Cinematica

1. APUNTES DE FÍSICA I
CAPÍTULO II
2. CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA
2.1. INTRODUCCIÓN.
Es el estudio del movimiento de la partícula, sin tomar en cuenta las causas que originan
dicho movimiento
2.2. DESPLAZAMIENTO.
La trayectoria es el lugar geométrico que ocupa sucesivamente la partícula al cambiar de
posición.
El vector desplazamiento ∆𝑟
⃗⃗⃗⃗ , permite establecer la nueva posición de la partícula, a partir
de los vectores posicionales 𝑟1 𝑦 𝑟2.
∆𝑟
⃗⃗⃗⃗ = 𝑟2 − 𝑟1 [m]
2.3. VELOCIDAD MEDIA E INSTANTÁNEA.
La velocidad media es el cociente del vector desplazamiento por el intervalo de tiempo
considerado
z
y
x
TRAYECTORIA
r2
r1
Dr
0
A
B
t1
t2

2. 𝑉
⃗𝑚 =
∆𝑟
⃗⃗⃗⃗
∆𝑡
[
𝑚
𝑠
]
𝑉
⃗𝑚 =
𝑟2 − 𝑟1
𝑡2 − 𝑡1
[
𝑚
𝑠
]
La velocidad instantánea se define como el límite de la velocidad media cuando el intervalo
de tiempo tiende a cero.
𝑉
⃗ = lim
∆𝑡→0
∆𝑟
⃗⃗⃗⃗
∆𝑡
→ 𝑉
⃗ =
𝑑𝑟
𝑑𝑡
[
𝑚
𝑠
]
En este caso el vector de velocidad instantánea es tangente a la trayectoria, en el punto
considerado.
z
y
x
r
V
0
2.4. ACELERACIÓN MEDIA E INSTANTÁNEA.
La aceleración media se define como el cociente del vector velocidad media por el intervalo
de tiempo.
z
y
x
r2
r1
Dr
Vm
A
B
0
t1
t2

3. 𝑎𝑚 =
∆𝑉
⃗⃗⃗⃗⃗
∆𝑡
[
𝑚
𝑠2
]
𝑎𝑚 =
𝑉
⃗
⃗2−𝑉
⃗
⃗1
𝑡2−𝑡1
[
𝑚
𝑠2
]
La aceleración instantánea se define como el límite de la aceleración media cuando el
intervalo de tiempo tiende a cero.
𝑎 = lim
∆𝑡→0
∆𝑉
⃗⃗⃗⃗⃗
∆𝑡
→ 𝑎 =
𝑑𝑉
⃗
𝑑𝑡
[
𝑚
𝑠
]
En este caso el vector de aceleración instantánea sólo es tangente a la trayectoria en caso
de tratarse de un movimiento rectilíneo.
2.5. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (MRU)
La característica de este tipo de movimiento es que la trayectoria es rectilínea y la velocidad
se mantiene invariable en el intervalo de tiempo considerado.
x
V V
A B
x0 = 0
t0 = 0
t
z
y
x
r2
r1
V1
V2
am
-V1
0
A
B
t1
t2
z
y
x
r
a

4. En cada caso el desplazamiento depende solo de la velocidad uniforme y del intervalo de
tiempo.
𝑥 = 𝑉 𝑡 [m]
2.6. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV)
En este tipo de movimiento, la aceleración permanece constante.
Partiendo de la definición de aceleración media:
𝑎 =
𝑉𝑓 − 𝑉0
𝑡
→ 𝑉𝑓 = 𝑉0 + 𝑎𝑡
x
V
V
A
B
x
V
V
A
B
x
V0 Vf
A B
t0 = 0 t

5. 𝑉
𝑚 =
𝑥
𝑡
; 𝑉
𝑚 =
𝑉0 + 𝑉𝑓
2
→
𝑥
𝑡
=
𝑉0 + 𝑉𝑓
2
2𝑥
𝑡
= 𝑉0 + 𝑉0 + 𝑎𝑡 → 𝑥 = 𝑉0𝑡 +
1
2
𝑎𝑡2
2𝑥 =
(𝑉0 + 𝑉𝑓)(𝑉𝑓 − 𝑉0)
𝑎
; 2𝑎𝑥 = 𝑉𝑓
2
− 𝑉0
2
→ 𝑉𝑓
2
= 𝑉0
2
+ 2𝑎𝑥
2.6.1. CAÍDA LIBRE.
Es un caso particular del MRUV, y se considera tanto para el ascenso o descenso de la
partícula. Despreciando la resistencia del aire y considerando la aceleración de la gravedad:
𝑉𝑓 = 𝑉0 ± 𝑔𝑡 ; 𝑉𝑓
2
= 𝑉0
2
± 2𝑔𝑦 ; 𝑦 = 𝑉0𝑡 ±
1
2
𝑔𝑡2
El signo positivo se aplica cuando la partícula desciende y el signo negativo corresponde si
la partícula asciende.
2.6.2. MOVIMIENTO PARABÓLICO.
V0
Vf
t
V [m/s]
t [s]
Vm
x
t
x [m]
t [s]

6. Considerado como dos movimientos rectilíneos simultáneos, un MRU horizontal y un MRUV
vertical cuya aceleración es la gravedad.
𝑉0𝑥 = 𝑉0 cos 𝜃
𝑉0𝑦 = 𝑉0𝑠𝑒𝑛 𝜃
Tiempo de altura superior 𝒕𝑯:
𝑉𝑓𝑦 = 𝑉0𝑦 − 𝑔𝑡𝐻 → 𝑡𝐻 =
𝑉
𝑜𝑦
𝑔
; 𝑡𝐻 =
𝑉
𝑜𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝑔
[s]
Tiempo de vuelo 𝒕𝒗:
𝑡𝑣 = 2𝑡𝐻 → 𝑡𝑣 =
2𝑉
𝑜𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝑔
[s]
Altura Superior H:
𝑉𝑓𝑦
2
= 𝑉0𝑦
2
− 2𝑔𝐻 → 𝐻 =
𝑉0𝑦
2
2𝑔
; 𝐻 =
𝑉0
2
𝑠𝑒𝑛2
𝜃
2𝑔
[m]
Alcance horizontal D:
𝐷 = 𝑉0𝑥 𝑡𝑣 ; 𝐷 = 𝑉0 cos 𝜃
2𝑉
𝑜𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝑔
→ 𝐷 =
𝑉0𝑠𝑒𝑛 2𝜃
𝑔
[m]
Ecuación de trayectoria:
𝑥 = 𝑉0𝑥 𝑡 → 𝑡 =
𝑥
𝑉0 cos 𝜃
[s]
𝑦 = 𝑉0𝑦 𝑡 −
1
2
𝑔 𝑡2
𝑦 = 𝑉0 𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝑥
𝑉0 cos 𝜃
−
𝑔
2
(
𝑥
𝑉0 cos 𝜃
)
2
→ 𝑦 = 𝑥 𝑡𝑔𝜃 −
𝑔 𝑥2
𝑉0
2
𝑐𝑜𝑠2𝜃
[m]
V0
y [m]
x [m]
H
D
V0
q
V0x
V0y
V0
y [m]
x [m]
x
y
q

7. 2.7. MOVIMIENTO CURVILÍNEO PLANO
Se denomina movimiento curvilíneo plano, al que desarrolla la partícula con trayectoria
sobre una curva en el plano.
En este caso, el desplazamiento, velocidad y aceleración de la partícula, se describen en
función del sistema de referencia adoptado.
Para los fines de nuestro estudio, consideraremos tres sistemas de referencia
regularmente aplicados.
2.7.1. SISTEMA ORTOGONAL CARTESIANO
𝑟 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 ; 𝑉
⃗ = 𝑉
𝑥𝑖 + 𝑉
𝑦𝑗 ; 𝑎 = 𝑎𝑥𝑖 + 𝑎𝑦𝑗
2.7.2. SISTEMA NORMAL TANGENCIAL
𝑑𝑠 = 𝜌 𝑑𝜑 ; 𝑎 = 𝑎𝑡
⃗⃗⃗ + 𝑎𝑛
⃗⃗⃗⃗ ; 𝑉
⃗ = 𝑉 𝑢𝑡
⃗⃗⃗ La velocidad tangencial no tiene componentes
Donde ρ es el radio de curvatura.
ds
dj
y
V
a
an
at
ut
r
y
x
y
x
V
Vx
Vy
a
ay
ax

8. 𝑎 =
𝑑𝑉
⃗
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
(𝑉 𝑢𝑡
⃗⃗⃗ ) =
𝑑𝑉
𝑑𝑡
𝑢𝑡
⃗⃗⃗ + 𝑉
𝑑𝑢𝑡
⃗⃗⃗
𝑑𝑡
𝑢𝑡
⃗⃗⃗ = cos 𝜑 𝑖 + 𝑠𝑒𝑛 𝜑 𝑗 ; 𝑢𝑛
⃗⃗⃗⃗ = − sen 𝜑 𝑖 + 𝑐𝑜𝑠 𝜑 𝑗
𝑑𝑢𝑡
⃗⃗⃗
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
(cos 𝜑 𝑖 + 𝑠𝑒𝑛 𝜑 𝑗) = (−𝑠𝑒𝑛 𝜑 𝑖 + cos 𝜑 𝑗)
𝑑𝜑
𝑑𝑡
=
𝑑𝜑
𝑑𝑡
𝑢𝑛
⃗⃗⃗⃗
𝑑𝜑
𝑑𝑡
=
𝑑𝜑
𝑑𝑠
𝑑𝑠
𝑑𝑡
= 𝑉
𝑑𝜑
𝑑𝑠
; 𝑑𝜑 =
𝑑𝑠
𝜌
→
𝑑𝜑
𝑑𝑠
=
1
𝜌
𝑑𝜑
𝑑𝑡
=
𝑉
𝜌
→
𝑑𝑢𝑡
⃗⃗⃗
𝑑𝑡
=
𝑉
𝜌
𝑢𝑛
⃗⃗⃗⃗
𝑎 =
𝑑𝑉
𝑑𝑡
𝑢𝑡
⃗⃗⃗ +
𝑉2
𝜌
𝑢𝑛
⃗⃗⃗⃗ → 𝑎𝑡 =
𝑑𝑉
𝑑𝑡
; 𝑎𝑛 =
𝑉2
𝜌
; 𝑎 = √𝑎𝑡
2
+ 𝑎𝑛
2
2.8. MOVIMIENTO CIRCULAR.
Es un caso particular del movimiento curvilíneo
2.8.1. VELOCIDAD ANGULAR MEDIA E INSTANTÁNEA.
La velocidad angular media, se define como el cociente del desplazamiento angular entre
el intervalo de tiempo considerado.
ds
r
y
x
V
ut
un
j
dj
dj t
t
j

9. Velocidad angular media:
𝜔𝑚 =
∆𝜃
∆𝑡
=
𝜃 − 𝜃0
𝑡 − 𝑡0
[
𝑟𝑎𝑑
𝑠
]
Velocidad angular instantánea:
𝜔 = lim
∆𝑡→0
∆𝜃
∆𝑡
=
𝑑𝜃
𝑑𝑡
La velocidad angular instantánea, es la derivada temporal del desplazamiento angular.
La frecuencia “f” es el número de vueltas por unidad de tiempo. El tiempo requerido para
una revolución, se denomina periodo “T”, siendo ambos recíprocos.
𝑓 =
1
𝑇
[
1
𝑠
= 𝐻𝑧] → 𝜔 =
2𝜋
𝑇
= 2𝜋𝑓 [
𝑟𝑎𝑑
𝑠
]
2.8.2. ACELERACIÓN ANGULAR MEDIA E INSTANTÁNEA
La variación de velocidad angular implica que existe aceleración angular. Se denomina
aceleración angular media, a la razón:
𝛼𝑚 =
∆𝜔
∆𝑡
=
𝜔 − 𝜔0
𝑡 − 𝑡0
[
𝑟𝑎𝑑
𝑠2
]
La aceleración angular instantánea, se obtiene en el límite de esta expresión, cuando el
intervalo de tiempo “Δt” tiende a cero.
q
Dq
q0
R
x
y
t0
t
q q0
R
x
y
w0
w

10. w
an
at
V
a
r
x
y
z
R
𝛼 = lim
∆𝑡→0
∆𝜔
∆𝑡
=
𝑑𝜔
𝑑𝑡
[
𝑟𝑎𝑑
𝑠2
]
2.8.3. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
Siendo la velocidad angular uniforme, no existe aceleración angular, entonces:
𝜔 =
𝜃
𝑡
[
𝑟𝑎𝑑
𝑠
]
2.8.4. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO
𝜔 = 𝜔0 + 𝛼𝑡 ; 𝜔2
= 𝜔0
2
+ 2𝛼𝜃 ; 𝜃 = 𝜔0𝑡 +
1
2
𝛼𝑡2
Siendo: Desplazamiento angular:
𝜃 [𝑟𝑎𝑑] ; 𝑑𝑠 = 𝑅 𝑑𝜃 → 𝑠 = 𝑅𝜃 [m]
Velocidad angular:
𝑉 =
𝑑𝑠
𝑑𝑡
=
𝑅𝑑𝜃
𝑑𝑡
; 𝑉 = 𝑅
𝑑𝜃
𝑑𝑡
= 𝑅 𝜔 → 𝜔 =
𝑑𝜃
𝑑𝑡
[
𝑟𝑎𝑑
𝑠
] ; 𝑉 = 𝜔𝑅 [
m
s
]
2.1.1. COMPONENTES NORMAL Y TANGENCIAL DE LA ACELERACIÓN.
Aceleración normal y tangencial:
𝑎𝑛 =
𝑉2
𝑅
= 𝜔2
𝑅 = 𝑉𝜔 [
m
s2
]
𝑎𝑡 = 𝑅
𝑑𝜔
𝑑𝑡
= 𝑅𝛼 𝛼 =
𝑑𝜔
𝑑𝑡
[
rad
s2
] → 𝑎𝑡 = 𝑅𝛼 [
m
s2
]
𝑎 = √𝑎𝑛
2 + 𝑎𝑡
2

11. MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE VARIADO
MRUV
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO
MCUV
Desplazamiento x [m] Desplazamiento angular θ [rad]
Velocidad V [m/s] Velocidad angular ω [rad/s]
Aceleración a [m/s2
] Aceleración angular α [rad/s2
]
𝑉𝑓 = 𝑉0 + 𝑎𝑡 𝜔𝑓 = 𝜔0 + 𝛼𝑡
𝑉𝑓
2
= 𝑉0
2
+ 2𝑎𝑥 𝜔𝑓
2
= 𝜔0
2
+ 2𝛼𝜃
𝑥 = 𝑉0𝑡 +
1
2
𝑎𝑡2
𝜃 = 𝜔0𝑡 +
1
2
𝛼𝑡2
2.2. MOVIMIENTO RELATIVO.
Los objetos A y B, observados desde el sistema de referencia (x, y, z), describen trayectorias
C1 y C2 respectivamente.
𝑟𝐴 , 𝑟𝐵 Son vectores de posición de las partículas A y B respecto de "0"
𝑉
⃗𝐴 , 𝑉
⃗𝐵 Son las velocidades de las partículas A y B respecto de "0"
𝑟𝐴𝐵 Es el vector de posición de la partícula A respecto de B
𝑟𝐵𝐴 Es el vector de posición de la partícula B respecto de A
Efectuando la suma de vectores posicionales, se tiene:
𝑟𝐵 + 𝑟𝐴𝐵 = 𝑟𝐴 → 𝑟𝐴𝐵 = 𝑟𝐴 − 𝑟𝐵 ; 𝑟𝐴 + 𝑟𝐵𝐴 = 𝑟𝐵 → 𝑟𝐵𝐴 = 𝑟𝐵 − 𝑟𝐴
C2 C1
0
x
y
z
rB
rA
A
B
rAB
rBA
VA
VB

12. La velocidad de las partículas, respecto del origen será:
𝑉
⃗𝐴 =
𝑑𝑟𝐴
𝑑𝑡
; 𝑉
⃗𝐵 =
𝑑𝑟𝐵
𝑑𝑡
La velocidad de la partícula A respecto de B será:
𝑉
⃗𝐴𝐵 =
𝑑𝑟𝐴𝐵
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
(𝑟𝐴 − 𝑟𝐵) =
𝑑𝑟𝐴
𝑑𝑡
−
𝑑𝑟𝐵
𝑑𝑡
= 𝑉
⃗𝐴 − 𝑉
⃗𝐵
La velocidad de la partícula B respecto de A será:
𝑉
⃗𝐵𝐴 =
𝑑𝑟𝐵𝐴
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
(𝑟𝐵 − 𝑟𝐴) =
𝑑𝑟𝐵
𝑑𝑡
−
𝑑𝑟𝐴
𝑑𝑡
= 𝑉
⃗𝐵 − 𝑉
⃗𝐴
A partir del gráfico se puede inferir:
𝑟𝐴𝐵 = − 𝑟𝐵𝐴 → 𝑉
⃗𝐴𝐵 = −𝑉
⃗𝐵𝐴
La derivada temporal de la velocidad relativa nos permite establecer las aceleraciones
relativas:
𝑎𝐴𝐵 =
𝑑𝑉
⃗𝐴𝐵
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
(𝑉
⃗𝐴 − 𝑉
⃗𝐵) =
𝑑𝑉
⃗𝐴
𝑑𝑡
−
𝑑𝑉
⃗𝐵
𝑑𝑡
= 𝑎𝐴 − 𝑎𝐵
𝑎𝐵𝐴 =
𝑑𝑉
⃗𝐵𝐴
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
(𝑉
⃗𝐵 − 𝑉
⃗𝐴) =
𝑑𝑉
⃗𝐵
𝑑𝑡
−
𝑑𝑉
⃗𝐴
𝑑𝑡
= 𝑎𝐵 − 𝑎𝐴