Este documento presenta conceptos básicos de cinemática de una partícula, incluyendo posición, desplazamiento, velocidad media e instantánea, y aceleración media e instantánea. Define estos términos y ofrece ejemplos numéricos para ilustrar cómo calcularlos cuando se conoce la ecuación del movimiento de una partícula en un eje. También introduce el movimiento rectilíneo uniforme.

1. CINEMÁTICA DE UNA PARTÍCULA
Es la parte de la física que estudia el movimiento de una partícula sin
considerar las causas que originan dicho movimiento.
DEFINICIONES BÁSICAS
PARTÍCULA
Es todo objeto cuya posición puede describirse localizando un solo punto
MOVIMIENTO
Se llama así cuando la partícula cambia de vector posición con respecto al
tiempo
DESPLAZAMIENTO
Se llama así, al vector que nos indica la variación de la posición de una
partícula
r = r2 - r1 donde r2 y r1 son los vectores posición
TRAYECTORIA
Es la línea que describe la partícula. En este capítulo nos limitaremos al
movimiento cuya trayectoria es una línea recta, es decir en una dimensión
X
Y
Z
r1
r2

r
Desplazamiento
Trayectoria
P
1

P2


2. MOVIMIENTO RECTILÍNEO
Si el movimiento se realiza en una línea recta, como por ejemplo el eje X,
solo existe dos sentidos posibles para los vectores desplazamiento,
velocidad y aceleración: El sentido hacia la derecha (i ) y el sentido hacia
la izquierda ( -i ).
+x
-x 5i
-5i
Muchas veces, el estudiante no desea trabajar en forma vectorial y solo para
el movimiento rectilíneo, se puede emplear el siguiente criterio. Si el vector
apunta hacia la derecha se escribirá el signo ( + ) y si apunta hacia la
izquierda se escribirá el signo negativo ( - ).
1. POSICIÓN
Para cualquier instante “t” la partícula tendrá una posición representada por
la coordenada del punto, tal como P, es decir la coordenada (x)

0

+x

-x r
r1
x
El vector posiciónr, se expresa por: r =xi ó r = x
El vector posiciónr1, se expresa por: r1= - xi ó r = -x
Si para cada instante “t” se conoce la coordenada de la partícula, entonces
se conocerá el movimiento de la partícula y a la relación:
r = f (t) se le llamará LEY DEL MOVIMIENTO

3. EJEMPLO:
Una partícula tiene un movimiento en línea recta, cuya ley del
movimiento está dada por: x = 3 t2 + t -2, donde “x” está
en (m) y “t” en (s). Hallar la posición de la partícula para los
tiempos: t = 2 s y t = 3 s.
SOLUCIÓN
x3 = 3(3)2 + 3 -2 x3 = 28
x2 = 3(2)2 + 2 -2 x2 = 12

4. 2. DESPLAZAMIENTO
La variación de la posición de la partícula entre los
puntos P(x1) y Q(x2), se denomina vector
desplazamiento (r )
Q(x2)
P(x1)
r1
r
r2
 

0
X
El vector desplazamiento se expresa por: r =r2 -r1
ó r = ( x2 – x1 )i ó r = ( x2 - x1 )
Si el resultado de restar se obtiene una cantidad positiva
el vector desplazamiento se dirige hacia la derecha y si
es una cantidad negativa se dirige hacia la izquierda

5. EJEMPLO
Una partícula tiene un movimiento en línea recta, cuya ley del
movimiento está dada por: x = 3 t2 - 2 t +5, donde “x” está en (m)
y “t” en (s). Hallar el vector desplazamiento entre t = 2 s y t = 3 s.
SOLUCIÓN
x3 = 3 (3)2 - 2 (3) +5 x3 = 27 - 1 x3 = 26
x2 = 3 (2)2 - 2 (2) +5 x2 = 12 +1 x2 = 13
 x = x3 – x2 = 13

6. 3. VELOCIDAD MEDIA (vm )
Se define el módulo de la velocidad media de una
partícula como el cociente entre el desplazamiento (x)
y el intervalo de tiempo (t), es decir:
1
2
1
2
m
t
-
t
x
-
x
t
x
v 



El sentido del desplazamiento y la velocidad media
pueden ser positivas (+i ) o negativas (-i ),
dependiendo de que si x2 es mayor o menor que x1

7. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA VELOCIDAD
MEDIA
Sea la gráfica de la posición (x) en función del tiempo (t) para una
partícula con movimiento rectilíneo
x2
t1 t2
t (s)
x (m)
x = x2 – x1
t = t2 – t1
x = f(t)

P2
P1


x1
la velocidad media esta dada por:
1
2
1
2
m
t
-
t
x
-
x
t
x
v 




8. x2
t1 t2
t (s)
x (m)
x = x2 – x1
t = t2 – t1
x = f(t)

P2
P1


x1
En la gráfica se observa que la pendiente de la recta P1P2 esta
dada por:
1
2
1
2
t
-
t
x
-
x
tg
m 
 
Podemos concluir que vm = m
“La pendiente de la recta que pasa por los puntos P1
(t1 ,x1) y P2(t2 ,x1) nos da el valor de la velocidad
media”

9. EJEMPLO
Una partícula con movimiento rectilíneo tiene con ecuación de
movimiento a: x = 3t2 - 5
Hallar el vector velocidad media para t = 2 s y t = 1 s
SOLUCIÓN
x2 = 3 (2)2 – 5 = 7
x1 = 3 (1)2 – 5 = - 2
x2 – x1 = 7 – (- 2) = 9
t2 – t1 = 2 - 1 = 1
1
2
1
2
m
t
-
t
x
-
x
v 
m/s
9
1
9
vm 

m/s
i
9
vm 

10. 4. VELOCIDAD INSTANTÁNEA (v )
Se llama velocidad instantánea al límite del cociente
cuando “t” tiende a cero, es decir:
t
x
lim
v
0
t 





A este límite se le denomina la derivada de la posición
(x) con respecto a el tiempo (t), es decir:
t
d
x
d
v 

11. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA VELOCIDAD
INSTANTÁNEA
Sea la gráfica de la posición (x) en función del tiempo (t)
Cuando se hace disminuir el intervalo de tiempo ( t ), la recta
P1P2 tiende a ser una recta tangente en el punto P.
x2
t1 t2
t (s)
x (m)
x = x2 – x1
t = t2 – t1
x = f(t)

P2
P1


x1
Recta tangente en P1
El valor de la velocidad instantánea en P1 es la pendiente
de la recta tangente en P1.

12. OBSERVACIÓN
Es importante distinguir entre velocidad media ( vm ) y
velocidad instantánea (v). Sin embargo la palabra
velocidad sólo se emplea como velocidad instantánea
El valor numérico de la velocidad instantánea a veces se le
denomina “rapidez”

13. EJEMPLO
Una partícula con MR tiene como ecuación del movimiento a:
x = 16 t2 en donde “x” se mide en metro y “t” en segundos, hallar:
a) La velocidad instantánea para cualquier tiempo ( t )
b) La velocidad instantánea para t = 3 s
SOLUCIÓN
2
t
16
x 
1
-
2
t
(2)
16
t
d
x
d

1
t
32
t
d
x
d
v 

(3)
32
v3 
m/s
96
v3 

14. EJEMPLO
El movimiento de una partícula se define por la relación:
x = 2 t2 – 20 t + 60, donde “x” está en metro y “t” en segundo. Calcular:
a) La posición de la partícula al inicio del movimiento
b) La velocidad instantánea para t = 1 s
c) El tiempo en la cual la velocidad es cero
d) Interprete la respuesta anterior.
e) El espacio total recorrido cuando el tiempo es 6 s.
SOLUCIÓN
a) Para t = 0 se dará el inicio del movimiento
Para t = 0 x0 = 2(0)2 – 20 (0) + 60 = 60 m
20
-
t
4
t
d
x
d
v
b) 

m/s
16
-
20
-
(1)
4
t
d
x
d
v 


0
20
-
t
4
v
c) 
 s
5
t 

15. Recta tangente t (s)
x (m)
x = f(t)
v
v1
Recta paralela al eje t
v2
V = 0 ??
60 m

t = 0

t = 5
10 m
v = 0
Para t = 6 x6 = 2(6)2 – 20 (6) + 60 = 12 m

12

16. Espacio total recorrido será
d = | 60 – ( 10) | + | 12 – ( 10) |
d = | 50 | + | 2 |
d = 52 m

17. 5. ACELERACIÓN MEDIA ( am )
Se define aceleración media como la variación de la
velocidad instantánea ( v ) con respecto a la variación
del tiempo ( t ), es decir:
1
2
1
2
m
t
-
t
v
-
v
t
v
a 



ACELERACIÓN INSTANTÁNEA ( a )
Es el límite del cociente (v / t ) cuando t tiende a cero,
a este límite se le llama derivada de la velocidad
instantánea con respecto al tiempo, es decir
t
d
v
d
a 
Para realizar esta derivación se debe tener la
siguiente función: v = f (t)

18. También:
)
t
d
x
d
(
t
d
d
t
d
v
d
a 

2
2
t
d
x
d
a 
Que viene a ser la segunda derivada de ( x ) con
respecto al tiempo ( t )

19. EJEMPLO
Una partícula tiene un MR, donde la posición viene dada por la ecuación:
x = 3 t2 siendo “t” el tiempo en segundo y “x” la posición en metro. Hallar:
La velocidad instantánea para cualquier tiempo “t”
La aceleración instantánea para cualquier tiempo “t”
La aceleración instantánea para t = 3 s
SOLUCIÓN
x = 3 t2 v = 6 t a = 6

20. EJEMPLO
El movimiento de una partícula se define por la
relación:
x = 2 t3 – 6 t2 + 15, donde “x” está en metro y “t”
en segundo. Calcular el tiempo, la posición y
aceleración cuando la velocidad es cero.
SOLUCIÓN
X = 2 t3 – 6 t2 + 15
v= 6 t2 – 12 t
6 t2 – 12 t = 0
t2 = 2 t
t = 0 y t = 2 RPTA
x0 = 2 (0)3 – 6 (0)2 + 15 x0 = 15 m RPTA
x6 = 2 (2)3 – 6 (2)2 + 15 x6 = 7 m RPTA
v= 6 t2 – 12 t
a= 12 t – 12
a0 = 12 (0) – 12 a0 = – 12 m/s2 RPTA
a6 = 12 (2) – 12 a6 = 12 m/s2 RPTA

21. EJEMPLO
La aceleración de una partícula se define por la relación:
a = - k x. Encontrar el valor de “k” tal que v = 15 m/s cuando
x = 0 y x = 3m cuando v = 0
SOLUCIÓN
a = - k x
kx
dt
dv


kx
dx
dx
dt
dv



kx
dx
dx
dt
dv



kx
dx
dv
v 

dx
kx
dv
v 

dx
kx
dv
v 
 

dx
kx
dv
v
0
15

 

dx
kx
dv
v
3
0
0
15

 


22. 3
0
2
0
15
2
2
x
k
2
v


dx
kx
dv
v
3
0
0
15

 

dx
x
k
dv
v
3
0
0
15 
 

2
0
2
3
k
2
15
2
0 2
2
2
2




0)
-
k(4,5
)
5
,
112
0
( 


k(4,5)
5
,
112 


K = 25

23. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (M.R.U)
Es aquel movimiento donde su trayectoria es una línea
recta y su velocidad es constante.
DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA DEL M.R.U.
En la gráfica se tienen una partícula con MR. Tal como
el eje X.
0
X
e
dx
x1
t1=0

x2
t

t
d
x
d
v  d x = v d t
Por definición
Integrando el primer miembro desde x1 hasta x2 y el
segundo miembro desde el inicio del movimiento t1= 0
hasta t

 
t
0
x
x
dt
v
dx
2
1

24. Como la “v” es constante 
 
t
0
x
x
dt
v
dx
2
1
Integrando x2 - x1 = v ( t -0 )
Según la gráfica e = v t
Donde: e es el espacio recorrido o distancia en (m)
t es el tiempo en (s)
v es la velocidad en ( m/s )

25. PROBLEMA Un móvil va por una carretera y tiene un MRU con velocidad de
16 m/s; una persona se encuentra a 60 m de la carretera y, en determinado
instante a 400 m del móvil. ¿Qué rapidez mínima suponiéndola constante
con trayectoria rectilínea, debe desarrollar la persona para alcanzar el móvil?
C●
A
v1 =16
H
60m
400m
B
v2
senos
de
Ley
:
ABC
el
En 
sen
400
sen
AB





(1)
....
sen
400
sen
t
v1



:
BCH
el
En 
BC
60
sen 

(2)
......
t
v
60
sen
2


(2)
y
(1)
De
t
v
sen
400
t
v
60
sen
1
2

 

sen
400
t
v
60
t
v 1
2


sen
20
v
3
v 1
2


1
sen
si
mínima,
es
v2 


m/s
2,4
v
,
20
(16)
3
v 2
2 


26. PROBLEMA: La figura muestra la posición x en función del tiempo “t”
para dos partículas. ¿En que instante las partículas están separadas
150 m?
B
A
2 5
20
80
X(m)
t(s)

b
 
)
(
m/s
16
5
80
-
tg
vA 



 

2
20
-
b
tg
vB 
 
5
80
2
b
-
80
tg 

 48
b 
)
(
m/s
14
2
20
-
48
tg
vB 


 
Al inicio A esta en 80 m y B en 20 m, es
decir están separadas 60 m
14 m/s 16 m/s
60 m
t
14 t
t
16 t
De la figura:
(14 t – 60) + 16 t = 150
t = 7 s

27. EJEMPLO
Dos móviles A y B parten simultáneamente con velocidadesvA =20i
m/s y vB = -30i
Desde puntos separados por una distancia de 800 m. ¿En que tiempo
en segundo estarán separados una distancia de 100 m por primera
vez?
SOLUCIÓN

28. EJEMPLO
Dos partículas A y B parten simultáneamente desde P(0,1) y Q(4,0)
respectivamente: Si A y B se mueven a lo largo de las rectas mostradas en la
figura para luego encontrarse en S, halle la relación vA / vB donde vA y vB son
las rapideces constantes de A y B
SOLUCIÓN
(8.7)
Q(4.0)
P(0.1)
A
B
X
Y




29. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE
VARIADO:(MRUV)
Es aquel movimiento cuya trayectoria es una línea recta y su
aceleración es constante a través del tiempo
DEDUCCIÓN DE LAS FÓRMULAS DEL MRUV
0
X
e
dx
t1=0
x1

v1
x2
t

v2
t
d
v
d
a  t
d
a
v
d  
 
t
0
v
v
t
d
a
v
d
2
1
Haciendo la integración para: v2  v1 v2 - v1= a (t – 0)
v2 = v1 + a t
Haciendo la integración para: v1  v2 v2 = v1 - a t
v2 = v1  a t

30. Similarmente se consigue las siguientes fórmulas
2
2
t
a
t
v
e 1 

v2
2 = v1
2  2 a e
t
2
v
v
e 2
1





 


31. PROBLEMA: Cuando un semáforo se pone en verde, un coche que
esperaba el cruce arranca con aceleración constante de 2 m/s2. En
ese instante a 100 m detrás del coche, avanza un camión con
velocidad constante de 29 m/s. ¿A qué distancia respecto del punto
inicial del camión, éste alcanza al coche por primera vez?
●
v=0
a=2
100 m
V=29 m/s
xA
xB
100
x
x
:
gráfico
Del A
B 

2
t
a
t
v
x
2
0A
A 

2
2
A t
2
t
2
0
x 


(MRU)
t
29
xB 
Reemplazando
100
t
t
29 2


100
100
t
29
-
t2


25
y t
4
t 

4)
(
(29)
t
29
xB 

m
116
xB 

32. EJEMPLO
El tiempo que demora una persona en percibir la luz y accionar los
frenos de una automóvil es de 0,5 s. Si la desaceleración que puede
ejercer cuando se acciona los frenos es de 5 m / s2. Hallar el
espacio total recorrido antes de detenerse, una vez percibida la
señal, cuando la velocidad es de 30 m/s
SOLUCIÓN
V = 30 m/s
B
A
V = 30 m/s
t =0,5s
A: percibe la luz
B: acciona los frenos
C: móvil detenido
C
V = 0
a=5 m/s2
TRAMO AB
t
v
AB 
(30)(0,5)
AB 
(1)
.......
m
15
AB 
TRAMO BC
(BC)
a
2
-
v
v 2
B
2
C 
(BC)
(5)
2
-
30
0 2
2
C 
(2)
.......
m
90
BC 
BC
AB
AC 

m
105
AC 

33. EJEMPLO
Una partícula describe una trayectoria rectilínea de tal manera
que su posición está determinada según la gráfica adjunta.
Determinar la gráfica velocidad versus tiempo.
SOLUCIÓN
t (s)
x (m)
30
20
10
0
2 4 6 8

35. t (s)
x (m)
30
20
10
0
2 4 6 8
Entre 0 y 2 s V = + 5 m/s
Entre 2 y 4 s V = + 0 m/s
Entre 4 y 6 s V = + 10 m/s
Entre 6 y 8 s V = - 15 m/s
t (s)
v (m/s)
10
0
-10
-20
2 4 6 8
20

36. CAÍDA LIBRE DE LOS CUERPOS
Es un caso especial del MRUV y se llama así al movimiento en el cual
se desprecia la resistencia del aire y la pequeña variación de la
aceleración debido a la altura con respecto a la Tierra
La aceleración de un cuerpo que cae libremente se le llama
aceleración de la gravedad ( g ) y cuyo valor para efectos de los
problemas se tomará como:
a = 9,8 m / s2 = 10 m / s2
Las fórmulas para este movimiento cumplen con las del MRUV, donde
el espacio recorrido o distancia ( d ) se cambiará por ( h ) y la
aceleración ( a ) por la aceleración de la gravedad ( g ), es decir
vf = vi  g t
2
t
g
t
v
h
2
i 

vf
2 = vi
2  2 g h
t
2
v
v
h f
i





 


37. EJEMPLO
Se deja caer una esfera desde un globo que está elevándose con una
velocidad constante de 9 m/s. Si la esfera tarda 10 s en alcanzar el suelo. ¿A
que altura estaba el globo cuando se deja caer la esfera?
SOLUCIÓN

39. MOVIMIENTO CURVILÍNEO
Es aquel movimiento cuya trayectoria es una curva ( parábola, elipse,
circunferencia, etc ).
Sea una partícula en movimiento, cuya trayectoria curvilínea esta dada
según la figura siguiente:
r1
r2
r
Trayectoria
O
Y
X

40. r1
r2
r
Trayectoria
O
Y
X
VECTOR POSICIÓN (r )
Es aquel vector que ubica a un punto de la trayectoria de una partícula
en movimiento y puede variar con respecto al tiempo
r = x i + y j con x = f (t) y = f (t)
r = x(t) i + y(t) j
VECTOR DESPLAZAMIENTO: r
Es aquel vector que ubica un punto de la trayectoria con respecto a otro
punto de la misma trayectoria.
r = r2 - r1

41. EJEMPLO
Las coordenadas de una partícula en movimiento están dadas por las
siguientes ecuaciones: x = 2 t2 y =3 t – 1 donde x e y están en metros
y t en segundo. Calcular el vector desplazamiento para la partícula para
t = 1 s y t = 3 s
SOLUCIÓN
j
y(t)
i
x(t)
r1 

j
1)
-
t
3
(
i
)
(2t
r 2
1 

j
1)
-
1
3
(
i
(1)
2
r 2
1 x


j
2
i
2
r1 

j
1)
-
3
3
(
i
(3)
2
r 2
3 x


j
8
i
18
r3 

1
3 r
r
r 


j
)
2
8
(
i
)
2
18
(
r 




j
6
i
16
r 



42. VELOCIDAD MEDIA ( vm, )
Es aquel vector que se define como el cociente entre el
desplazamiento (r ) y el intervalo de tiempo ( t ), es decir:
t
r
vm



EJEMPLO
Una partícula en movimiento curvilíneo está definida por:
x = t2 – t + 1 y = 3 t
Donde “x” e “y” están en metro y “t” en segundo. Calcular el vector
velocidad media, el módulo y dirección entre t = 1 s y t = 3 s
SOLUCIÓN

43. VELOCIDAD INSTANTÁNEA ( v )
El vector velocidad instantánea de una partícula en movimiento
curvilíneo es la primera derivada del vector posición (r ) de la
partícula con respecto a el tiempo
La velocidad instantánea es tangente a un punto de la trayectoria.
O
Y
X
Trayectoria
Línea Tangente
v
vY
vX

44. O
Y
X
Trayectoria
Línea Tangente
v
vY
vX
t
r
lim
v
0
x 



(t)
f
r
con
t
d
r
d
v 

Si v = vX i + vY j entonces
t
d
y
d
y v
t
d
x
d
v Y
X 

El módulo del vector velocidad instantánea está dada por
2
Y
2
X
2
v
v
v 
 También:
t
d
y
d
t
d
x
d
v
2
2
2
















45. EJEMPLO
En un movimiento curvilíneo el vector posición de una
partícula en función del tiempo está dada por:
r = ( 2 t2 – 2 )i + ( t2 + t )j , donde r está en metro y t en
segundo. Calcular el vector velocidad instantánea, su módulo
y su dirección
SOLUCIÓN

46. ACELERACIÓN MEDIA (a )
Sea una partícula en movimiento, cuya trayectoria curvilínea
esta dada según la figura siguiente:
Sean las velocidades instantáneasv1 yv2 para los puntos P1 y
P2.
Trayectoria
O
Y
X
v, siempre se dirige hacia la
parte cóncava de la trayectoria
P1

1
v
P2

2
v
2
v
1
v
v

Se define la aceleración media de una partícula en el
intervalo de tiempo ( t ) por:
t
v
am




47. 1
2
1
2
m
t
t
v
-
v
a


Donde v1 y v2 son las velocidades instantáneas en los
puntos P1 y P2 respectivamente
EJEMPLO
Una partícula tiene un movimiento curvilíneo cuyas
ecuaciones del movimiento está dada por:
x = 4 t2 – 2 t y = 2 t2 – 5 donde “x” e “y” están en
metro y “t” en segundo. Calcular el vector velocidad media
entre los tiempos de 3 s y 1 s, además obtener el valor de
dicha velocidad media
SOLUCIÓN

48. ACELERACIÓN INSTANTÁNEA
El vector aceleración instantánea de una partícula es igual a la
primera derivada del vector velocidad instantánea con respecto al
tiempo, es decir:
t
v
Lim
a
0
x 



)
t
(
f
v
con
t
d
v
d
a 

)
t
d
x
d
(
t
d
d
a 
)
t
(
f
x
con
t
d
x
d
a 2
2


Es decir: la aceleración instantánea es igual a la segunda
derivada del vector posición con respecto al tiempo
La aceleración es un vector que tiene la dirección igual al cambio
instantáneo de la velocidad

49. La aceleración siempre está apuntando hacia la parte
cóncava de la trayectoria
En la figura adjunta se observa la velocidad y la aceleración
instantánea para los puntos P1 , P2 y P3
O
Y
X
Trayectoria
v1
v2
v3
a1
a2
a3
P1
P2
P3




50. EJEMPLO
El movimiento de una partícula está definida por las siguientes
ecuaciones:
x = 2 t4 – 2 t y = 5 t3 v- 4 donde “x” e “y” están
expresadas en metro y “t” en segundo. Calcular el valor de la
aceleración instantánea para cualquier tiempo y para cuando
t = 1 s
SOLUCIÓN

51. ACELERACIÓN TANGENCIAL Y NORMAL.
En la figura se tiene la trayectoria curvilínea de una partícula,
donde se observa que en un punto tal como (A) la
aceleración (a ) apunta hacia la parte cóncava de la
trayectoria
En ciertos fenómenos físicos como el movimiento circular es
necesario descomponer la aceleración en forma tangencial a
la trayectoria ( aT ) y en forma perpendicular a dicha
tangente (aN ).
vectorialmente se tiene
N
T a
a
a 

a = aTuT + aNuN
Línea Tangente
Línea Normal
uN
uT
aT
aN
Y
X
Trayectoria
A
O
a

52. Matemáticamente se
demuestra que:
t
d
v
d
a T
T


2
T
N
v
a 
 = AQ es el radio de curvatura
Línea Tangente
Línea Normal
uN
uT
aT
aN
Y
X
Trayectoria
A
O
a
Q
El punto Q es el centro de curvatura
La aceleración tangencial mide la variación del módulo de la
velocidad.
La aceleración normal mide la variación de la dirección de la
velocidad
El módulo de la aceleración en el punto A se determinar por:
a2 = (aT )2 + (aN )2 ó a2 = (aX )2 + (aY )2

53. OBSERVACIONES
En el movimiento circular se cumple:
t
d
v
d
a T
T 
R
v
a
2
N 
En el movimiento circular uniforme se cumple que
0
t
d
v
d
a T
T 

R
v
a
2
N 
En el movimiento circular uniformemente variado, se cumple
que
constante
t
d
v
d
a T
T 
 R
v
a
2
N 

54. EJEMPLO
El movimiento de una partícula se define por:
r = ( t2 + 1 )i + ( t2 – 1)j
donde “r” está en metro y “t” en segundo. Calcular el radio de
curvatura de la trayectoria cuando t = 1 s
SOLUCIÓN
EJEMPLO
Las coordenadas de un cuerpo en movimiento son:
x = t2 y =( t–1)2. Hallar:
a) La ecuación cartesiana de la trayectoria
b) Representar la trayectoria
c) ¿Cuándo se tiene la velocidad mínima?
d) La aceleración tangencial y normal en cualquier instante
y cuando t = 1 s
SOLUCIÓN

55. MOVIMIENTO COMPUESTO
Es aquel movimiento que resulta de la combinación de dos o
más movimientos simples (MRU, MRUV). Si el movimiento
compuesto se debe a dos MRU, la trayectoria es una línea
recta en la dirección de la velocidad resultante
Si el movimiento compuesto se debe a un MRU y a un MRUV
ó dos MRUV, la trayectoria será una parábola.
PRINCIPIO DE LA INDEPENDENCIA DE LOS MOVIMIENTOS
Si una partícula tiene un movimiento compuesto, cada uno de los
movimientos componentes se cumple como si los demás no
existiesen
d
t
vR
t
t
vP

56. MOVIMIENTO PARABÓLICO
Es un caso particular del movimiento compuesto, su
trayectoria es una parábola. Proviene de dos movimientos
simples que son el MRU y el MRUV.
Si un cuerpo se lanza formando un determinado ángulo con
la horizontal, éste describe una parábola como trayectoria; la
componente vertical de la velocidad disminuye conforme el
cuerpo sube y aumenta conforme el cuerpo cae, en cambio la
componente horizontal permanece constante.
vo
vocos
vocos
vocos
vocos
vosen
vosen


Y
X
A
O

57. VO: Velocidad inicial del cuerpo
 : ángulo de tiro
x : alcance para un tiempo “t”
OA : alcance máximo
Vo cos : componente horizontal de la velocidad inicial,
esta componente es constante
Vo sen : componente vertical de la velocidad inicial, esta
componente es variable
OBSERVACIONES
El alcance es suficientemente pequeño para despreciar la
curvatura de la Tierra
La altura máxima es suficientemente pequeño para
despreciar la variación de la gravedad de la Tierra.
Se desprecia la resistencia del aire

58. EJEMPLO
Un bote a motor parte desde la orilla de un río con una velocidad
constante de 40 m/s, perpendicular a él. Las aguas del río tienen
una velocidad de 30 m/s y el ancho de éste es de 160 m.
a) ¿Qué tiempo demora el bote en llegar a la otra orilla?
b) ¿Qué espacio se desfasa?
c) ¿Qué espacio recorre?
SOLUCIÓN
EJEMPLO
Calcular la mínima velocidad (vo) que puede tener la persona
para lograr pasar el obstáculo mostrado en la figura
5 m
37º
vo

59. EJEMPLO
Se dispara un proyectil con una velocidad inicial v = 25i + 25j
m/s. Determine el ángulo que hacen los vectores velocidad y
aceleración en t = 3 s.
SOLUCIÓN

60. PRACTICA DIRIGIDA
1. Cuales son los valores de m y n para que el vector:
k
3
j
m
-
i
n
b
y
k
j
n
2
-
i
m
a 



Sean perpendiculares, Dato a = 3
a . b = (m)(n) + (-2n)(-m) + (1)(3) = 3mn + 3 = 0 mn = -1 ....... (1)
9 = m2 + (-2n)2 + 12 m2 + 4 n2 = 8 ........ (2)
SOLUCIÓN
Sabiendo que a = 3, entonces:
de (1) y (2) m2 + 4 ( -1 / m )2 = 8
m2 + 4 / m2 = 8
m4 + 4 = 8 m2
m4 - 8 m2 + 4 = 0
Resolviendo la ecuación cuadrática
3
2
4
2
3
4
8
2
48
8
16
-
64
8
m2








2
3
2
4
m 
 
3
2
4
1
-
m
1
-
n





61. PROBLEMA 2
Obtener La componente del vector a en la dirección de el vector b que se
muestra en la figura, en donde m es el punto medio del segmento BG.
a = 700 y b = 50 (42,25)1/2
SOLUCIÓN
CÁLCULO DEL VECTOR a:
B
G
2
m
3
6


 
b
a
A
C
O
PUNTO A(2,0,3) PUNTO C(0,6,0)
X
Y
Z
a
u
a
a  u
700 a
 











9
36
4
k
3
j
6
-
i
2
700







 

7
k
3
j
6
-
i
2
700 k
300
j
600
-
i
200 

CÁLCULO DEL VECTOR a: PUNTO 0(0,0,0) PUNTO m(2;6;1,5)
b
u
b
b  u
25
,
42
50 b
 












25
,
2
36
4
k
1,5
j
6
i
2
25
,
42
50 k
75
j
300
i
100 



62. k
300
j
600
-
i
200
a 
 k
75
j
300
i
100
b 


b
b
a
a
compb


2
2
2
75
300
100
(75)
(300)
)
(-600)(300
(200)100)





5625
90000
10000
22500
180000
20000





424
324
137500
105225
137500






424
b
b
a
a
compb 




63. PROBLEMA 3
La posición de una partícula sobre el eje x en función del tiempo está
dado por: x = 16 t2 – t4 , donde “t” está en segundo y “x” en metro.
Determinar:
El valor máximo de la posición “x” para t 0
La aceleración media para el intervalo 1 s  t  2 s
SOLUCIÓN
a) El máximo valor se consigue cuando 0
dt
dx
 32 t – 4 t3 = 0 2
2
t 
2
2
t
Para  x = 16 (8) – (8) (8) x =64 m
b) v = 32t – 4 t3 v1= 32(1) – (4) (1)3 = 28 m/s v1 = 28 m/s
v2= 32(2) – (4) (2)3 = 32 m/s v2 = 32 m/s
2
1
2
1
2
m /
4
1
2
28
32
t
t
v
v
a s
m








64. PROBLEMA 4
Una partícula se mueve en línea recta con una aceleración dada por a =
10 v1/2 donde v es la velocidad. Cuando t = 2 s, x = 10 m y v = 16 m/s.
Determinar:
a) La velocidad cuando t = 4 s
b) La aceleración de la partícula cuando t = 8 s.
SOLUCIÓN
a) a = 10 v1/2 1/2
10v
dt
dv
 V-1/2 dv = 10 dt

 

t
2
v
16
2
/
1
dt
10
dv
v
Realizando la integración y simplificando V = ( 5t – 6 )2
Para t = 4 s v4 = ( 5 x 4 – 6 )2
V4 = 196 m/s
b) v = ( 5t – 6 )2 a = 10 (5t – 6)
Para t = 8 s a8 = 10 ( 5 x 8 – 6)
a8 = 340 m/s2

65. PROBLEMA 5
Un ciclista parte del reposo con una aceleración constante de 2,5 m/s2 y
luego de recorrer una cierta distancia desacelera a razón de 5 m/s2,
hasta que finalmente se detiene. ¿Qué distancia habrá recorrido el
ciclista si estuvo en movimiento durante 1 min?
SOLUCIÓN
vA = 0 VB
  
A B C
a = 2,5 m/s2 a = - 5 m/s2
vC = 0
t1 t2
TRAMO AB vB = vA + a t1 = 0 + 2,5 t1
vB = 2,5 t1
TRAMO BC vC = vB – at2
0 = 2,5 t1 – 5 t2
t1 = 2 t2
Pero el tiempo total es de 60 s: t1 + t2 = 60 2t2 + t2 = 60 t2 = 20 s t1 = 40 s
También: eT = eAB + eBC
2
C
B
1
B
A
T t
2
v
v
t
2
v
v
e 




 






 
 20
2
0
40
5
,
2
40
2
40
5
,
2
0
e T 




 






 

x
x
eT = 2 000 + 1000
eT = 3 000 m