Lagrangian Dynamics
Francisco García Collado
frang@nappgui.com
Universidad de Alicante
17-05-2019
Principios matemáticos de
un motor físico en C/C++
Física de Newton - Partículas
F1
F2
F3
Fuerza de Ligadura
F1
F2
F3
Fuerza de Ligadura
F1
F2
F3
¿?
FLigadura
Fuerza de Ligadura
F1
F2
F3
¿?
FLigadura
Obliga a la partícula a seguir una determinada
trayectoria, pero NO realiza trabajo. Es decir, no
altera la cantidad de ENERGÍA de la partícula.
Fuerza de Ligadura
https://www.youtube.com/watch?v=yVkdfJ9PkRQ
Fuerza de Ligadura
F1
F2
F3
¿?
FLigadura
Pero necesito TODAS!!
Joseph-Louis Lagrange
(1736-1813)
Entre 1772 y 1788
reformuló la mecánica
de Newton.
Joseph-Louis Lagrange
Trata a las partículas y
sus relaciones como un
sistema y no de forma
individual
Joseph-Louis Lagrange
Se basa en el concepto
de coordenada generalizada
o grado de libertad
q1
q2
q3
Joseph-Louis Lagrange
Las ecuaciones se expresan
en términos de ENERGÍA en
lugar de FUERZA
Joseph-Louis Lagrange
Las ecuaciones se expresan
en términos de ENERGÍA en
lugar de FUERZA
Lagrange Vs Newton
q1
q2
q3
x1
y1
z1
x2
y2
z2
x3
y3
z3
3 variables generalizadas
9 variables cartesianas
Equación de Lagrange
Equación de Lagrange
Energía cinética
Equación de Lagrange
Energía cinética
Equación de Lagrange
Energía cinética
q1
Ecuación paramétrica de la curva
Equación de Lagrange
Energía cinética
q1
Hemos realizado un cambio
de variable, expresando T en
función de las coordenadas
generalizadas y sus
velocidades.
Doble Péndulo Lagrangiano
https://www.youtube.com/watch?v=neh86u7_TIk
θ2
θ1
Desarrollo matemático completo de
un sistema lagrangiano: 17:55
Equación de Lagrange
Resultado:
Aceleraciones generalizadas
Integración Euler
Aceleración (resultado Lagrange)
Velocidad generalizada
Posición generalizada
Otros métodos
- Heun
- Runge-Kutta
- Adams-Bashforth
- Adams-Moulton
Sistemas Lagrangianos
https://www.youtube.com/watch?v=WjTDQeAXYY0
https://www.youtube.com/watch?v=-qRse_INBxQ&t=21s
https://www.youtube.com/watch?v=4kHKBvA9lu4
Fuerzas generalizadas
Como incluir fuerzas vectoriales
conocidas (Newtonianas) en un sistema
de Lagrange
Lagrange Vs Newton
Aceleraciones generalizadas
Aceleraciones
cartesianas
Lagrange Vs Newton
Aceleraciones generalizadas
Aceleraciones
cartesianas
EQ
U
IVALEN
TES
Control – Física Activa
Hasta ahora hemos visto sistemas PASIVOS,
sujetos a una serie de fuerzas externas.
Sería interesante que los sistemas se
comportaran de una forma determinada, en
función de nuestros objetivos.
Pero sin PERDER el realismo físico. NO
queremos Keyframe Animation.
Control – Física Activa
Control – Física Activa
- Biomecánica
- Inteligencia artifcial
- Patrones de comportamiento
- Objetivos
Control – Física Activa
https://www.youtube.com/watch?v=HauN98naZ9U
Control – Física Activa
https://www.youtube.com/watch?v=7Q3YW-3KCzU
Render
Curvas Paramétricas
q1
[x,y,z]
Necesitamos expresar las partículas en
coordenadas cartesianas (x, y, z)
Render
Necesitamos expresar las partículas en
coordenadas cartesianas (x, y, z)
Matriz Rotación
q1
q2
Render
Necesitamos expresar las partículas en
coordenadas cartesianas (x, y, z)
Matriz Traslación
q1
q2
IMech Engine C/C++
Lagrangian
Dynamics
Input
Geometry
(solids +
joints)
External
forces
(Newton)
Control forces
(generalized)
Solver
Accelerations
Integrator
Output
Positions/Speeds
Start conditions
Juguemos...
http://nappgui.com/iMech.dmg
Apple macOS (Windows is comming...)
Demo en:
Modelado paramétrico + Física
Grasshopper + iMech
https://vimeo.com/86994022
Grasshopper permite realizar modelado algorítmico y editar los
objetos a partir de ciertos parámetros.
Bibliografía
Lagrangian
Dynamics
Dare A. Wells
1969
Bibliografía
Game Physics
David H. Everly
2004
¡Muchas gracias!

Lagrangian Dynamics