Este documento habla sobre los intervalos de confianza. Explica que un estimador puntual proporciona un solo valor para estimar un parámetro, mientras que un estimador por intervalo de confianza denota un rango de valores dentro del cual se espera que se encuentre el parámetro real con cierto nivel de confianza. Luego detalla cómo calcular los límites superiores e inferiores de un intervalo de confianza y cómo interpretarlos.

1. INTERVALOS DE
CONFIANZA
Rosa Helida Yaneth Meza Reyes

2. Estimación puntual y por intervalo
Las medias o desviaciones estándar calculadas de una muestra se denominan
ESTADÍSTICOS, podrían ser consideradas como un punto estimado de la media y
desviación estándar real de población o de los PARAMETROS.
¿Qué pasa si no deseamos una estimación puntual como media basada en una
muestra, qué otra cosa podríamos obtener como margen, algún tipo de error?
“Un Intervalo de Confianza”
ESTIMADOR PUNTUAL: Utiliza un número único o valor para localizar una
estimación del parámetro.
ESTIMADOR POR INTERVALO DE CONFIANZA: Denota un rango dentro del
cual se puede encontrar el parámetro y el nivel de confianza que el intervalo
contiene al parámetro.
LIMITES DE CONFIANZA: Son los límites del intervalo de confianza inferior (LIC)
y superior (LSC), se determinan sumando y restando a la media de la muestra X
un cierto número Z (dependiendo del nivel o coeficiente de confianza) de errores
estándar de la media  X .

3. P(Z<= - Zexcel ) = alfa/2 P(Z>= + Zexcel ) = alfa/2
Intervalo de confianza donde
se encuentra el parámetro con
un NC =1-a
INTERPRETACIÓN DEL INTERVALO DE CONFIANZA: Tener un 95% de
confianza en que la media poblacional real y desconocida se encuentra entre los
valores LIC y LSC.
NIVEL DE SIGNIFICANCIA = 1- INTERVALO DE CONFIANZA = ERROR TIPO 1
= ALFA
¿Cómo obtenemos un intervalo de confianza?
Estimación puntual + error de estimación
¿De dónde viene el error de estimación?

4. Desv. estándar X multiplicador de nivel de confianza deseado Za/2
Por Ejemplo:
Si la media de la muestra es 100 y la desviación estándar es 10, el intervalo de
confianza al 95% donde se encuentra la media para una distribución normal es:
100 + (10) X 1.96 => (80.4, 119.6) 1.96 = Z0.025
El 95% de Nivel de Confianza significa que sólo tenemos un 5% de oportunidad de
obtener un punto fuera de ese intervalo.
Esto es el 5% total, o 2.5% mayor o menor. Si vamos a la tabla Z veremos que
para un área de 0.025, corresponde a una Z de 1.960.
C. I. Multiplicador Za/2
99 2.576
95 1.960
90 1.645
85 1.439
80 1.282
Para tamaños de muestra >30, o  conocida usar la distribución Normal
Para muestras de menor tamaño, o  desconocida usar la distribución t

5. El ancho del intervalo de confianza decrece con la raiz cuadrada del tamaño de la
muestra.
Ejemplo:
Dadas las siguientes resistencias a la tensión: 28.7, 27.9, 29.2 y 26.5 psi
Estimar la media puntual
X media = 28.08 con S = 1.02
Estimar el intervalo de confianza para un nivel de confianza del 95% (t = 3.182 con
n-1=3 grados de libertad)
Xmedia±3.182*S/√n = 28.08±3.182*1.02/2=(26.46, 29.70)

6. Ejemplo1
Los siguientes datos representan las edades que tenían al momento de morir por
enfermedad una muestra de 20 personas de un pueblo:
80 90 85 82 75 58 70 84 87 81 87 61 73 84
85 70 78 95 77 52
Hallar un intervalo de confianza del 95 % para la varianza poblacional de la edad
de muerte.
n = 20
a = .05
Intervalo de confianza del 95 % para 2 será de la forma:
19 s 2 19 s 2
( 2 , 2 )
.975  .025
 2
 8.9065  .2  32 .8523
975
.025
El intervalo de confianza del 95 % para la varianza poblacional será (70.6253,
260.507).

7. Ejemplo 2
Los tiempos de reacción, en mili segundos, de 17 sujetos frente a una matriz de 15
estímulos fueron los siguientes: 448, 460, 514, 488, 592, 490, 507, 513, 492,
534,
523, 452, 464, 562, 584, 507, 461
Suponiendo que el tiempo de reacción se distribuye Normalmente, determine un
intervalo de confianza para la media a un nivel de confianza del 95%.
Solución:
Mediante los cálculos básicos obtenemos que la media muestral vale 505,35 y la
desviación típica 42,54.
Buscando en las tablas de la t de Student con 16 grados de libertad, obtenemos
que el valor que deja por debajo una probabilidad de 0,975 es 2,12
Sustituyendo estos valores en la expresión del intervalo de confianza de la media
tenemos:
(505,35 - 2,12 · 42,54 / 4 ,, 505,35 + 2,12 · 42,54 / 4) operando
( 482,80 ,, 527,90 )

8. Ejemplo 3
- En una muestra de 65 sujetos las puntuaciones en una escala de extroversión
tienen una media de 32,7 puntos y una desviación típica de 12,64.
a) Calcule a partir de estos datos el correspondiente intervalo de confianza, a un
nivel del
90%, para la media de la población.
b) Indique, con un nivel de confianza del 95%, cuál sería el máximo error que
podríamos cometer al tomar como media de la población el valor obtenido en la
estimación puntual.
Solución:
a) Buscando en las tablas de la t de Student obtenemos que el valor que deja por
debajo una Probabilidad del 95% es 1,671 (aproximadamente). Sustituyendo los
valores de esta muestra en la expresión del intervalo de confianza obtenemos:
( 32,7 - 1,671 · 12,64 / 8 ,, 32,7 + 1,671 · 12,64 / 8 ) operando
( 30,06 ,, 35,34 )
b) En las tablas de la t de Student encontramos que el valor de la variable que
deja por debajo una probabilidad de 0,975 es 2. En consecuencia a un nivel de
confianza del 95% la media de la población puede valer
32,7 ± 2 · 12,64 / 8
Luego el máximo error que se puede cometer, a este nivel de confianza, es: 3,16

9. Ejemplo 4
Con los datos del problema 1, calcule a un nivel de confianza del 90% un intervalo
de confianza para la varianza e indique cual sería el máximo error por exceso y
por defecto que podría cometerse utilizando el estimador insesgado de la
varianza.
Solución:
Mediante cálculos básicos obtenemos que la varianza de la muestra vale 1809,29
y la cuasi varianza 1922,37
En las tablas de la Ji-cuadrado encontramos que el valor que deja por debajo una
probabilidad de 0,05 es 7,96 y que 26,30 deja por debajo una probabilidad de
0,95.
Sustituyendo en la expresión del intervalo de confianza para la varianza tenemos:
( 17 · 1809,29 / 26,30 ,, 17 · 1809,29 / 7,96 ) operando
( 1169,50 ,, 3864,06 )
Por tanto el error por defecto sería 1922,37 - 3864,06 = -1941,69 y el error por
exceso 1922,37 – 1169,50 = 752,87.

10. Ejemplo 5
Calcula un intervalo de confianza, con un 90%, para el número total, N, de ranas
del estanque del problema anterior, teniendo en cuenta que la proporción de
ranas marcadas es p=
30/N
SOLUCIÓN:
Como el intervalo de confianza de ranas marcadas en el ejercicio anterior (iguales
condiciones de confianza que en el presente) es (0,02816 ; 0,11184). Esto quiere
decir que como 30/N oscila entre ambos extremos del intervalo, ocurre que:
30/N = 0,02816, de donde N= 1065,34 y por otra parte, como máximo,
30/N=0,11184, de donde N = 268,24. Por tanto nuestro intervalo es (269 , 1065 ).

11. Ejemplo 6
los miembros de una cooperativa de viviendas tienen las siguientes edades:
42 60 60 38 60 63 21 66 56 57 51 57 44 45 35
30 35 47 53 49 50 49 38 45 28 41 47 42 53 32
54 38 40 63 48 33 35 61 47 41 55 53 27 20 21
42 21 39 39 34 45 39 28 54 33 35 43 48 48 27
53 30 29 53 38 52 54 27 27 43 28 63 41 23 58
56 59 60 40 24
Elabore una tabla de frecuencias.
Calcule la media y la desviación típica.
SOLUCIÓN:
Para elaborar una tabla de frecuencias es condición imprescindible establecer una
serie de clases o categorías (intervalos) a las que vamos a adjudicar a cada uno de
los ochenta miembros de la cooperativa. El investigador puede seguir diferentes
criterios en función del objetivo del estudio. Una tabla de frecuencias elaborada a
partir de estos datos podría ser la siguiente:
Edad n
20-29 14
30-39 17
40-49 22
50-59 18
60-69 9
Total 80
Cálculo de la media:
Puede calcularse directamente sumando las edades de todos los miembros de la
cooperativa y dividiendo por el total que en este caso es ochenta, el resultado es
una media de 43,29. También:

12. Edad xi ni xini
20-29 25 14 350
30-39 35 17 595
40-49 45 22 990
50-59 55 18 990
60-69 65 9 585
Total 80 3510
, por tanto, podemos decir que la media es de casi 44 años.
Cálculo de la desviación típica:
Edad xi ni
20-29 25 14 -18,875 356,2656 4987,71875
30-39 35 17 -8,875 78,7656 1339,01563
40-49 45 22 1,125 1,2656 27,84375
50-59 55 18 11,125 123,7656 2227,78125
60-69 65 9 21,125 446,2656 4016,39063
Total 80 12598,75
Sx =
La desviación típica es de 12,5 años

13. Ejemplo 7
Queremos estimar, con un nivel de confianza del 99%, la proporción de alumnos
de cierto instituto que tienen
dos o más hermanos. ¿De qué tamaño mínimo tendremos que seleccionar la
muestra si admitimos un error
máximo de 0,1? (En otro estudio reciente se obtuvo que esta proporción era de
0,4).
Solución:
Para un nivel de confianza del 99%, tenemos que 1    0,99  z
/2
 2,575
El error máximo que admitimos es E  0,1.
Para pr tomaremos el valor del estudio anterior, es decir, pr  0,4.
Así, sustituyendo en la expresión anterior, tenemos que:
Deberemos tomar, como mínimo, una muestra de 160 alumnos.

14. Ejemplo 8
El 65% de los alumnos de cierta localidad utiliza con regularidad la biblioteca del
pueblo. Halla un intervalo en
el que se encuentre el 95% de las proporciones de alumnos que utilizan la
biblioteca en muestras de tamaño
60.
Solución:
La proporción de alumnos que utilizan la biblioteca, en muestras de 60, se
distribuye según una
Para el 95%, tenemos que 1    0,95  z
/2
 1,96.
El intervalo característico será:
(0,65  1,96 · 0,062; 0,65  1,96 · 0,062); es decir:
(0,53; 0,77)
Esto significa que, en el 95% de las muestras de 60, la proporción está entre 0,53
y 0,77