Este documento presenta una unidad sobre errores e incertidumbres en mediciones físicas. Explica cómo determinar la incertidumbre de aparatos de medición y calcular la incertidumbre en mediciones directas e indirectas. También cubre el cálculo de incertidumbres para mediciones reproducibles y de cantidades que son el resultado de operaciones como multiplicaciones de mediciones. El objetivo es que los estudiantes aprendan a realizar cálculos de incertidumbre de manera correcta en diferentes tipos de mediciones.

1. Laboratorio de Física Universitaria A. Autor: Enrique Sánchez y Aguilera.
Unidad: Errores e incertidumbres en mediciones. Agosto 1999
OBJETIVO:
Ser capaz de determinar la incertidumbre de un aparato de medición.
Ser capaz de calcular la incertidumbre en mediciones directas.
Ser capaz de calcular la incertidumbre en mediciones indirectas.
Medir es una actividad común en el hombre, desde tiempo inmemorial ha medido la longitud de distancias;
para saber que tan lejos está un lugar de otro, para determinar el tamaño de las cosas. Ha medido la
cantidad de líquido que cabe en un recipiente. Sin embargo, el hecho de medir no es dar una cantidad
numérica. Medir, en el trabajo científico y en la ingeniería, significa dar un resultado numérico acompañado
de una incertidumbre o error y las unidades que especifican el tipo de cantidad física. Algunos ejemplos de
constantes físicas medidas se dan en la siguiente tabla.
Constante Símbolo Valor del cálculo Mejor valor 1986 Incertidumbre
Velocidad de la luz C 3.00 X 108 2.99792458 X 108 exacto
en el vacío (m/s)
Carga elemental e 1.60 X 10-19 1.60217733 X10-19 0.00000030 X10-19
(C)
Constante de Na 6.02 X 1023 6.0221367 X10-11 0.00000059 X1023
Avogadro (mol)-1
Constante de G 6067 X10-11 6.67259 X10-11 0.000128 X10-11
gravitación
universal (m3/s2kg)
En la tabla 1. la incertidumbre de cada una de las cantidades físicas, indica con que precisión se ha hecho
la medición. No sabemos cuál es el valor verdadero, pero si tenemos un indicador de que tan confiable es el
resultado obtenido. Por ejemplo la constante de la gravitación universal es confiable hasta la quinta cifra
significativa.

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Los investigadores de las ciencias exactas y los ingenieros han acordado expresar toda medición, por
ejemplo, la constante de la gravitación universal se expresa como sigue
G = (6.67259 ± 0.000128) X 10-11 m3/s2 kg
Lo que significa, que el valor de la constante G se encuentra entre
-11
G+ = 6.672718 X 10 m3/s2 kg
y
G- = 6.672462 X 10-11 m3/s2 kg
En esta práctica aprenderás a calcular la incertidumbre implícita en un aparto de medición como por
ejemplo; un vernier, una regla graduada en milímetros, una probeta, etc. Aprenderás a distinguir entre
mediciones directas, mediciones indirectas, y mediciones reproducibles, y como calcular sus incertidumbres.
Mediciones directas e incertidumbre.
En aparatos de medición como una regla, vernier, una balanza mecánica, etc. se define la incertidumbre
absoluta o máximo error posible como la mitad de la escala más pequeña. Por ejemplo, en un vernier
con el cual podemos medir hasta un décimo de milímetro (0.1 mm), la incertidumbre absoluta será de medio
décimo de milímetro, esto es 0.05 mm. Existen aparatos como el tornillo micrométrico con el cuál se puede
medir hasta 2 milésimas de milímetro (0.002 mm), en este caso la incertidumbre absoluta del micrómetro es
de una milésima de milímetro (0.001 mm). Considérese una balanza granataria con la que se puede medir
la masa de objetos hasta una décima de gramo, ¿cuál es su incertidumbre absoluta? δabs =
El profesor pedirá que se describa como se usan algunos aparatos de medición y que se determine la
incertidumbre absoluta respectiva. En la bitácora de clase describe (de que partes consta, cual es la
graduación más pequeña, cual es su incertidumbre, en que unidades está graduado) cada uno de los
aparatos de medición que utilizarán en esta clase, así como la manera de usarlos. Elabora una tabla como
la mostrada a continuación y registra el error absoluto (incertidumbre absoluta) de cada uno de ellos.
Tabla 1. Listado de aparatos de medición, en donde se indica la incertidumbre absoluta de cada uno.
Aparato de medición Graduación o escala más Unidades Incertidumbre absoluta o
pequeña máximo error posible
La incertidumbre relativa de una medición se define como el cocinete de la incertidumbre absoluta entre
la medición, δ = δabs/medición, y la incertidumbre porcentual como el producto de la inceridumbre
relativa multiplicada por cien. δ% = δr X 100.

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1. Medición directa de una longitud.
En esta actividad se medirán algunas longitudes como el largo de un lápiz, el diámetro de una esfera, el
diámetro de una placa circular, el espesor de una placa metálica, la altura de un cilindro, etc. Elabora en la
bitácora una tabla como la que se muestra a continuación y calcula la incertidumbre relativa y la
incertidumbre porcentual de cada dimensión medida. Escribe tus resultados con el número de cifras
significativas que permita leer cada aparato de medición, tomando en cuenta su incertidumbre absoluta.
Elemento Longitud Aparato δabs Medición δr δ%
medido medida utilizado (unidades)
(unidades)
Lápiz
Lado de una
escuadra
Varilla
Algunos aparatos de medición traen de fabrica una marca donde se especifica la tolerancia o incertidumbre
absoluta.
En la siguiente tabla se dan algunos ejemplos, completa la tabla escribiendo la tolerancia de los
instrumentos de medición listados y agrega algún otro aparato de medición, como por ejemplo un
multímetro, un esferómetro, etc.
Aparato Tolerancia o incertidumbre
Probeta de 25 ml
Probeta de 50 ml
Probeta de 250 ml
Cronómetro digital
Vaso de precipitados de 500 ml
Vaso de precipitados de 1000 ml
Vernier (escala milimétrica)
Vernier (escala en pulgadas)
Tornillo micrométrico o palmer (escala milimétrica)
2. Medición directa del tiempo.
¿Cuál es tu tiempo de respuesta? El uso de cronómetros, ya sea analógicos o digitales, requiere de cierta
habilidad para hacer una buena medición del tiempo. En cualquiera de los dos tipos de cronómetros existe
un botón que acciona el mecanismo de medición, esto implica que hay un tiempo que no forma parte de la
medición y esta relacionado con la rapidez del operador para prender el cronómetro al iniciar un evento y
apagarlo cuando este termina. El intervalo de tiempo entre prender el cronómetro e inmediatamente
apagarlo se llama tiempo de respuesta del operador.

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¿Cuál es la diferencia entre un cronómetro analógico y uno digital?
En la siguiente tabla registra tu tiempo de respuesta para cinco intentos y calcula el valor promedio. El
promedio de estas mediciones será tu tiempo de respuesta.
Cronómetro analógico (medición) Tiempo de respuesta (segundos)
1
2
3
4
5
promedio
Cronómetro digital (medición) Tiempo de respuesta (segundos)
1
2
3
4
5
promedio
Tolerancia cronómetro digital ______________ s
Tolerancia cronómetro analógico ___________ s
Para registrar la medición del tiempo que dura un evento, es necesario restar el tiempo de respuesta al
tiempo medido.
Mide el tiempo que tarda una pelota en recorrer una distancia horizontal de 10 metros cuando se lanza con
velocidad constante.
Lanzamiento Tiempo (s) Lanzamiento Tiempo (s)
1 6
2 7
3 8
4 9
5 10
TP (promedio de los tiempos de lanzamiento) ________________ s
TPR (Promedio menos tiempo de respuesta) _________________ s
Medición T PR ± Tolerancia = ___________ ± ________ s

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3. Medición directa de un área.
La medición directa del área de una superficie se puede hacer comparando la cuadrícula de una hoja de
papel milimétrico con la superficie del cuerpo en investigación. En este experimento se utilizarán hojas
tamaño carta. Este método solo se aplica a superficies planas regulares e irregulares, como un cubo, una
hoja de árbol. También se puede medir el área de una superficie cilíndrica rodando el cilindro sobre el papel
milimétrico.
Sobre una hoja de papel milimétrico coloca un cuerpo con caras planas. Traza el perímetro del cuerpo y
determina su área.
¿Cuál es la graduación más pequeña en una hoja de papel milimétrico?
¿Cuál es la incertidumbre absoluta de la escala que estas utilizando?
Elemento medido Área en mm2 δr δ% Area ± δ%
medición
Hoja de árbol
Calculadora
Cilindro (área lateral)
Determinar la incertidumbre en una medición indirecta
Una medición indirecta es aquella en la cual no se compara directamente el objeto medido con el patrón de
medición correspondiente, por ejemplo, el área de la superficie de la cubierta de una mesa, el área de la
superficie de una esfera, el área de un campo de fútbol, etc. Se dice que una medición es indirecta cuando se
efectúa un cálculo a partir de mediciones directas. Como ejemplos de mediciones indirectas tenemos la
determinación de la velocidad de la luz, la medición de la masa de un electrón, etc.
Da otros ejemplos de mediciones indirectas

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INCERTIDUMBRE DEL PRODUCTO DE DOS MEDICIONES.
Sean dos mediciones A y B, obtenidas al medir las longitudes de los lados de una lámina rectangular.
A = 7± 0.5 mm y B = 3 ± 0.5 mm
La pregunta es: ¿cuál es la incertidumbre relativa y cuál la incertidumbre porcentual del área de la lámina?
Sea Z la magnitud del área de la lámina rectangular, entonces Z = A B, en esta ecuación
por tanto
A=Ao ± δA y B = Bo ± δB
z = Z o ± δZ , siendo Zo = Ao Bo y δZ la incertidumbre absoluta
en donde Ao = 7 mm y su incertidumbre absoluta δA es 0.5 mm. Para el caso de B se tiene Bo = 3 mm
y δB = 0.5 mm
La incertidumbre relativa del área Z esta dada por
δZ/Zo = δA/Ao + δB/Bo
Ahora bien
Zo = 21 mm2 y su incertidumbre relativa es δZ/Zo = 0.5/7 + 0.5/3 fijate que la incertidumbre relativa no
tiene unidades. La incertidumbre porcentual será (δZ)r * 100 = 24 %
Se puede calcular la incertidumbre absoluta, la cuál está dada por
δZ/ = (δA/Ao + δB/Bo)Zo de donde δZ = 5.04 mm2
Con estos resultados se puede escribir el área de la lámina rectangular
Z = 21 ± 5.04 mm2
En esta actividad se determinará la incertidumbre relativa y porcentual de algunas cantidades que son el resultado de
una medición indirecta.
El encargado del laboratorio te proporcionará algunos objetos para que determines el área de su superficie o bien su
volumen. Llena las siguientes tablas anotando la cantidad medida en la columna correspondiente, según sea el caso. En
la bitácora efectúa los cálculos necesarios

7. Laboratorio de Física Universitaria A. Autor: Enrique Sánchez y Aguilera.
Unidad: Errores e incertidumbres en mediciones. Agosto 1999
Cuerpo Aparato Ancho Largo Altura Diámetro
utilizado
Esfera
Prisma
rectangular
Libro
Cuaderno
Cilindro
Cubo
Cuerpo Incertidumbre Area ± incertidumbre Volumen ± incertidumbre
absoluta porcentual porcentual
Esfera
Prisma rectangular
Libro
Cuaderno
Cilindro
Cubo
Determinar la incertidumbre de medidas reproducibles.
A un alumno del curso de Química General se le pide que determinar la masa de una muestra de tapones
de goma del No 5. Cuál sería su sorpresa, al darse cuenta de que no todos los tapones tienen la misma
masa. En la siguiente tabla se ha registrado los datos de las mediciones.
Tapón No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Masa (g)
Se puede asociar una incertidumbre a cada medición considerando el error absoluto de la balanza. Después
de una inspección cuidadosa de los datos se ve que la mayoría de las masas no están dentro del intervalo
de la masa promedio ± la incertidumbre absoluta. La pregunta es ¿qué hacer en este caso? Lo más
adecuado es calcular la masa promedio y obtener la diferencia con cada una de las masa. La máxima de las
diferencias será la incertidumbre de una medición reproducible.
¿Qué se entiende por medida reproducible?

8. Laboratorio de Fisica Universitaria A Autor: Enrique Sánchez y Aguilera.
Unidad: Errores e incertidumbres en mediciones. Agosto 1999
Con los datos de la tabla anterior, calcula lo siguiente.
i) Masa promedio de los tapones de hule del No. 5
M promedio =
ii) Llena la siguiente Tabla
Tapón # Masa del tapón Masa del tapón – masa promedio
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
iii) En el siguiente espacio escribe el valor absoluto de la Máxima de las diferencias
iv) |Masa del tapón - Masa promedio I máxima =
La masa más representativa de un tapón de hule del No. 5 es
M = Masa promedio ± la máxima de las diferencias.
M=
Determinar la incertidumbre de una constante
Como se muestra en la introducción, toda constante que sea una cantidad física tiene una incertidumbre. En
esta actividad se medirá el diámetro, la circunferencia y el radio del círculo máximo de una pelota de softball
y de una esfera de madera.
Con un cordón, rodea la pelota de softball y la esfera y marca este en el lugar donde se cierra el circulo. Con
una regla de 30 cm de longitud mide la longitud del cordón. ¿Cómo medirías el diámetro de la pelota y de la
esfera? Explica

9. Laboratorio de Física Uníversítaría A Autor: Enrique Sánchez y Aguilera.
Unidad: Errores e incertidumbres en mediciones. Agosto 1999
Los griegos descubrieron que la relación entre el diámetro de un círculo y la longitud de su circunferencia
está dad por
π = (longitud de la circunferencia del círculo)/(diámetro del círculo)
El valor de π se ha determinado con cierta precisión y se considera como valor aceptado 3.1416 (este
número se tomará como el valor verdadero)
Cuerpo Diámetro Longitud de la circunferencia Valor de π calculado
Pelota de softball
Esfera de madera
Promedio del valor del número pi
πexp =
Calcula la incertidumbre relativa del número π
δπ/π =|πexp - π|/π =
¿cuáles son las unidades del número π? Da una explicación.