Resumen clase 7.ppt

Estudiaremos una partícula que se mueve
según una trayectoria circular

Eje de rotación
Sentido de movimiento
del cuerpo

Supongamos que analizamos el arco de
longitud ds recorrido en un intervalo de tiempo
dt
ds
dq

El angulo dq es equivalente a un
desplazamiento y , aunque no es un vector
podremos asociarle un “ pseudovector “, de
dirección perpendicular al plano en el que esta
contenida la trayectoria de la
partícula.Supondremos que su sentido será
hacia arriba si la circunferencia se recorre en
sentido antihorario.
Así entonces, definiremos “ vector “
desplazamiento angular como el
representativo del desplazamiento en el
movimiento circular

Para ambos cuerpos, el desplazamiento angular es el mismo.
q1
q2
Dq
t1
t2
wm = D q / Dt
Velocidad media angular Velocidad angular

Deberemos entonces hallar una relación entre vectores para
poder empezar a estudiar la Cinemática circular.Uno ya lo
definimos, el desplazamiento angular.Por otro lado , el arco
ds,al considerar pequeños corrimientos por la circunferencia
podremos considerarlo semejante al vector desplazamiento
lineal de la partícula al moverse en su trayectoria.Podemos
así definir el vector arco
Definimos entonces al
vector arco como un
vector cuya dirección y
sentido coinciden con la
del vector
desplazamiento lineal

Así observamos que existen tres vectores de posición
importantes:
Como los tres no están sobre el mismo plano,podemos entonces
relacionarlos mediante la operación de “ producto vectorial “

A partir de estas variables, podremos
definir las variables principales para el
movimiento circular

Las tres variables se encuentran sobre el
mismo eje y se comportan como las variables
cinemáticas de un movimiento lineal

Como están los tres vectores cinemáticos sobre un mismo eje,
si la aceleración a es constante, podemos aplicar las mismas
ecuaciones horarias utilizadas en un movimiento
unidimensional para relacionar las variables cinemáticas
angulares
2
o o o o
o o
1
( t - t ) ( t - t )
2
( t - t )
constante
q q w a
w w a
a

  


 

 


La variable angular se mide en radianes, la velocidad en rad/s
y la aceleración en rad/s2.
q(rad) = 2 p N( rev o vueltas)
w( rad/s)=2p f(rev/s)

Ejemplo 1-Un cuerpo gira a 500 rpm, cuando empieza a
frenarse.Suponiendo que la aceleración angular es
constante,y si se detiene en 20 seg, evaluar la aceleración
con la cual fue frenado y la cantidad de vueltas que dio el
cuerpo antes de detenerse.
Tenemos un movimiento angular con aceleración constante,
por lo que entonces aplicamos










)
t
-
t
(
)
t
-
t
(
2
1
)
t
-
t
(
o
o
2
o
o
o
o
a
w
w
a
w
q
q

Colocando el origen de ángulos y tiempos en el momento en
que comenzó a frenarse, tenemos que qo =to =0.En ese
instante, wo no es cero.Se sabe que en ese momento daba 500
rpm, o sea 500 vueltas por minuto.Si una vuelta equivale a 2 p
radianes, la wo será 2p500rad/ min =3141,5 rad/min o sea 52, 4
rad/seg.Entonces, las ecuaciones horarias serán









t
52,4
t
2
1
t
4
52, 2
a
w
a
q
q(0)=0

En el momento estudiado, identificado con t=tf =20 s, la w =0
y q = qf, entonces









20
52,4
0
20
2
1
20
4.
52, 2
f
a
a
q
Queda un sistema de ecuaciones algebraicas, que resueltas
dan a = - 2,62 rad/s2 y qf =524 rad. Si una vuelta equivalen a
2 p rad, entonces el cuerpo dio aproximadamente 83,5 vueltas
antes de detenerse.

Ejemplo 2-En el problema anterior , que posición angular, la
velocidad angular y vueltas realizará en 10 s
2
52, 4 t 1,31 t
52,4 2,62 t
q
w
  

 

Si t* = 10 s
( 10) 393
(10) 26,2 rad/s
rad
q
w





N ( 10 s ) = 63,54 vueltas

Relación entre las variables cinemáticas lineales y
angulares.
Vimos que
Si derivamos esa expresión respecto el tiempo, tendremos que
En módulo, v = w r
Velocidad
tangencial

Para ambos cuerpos, el desplazamiento angular y la velocidad
angular es el mismo.No así la velocidad tangencial, ya que el
radio de cada cuerpo es distinto
q1
q2

Supongamos que en cierto intervalo de tiempo
Dt , la velocidad del móvil pasa de vo a v, que
tienen igual módulo.

Definimos la aceleración media como

Por otro lado
Comparando triángulos que son semejantes, obtenemos
que
r v v
v r
R v R
D D
  D  D

Entonces, dividiendo ambos términos por Dt ,y haciendo
tender Dt a cero, tenemos
2
2
t 0 t 0
v v r v
lim lim a = r
t r t r
w
D  D 
D D
  
D D
Por lo tanto, debido al cambio de dirección del
vector aparece una aceleración lineal a, de
dirección radial.La fórmula deducida nos
relaciona el módulo de esa aceleración lineal
con los módulos de las velocidades lineal y
angular

Por otro lado, se sabe que
Entonces,
Propiedad aplicada :

La anterior relación nos indica que la aceleración angular puede
considerarse como la composición de dos aceleraciones :
- una debida cambio de módulo del vector velocidad durante el
movimiento, la aceleración tangencial, que definimos como
y que estará dirigida en dirección tangencial al movimiento
- la otra es debida cambio de dirección del vector velocidad durante el
movimiento, la aceleración centrípeta o normal o radial, definida como
dirigida en la dirección radial.Su módulo puede evaluarse como
r
v
r
v
a
2
2
c 

 w
w

ac= ar= an
atsi aumenta el módulo de v
at  si disminuye el módulo de v

Conclusión : un movimiento circular
es un movimiento siempre
acelerado.Aunque se mantenga
constante el módulo de la velocidad
lineal, debido a que ésta cambia
constantemente de dirección
aparece siempre una aceleración , la
normal o centrípeta.











)
t
-
t
(
)
t
-
t
(
2
1
)
t
-
t
(
o
o
2
o
o
o
o
a
w
w
a
w
q
q
V = w R
ac= wv = v2/r = w2 r
aT= a R
Variables angulares
q
w
a
Variables lineales
Dr
v
a c y at

Ej-Un cuerpo realiza un movimiento circular( en sentido antihorario)
sobre un circunferencia de 8 m de radio .Si en to= 0 , qo = p/3 rad, con
una wo = 30 rad/s, y en ese momento comienza a frenar , deteniéndose
en t = 30 s, evaluar:
a- aceleración angular
b-cuántas vueltas dio antes de detenerse
c-qué aceleración radial, normal o centrípeta y que aceleración
tangencial tenía a los 15 s
2
1
rad 30rad/s. 30 s ( 30 s )
3 2
0 30 / ( 30 s )
f
rad s
p
q a
a

  


  

a   1 rad/s2 q f =451 rad N = 72 vueltas
1 vuelta 2 p radianes
a y b-

aT = ( -1 rad/s2) . 8m = - 8 m/s2
w(15s)= 30 rad/s + ( -1 rad/s2) 15 s
w(15s)= 15 rad/s
aC= ( 15 rad/s) 2. 8 m= 1800 m/s2
c-Gira en sentido antihorario
ac
aT

Dinámica circular
La clase anterior llegamos a la conclusión de que “un
movimiento circular es un movimiento siempre
acelerado“Aunque se mantenga constante el módulo de la
velocidad lineal, debido a que ésta cambia constantemente
de dirección aparece siempre una aceleración , la normal o
centrípeta.Esto implica, por la segunda ley de Newton , que
deberá existir, como mínimo, una fuerza resultante en
dirección radial.
Supongamos que la
partícula de la figura se
mueve en una trayectoria
circular con velocidad de
módulo constante.Los
vectores indican la fuerza
resultante en dirección radial

Al aplicar la primera ley de Newton , recordemos que al ser un sistema
acelerado por naturaleza, no podremos ubicar al observador en el cuerpo o
dentro de la trayectoria, por lo que el observador deberá estar fuera.Por
otro lado, al aplicar la segunda ley de Newton, usaremos un sistema de
coordenadas más conveniente que el x-y.Aprovechando la simetría radial,
usaremos un eje en la dirección radial ( r ), otro en la dirección tangencial
llamado t ,positivo en la dirección del movimiento) y otro perpendicular ( y )
x
z
y
r
y
t
Observador sobre el
sistema
ac
Observador inercial

R
m
R
v
m
a
.
m
F 2
2
cent
radiales w




Al considerar solo fuerzas radiales, no colocamos el signo
de vector
Dicha fuerza resultante la llamaremos “ fuerza centrípeta “.La
no existencia de esta resultante provocaría la imposibilidad de
realizar un movimiento circular.
¿ Qué fuerzas pueden dar origen a esa resultante ?.
Cualquiera de las que hemos analizado previamente,
siempre que actúen en dirección perpendicular a la
velocidad lineal de la partícula.Las denominaremos
también “ fuerzas centrales “

Ejemplo 1- un móvil realizando una trayectoria circular de
radio R en un plano. Modelizamos al móvil como una
partícula.El observador del fenómeno estará fuera del
sistema Observemos dos vistas distintas de este caso
Vista desde arriba Vista de frente
t̂
r̂
r̂
ŷ

Consideremos tres ejes coordenados importantes :
- radial , dirección del radio de la circunferencia y positiva hacia el
centro
-tangencial, dirección tangente a la curva y positiva en la dirección del
movimiento
-y, dirección perpendicular al plano que contiene la curva trayectoria,
positivo hacia arriba
Aplicando lo visto ya en Dinámica, identificamos los agentes exteriores
que actúan sobre nuestro sistema, el móvil, y luego aplicamos la tercera
ley de Newton.
Podemos identificar dos agentes exteriores :
- la Tierra, que ejercerá la fuerza peso P
-el piso, que ejercerá una fuerza, que tendrá una componente en la
dirección y, la Normal N .Por otro lado, si el móvil realiza una trayectoria
circular, deberá existir una fuerza en la dirección radial y será el piso
quien la proporcione : la componente de la fuerza que ejerce sobre el
móvil paralela al piso, el roce( f r )

t̂
r̂
r̂
ŷ
fr fr
N
P
Planteando la segunda ley de Newton, tenemos :
















0
a
m
P
-
N
F
R
m
R
V
m
a
m
f
F
y
y
2
2
c
r
rad w
La fuerza de roce entre la superficie del piso y el cuerpo es “estática“,
puesto que no hay movimiento entre ellos en la dirección radial.

Por lo anterior, entonces para lograr realizar una
circunferencia de radio R, la fuerza de roce estática no
deberá sobrepasar su valor máximo, lo que implica que
habrá un valor de velocidad máximo permitido para
poder realizar la trayectoria circular.Así que:
r e
2
e
2
e e
máx e
0 f N
V
0 m N
R
V
0 m m g 0 V R g
R
V R g


 

 
 
    

Y no depende de la masa¿ qué ocurriría si el piso no
ejerciese la fuerza de roce ?. Evidentemente el cuerpo no
podría realizar un movimiento circular .¿ cuál sería la
solución ?

Ejemplo 2-Aprovechemos que el piso ejerce una fuerza en
dirección perpendicular a él, la normal N. Demos al piso una “
inclinación o peralte “ a,como indicamos en la figura
a
R
Sabiendo que solo actúan sobre el cuerpo la Tierra y la pista,
aplicando la tercera ley de Newton, tendremos :

a
N´
P´
pista
Tierra
P
N
r̂
ŷ
a

Planteando la segunda ley de Newton, tenemos
















0
a
m
P
-
cos
N
F
R
m
R
V
m
a
m
sen
N
F
y
y
2
2
c
rad
a
w
a







g
m
cos
N
R
V
m
sen
N
2
a
a
Dividiendo miembro a miembro, obtenemos que
g
R
V
tang
cos
sen 2

 a
a
a
De la anterior relación ,la tangente del ángulo que se debe dar al
peralte depende de la velocidad a la que se pretende girar y del
radio de la pista.Es independiente de la masa del cuerpo.
R g tang V
a 

Un auto marcha sobre una curva circular plana de 400 m de
radio y cuyo pavimento tiene un e = 0,4
a- evaluar la velocidad máxima permitida para poder realizar
la curva
b-si el asfalto no tuviese roce y el coche debe realizar la
curva con la velocidad evaluada en el punto anterior, ¿ qué
peralte habría que darle a la pista ?
a-
2
V R g
m
V 400 m.10 0,4 40
s
máx e
máx
m
s


 

b-
2
2
2
V R g tan g
m
40
V s
tang =
Rg 400 m . 10
tang 0,4 0,38 rad 22°
m
s
a
a
a a

 
 
 

   

Si comparamos los resultados anteriores, observamos que es la
misma relación : la velocidad tangencial depende del coeficiente de
roce estático y la tangente del ángulo de peralte
Ejemplo 3- Un cuerpo de masa m esta unido a una cuerda .Se lo
hace girar de manera de que su trayectoria es una circunferencia
de radio R en ese plano, de forma que la cuerda permanece en el
mismo plano que la trayectoria.
trayectoria
cuerda
cuerpo
r̂
ŷ
r̂
t̂
Suponemos giro
antihorario

Modelizamos al cuerpo como partícula.Observamos el fenómenos desde
fuera.Sobre el cuerpo actuarán tres agentes exteriores:
- la Tierra, en la dirección del eje y, ejerciendo la fuerza peso P
-la cuerda, ejerciendo la fuerza tensión T en la dirección radial r
-el piso, que suponemos que no tiene roce, por lo que solo ejerce la normal
N en la dirección y













0
P
-
N
F
R
v
m
T
F
y
2
rad
De donde podremos relacionar la tensión ejercida por la cuerda con la
velocidad tangencial del cuerpo
Ej- m= 2 kg
T Max = 8 kgf = 80 newtons  Vmax = 6,32 m/s
L= 1 m

Ejemplo 4- Un cuerpo de masa m está unido a una cuerda de longitud
L.Se lo hace girar de manera de que su trayectoria es una circunferencia
de radio R en un plano, pero la cuerda se encuentra en otro plano
formando un ángulo a con el eje y ( recordar que el eje y es perpendicular
al plano de la trayectoria ).
r̂
ŷ
a
Plano de la trayectoria
Modelizamos al cuerpo como partícula.Observamos el fenómenos desde
fuera.Sobre el cuerpo actuarán tres agentes exteriores:
- la Tierra, en la dirección del eje y,ejerciendo la fuerza peso P
-la cuerda, ejerciendo la fuerza tensión T

P
T a ŷ
r̂
T sen a
r̂
t̂
Aplicando la segunda ley de Newton,obtenemos el siguiente conjunto de
ecuaciones
2
rad
y
v
F T sen m
R
F T cos -P 0
a
a

 


  



Despejando los términos con T y dividiendo miembro a miembro, queda
que tang a será V2/Rg . Observamos que como la V no puede tender a
infinito, el ángulo jamás podrá ser de 90º
2
2
V
tang V = R g tang
R g
a a
 

Ej 1- Hacemos rotar una piedra de 1 kg en un péndulo cónico
de radio 3 m.La cuerda tiene una longitud de 10 m.Evaluar
a- el ángulo que la cuerda forma con la vertical
b- la tensión de la cuerda
c-la velocidad angular y frecuencia angular de rotación
a- L =10m
R =3 m
a
Sen a 0,3 a =arcsen(0,3)
a = 17,45 °

b- T cos(a) = m g
T = 10 newtons / cos( 17,45°)  T = 10, 48 newtons
c- Vt=3,1 m/s
w=1,02 rad/s
f =0,16 rps

T2
PB
T1
PA
NA
T2
T2 = mB V2
B/RB
T1 - T2 = mA V2
A/RA
N B

Ejemplo 5- Un cuerpo de masa m gira sobre una circunferencia vertical
de radio R .Supongamos rotación en sentido antihorario
r̂
t̂
Modelizamos al cuerpo como partícula.Observamos el fenómeno desde
fuera.Sobre el cuerpo actuarán dos agentes exteriores:
- la Tierra ejerciendo la fuerza peso P, pero ahora en el plano del movimiento
-el aro, ejerciendo una fuerza Normal N , en el plano del movimiento, en
dirección radial,

Si en cierto instante, la masa pasa por un punto donde la cuerda forma un
ángulo q con la vertical pasante por dicho punto, aplicando la segunda ley
de Newton,obtenemos el siguiente conjunto de ecuaciones
2
rad
t t
v
F N P cos m
r
F P sen m a
q
q

  


   



N
P
q
t̂
r̂
A diferencia de los ejemplos anteriores, en un movimiento describiendo
una circunferencia vertical aparece una aceleración en dirección
tangencial, debida a la componente del peso en dicha dirección, y que es
aT= - g sen q. Hay entonces dos consecuencias :
a- la velocidad tangencial no tendrá módulo constante como en los casos
anteriores
b-la aceleración tangencial no es constante, pues dependerá del ángulo q.

Al tener aceleración tangencial variable, la ecuación horaria que da la
posición angular en función del tiempo ,q(t), ya no será polinómica .La
suma de fuerzas en la dirección tangencial conducirá a la siguiente
ecuación
0
sen
g
t
d
d
sen
g
-
t
d
d
dt
d
a
2
2
2
2
t 




 q
q
q
q
w
La última ecuación, cuya incógnita es la q(t), no es una ecuación
algebraica, por lo que no seguiremos por ahora este camino.
Entonces, nos conformaremos con analizar que ocurre en algunos puntos
particulares, usando la componente radial de las fuerzas.Por ejemplo, el
punto C de la figura.
r̂
t̂
C

En ese lugar , el diagrama de fuerzas es el siguiente
r̂
t̂
N
P
No existe fuerza resultante en la dirección tangencial, por lo que en ese
punto at=0.Entonces en la dirección radial tendremos
2
C
rad
v
F N P m
R
  


El caso interesante se da al analizar la velocidad mínima con la que puede
pasar por ese punto , ¿ puede ser cero ?.Si asi fuese, tendríamos que
N = - P
lo que implicaría que el aro empujaría “ hacía arriba “ al cuerpo, lo que es
imposible
r̂
t̂
N
P
Entonces, ¿ cuál es ?.Bien, aquella para la cuál el aro deja de “ sostener “
al cuerpo o sea que N es nula..Entonces, si se cumple esa condición, y
llamando “ velocidad crítica “ , v crit , a la velocidad con la que el cuerpo
pasaría por dicho punto, obtendríamos
R
g
v
g
R
v
R
v
m
g
m
P crit
2
crit
2
crit 






Un caso es similar al analizado en el ejemplo 5 , y también es
un movimiento con velocidad de módulo no constante y
aceleración tangencial variable es aque en que el cuerpo
realiza una circunferencia vertical pero unido a una
cuerda.Por lo tanto, analizaremos un caso particular, que
cuando el cuerpo pasa por el extremo superior de la
trayectoria.De nuevo sucede que al querer evaluar la
velocidad mínima , no es cero, ya que en esa situación T = -
P y se daría el caso en que la cuerda se comprimiría , lo que
es físicamente imposible.Se deformaría . Entonces, de nuevo
resulta que pasará con la velocidad que definimos arriba
como crítica.

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