Complex numbers powers and roots Potencias y raíces de números complejos De Moöivre

1. Actividad 1.3. Potencias y raíces de
Números Complejos.
G. Edgar Mata Ortiz

2. Los Números Complejos
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A diferencia de los números reales, las operaciones con números complejos
requieren de herramientas más relacionadas con el álgebra que con la
aritmética. Cuando se desea elevar un número complejo a una potencia es
posible seguir utilizando herramientas algebraicas, sin embargo, es más sencillo
recurrir a la trigonometría. Para la obtención de raíces de los números
complejos también se utiliza esta última rama de las matemáticas.
En el presente material se obtiene la forma polar de un número complejo a partir de su gráfica cartesiana y,
posteriormente, se aborda el Teorema de Möivre para calcular potencias y raíces de números complejos.
Contenido
Introducción. ............................................................................................................................................................3
Representación gráfica de un número complejo. ....................................................................................................3
El plano complejo. ................................................................................................................................................3
Representación de números en el plano complejo..........................................................................................4
Ejercicio: Representa cuatro números complejos en cada plano. ...................................................................4
Forma binómica y trigonométrica de números complejos. .................................................................................5
Forma polar de números complejos. ...................................................................................................................6
Multiplicación de números complejos en forma polar. ...................................................................................6
División de números complejos en forma polar...............................................................................................6
Ejercicios sobre multiplicación y división. ........................................................................................................6
Potencia de un número complejo. .......................................................................................................................7
Potencia de un número complejo en forma binómica.....................................................................................7
Potencia de un complejo en forma polar.........................................................................................................8
El Teorema de Möivre. .........................................................................................................................................9
Obtención de la raíz de un número complejo mediante el teorema de Möivre..............................................9

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Introducción.
Las operaciones básicas con números complejos; suma, resta,
multiplicación y división, pudieron resolverse utilizando las reglas básicas
del álgebra y tomando en cuenta el valor de i2 = -1. Sin embargo, para
elevar a una potencia o extraer la raíz de un número complejo, es
necesario utilizar otras herramientas e incluso, convertir los números
complejos, a su forma polar.
Representación gráfica de un número complejo.
Esta es la tercera parte del tema. En la primera y segunda parte se vio que
los números reales se representan sobre la recta numérica.
La segunda parte de este material se encuentra en:
http://licmata-math.blogspot.com/2019/09/activity-12-complex-numbers-2019.html
Puesto que los números complejos contienen a los reales, su
representación gráfica también debe incluirlos.
El plano complejo.
Fue Gauss quien determinó que los
números complejos, al estar
formados por dos partes; una real y
otra imaginaria, se podían
representar en un plano, al que llamó
plano complejo.
Se trata de un plano cartesiano en el
que el eje horizontal recibe el nombre
de eje real y el eje vertical, eje
imaginario.
Para representar un número complejo en este plano, la parte real indica
un desplazamiento horizontal, a la derecha si es positivo y a la izquierda si
es negativo; la parte imaginaria indica un desplazamiento vertical, hacia
arriba si es positiva y hacia abajo si es negativa.
El origen de
los números
complejos.
Actualmente, el estudio de
los números se realiza
siguiendo un orden “lógico”:
primero se estudian los
números que se emplean
para contar (naturales),
seguidos de los enteros,
negativos y fracciones.
Posteriormente se
profundiza en las fracciones
decimales y notación
científica para, finalmente,
llegar a los números reales.
Los números complejos
llegan al final, si acaso, y se
procura que cada
ampliación de los números
tenga una explicación
práctica.
La realidad histórica es muy
diferente; por extraño e
ilógico que parezca, los
números imaginarios y
complejos aparecieron al
mismo tiempo que los
negativos.
Las raíces de números
negativos fueron abordadas
y resueltas por Girolamo
Cardano y publicadas en su
libro “Ars Magna” en 1545.

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Representación de números en el plano complejo.
Una diferencia adicional de los números complejos sobre los reales consiste en que se representan como un
vector, por ejemplo, el número: 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 es un vector con origen (0, 0) y extremo (𝑎, 𝑏)
Ejemplo: Representación de los siguientes cuatro números en el plano complejo:
1. 𝑧1 = 3 + 2𝑖
2. 𝑧2 = 2 − 3𝑖
3. 𝑧3 = −1 + 3𝑖
4. 𝑧4 = −2 − 𝑖
Ejercicio 1: Representa vectorialmente cuatro números complejos en cada plano.
𝑧1 = 5 + 6𝑖 𝑧2 = 4 − 5𝑖 𝑧5 = 6 + 5𝑖 𝑧6 = 6
𝑧3 = 5𝑖 𝑧4 = −5 − 3𝑖 𝑧7 = −1 + 6𝑖 𝑧8 = −4 − 5𝑖

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Forma binómica y trigonométrica de números complejos.
La representación vectorial de los números complejos conduce, en forma natural, a la representación
trigonométrica de los mismos, ya que se basa en la magnitud, dirección y sentido del vector. Tiene la forma:
Forma binómica de un número complejo:
𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊
Forma trigonométrica del mismo número complejo:
𝒓( 𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝜽)
Donde r es la magnitud del vector: 𝒓 = ________________
Y  es el ángulo que forma el vector con el eje real. 𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏
𝒃
𝒂
Ejemplo: Expresar en forma trigonométrica el número: 𝒛 = 𝟑 + 𝟒𝒊
Primero determinamos la magnitud del vector: 𝒓 = |𝒛|
𝒓 = √ 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐
𝒓 = √(𝟑) 𝟐 + (𝟒) 𝟐
𝒓 = √𝟗 + 𝟏𝟔
𝒓 = √______
𝒓 = _______
Ahora vamos a determinar el argumento: 𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏
𝒃
𝒂
𝒕𝒂𝒏𝜽 =
𝒃
𝒂
→ 𝒕𝒂𝒏𝜽 =
𝟒
𝟑
→ 𝒕𝒂𝒏𝜽 = 𝟏. 𝟑̅, por lo tanto: 𝜽 = 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧(𝟏. 𝟑̅) → : 𝜽 = ________ 𝒓𝒂𝒅𝒊𝒂𝒏𝒆𝒔
El número complejo en forma binómica: 𝒛 = 𝟑 + 𝟒𝒊
Expresado en forma trigonométrica es: 𝒓(𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒊 ∙ 𝒔𝒆𝒏𝜽) = 𝟓[𝒄𝒐𝒔(__________) + 𝒊 ∙ 𝒔𝒆𝒏(___________)]
Nótese que se ha expresado el argumento en radianes y no en grados, aunque también es posible anotarlo en
grados. Para convertir los radianes a grados se multiplica por 180° y se divide entre.
0.927 × 180
𝜋
= _____________
Entonces el número complejo en forma binómica: 𝒛 = 𝟑 + 𝟒𝒊
Expresado en forma trigonométrica es: 𝟓[𝒄𝒐𝒔(__________) + 𝒊 ∙ 𝒔𝒆𝒏(___________)]

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Es evidente que, a partir de la forma trigonométrica, podemos obtener la forma binómica. Simplemente
efectuamos las operaciones indicadas en la forma trigonométrica:
El coseno de 53.13° es lo mismo que el coseno de 0.927 radianes: 0.6
El seno de 53.13° es lo mismo que el seno de 0.927 radianes: 0.8
Por lo tanto, el número complejo es: 𝒛 = 𝟓[________ + 𝒊 ∙ __________] → 𝒛 = 𝟑 + 𝟒𝒊
La forma trigonométrica de un número complejo tiene la ventaja de mostrar, directamente, su equivalencia
con la forma binómica, sin embargo, es una escritura un tanto dificultosa.
Forma polar de números complejos.
La forma polar se toma directamente de las coordenadas polares en las que un punto, en lugar de
representarse mediante dos números llamados coordenadas rectangulares, se toma la magnitud del vector y el
ángulo que forma con el eje equis. Dicho ángulo puede expresarse en radianes o grados.
Ejemplo: EL número complejo en forma binómica: 𝒛 = 𝟑 + 𝟒𝒊
Puede expresarse en forma polar anotando solamente su magnitud y argumento:
𝒛 = 𝟓 𝟎.𝟗𝟐𝟕 𝒛 = 𝟓 𝟓𝟑.𝟏𝟑° 𝒛 = (𝟓, 𝟎. 𝟗𝟐𝟕) 𝒛 = (𝟓, 𝟓𝟑. 𝟏𝟑°)
La ventaja más importante de la forma polar, además de la sencillez para su escritura es la facilidad con la que
se puede multiplicar, dividir, elevar a una potencia o extraer la raíz enésima de cualquier número complejo.
Multiplicación de números complejos en forma polar.
Como vimos anteriormente, es posible multiplicar números complejos empleando las reglas del álgebra
elemental y luego aplicando la equivalencia de 𝑖2
= −1 para simplificar el resultado.
Ejemplo: Multiplicar (𝟑 + 𝟒𝒊) × (𝟓 + 𝟐𝒊) =
Aplicando las reglas del álgebra elemental:
𝟏𝟓 + 𝟐𝟎𝒊 + 𝟔𝒊 + 𝟖𝒊 𝟐
= 𝟏𝟓 + 𝟐𝟔𝒊 + 𝟖(−𝟏) = 𝟏𝟓 + 𝟐𝟔𝒊 − 𝟖 = 𝟕 + 𝟐𝟔𝒊
Convierte estos números a la forma polar y efectúa la multiplicación: los valores de r se multiplican y los
argumentos se suman,
Multiplicar: 𝟓 𝟎.𝟗𝟐𝟕 × 𝟓. 𝟑𝟖𝟓 𝟎.𝟑𝟖𝟏 = 𝟐𝟔. 𝟗𝟐𝟔 𝟏.𝟑𝟎𝟖
Tal vez parezca demasiado trabajo convertir a la forma polar y luego multiplicar, pero para la división resulta
mucho más conveniente.
División de números complejos en forma polar.
El procedimiento es muy sencillo, se dividen las magnitudes de los vectores y se restan los argumentos.
Dividir: 𝟓 𝟎.𝟗𝟐𝟕 ÷ 𝟓. 𝟑𝟖𝟓 𝟎.𝟑𝟖𝟏 = 𝟎. 𝟗𝟐𝟖 𝟎.𝟓𝟒𝟔
Ejercicio2: multiplicación y división, traza la gráfica en cada ejercicio
1. Multiplica (𝟑 − 𝟐𝒊) × (𝟓 + 𝟒𝒊), utilizando los procedimientos algebraicos usuales y convierte el
resultado a la forma trigonométrica y polar. Comprueba que el resultado coincide con el
obtenido al multiplicar en forma polar.

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2. Divide (𝟑 + 𝟒𝒊) ÷ (𝟓 + 𝟐𝒊), utilizando los procedimientos algebraicos usuales y convierte el
resultado a la forma trigonométrica y polar. Comprueba que el resultado coincide con el
obtenido al dividir en forma polar.
3. Multiplica (
𝑵𝑳
𝟐
+ 𝟐𝒊) × (
𝑵𝑬
𝟑
− 𝟒𝒊), aplicando los procedimientos algebraicos usuales, al terminar,
convierte el resultado a la forma trigonométrica y polar.
4. Convierte los números complejos del ejercicio 3 a la forma polar y efectúa la multiplicación, comprueba
que el resultado coincide en ambos métodos.
5. Divide (𝟓 +
𝑵𝑳
𝟑
𝒊) ÷ (𝟑 −
𝑵𝑬
𝟐
𝒊), aplicando los procedimientos algebraicos usuales, al terminar,
convierte el resultado a la forma trigonométrica y polar. Convierte los números complejos a la forma
polar y efectúa la división, comprueba que el resultado coincide en ambos métodos.
6. Multiplica (𝟒 −
𝑵𝑳
𝟒
𝒊) × (
𝑵𝑬
𝟐
− 𝒊) × (−𝟓 −
𝑵𝑳
𝟓
𝒊), aplicando los procedimientos algebraicos usuales,
después, convierte los números complejos a la forma polar y efectúa la multiplicación, comprueba que
el resultado coincide en ambos métodos.
7. Multiplica (𝑵𝑬 − 𝟒𝒊) × (−𝟏 − 𝑵𝑳𝒊) × (
𝑵𝑬
𝟓
+ 𝟒𝒊), aplicando los procedimientos algebraicos
usuales. Convierte los números complejos a la forma polar y efectúa la multiplicación, comprueba que
el resultado coincide en ambos métodos.
8. Multiplica (
𝑵𝑬
𝟓
− 𝟐𝒊) × (−
𝑵𝑳
𝟏𝟎
+ 𝒊) × (−
𝑵𝑬
𝟔
− 𝟐𝒊), aplicando los procedimientos algebraicos
usuales. Convierte los números complejos a la forma polar y efectúa la multiplicación, comprueba que
el resultado coincide en ambos métodos.
9. Divide (𝟓 +
𝑵𝑳
𝟏𝟎
𝒊) ÷ (
𝑵𝑬
𝟖
− 𝟐𝒊), aplicando los procedimientos algebraicos usuales. Convierte los
números complejos a la forma polar y efectúa la división, comprueba que el resultado coincide en
ambos métodos.
10. Divide (
𝑵𝑳
𝟏𝟎
+ 𝒊) ÷ (
𝑵𝑳
𝟏𝟎
− 𝒊), aplicando los procedimientos algebraicos usuales. Convierte los números
complejos a la forma polar y efectúa la división, comprueba que el resultado coincide en ambos
métodos.
Potencia de un número complejo.
Para elevar un número complejo en forma binómica a una potencia no muy grande solamente se requiere algo
de habilidad algebraica, pero si la potencia es muy grande, el proceso puede resultar extremadamente
laborioso. En cambio, si primero lo convertimos a la forma polar, el procedimiento es muy sencillo. Se aplica la
siguiente regla:
( 𝒓 𝜽) 𝒏
= 𝒓 𝒏𝜽
𝒏
Potencia de un número complejo en forma binómica.
Ejemplo: Efectúa la operación (4 − 5𝑖)3
=
Primero vamos a resolverlo en su forma binómica.
(4 − 5𝑖)3
= (4)3
+ 3(4)2(−5𝑖) + 3(4)(−5𝑖)2
+ (−5𝑖)3

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Utiliza las siguientes líneas para terminar el procedimiento y anotar el resultado.
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
Potencia de un complejo en forma polar.
Ahora vamos a resolverlo convirtiéndolo primero a la forma polar:
(4 − 5𝑖)3
=?
El primer paso es determinar el módulo: 𝒓 = √(𝟒) 𝟐 + (−𝟓) 𝟐 → 𝒓 = √𝟏𝟔 + 𝟐𝟓 → 𝒓 = √𝟒𝟏 → 𝒓 = 𝟔. 𝟒
Y el segundo paso consiste en determinar el argumento. Utiliza el siguiente espacio para calcular el valor de .
Después de obtener el valor de el número complejo en forma polar es:
4 − 5𝑖 = 6.4−0.896 = 6.4−51.34° = 6.45.387 = 6.4308.659°
Cualquiera de todos estos valores es correcto, para entender por qué,
representa gráficamente el número complejo en el plano cartesiano de la
derecha e identifica las diferentes formas de representar el argumento .
Ahora aplicamos la fórmula para elevar un número complejo a una potencia.
Anota el resultado, en forma polar, en la línea siguiente.
(4 − 5𝑖)3
= (6.4−0.896)3
= 6.43(−0.896)
3
=________
Para verificar que el resultado es el mismo, convierte el resultado obtenido al
efectuar la operación en la forma binómica, a la forma polar.
(4 − 5𝑖)3
= (4)3
+ 3(4)2(−5𝑖) + 3(4)(−5𝑖)2
+ (−5𝑖)3
= ______________
Conversión del resultado en forma binómica, a la forma polar: _____________
Compara los resultados y explica lo que sucede:
__________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________

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El Teorema de De Möivre.
El método que seguimos para elevar un número complejo, en forma polar, a una potencia, está basado en este
teorema. La expresión del teorema se refiere a la forma trigonométrica. Si tenemos un número complejo
expresado en la forma: 𝒛 = 𝒓(𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝜽)
Es posible elevarlo a una potencia “n” mediante: 𝒛 𝒏
= 𝒓 𝒏[𝒄𝒐𝒔(𝒏𝜽) + 𝒊𝒔𝒆𝒏(𝒏𝜽)]
Sustituye los valores del ejercicio anterior en esta fórmula.
(4 − 5𝑖)3
=_____________________________________________________________
Explica brevemente el procedimiento que seguiste para sustituir y resolver el problema anterior mediante el
Teorema de Möivre.
__________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________
Obtención de la raíz de un número complejo mediante el teorema de De Möivre.
Obtener la raíz cuadrada puede interpretarse como un exponente fraccionario, consulta y explica el
procedimiento para obtener la raíz cuadrada de un número complejo:
__________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________
Calcula la raíz cuadrada de:
𝑁𝐿
2
− 5𝑖
√
𝑁𝐿
2
− 5𝑖 =?
Utiliza este espacio para calcular la raíz cuadrada y, en el reverso de la hoja, traza la gráfica correspondiente:
Explica el procedimiento seguido para calcular la raíz cuadrada.
__________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________

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Ejercicio 3: Resuelve las siguientes raíces y traza sus gráficas.
1. √
𝑁𝐿
5
− 2𝑖 =
2. √
𝑁𝐿
5
− 2𝑖
3
=
3. √
𝑁𝐿
12
𝑖 =
4. √
𝑁𝐿
15
𝑖
3
=
5. √
𝑁𝐿
10
𝑖
4
=
Lecturas complementarias recomendadas.