El documento describe las distribuciones muestrales de la media y las proporciones. Explica que la distribución muestral de la media describe todas las posibles medias de las muestras obtenidas de la población. Muestra un ejemplo numérico para calcular las medias muestrales. También explica que cuando la muestra es grande, la distribución muestral de la media se aproxima a una distribución normal según el teorema del límite central. Finalmente, define la distribución muestral de proporciones y cómo calcular su media y des

1. Universidad Americana
Distribuciones muestrales
Distribución muestral de la media
Distribución muestral de proporciones.
Resumen elaborado por:
Lic. Maryan Balmaceda Vivas
Economista - Consultor

2. Distribución muestral de la media
Es una distribución de probabilidad
de todas las posibles medias de las
muestras, de un determinado
tamaño, obtenida de la población.

3. Ejemplo:
Una población consta de los siguientes cuatro valores.
12,12, 14 y 16
a) Determine todas las posibles muestras de tamaño dos,
utilizando un muestreo sin reemplazamiento.
Posibles muestras de tamaño dos extraída de una población
finita de tamaño cuatro.
(12,12,)(12,14), (12,16) 3 muestras
(12,14),(12,16) 2 muestras
(14,16) 1 muestras
Aplicando la formula de combinaciones, se obtiene el mismo
resultado.
nCr = n! /r! (n – r)! = 4! / 2! x(4 – 2) = 4x3x2!/2!x2! = 6

4. De todas las posibles muestras de
tamaño dos, vamos a calcular la
media correspondientes a cada
muestra
Medias muestrales(12,13,14,13,14,15)
para obtener una distribución
muestral de la media.

5. Muestras Valores Suma Media muestral
1 12,12 24 12
2 12,14 26 13
3 12,16 28 14
4 12,14 26 13
5 12,16 28, 14
6 14,16 30 15
Distribuciòn muestral de la media, para una muestra de tamaño dos.
Media muestral No. de medias Probabilidad
muestrales. de la media muestral
12 1 1/6
13 2 2/6
14 2 2/6
15 1 1/6
Total 6 1.00

6. El gráfico de la distribución
muestral de la media, se
obtiene poniendo en el eje y
los valores de probabilidad
encontradas y en el eje x, los
valores de las medias
muestrales.

7. Distribuciòn muestral de la media
P(x) 2/6
1/6 2/6 1/6
12 13 14 15
Medias muestrales

8. Distribución muestral de la media.
Primer caso:
N= finita y todas las posibles muestras de tamaño n, son extraídas de esta población finita,
utilizando un muestreo sin reemplazamiento, bajo estas condiciones se cumple;
Media aritmética de una distribución muestral de la media = µ X= µ
Desviación estándar de una distribución muestral de la media = σ X= σ/ n N−n/N−1

9. Caso II.
N = Infinita o N finita y muestreo con reemplazamiento, bajo estas condiciones, la media y
desviación estándar de una distribución muestral de la media viene dado por:
Media aritmética de una distribución muestral de la media = µ X= µ
Desviación estándar de una distribución muestral de la media = σ X= σ/ n

10. En el ejemplo anterior, vamos a demostrar que
la media de la distribución muestral de la
media, es igual a la media poblacional, y que la
desviación estándar de la distribución muestral
de la media, cuando la población es finita y se
utiliza un muestreo sin reemplazamiento es
igual :
Desviación estándar de una distribución muestral de la media = σ X= σ/ n / N−n/N−1

11. N= (12,12, 14 y 16)
N finita y muestreo sin
reemplazamiento.
Media de la poblaciòn = 12 + 12+
14 + 16 /4= 13.5
Desviación estándar de la
distribución muestral de la media

12. Media aritmética de una distribución muestral de la media = µ X = µ
Desviación estándar de la distribución de la media = ∑(X − X ) 2
/n
Desviación estándar de la distribución de la media= 5.5 / 6 = 0.96
Aplicando la fórmula se obtiene el mismo resultado, para calcular la desviación estándar de la
distribución muestral de la media, cuando N es finita y se utiliza un muestreo sin
reemplazamiento.
Desviación estándar de una distribución muestral de la media = σ X = σ/ n N − n / N −1
= 1.66/ 2 x 4 − 2 / 4 − 1 = 1.1738 x .8165= 0.96

13. Media muestral
menos media de la
distribuciòn muestral de
la media
(X - M(X) (X -M(X))(X - M(X)
Media muestral
12 -1.5 2.25
13 -0.5 0.25
14 0.5 0.25
13 -0.5 0.25
14 0.5 0.25
15 1.5 2.25
Total 5.5
Desviación estándar de la distribución de la media = ∑(X − X ) 2
/n
Desviación estándar de la distribución de la media= 5.5 / 6 = 0.96

14. Desviaciòn estàndar de la poblaciòn.
X ( X - M(X) (X - M(X))(X - M(X)
12 -1.5 2.25
12 -1.5 2.25
14 0.5 0.25
16 2.5 6.25
11
Desviaciòn estàndar
de la poblaciòn =1.66

15. Teorema del límite central
Si todas las posibles muestra de un
determinado tamaño, se seleccionan de
cualquier población, la distribución
muestral de la media se aproxima a una
distribución normal. Esta aproximación
mejora con muestras más grandes. Una
muestra se considera grande cuando n>
30.

16. Uso de la distribución muestral de la
media.
La distribución muestral de la media, reviste una
gran importancia, dado que la mayoría de los
negocios, tiene como fundamento, los resultados
de un muestreo.

17. Calculo del valor de z, en una distribución muestral de medias, cuando se
conoce la desviación estándar de la población.
Z = X- µ / σ / n

18. Ejemplo:
Una población normal tiene una
media de 60 y una desviación
estándar de 12. Usted selecciona una
muestra aleatoria de 9. Calcule la
probabilidad de que la media
muestral :
a) Sea mayor que 63
b) Sea menor que 56
c) Se encuentre entre 56 y 63

19. Distribución muestral de proporciones
Vamos a suponer una población infinita y que la probabilidad de ocurrencia
de un evento es p conocida como su éxito y la probabilidad de no ocurrencia
o fracaso viene dada por 1 – p.
Ejemplo: La población puede ser todos los posibles lanzamientos de una
moneda, siendo la probabilidad que caiga cara p = ½
Si consideramos todas las posibles muestras extraídas de esta población y
para cada muestra se calcula la proporción de éxito, que viene dada por:
P n = Proporción de éxito en la muestra = X/n
X = casos favorables en la muestra
Ejemplo: Si lanzamos una moneda y deseo saber el número de veces que cae cara.
Si de los diez lanzamientos cae 3 veces cara P n = viene dado por:
P n = X/n = 3/10= 0.3

20. Caso I
N infinita o N finita y muestreo con reemplazamiento, la media y la
desviación estándar de una distribución muestral de proporciones viene
dada por :
Media de una distribución muestral de proporciones =µ P = P
n
Desviación estándar de una distribución muestral de proporciones viene
dada por:
σ = P(1− P) / n
Pn

21. Caso II.
Vamos a considerar una población finita y un muestreo sin
reemplazamiento, en este caso se cumple:
Media de una distribución muestral de proporciones =µ P = P
n
Desviación estándar de una distribución muestral de
proporciones viene dada por;
σ =
Pn
P(1− P) / n N − n / N −1