Jungla numerica rema 11 y 18 marzo de 2008

1
ILUSTRACIÓNILUSTRACIÓN: JAIME TRUJILLO | ELEL
““LOS NUMEROS HABLAN”LOS NUMEROS HABLAN”

2
LA JUNGLA NUMERICA
Mg. ERMINSUL PALOMINO BEJARANO
UNIVERSIDAD AUTONOMA DE OCCIDENTE
FACULTAD DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO MATEMATICAS
CALI-COLOMBIA
11 DE ABRIL DE 2008
GRUPO DE INVESTIGACION EN EDUCACION
CATEGORIA “A” COLCIENCIAS

3
RED ESCOLAR AUTONOMA: REARED ESCOLAR AUTONOMA: REA
RED ESCOLAR EN MATEMATICA:RED ESCOLAR EN MATEMATICA:
REMAREMA
CALI- VALLECALI- VALLE
11 Y 18 DE ABRIL DE 2008
LA JUNGLA NUMERICA

4
• “TODO LO QUE USTED
VIVIDAMENTE IMAGINE,
ARDIENTEMENTE DESEE,
SINCERAMENTE CREA,
INEVITABLEMENTE LE
SUCEDERA”
Paul J. Meyer

5
LaLa diversióndiversión es una de las fuerzas motivanteses una de las fuerzas motivantes
mas intensas de la humanidad. Aunquemas intensas de la humanidad. Aunque
muchos matemáticos restan importancia almuchos matemáticos restan importancia al
trabajo de un colega tachándolo detrabajo de un colega tachándolo de
“matemáticas recreativas”“matemáticas recreativas” una parteuna parte
considerable de las matemáticas ha surgidoconsiderable de las matemáticas ha surgido
de problemas recreativos, que ponen a pruebade problemas recreativos, que ponen a prueba
la lógica y revelan profundas verdadesla lógica y revelan profundas verdades
matemáticas.matemáticas.
IVARS PETERSONIVARS PETERSON

6
CONTENIDO
 ACERTIJO 1
 DESCRIPCION DEL TALLER
 NUMEROS PRIMOS
 NUMEROS PERFECTOS
 NUMEROS AMIGOS
 NUMEROS NARCISISTAS
 NUMEROS PALINDROMOS
 NUMEROS VAMPIROS
 NUMEROS FACTORIONES
 NUMEROS PARASITOS
 NUMEROS SUBLIMES
 NUMEROS TRIANGULARES

7
 NUMEROS CUADRADOS
 NUMEROS POLIGONALES
 NUMERO DE ORO
 TRIANGULO DE PASCAL
 TRIANGULO DE EULER
 ACERTIJOS 2
 NUMEROS DE OMIRP
 NUMERO CREADOR
 NÚMERO CURIOSO
 NUMERO FELIZ
 NUMEROS DE FIBONACCI
 NUMEROS OBLONGOS
 NUMEROS ESTRELLADOS
 NUMEROS CUBICOS
 NUMEROS TETRAEDRICOS
 FIN DE LA PRESENTACION

8
¿Cuánto vale el signo de interrogación?¿Cuánto vale el signo de interrogación?
´´
1313 66
33
1414
881515
??
77

9
3232 4646 1818 6060
3939 3232 ??

10
Nombre del Taller
Conoces los números vampiros, Los números narcisistas,
los números felices, los números parásitos?
En este taller se plantea una propuesta para motivar el
estudio de los números de una manera agradable y sencilla,
descubriendo una inmensa cantidad de números bellos, con
propiedades inimaginables y dándole a los participantes, la
posibilidad de crear una jungla numérica compuesta por los
números que le llamen la atención y en la que cada
estudiante pueda ser el rey. Esto no solo incentiva el
estudio de la matemática, sino que puede minimizar el temor
hacia su propio aprendizaje.
Descripción del taller
LA JUNGLA NUMÉRICA

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JUNGLA NUMERICA 1
 Números triangulares
 Números primos
 Números cuadrados
 Números palíndromos
 Números estrellados
 Números cúbicos
 Números pentagonales
 Números hexagonales
 Numero omirp
 Números amigos

12
CONTENIDOS MATEMATICOS
INVOLUCRADOS
 Progresiones aritméticasProgresiones aritméticas
 PolígonosPolígonos
 Números naturalesNúmeros naturales
 Números enterosNúmeros enteros
 CuadradoCuadrado
 TrianguloTriangulo
 SucesionesSucesiones
 Geometría en el espacioGeometría en el espacio
 ConjeturasConjeturas
 MultiplicaciónMultiplicación

13
JUNGLA NUMERICA 2
 Números primos
 Números triangulares
 Números narcisistas
 Números palíndromos
 Números vampiros
 Números parásitos
 Números hexagonales
 Números estrellados
 Números cuadrados

14
INVOLUCRADOS
Teoría de números
Sucesiones
Conjeturas
Teoremas
Geometría plana
Geometría del espacio
Operaciones algebraicas
Potenciación

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JUNGLA NUMERICA 3
•Números pentagonales
•Números hexagonales
•Numero de oro
•Números de Fibonacci
•Números perfectos
•Números Factoriones
•Números sublimes
•Números tetraédricos
•Números poligonales
•Números triangulares
•Números vampiros programa

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INVOLUCRADOS
•Geometría planaGeometría plana
•Geometría del espacioGeometría del espacio
•SucesionesSucesiones
•TeoremasTeoremas
•ConjeturasConjeturas
•Teoría de númerosTeoría de números
•Operaciones algebraicasOperaciones algebraicas
•PotenciaciónPotenciación
•RadicaciónRadicación
•SegmentosSegmentos
•Ecuación cuadráticaEcuación cuadrática
•LimitesLimites
•Ley de senos y cosenosLey de senos y cosenos
•Teorema de pitágorasTeorema de pitágoras
•DecimalesDecimales

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18
NUMEROS NARCISISTAS
Los números narcisistasLos números narcisistas
son iguales a las sumasson iguales a las sumas
de las potencias de susde las potencias de sus
dígitos.dígitos.
Más concretamente: SonMás concretamente: Son
números denúmeros de nn dígitosdígitos
que resultan ser igualesque resultan ser iguales
a la suma de lasa la suma de las
potencias de ordenpotencias de orden nn dede
sus dígitos.sus dígitos.

19
NÚMEROS NARCISISTAS
Ejemplo:
Los números 370 y 371 son también números
narcisistas, también llamados números enamorados.números enamorados.
Otro número narcisista muy grande es:
115.132.219.018.763.992.565.095.597.973.971.522.401
Cada dígito esta elevado a la potencia 39
333
351153 ++=

20

21
NÚMEROS PALÍNDROMOS
El término palíndromo se usa para referirse a frases yEl término palíndromo se usa para referirse a frases y
palabras que pueden ser leídas de derecha a izquierdapalabras que pueden ser leídas de derecha a izquierda
y viceversa, diciendo lo mismo. Por supuesto no sey viceversa, diciendo lo mismo. Por supuesto no se
tiene en cuenta espacios ni puntuación. Ejemplos detiene en cuenta espacios ni puntuación. Ejemplos de
estas frases y palabras son: La ruta natural, Luz azul,estas frases y palabras son: La ruta natural, Luz azul,
Reconocer, Ana, etc.Reconocer, Ana, etc.
También se usa el término Palíndromo para referirse aTambién se usa el término Palíndromo para referirse a
números. Recordemos que un número palíndromo esnúmeros. Recordemos que un número palíndromo es
aquel que al leerlo hacia la derecha o hacia laaquel que al leerlo hacia la derecha o hacia la
izquierda, el número es el mismo. Ejemplo: el númeroizquierda, el número es el mismo. Ejemplo: el número
121.121.

22
De los númerosDe los números
palíndromos se sabenpalíndromos se saben
algunas cosas, pero sealgunas cosas, pero se
desconocen otras.desconocen otras.
Desde hace mucho tiempo,Desde hace mucho tiempo,
se conoce una forma dese conoce una forma de
generar númerosgenerar números
palíndromos y es de lapalíndromos y es de la
siguiente manera: Tome unsiguiente manera: Tome un
número, luego escriba susnúmero, luego escriba sus
dígitos en orden invertido ydígitos en orden invertido y
súmelo con el númerosúmelo con el número
inicialinicial

23
Ejemplo:Ejemplo:
Número inicial: 65
Dígitos en orden invertido: 56
Suma: 65 + 56 = 121
El número 121 es un número palíndromo obtenido en un solo
paso.
El número 363 es un número palíndromo que se puede generar
en dos pasos, empezando con el 39. En realidad todo número
cuya suma de sus dígitos sea 10, 12 ó 13, genera un número
palíndromo en dos pasos. Algunos palíndromos son generados
en más pasos, por ejemplo: iniciando con el 167 se puede
generar el número palíndromo 1332331 en 11 pasos e igual
sucede con el 2664662 en 12 pasos.

24
Hay un número que pareciera que no se deja convertir en
número palíndromo mediante el proceso mencionado arriba
y es el 196, por más pasos realizados (en realidad millones
de pasos) no se ha podido encontrar un palíndromo con él
aunque tampoco se ha podido demostrar que el no
genera un número palíndromo.
Entre algunas conjeturas que existen a cerca de los
números palíndromos esta el que todo número natural
genera un número palíndromo (parece que el 196 es un
contraejemplo).
Otra conjetura famosa es que hay infinitos primos que son
números palíndromos.

25
El número 11 además deEl número 11 además de
ser primo, es palíndromo,ser primo, es palíndromo,
al igual que el 101, 131al igual que el 101, 131
151 etc., de esto se151 etc., de esto se
puede preguntar; ¿Sonpuede preguntar; ¿Son
infinitos los númerosinfinitos los números
primos palíndromos?primos palíndromos?
Esta es una pregunta queEsta es una pregunta que
parece evidente pero noparece evidente pero no
se ha podido contestar;se ha podido contestar;
se piensa que si, perose piensa que si, pero
solo es una conjetura.solo es una conjetura.

26

27
NUMEROS VAMPIROS
Los números Vampiros
son números que resultan
de el producto de dos
números (llamados
progenitores) que cuando
se multiplican entre si
sobreviven, mezclados.
Ejemplo:
27*81=2187
35*41=1435

28
Los números Vampiros cumplen las siguientesLos números Vampiros cumplen las siguientes
propiedades:propiedades:
 Tienen un número par de dígitos.Tienen un número par de dígitos.
 Cada uno de los números progenitores contiene laCada uno de los números progenitores contiene la
mitad de los dígitos del número vampiro.mitad de los dígitos del número vampiro.
 Un vampiro autentico no se crea simplementeUn vampiro autentico no se crea simplemente
añadiendo ceros en los extremos de los númerosañadiendo ceros en los extremos de los números
tal como sucede en el ejemplo:tal como sucede en el ejemplo:
270000*810000=218700000000.270000*810000=218700000000.
NUMEROS VAMPIROS

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Otros números vampiros son los siguientes:Otros números vampiros son los siguientes:
21*60=1260 15*93=1395 30*51=153021*60=1260 15*93=1395 30*51=1530
21*87=1827 80*86=688021*87=1827 80*86=6880
Existen 155 números vampiros de 6 dígitosExisten 155 números vampiros de 6 dígitos
Un número vampiro grande es :Un número vampiro grande es :
1.234.554.321*9.162.361.086=11.311.432.469.283.552.6061.234.554.321*9.162.361.086=11.311.432.469.283.552.606
NUMEROS VAMPIROS

30

31
NUMEROS FACTORIONES
Los números FACTORIONESLos números FACTORIONES
representados con el símbolorepresentados con el símbolo
F, son números que igualan laF, son números que igualan la
suma de los valores factorialessuma de los valores factoriales
de cada uno de los dígitos,de cada uno de los dígitos,
(para un entero(para un entero nn, el producto, el producto
de todos los enteros positivosde todos los enteros positivos
menores o iguales quemenores o iguales que nn sese
llaman factorial dellaman factorial de nn,,
simbolizado consimbolizado con n!)n!)
!““LOS NUMEROS HABLAN”LOS NUMEROS HABLAN”

32
El mayor Factorion conocido fue descubierto en 1964 por
R Dougherty empleando una exploración por computador
y puede escribirse así:
Se pregunta: Existen Factoriones mas grandes?
La respuesta es NONO es posible encontrar uno mas grande
y no se conocen ningún otro.
145 1! 4! 5!
1 1!
2 2!
= + +
=
=
40585 4! 0! 5! 8! 5!= + + + +
NUMEROS FACTORIONES
Ejemplos de números Factoriones:

33

34
NÚMEROS PARÁSITOS
Un número se dice queUn número se dice que
es parásito si ales parásito si al
multiplicarlo por otromultiplicarlo por otro
número, el resultado senúmero, el resultado se
tiene moviendo eltiene moviendo el
último número a laúltimo número a la
parte frontal del mismoparte frontal del mismo
número.número.
Ejemplo:Ejemplo:
102.564*4=410.256102.564*4=410.256

35
NÚMEROS PARÁSITOS
Cuantos números con esta propiedad existen en laCuantos números con esta propiedad existen en la
jungla numérica?jungla numérica?
Hay otros dígitos que den lugar a números parásitos?Hay otros dígitos que den lugar a números parásitos?
Hay algunos Pseudo parásitos, es decir, el últimoHay algunos Pseudo parásitos, es decir, el último
número que migra no es el mismo multiplicador, comonúmero que migra no es el mismo multiplicador, como
los siguientes:los siguientes:
128.205*4 = 512.820128.205*4 = 512.820
153.846*4 = 615.384153.846*4 = 615.384
179.487*4 = 717.948179.487*4 = 717.948
205.128*4 = 820.512205.128*4 = 820.512
230.769*4 = 923.076230.769*4 = 923.076
142.857*5 = 714.285142.857*5 = 714.285

36
Keith Ramsay de la Universidad British ColumbiaKeith Ramsay de la Universidad British Columbia
obtuvo una sorprendente formula para generarobtuvo una sorprendente formula para generar
números parásitos.números parásitos.
Un parásito hallado con esta formula es :Un parásito hallado con esta formula es :
1016949152542372881355932203389830508474576271186440677966*61016949152542372881355932203389830508474576271186440677966*6
= 6101694915254237288135593220338983050847457627118644067796= 6101694915254237288135593220338983050847457627118644067796
NÚMEROS PARÁSITOS

37

38
NÚMEROS SUBLIMES
Para cualquier entero positivo n ξ(n) es el número de
divisores de n y ψ(n) es la suma de esos n. Un
número N recibe el nombre de sublime si ξ(n) y ψ(n)
son ambos números perfectos. Los dos únicos
números sublimes conocidos son 12 y este otro:
60865556702383789896703717342431696226578307733
51885970528324860512791691264

39
NÚMEROS SUBLIMES
El numero 12 es sublime
por que los divisores de
12 son 12, 6, 4, 3, 2 y 1
En este caso
ξ(12)=6 ψ(12)=28
Ambos, el 6 y el 28 son
números perfectos.

40
NUMEROS SUBLIMES
 Existen mas números sublimes?
 Son infinitos los números sublimes?
 Existe algún número sublime impar?
Preguntas sin resolver:

41
NUMEROS OMIRP
Un número Omirp es aquel que es primoUn número Omirp es aquel que es primo
y al escribirlo de modo contrario tambiény al escribirlo de modo contrario también
es primo.es primo.
Ejemplo: 1597Ejemplo: 1597
Este número también es un número deEste número también es un número de
Fibonacci.Fibonacci.
¿Hay mas números de omirp?¿Hay mas números de omirp?

42
NUMEROS CREADOR
El numero creador de un numero n,El numero creador de un numero n,
simbolizadosimbolizado ΩΩ(n)(n) es el menor numero dees el menor numero de
dígitos que se pueden utilizar para formardígitos que se pueden utilizar para formar nn,,
Ejemplo:Ejemplo: 5)81( ≤Ω ( )212
1281 += +
( ) 22220para520 22
++=≤Ω +

43
NUMERO CURIOSO
Es todo número naturalEs todo número natural nn que cumpleque cumple
que n elevado al cuadrado tiene al propioque n elevado al cuadrado tiene al propio
nn como su ultima cifra.como su ultima cifra.
Ejemplo: 25 y 36 son números curiososEjemplo: 25 y 36 son números curiosos

44
NUMERO FELIZ
Todo numero natural que cumple con el
hecho de que si sumamos los cuadrados de
los dígitos y seguimos los procesos con los
resultados obtenidos, el resultado es 1.
Ejemplo: el numero 203 es un numero feliz

45
Karl Friedrich Gauss, llamado el Príncipe de las
Matemáticas, estaba en la escuela cuando su
profesor, tal vez con la intención de entretener a los
niños mientras trabajaba, propuso a la clase que
sumaran todos los números del 1 al 100.
El profesor quedó sorprendido cuando Gauss, que
tenía 11 años, dio la respuesta correcta poco después
de ser formulada la pregunta. Seguramente, Gauss
procedió de la siguiente manera:
NÚMEROS POLIGONALES

46
S=101x50=5050

47
NUMEROS PRIMOS
CIRCULARES
Son números primos tales que al pasar
cada digito del lado izquierdo, al lado
derecho del número, se genera de nuevo un
número primo, y así, hasta volver al número
original.
Ejemplo: 1193

48

49
LOS NUMEROS TRIANGULARES
Son números que se pueden representar enSon números que se pueden representar en
forma de triángulosforma de triángulos
¿Cuál es la diferencia entre dos números¿Cuál es la diferencia entre dos números
triangulares sucesivos?triangulares sucesivos?
1 3 6 10
1 3 6 10 15 21 28 36 45 55

50
LOS NUMEROS TRIANGULARES
Es posible escribir cualquier número como la suma de
máximo tres números triangulares.
Ejemplo:
51 = 15 + 36
83 = 10 + 28 + 45
12 = 1 + 1 +10
Analicemos la siguiente pregunta:
¿Qué pasa si sumamos dos números triangulares
sucesivos?

51
Si observamos la naturaleza de los números triangulares esSi observamos la naturaleza de los números triangulares es
fácil reconocer las dos propiedades siguientes:fácil reconocer las dos propiedades siguientes:
Basándote en la última propiedad, y procediendo comoBasándote en la última propiedad, y procediendo como
Gauss, descubre la expresión del enésimo número triangular.Gauss, descubre la expresión del enésimo número triangular.
Halla también la expresión de los dos que le siguen.Halla también la expresión de los dos que le siguen.
Tabla de los números triangulares:
Nº 1 2 3 4 ........... n . .
T 1 3 6 10 ¿Tn
? . .
Tn = Tn - 1 + nTn = Tn - 1 + n
Tn = 1 + 2 + 3 + .... + nTn = 1 + 2 + 3 + .... + n

52
NÚMEROS CUADRADOS:
Tabla de los números cuadrados:
NºNº 1 2 3 4 ........... n . .
CC 1 4 9 16 ........... n2
. .

53
El esquema geométrico que muestra la figura siguienteEl esquema geométrico que muestra la figura siguiente
manifiesta a relación entre los números triangulares y losmanifiesta a relación entre los números triangulares y los
cuadrados:cuadrados:
•Comprueba la igualdad de forma algebraicaComprueba la igualdad de forma algebraica

54
NUMEROS OBLONGOS
(Números rectangulares en los que la dimensión(Números rectangulares en los que la dimensión
de un lado es una unidad mayor que el otro)de un lado es una unidad mayor que el otro)

55
NUMEROS PENTAGONALES

56
NUMEROS HEXAGONALES

57
NUMEROS ESTRELLADOS

58
TÉCNICAS PARA BUSCAR EL PATRÓN
El esquema anterior sugiere que un número
pentagonal se expresa como la suma de tres
números triangulares de un orden menor y de los
puntos de su lado Pn = 3 · Pn-1 + n , de donde
MÉTODOS GEOMÉTRICOS

59
Deduce del siguiente esquema el patrón de laDeduce del siguiente esquema el patrón de la
secuencia de números estrellados.secuencia de números estrellados.

60
Realicemos la misma actividad con los númerosRealicemos la misma actividad con los números
hexagonaleshexagonales
Ten presente que uno de los vértices se cuenta
dos veces.

61
EL NÚMERO DE ORO

62
EL NÚMERO DE ORO
Un número nada fàcil de imaginar que conviveUn número nada fàcil de imaginar que convive
con la humanidad porque aparece en lacon la humanidad porque aparece en la
naturaleza y desde la època griega hastanaturaleza y desde la època griega hasta
nuestros días en el arte y el diseño. Es elnuestros días en el arte y el diseño. Es el
llamado número de oro (representadollamado número de oro (representado
habitualmente con la letra griegahabitualmente con la letra griega φφ) o también) o también
sección áurea, proporción áurea o razónsección áurea, proporción áurea o razón
áurea.áurea.

63
LA SECCIÓN ÁUREA Y EL NÚMERO DE ORO
La sección áurea es la división armónica de unaLa sección áurea es la división armónica de una
segmento en media y extrema razón. Es decir, que elsegmento en media y extrema razón. Es decir, que el
segmento menor es al segmento mayor, como este es asegmento menor es al segmento mayor, como este es a
la totalidad. De esta manera se establece una relación dela totalidad. De esta manera se establece una relación de
tamaños con la misma proporcionalidad entre el todotamaños con la misma proporcionalidad entre el todo
dividido en mayor y menor. Esta proporción o forma dedividido en mayor y menor. Esta proporción o forma de
seleccionar proporcionalmente una línea se llamaseleccionar proporcionalmente una línea se llama
proporción áurea.proporción áurea.
Tomemos un segmento de longitud uno y hagamos en elTomemos un segmento de longitud uno y hagamos en el
la división indicada anteriormentela división indicada anteriormente

64
Aplicando la proporción áurea obtenemos la siguiente ecuación queAplicando la proporción áurea obtenemos la siguiente ecuación que
tendremos que resolvertendremos que resolver
Una de las soluciones de esta ecuación (la solución positiva) es x=Una de las soluciones de esta ecuación (la solución positiva) es x=
Lo sorprendente ahora es calcular el valor que se obtiene al dividir elLo sorprendente ahora es calcular el valor que se obtiene al dividir el
segmento mayor entre el menor,segmento mayor entre el menor,
Es decir, la relación entre las dos partes en que dividimos el segmento es
el número de oro.

65
El rectángulo áureo
Dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medioDibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio
de uno de sus lados. Lo unimos con uno de losde uno de sus lados. Lo unimos con uno de los
vértices del lado opuesto y llevamos esa distanciavértices del lado opuesto y llevamos esa distancia
sobre el lado inicial, de esta manera obtenemos elsobre el lado inicial, de esta manera obtenemos el
lado mayor del rectángulo.lado mayor del rectángulo.

66
Si el lado del cuadrado vale 2 unidades, es claro que el lado mayor delSi el lado del cuadrado vale 2 unidades, es claro que el lado mayor del
rectángulo vale por lo que la proporción entrerectángulo vale por lo que la proporción entre
los dos lados es (nuestro número de oro).los dos lados es (nuestro número de oro).
Obtenemos así un rectángulo cuyos lados están en proporción
áurea. A partir de este rectángulo podemos construir otros
semejantes que, como veremos mas adelante, se han utilizando en
arquitectura (Partenón, pirámides egipcias) y diseño (tarjetas de
crédito, carnets, cajetillas de tabaco, etc...).

67
Pitágoras y el número de oro
Pitágoras (c. 582-c. 500 a.C.), filósofo y matemático griego,
nació en la isla de Samos. Fue instruido en las enseñanzas de
los primeros filósofos jonios Tales de Mileto, Anaximandro y
Anaxímenes. Se dice que Pitágoras había sido condenado a
exiliarse de Samos por su aversión a la tiranía de Polícrates.
Hacia el 530 a.C. se instaló en Crotona, una colonia griega al
sur de Italia, donde fundó un movimiento con propósitos
religiosos, políticos y filosóficos, conocido como pitagorismo.
La filosofía de Pitágoras se conoce sólo a través de la obra de
sus discípulos.
Los pitagóricos asumieron ciertos misterios, similares en
muchos puntos a los enigmas del orfismo. Aconsejaban la
obediencia y el silencio, la abstinencia de consumir alimentos,
la sencillez en el vestir y en las posesiones, y el hábito del
autoanálisis. Los pitagóricos creían en la inmortalidad y en la
trasmigración del alma. Se dice que el propio Pitágoras
proclamaba que él había sido Euphorbus, y combatido durante
la guerra de Troya, y que le había sido permitido traer a su vida
terrenal la memoria de todas sus existencias previas.

68
Entre las amplias investigaciones matemáticas realizadas por losEntre las amplias investigaciones matemáticas realizadas por los
pitagóricos se encuentran sus estudios de los números pares epitagóricos se encuentran sus estudios de los números pares e
impares y de los números primos y de los cuadrados, esenciales en laimpares y de los números primos y de los cuadrados, esenciales en la
teoría de los números. Desde este punto de vista aritmético,teoría de los números. Desde este punto de vista aritmético,
cultivaron el concepto de número, que llegó a ser para ellos elcultivaron el concepto de número, que llegó a ser para ellos el
principio crucial de toda proporción, orden y armonía en el universo.principio crucial de toda proporción, orden y armonía en el universo.
A través de estos estudios, establecieron una base científica para lasA través de estos estudios, establecieron una base científica para las
matemáticas. En geometría el gran descubrimiento de la escuela fuematemáticas. En geometría el gran descubrimiento de la escuela fue
el teorema de la hipotenusa, conocido como teorema de Pitágoras,el teorema de la hipotenusa, conocido como teorema de Pitágoras,
que establece que el cuadrado de la hipotenusa de un triánguloque establece que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo
rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dosrectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos
lados.lados.
Una revuelta provocada en Crotona, por una asociación de ideasUna revuelta provocada en Crotona, por una asociación de ideas
contrarias a las pitagóricas, terminó con el incendio de la sede. Secontrarias a las pitagóricas, terminó con el incendio de la sede. Se
cree que Pitágoras se vio obligado a huir de Crotona y murió encree que Pitágoras se vio obligado a huir de Crotona y murió en
Metaponto. La persecución de los pitagóricos provocó el éxodo a laMetaponto. La persecución de los pitagóricos provocó el éxodo a la
Grecia Continental, dando lugar a la difusión de las ideas pitagóricas.Grecia Continental, dando lugar a la difusión de las ideas pitagóricas.

69
La estrella pentagonal o pentágono estrelladoLa estrella pentagonal o pentágono estrellado
era, según la tradición, el símbolo de losera, según la tradición, el símbolo de los
seguidoresseguidores de Pitágoras. Los pitagóricosde Pitágoras. Los pitagóricos
pensaban que el mundo estaba configuradopensaban que el mundo estaba configurado
según un orden numérico, donde sólo teníansegún un orden numérico, donde sólo tenían
cabida los números fraccionarios. Lacabida los números fraccionarios. La
casualidad hizo que en su propio símbolo secasualidad hizo que en su propio símbolo se
encontrara un número raro: el numero deencontrara un número raro: el numero de
oro.oro.
Por ejemplo, la relación entre la diagonal delPor ejemplo, la relación entre la diagonal del
pentágono y su lado es el número de oro.pentágono y su lado es el número de oro.

70

71
La sucesión de Fibonacci
Consideremos la siguiente sucesión de números:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...
Cada número a partir del tercero, se obtiene sumando los
dos que le preceden. Por ejemplo, 21 = 13 + 8; el siguiente
a 34 será 34 + 21 = 55.
Esta sucesión es la llamada "sucesión de Fibonacci"*.
*Es el sobrenombre con el que se conoció al ricoEs el sobrenombre con el que se conoció al rico
comerciante Leonardo de Pisa (1170-1240). Viajó por elcomerciante Leonardo de Pisa (1170-1240). Viajó por el
Norte de África y Asia y trajo a Europa algunos de losNorte de África y Asia y trajo a Europa algunos de los
conocimientos de la cultura árabe e hindú, entre otros laconocimientos de la cultura árabe e hindú, entre otros la
ventaja del sistema de numeración arábigo (el que usamos)ventaja del sistema de numeración arábigo (el que usamos)
frente al romano.frente al romano.

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La sucesión deLa sucesión de FibonacciFibonacci presenta diversas regularidades numéricas.presenta diversas regularidades numéricas.
Para que resulte más sencillo las hemos enunciado en casos particularesPara que resulte más sencillo las hemos enunciado en casos particulares
(aunque se cumplen en general) y hemos calcula(aunque se cumplen en general) y hemos calculado los primeros catorcedo los primeros catorce
términos de esta sucesión:términos de esta sucesión:
Si sumas los cuatro primeros términos y añades 1, te sale el sextoSi sumas los cuatro primeros términos y añades 1, te sale el sexto
(1+1+2+3 + 1 = 8). Si sumas los cinco primeros términos y añades 1, te(1+1+2+3 + 1 = 8). Si sumas los cinco primeros términos y añades 1, te
sale el séptimo (1+1+2+3+5 + 1 = 13).sale el séptimo (1+1+2+3+5 + 1 = 13).
t1
t2
t3
t4
t5
t6
t7
t8
t9
t10
t11
t12
t13
t14
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89
14
4
23
3
37
7

73
Si sumas los tres primeros términos que ocupan posición imparSi sumas los tres primeros términos que ocupan posición impar
(t(t11,t,t33,t,t55) sale el sexto término (t) sale el sexto término (t66), (1+2+5 = 8). Si sumas los cuatro), (1+2+5 = 8). Si sumas los cuatro
primeros términos que ocupan posición impar (tprimeros términos que ocupan posición impar (t11,t,t33,t,t55,t,t77) sale el) sale el
octavo término (toctavo término (t88), (1+2+5+13 = 21).), (1+2+5+13 = 21).
Si sumas los tres primeros términos que ocupan posición parSi sumas los tres primeros términos que ocupan posición par
(t(t22,t,t44,t,t66) y añades 1, sale el séptimo término (t) y añades 1, sale el séptimo término (t77), (1+3+8 + 1 =13).), (1+3+8 + 1 =13).
Si sumas los cuatro primeros términos que ocupan posición parSi sumas los cuatro primeros términos que ocupan posición par
(t(t22,t,t44,t,t66,t,t88) y añades 1, sale el noveno término (t) y añades 1, sale el noveno término (t99),),
(1+3+8+21+1=34).(1+3+8+21+1=34).

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No sólo aparece el número de oro en las obras de arteNo sólo aparece el número de oro en las obras de arte
sino también en la Naturaleza.sino también en la Naturaleza.

75
Al trazar los cuartos de circunferencia correspondientes aAl trazar los cuartos de circunferencia correspondientes a
cada uno de la sucesión de cuadrados sucesivos,cada uno de la sucesión de cuadrados sucesivos,
obtenemos una línea espiral cuyo perfil concuerda con elobtenemos una línea espiral cuyo perfil concuerda con el
de la concha de multitud de caracoles marinos como elde la concha de multitud de caracoles marinos como el
Nautilus o caracolas de mar.Nautilus o caracolas de mar. ..
Los huevos de gallina son óvalos que pueden inscribirseLos huevos de gallina son óvalos que pueden inscribirse
en rectángulos de oro, es decir, la altura y la anchura delen rectángulos de oro, es decir, la altura y la anchura del
huevo siguen la razón áurea.huevo siguen la razón áurea.
Para finalizar vamos a mostrar algunas relaciones de laPara finalizar vamos a mostrar algunas relaciones de la
razón áurea con la figura humana, si hemos aplicadorazón áurea con la figura humana, si hemos aplicado
este concepto a la arquitectura y a la Naturaleza, eseste concepto a la arquitectura y a la Naturaleza, es
normal que también los clásicos se hayan interesadonormal que también los clásicos se hayan interesado
por los cánones de belleza aplicados a las proporcionespor los cánones de belleza aplicados a las proporciones
humanas.humanas.

76
En la mano humana,En la mano humana,
la distancia entre lasla distancia entre las
falanges están en lafalanges están en la
razón áurea de larazón áurea de la
longitud del dedolongitud del dedo

77

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79

80

81

82

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84

85

86

87

88
TRIANGULO DE EULER
41
42 43 44
45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55 56
57 58 59 60 61 62 63 64 65
66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76
77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89

89
55 KPKP 77
XX
??
UU
BB
66 0G0G 88
¿Qué letra representa el signo de interrogación?¿Qué letra representa el signo de interrogación?

90
6363
4949
6464
5757 ??
6161
3333

91

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Notas del editor