Este documento describe cómo construir intervalos de confianza para estimar parámetros poblacionales como la media y la proporción a partir de una muestra. Explica que un intervalo de confianza tiene una probabilidad del 1-α de contener el verdadero parámetro poblacional. También cubre cómo determinar el tamaño mínimo de una muestra requerido para que el error de estimación sea menor que un valor dado con una probabilidad especificada.

1. Escuela de Ciencias de la Computación - UTPL
Estadística Descriptiva e Inferencial
ESTIMACIÓN DE INTERVALOS DE CONFIANZA
Intervalo de confianza para una muestra
i
A continuación damos un esquema de construcción de intervalos de confianza para la media de una
población normal.
Sea una m.a.s. de tamaño n, procedente de con desconocida. El
siguiente esquema muestra cómo construir un intervalo de forma que dicho intervalo contenga
el parámetro con probabilidad
Sin embargo no es objetivo de este curso construir tales intervalos sino aplicarlos e
interpretarlos en situaciones concretas.
Ejemplo: Dada y con calcular un intervalo
de confianza al 95% para el parámetro desconocido .
Intervalo de confianza de la proporción ( π X )
i
Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador 3.0 de Reconocimiento - no comercial- compartir igual
(http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ec/).

2. Escuela de Ciencias de la Computación - UTPL
Estadística Descriptiva e Inferencial
• Si se han obtenido datos para una variable categórica X en una muestra de tamaño grande, el IC
del parámetro de la proporción para una categoría i de esa variable (πX i) se obtiene según:
Nótese que para la obtención del EE de la distribución muestral de la proporción se ha sustituido el
valor del parámetro proporción ( π Xi ) por el de la estimación obtenida en la muestra ( p Xi ).
• La consideración de tamaño grande se basa en el criterio n· πXi ≥ 5 y n· (1-πXi) ≥ 5, si bien,
dado que no se conoce πXi, se utilizan los límites del IC en el que se estima que está πXi . Así,
los criterios a satisfacer pasan a ser cuatro:
Ejemplo: para la obtención de un certificado de calidad en la producción, una empresa de
fabricación de faros para coche debe demostrar que el nº de piezas defectuosas que produce y que
pueden salir al mercado es inferior al 5%. Para ello se seleccionaron al azar 200 piezas de las
fabricadas en la última semana y se obtiene que 14 de ellas presenten algún defecto fabricación
¿Entre qué valores se encontraría la proporción de piezas defectuosas entre todas las fabricadas la
última semana? (considera α=0,05)
En esta muestra p = 0,07 y estimamos que el EE de la distribución muestral de la proporción obtenida
en muestras de n = 200 es:
Por tanto, el IC del 95% es
IC(0, 95)(π ) = [0, 07 −1, 96 ⋅ 0, 018 ; 0, 07 +1, 96 ⋅ 0, 018] = [0, 035; 0,105]
Se cumplen los criterios de muestra grande: 0,035·200 = 7 (≥ 5) y 0,105·200 = 21 (≥ 5);
y, por otra parte, (1-0,035)= 0,965·200 = 193 (≥ 5) y (1-0,105)= 0,895·200 = 179 (≥ 5)
Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador 3.0 de Reconocimiento - no comercial- compartir igual
(http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ec/).

3. EJEMPLO DE INTERVALOS DE CONFIANZA
Un servidor de correo ha recibido 2.000 mensajes, de los cuales 250 son “SPAM”. Construid un
intervalo de confianza del 96% para la proporción de mensajes “SPAM”, ¿cuántos correos se han de
estudiar en el servidor para poder afirmar que el error entre la proporción de mensajes “SPAM”
recibidos y la probabilidad de que el servidor reciba un “SPAM” sea menor que 0,03 con una
probabilidad del 95%?
Solución
El intervalo de confianza del 96% para la proporción de la población se obtiene por medio de la
ecuación:
Por lo tanto, el intervalo de confianza de la proporción poblacional al 96% es:
Se podría decir que la proporción de todos los mensajes Spam recibidos de la población estarán entre
el 10,98% y el 14,02% (con un margen de error del 1,52% al nivel de confianza del 96%).
Se calculará el mínimo tamaño de la muestra necesario para que el error sea menor que 0,03 con una
probabilidad del 95% es:
Por tanto, se deben estudiar 467 mensajes.
Determinación del tamaño de la muestra
Vamos a considerar cómo se puede fijar el tamaño de la muestra en los casos de estimación por
intervalos cuando deseamos acotar el error de estimación, es decir, la semiamplitud del intervalo, que
denotaremos por e.

4. Por ejemplo, cuando estimamos µ con o conocida fijado el nivel de confianza 1-α,
Queremos:
En el caso de no conocer la varianza podemos aproximarla por una estimación o una cota de la
misma.
Ejemplo: Supongamos que deseamos conocer el tamaño de muestra para que una proporción
estimada diste de la proporción real en menos de 0:05, con probabilidad 0:95.
Tomado de:
Universidad de Valencia, http://ocw.uv.es/ciencias-de-la-salud/estadistica-estadistica-inferencial-en-
psicologia/tema_3.pdf , Estimación por intervalos de confianza y determinación del tamaño de la
muestra, 20 de Julio del 2011
Universidad Oberta de Catalunya,http://cv.uoc.edu/autors/MostraPDFMaterialAction.do?
id=161059&ajax=true, Intervalos de Confianza para una población, 20 de Julio del 2011

5. Universidad de Murcia, http://ocw.um.es/ciencias/estadistica-en-el-grado-de-ciencia-y-tecnologia-
de/material-de-clase-1/cyta-estadistica-tema7.pdf, Intervalos de confianza para una muestra, 20 de
Julio del 2011