matemática y sus funciones, números complejo, matrices, números complejos gráficos y en forma polar.

1. Números Complejos
Republica bolivariana de Venezuela
Instituto politécnico
“Santiago Mariño”
Extensión Barcelona
Ingeniería de sistema
Profesor:
Beltrán Pedro.
Alumna:
27.838.701 Rodríguez Oriana.

2. Introducción
En la presentación se estará tocando el siguiente tema: números complejos. Este
tema a pesar de ser complejo, abarca o integra la trigonometría, algebra y la geometría.
Los números complejos son utilizados en varios campos de las matemática, física, en la
ingeniería, con mas ímpetu en la electrónica y las telecomunicaciones.
Los números complejos surgen cuando se quiere resolver ecuaciones algebraicas
en las que hay necesidad de calcular raíces cuadradas de números negativos, estos
números se pueden suma, resta, multiplicar y dividir. Los números complejos reflejan
aspectos como transformaciones y los movimientos de plano.

3. Números complejos y Operaciones elementales
Los números complejos conforman un grupo de cifras resultantes de la suma entre un
número real y uno de tipo imaginario. ... La noción de número complejo aparece ante la
imposibilidad de los números reales de abarcar a las raíces de orden par del conjunto de los
números negativos.
Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra, análisis, así como de
ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, ecuaciones diferenciales,
facilita el cálculo de integrales, en aerodinámica, hidrodinámica y electromagnetismo entre otras
de gran importancia. Además, los números complejos se utilizan por doquier en matemáticas,
en muchos campos de la física (notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería,
especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las
ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.
- Números complejos

4. Ejemplos de números complejos
Problema: Sumar (-3 + 3i) + (7 - 2i)
−3 + 3i + 7 – 2i = −3 + 7 + 3i – 2i
Reacomoda las sumas para juntar los términos semejantes.
Respuesta
−3 + 7 = 4 y 3i – 2i = (3 – 2)i = i
Signos iguale ( -,- y +,+) se suman, signos diferentes se restan
(+,- y -,+)
Respuesta:
(−3 + 3i) + (7 – 2i) = 4 + i
Combina los términos semejantes.

5. Problema: Restar. (−3 + 3i) – (7 – 2i)
(−3 + 3i) – (7 – 2i) =
−3 + 3i – 7 + 2i
Asegúrate de distribuir el signo de resta a todos los términos del
sustraendo.
−3 – 7 + 3i + 2i
Reacomoda las sumas para juntar los términos semejantes.
Respuesta:
−3 – 7 = −10 y 3i + 2i = (3 + 2)i = 5i
(−3 + 3i) – (7 – 2i) = 10 + 5i
Combina los términos semejantes.

6. Problema : Multiplica. (3i)(2i)
(3i)(2i) = (3)(2)(i)(i)= 6i^2
Multiplica los coeficientes de i y luego multiplica i por i.
Reemplaza i2 con –1.
6i^2 = 6(−1)
6(−1) = −6
Respuesta
(3i)(2i) = −6

7. Se llama operaciones elementales al cambiar entre si dos filas de
matrices, se puede representar por Fi x Fj, siendo Fi y Fj dos filas de
matrices.
Se llama operación elemental realizada en una matriz a cualquiera de
las siguientes transformaciones :
a) Cambiar entre si dos filas (columnas).
b) multiplicar una fila (columna) por un numero real distinto de cero.
c) sumar a una fila (columna) otra fila (columna) multiplicada por un
numero real.
- Operaciones elementales

8. Vamos a conocer operaciones elementales que permiten simplificar
este sistema de ecuaciones y no cambian el conjunto de las soluciones.
La transformación elemental en la que se multiplican la segunda y la
tercera filas de la matriz Ab por una escalar (-1) diferente de cero, también
se debe hacer en mas de un paso, a saber:

9. La transformación elemental en la que se suma a una fila de una matriz otra fila
multiplicada por una escalar será:

10. Calcular la inversa de matrices.

11. El adjetivo canónico se usa con frecuencia en matemática
para indicar que algo es natural, como debe ser e
independiente de elecciones arbitrarias, que es absoluto y no
relativo a un observador, que es intrínseco y no depende de un
sistema de referencia o de un sistema de coordenadas, que
pertenece a la estructura propia de lo que estudiamos.
Decir de algo que es canónico es decir que no es
arbitrario, que todos coincidimos en ello si lo miramos con
atención. Aunque siempre se use en sentido impreciso, es un
concepto central en matemáticas, ciencia que aspira a
desentrañar con rigor lo que se entiende por canónico y a
sacar a la luz todo lo que es canónico.
Números complejos en forma canónica y grafica

12. Números en forma canónica
En forma canónica (o forma exponencial), un número complejo es
z = r · e^iφ
Explicación
En el forma trigonométrica un número complejo se representa con
z = r (φ + i sin φ)
Sustitución de la fórmula de Euler e^iφ = cos φ + i sin φ deducen
z = r · e^iφ
Ejemplo 1
En forma canónica el número complejo z = 1 + i se deducen
Entonces

13. FORMA CANONICA: (a,b) , a es la parte real y b es la parte imaginaria.
NUMERO REAL : (a,0).
IMAGINARIO PURO: (0,b).
Un complejo esta compuesto por una parte real y una imaginaria.
NUMERO COMPLEJO: (a,0)+(0,b).
- Todo complejo esta representado por un
punto del plano de Argand, o plano
cartesiano.
- Todo complejo se asocia a un vector en el
plano, cuyas componentes son a y b.
- Todo complejo queda definido por su
modulo y dirección.
- El modulo corresponde a la medida del
vector expresado en unidades de longitud
del plano.
- La dirección del complejo corresponde al
ángulo que forma el vector con el eje
positivo de las componentes reales.

14. Ejemplo
- Par ordenado (-4, -5) se puede expresar en su forma canónica o
biónica como z = -4 -5i entonces (-4, -5) = -4 – 5i
- Su forma grafica es:
Un numero de la forma z = (a, b) se puede escribir
en su forma canónica como z = a + bi, donde a y b son
números reales e i es la unidad imaginaria (i = √-1 ).

15. Que es opuesto o contrario en el orden, la dirección, la posición, el sentido, etc. Pero
en lo referente a la matemática seria lo siguiente:
Se llama función inversa o recíproca de una función f a una nueva función cuyo
dominio es la imagen de la función inicial, y su imagen es el dominio de la función inicial.
Es decir, si la función g es la función inversa de f, entonces se cumple que si f (b) = a,
entonces g(a)=b.
Definición de inversa

16. Propiedades
1. La primera propiedad coincide con la que habíamos visto anteriormente en la función
compuesta. Si realizamos la función inversa de una composición de funciones
obtenemos la composición de sus inversas permutando el orden de la composición:
2. Si hacemos la inversa de la inversa de una función , obtenemos la
función inicial.
3. La composición de una función y su inversa nos da la función identidad.
4. La función inversa no siempre existe.
5. Si una función es continua también lo es su inversa y viceversa, si la inversa es
derivable también lo será la función inicial.
6. Análogamente, si una función es derivable su inversa también lo es y viceversa.

17. Ejemplos
Representación grafica

18. Modulo
Elemento con función propia concebido para poder ser agrupado de distintas
maneras con otros elementos constituyendo una unidad mayor.
se llama módulo de un vector a la norma matemática del vector de un espacio
euclídeo ya sea este el plano euclídeo o el espacio tridimensional. El módulo de un vector
es un número que coincide con la "longitud" del vector en la representación gráfica.
El concepto de norma de un vector generaliza el concepto de módulo de un vector
del espacio euclídeo.
-propiedades:
a) Relación con el producto escalar: El módulo de la suma de dos vectores está
relacionado con el producto escalar y los módulos respectivos de los vectores.
b) Desigualdad triangular. El módulo de la suma de dos vectores es menor o igual que la
suma de módulos.

19. Ejemplos

20. Complejo de conjugadas
Se llama conjugado de un número complejo al
número complejo que se obtiene por simetría del dado
respecto del eje de abscisas.
Representando el número complejo a + bi y
haciendo la correspondiente simetría, se tiene que su
conjugado es a - bi .
Dado un número complejo, su conjugado puede
representarse poniendo encima del mismo una línea
horizontal. Así se escribirá:
a + bi = a – bi
el conjugado de un número complejo se obtiene
cambiando el signo de su componente imaginaria. Por
lo tanto, el conjugado de un número complejo z = a + bi
(donde a y b son números reales) es z = a - bi.
Representación geométrica de z
y su conjugado z en el plano
complejo.

21. Desigualdad triangular
La suma de las longitudes de cualquier lado de un triángulo es mayor que la
longitud del tercer lado. En todo triángulo la suma de las longitudes de dos lados
cualesquiera es siempre mayor (teniendo en cuenta la multiplicidad canónica de
vector asociado a la raíz de la matriz del operador transpuesto por su complejidad
lineal) a la longitud del lado restante
En la figura, las siguientes. desigualdades se
mantienen.
a + b > c
a + c > b
b + c > a

22. Ejemplos
Es posible tener un triángulo con las longitudes
de lado dadas.
7, 9, 13
Sume cualesquiera dos lados y vea si es mayor
que el otro lado.
La suma de 7 y 9 es 16 y 16 es mayor que 13.
La suma de 9 y 13 es 21 y 21 es mayor que 7.
La suma de 7 y 13 es 20 y 20 es mayor que 9.
Este conjunto de longitudes de lado satisface la
teoría de la desigualdad del triángulo.
Estas longitudes forman un triángulo.
Las longitudes de lado forman un
triángulo.
4, 8, 15
Ver si los lados satisfacen la teoría de la
desigualdad del triángulo.
Sume cualesquiera dos lados y vea si es
mayor que el otro lado.
La suma de 4 y 8 es 12 y 12 es menor
que 15.
Este conjunto de longitudes de lado no
satisface la teoría de la desigualdad del
triángulo.
Estas longitudes no forman un triángulo.

23. Forma polar de un numero complejo
La forma polar de un número complejo es otra forma de representar un número
complejo. La forma z = a + bi es llamada la forma coordenada rectangular de un
número complejo.
El eje horizontal es el eje real y el eje vertical es el eje imaginario.
Encontramos los Componentes reales Y Complejos en Términos de r y θ
Donde “ r ” es la Longitud del vector y θ es el ángulo de Hecho con el eje
real.
Del teorema de Pitágoras :
Por el uso de las relaciones trigonométricas básicas:

24. Ejemplos
Exprese el número complejo en la forma
polar.
5 + 2 i
La forma polar de un número complejo z
= a + bi es .
Así, primero se encuentra el valor
absoluto de r .
Ahora se encuentra el argumento θ.
Ya que a > 0, usa la fórmula.
Dese Cuenta Que “ r ” θ es Medido en
radianes.
Por lo Tanto, la forma de polar 5 + 2 i es
Alrededor de 5,39 (cos0.38 + i sin0.38).

25. Teorema de Moivre Exponenciación
El teorema de Moivre aplica procesos fundamentales de álgebra, como las
potencias y la extracción de raíces en números complejos. Braham Moivre realizó esta
asociación por medio de las expresiones del seno y coseno. Este matemático generó
una especie de fórmula a través de la cual es posible elevar un número complejo z a la
potencia n, que se trata de un número entero positivo mayor o igual.
El teorema de Moivre establece lo siguiente:
Si se tiene un número complejo en la forma polar z = rƟ, donde r es el módulo del
número complejo z, y el ángulo Ɵ es llamado amplitud o argumento de cualquier
número complejo con 0 ≤ Ɵ ≤ 2π, para calcular su n–ésima potencia no será necesario
multiplicarlo por sí mismo n-veces; es decir, no es necesario realizar el siguiente
producto:
Zn = z * z * z*. . .* z = rƟ * rƟ * rƟ *. . .* rƟ n-veces.

26. Por el contrario, el teorema dice que, al escribir z en su forma trigonométrica, para
calcular la n-ésima potencia se procede de la siguiente forma:
Si z = r (cos Ɵ + i * sen Ɵ) entonces zn = rn (cos n*Ɵ + i * sen n*Ɵ).
Por ejemplo, si n = 2, entonces z2 = r2[cos 2(Ɵ) + i sen 2 (Ɵ)]. Si se tiene que n = 3,
entonces z3 = z2 * z. Además:
z3 = r2[cos 2(Ɵ) + i sen 2 (Ɵ)] * r [cos 2(Ɵ) + i sen 2 (Ɵ)] = r3[cos 3(Ɵ) + i sen 3 (Ɵ)].
De esa manera pueden obtenerse las razones trigonométricas del seno y coseno
para múltiplos de un ángulo, siempre y cuando las razones trigonométricas del ángulo
sean conocidas.

27. Raíces de números complejos
La raíz enésima de número complejo es otro número complejo tal
que:
Su módulo es la n raíz enésima del módulo.
Su argumento es:

29. EjemplosEjemplos
1)
2)

31. Conclusión
Podemos decir que en si los números complejos es la combinación de
números reales con números imaginarios, los cuales nos dan la oportunidad
de efectuar operaciones para obtener resultados que puede que sean difíciles
de interferir con una operación aritmética básica.
Los números complejos son herramientas de trabajo del algebra ordinaria.
Esto puede dar a entender que la matemática es tan diversa, esparcida y
complejas, pero cada problema matemático tiene su propia solución, y tanto
métodos que aplicar.

32. Bibliografía
Mario Hernández (2011) ensayo números complejos
Disponible: https://es.scribd.com/doc/66197935/ensayo-de-los-Numeros-complejos
Juan canos morales (2016) ensayo números complejos.
Disponible: https://www.academia.edu/32257280/Ensayo_N%C3%BAmeros_Complejos
Yúnior castillo Silverio(2012) los números complejos.
Disponible:https://www.monografias.com/trabajos107/numeros-
complejostrigonometria/numeros-complejos-trigonometria.shtml
Ricardo Fernández (2018) números complejos.
Disponible: https://html.rincondelvago.com/numeros-complejos_5.html
Julián Pérez(2012) Modulo.
Disponibles: https://definicion.de/modulo/
Laura Gutiérrez(2012) función inversa.
Disponibles: https://matematica.laguia2000.com/general/funcion-inversa

33. María rodríguez (2014) desigualdad triangular.
Disponibles: http://www.matematicatuya.com/DESIGUALDADES/S8a.html
Vincenzo D alessio(2015) Teorema de Moivre.
Disponible: https://www.lifeder.com/teorema-moivre/
Icontreras(2016) raíces de números complejo.
Disponible: https://www.geogebra.org/m/dCJv99uj