIAR TRES CASOS ESPECIALMENTE
IMPORTANTES:

IC para la media para muestras “grandes”

IC para la media con muestras no “grandes”

IC para una proporción

estimador ± za /2 × EEdelestimador
IC para la media para muestras “grandes”
Si la muestra es grande (n>120), el IC para la
media a un nivel de confianza 1-α se calcula:

s
x ± za /2 ×
n

Media Valor de la N(0,1) que deja a
muestral Error estándar
su derecha una prob. = α/2
de la media


EJEMPLO1:
El valor medio de IMC en varones de 25 a 60 años de una
muestra “representativa” de 4707 españoles fue de 25,97
Kg/m2 y su desviación estándar fue 3,59 Kg/m2. Construir el
IC al 95% de confianza para la media de IMC en España.
s
x ± za /2 ×
x = 25.97 n
za /2 = Valor de la N(0,1) que deja a su derecha una probabilidad de α/2
El nivel de confianza es al 95% que equivale a 1-α = 0.95 por lo tanto α=0.05
luego α/2 = 0.025

a/2
Bioestadística. U. Málaga.
Bioestadística. U. Málaga. Tema 7: Contrastes de hipótesisde Confianza
Tema 7: Intervalos Zα/2 13 13

EJEMPLO 1:
s
x ± za /2 ×
n
x = 25.97
za /2 = 1.96
s=3.59
n = 4707
3.59
IC(95%) = 25.97±1.96× = 25.97±(1.96×0.052) = 25.87-26.07
4707

Tema 7: Contrastes de hipótesis

EJEMPLO 2:
s
x ± za /2 ×
n
x = 25.97
luego α/2 = 0.05

a/2

EJEMPLO 2:

x = 25.97 s
x ± za /2 ×
za /2 = 1.645 n
s=3.59
n = 4707

3.59
IC(90%) = 25.97±1.645× = 25.97±(1.645×0.052) = 25.88- 26.06
4707


EJEMPLO 3:
s
x ± za /2 ×
n
x = 25.97
luego α/2 = 0.005

a/2

EJEMPLO 3:

s
x ± za /2 ×
x = 25.97 n
za /2 = 2.55
s=3.59
n = 4707

3.59
IC(90%) = 25.97± 2.55× = 25.97±(2.55×0.052) = 25.84-26.10
4707



IC(99%) = 25.84 – 26.10
IC(95%) = 25.87 – 26.07
IC(90%) = 25.88 – 26.06
A mayor nivel de confianza, más amplitud de
intervalo


AMPLITUD DEL INTERVALO
Los intervalos deben ser “informativos”

s
x  za / 2  Semi-

n amplitud

Mayor nivel de confianza = más
amplio
Mayor dispersión = más amplio
Mayor muestra = menos amplio

estimador  za / 2  EEdelestimador
IC para la media para muestras “no grandes”
Si la muestra no es grande (n<120 y
especialmente si n<60), el IC para la media a un
nivel de confianza 1-α se calcula usando la
distribución t de Student en vez de la N(0,1):
s
x ± ta /2,n-1 ×
n

Media Valor de la t de Student con n-1
grados de libertad que deja a su
de la media
derecha una prob. = α/2

IC para la media para muestras “no grandes”
OBSERVACIÓN IMPORTANTE: Si la muestra es
muy pequeña (n<30) y no sabemos si los datos
siguen una distribución normal, hay que
comprobar que los datos provienen de una
distribución normal. Si no siguen una distribución
normal hay que aumentar el tamaño de muestra
para poder llegar como mínimo a 30

EJEMPLO 1:
En 31 pacientes con una enfermedad coronaria , la puntuación media de
un una variable global que mide el estrés era de 24,3 puntos con una
desviación tipica de 5 . Construir el IC al 95% de confianza para la media
de estrés.
s
x ± ta /2,n-1 ×
n
x = 24.3
ta /2,n-1 = Valor de la t de Student con 30 gl que deja a su derecha una probabilidad de α/2
El nivel de confianza es al 95% que equivale a 1-α = 0.95 por lo tanto α=0.05 luego α/2 = 0.025

a/2
Tema 7: Intervalos tα/2,n-1 28 28

EJEMPLO 1:
En 31 pacientes con una enfermedad coronaria , la
puntuación media de un una variable global que mide el
estrés era de 24,3 puntos con una desviación tipica de 5 .
Construir el IC al 95% de confianza para la media de estrés.

s
x ± ta /2,n-1 ×
x = 24.3 n
ta /2,n-1 = 2.042
S=5
n = 31

5
IC(95%) = 24.3±2.042× = 24.3±(2.042×0.90) = 22.5-26.1
31


EJEMPLO 2:
s
x ± ta /2,n-1 ×
x = 24.3 n
ta /2,n-1 = Valor de la t de Student con 30 gl que deja a su derecha una probabilidad de α/2
luego α/2 = 0.005

a/2
Tema 7: Intervalos tα/2,n-1 31 31

EJEMPLO 2:

s
x = 24.3 x ± ta /2,n-1 ×
ta /2,n-1 = 2.75 n
S=5
n = 31

5
IC(95%) = 24.3±2.75× = 24.3±(2.75×0.90) = 21.8- 26.8
31


estimador  za / 2  EEdelestimador
IC para una proporción
Se debe cumplir que n·p > 5 y n·(1-p) > 5. Si no se
cumple hay que usar técnicas exactas (no las
vemos). El IC para una proporción a un nivel de
confianza 1-α se calcula:
p·(1- p)
p ± za /2 ×
n

proporción Valor de la N(0,1) que deja a
su derecha una prob. = α/2
de la
proporción

EJEMPLO1:
Para estimar el porcentaje de fumadores en la uma se
extrajo una muestra de 1000 personas de las cuales 200
eran fumadoras. Construir el IC al 95% de confianza para
la proporción de fumadores en la uma.
p·(1- p)
p ± za /2 ×
n

1.- Tenemos que comprobar que n·p >5 y n·(1-p) > 5

200
p= = 0.2 n·p =200 y n·(1-p) = 800 Luego se
1000
1- p = 0.8 cumple con creces la condición.
n = 1000

36

EJEMPLO1:
eran fumadoras. Construir el IC al 95% de confianza para
la proporción de fumadores en la uma.
p·(1- p)
p=
200
= 0.2 p ± za /2 ×
1000
1- p = 0.8
n
n = 1000
luego α/2 = 0.025

a/2

EJEMPLO1:
eran fumadoras. Construir el IC al 95% de confianza para la
proporción de fumadores en la uma.
200 p·(1- p)
p=
1000
= 0.2
p ± za /2 ×
1- p = 0.8 n
n = 1000

za /2 = 1.96

0.2·0.8
IC(95%) = 0.2±1.96× = 0.2±(1.96×0.0126) = 0.175- 0.225
1000


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