problemas resueltos

1. EJERCICIOS DE REPASO
UNIDAD II.- HIDROSTATICA
TEMA: EMPUJE HIDROSTATICO SOBRE SUPERFICIES PLANAS
RESUELVA LOS SIGUIENTES EJERCICIOS DE EMPUJE HIDROSTATICO SOBRE SUPERFICIES PLANAS VERTICALES. EN
TODOS LOS CASOS DIBUJE EL DIAGRAMA CON LA DISTRIBUCION DE PRESIONES, DONDE INDIQUE ADEMAS EL
PUNTO DE APLICACIÓN DEL EMPUJE Y DIBUJE LA FLECHA INDICADORA DE LA FUERZA RESULTANTE.
1.- Calcule el empuje hidrostático que se genera sobre una compuerta plana, rectangular y vertical, la cual tiene
un ancho de 30 pulg. Esta compuerta retiene agua de un solo lado, la altura de la compuerta es de 2 m y la altura
del agua desde el fondo del dique hasta el espejo libre del agua es de 1.6 m. Calcule y señale en un esquema la
altura del centro de presiones.
Datos:
b = 30 pulg = 0.762 m
H = 2 m
h = 1.6 m
Pe = 1000 kg/m3
E = ¿?
Yk = ¿?
Utilizando la ecuación general
E Pe sen y A G  *  * *
Si la compuerta es vertical =90° entonces el Sen 90° = 1
E Pe y A G  * *
(1.6 )
   m
2
h 1.6
m
yG 0.8
2
2
2 2
0.213
12
12
m
h m
I x   
m
I
0.213
2 A  bh  0.762m*1.6m 1.2192m m
k G 1.07
m
m
y
y y
x
G
0.8
0.8
2
    
 m m  kg
kg



E 1000 0.8 1.2192 975.4 2
m
3  



Utilizando la ecuación particular



 



kg





E Peb  m m kg

 


 




1.6

 
h kg


 
2
3
2
2
1000 0.762
2
m
m
m
1000 0.762 1.28 975.36 2
m
3  







2
2
   
y h m m m k (1.6 ) (0.667)(1.6 ) 1.07
3
3
b
H
h
h = 1.6 m
H = 2 m
Yk = 1.07 m
E = 975.4 kg

2. 2.- Calcule la altura del agua que genera un empuje hidrostático de 1872 lb sobre una compuerta plana,
rectangular y vertical de 50 cm de ancho. Dibuje el esquema que representa la distribución de presiones e indique
el punto sobre el cual se aplicaría dicho Empuje.
Datos:
E = 1872 lb = 850 kg
b = 50 cm = 0.5 m
Pe = 1000 kg/m3
h = ¿?
Yk= ¿?
2 2(850 ) 2
     
  
m m
kg
m
kg
E
Peb
h
m
1700
kg
m
kg
3.4 1.84
500
1000 0.5
3 2
2
2
   
y h m m m k (1.84 ) (0.667)(1.84 ) 1.23
3
3
3.- Calcule el ancho que debe tener una compuerta plana, rectangular y vertical para soportar un empuje
hidrostático de 153.6 kg de un líquido cuyo peso específico es de 9310 N/m3, si la altura del agua coincide con la
altura de la compuerta y es de 35.4 pulg. Determine la altura a la cual se localiza el centro de presiones sobre la
compuerta.
Datos:
E = 153.6 kg
Pe = 9310 N/m3 = 950 kg/m3
h = 35.4 pulg = 0.9 m
b = ¿?
Yk= ¿?
2
Peh
2
E
b 
 
2 153.6
2    
  
m cm
kg
m
kg
b
m
307.2
kg
m
kg
0.38 38
810
1000 0.9
3 2
2
2
    
y h m m m cm k (0.9 ) (0.667)(0.9 ) 0.6 60
3
3
h = 1.84 m
Yk = 1.23 m
E = 850 kg
h = 0.9 m Yk = 0.6 m
E = 153.6 kg
b
h
b
h

3. 4.- Calcule el Empuje hidrostático que se genera sobre una compuerta plana y vertical de forma trapezoidal,
donde la base mayor mide 1.2 m y la base menor mide 80 cm. La altura de agua coincide con la altura de la
compuerta y es igual a 1.5 m. Calcule el centro de presiones del Empuje hidrostático.
Datos:
B = 1.2 m
b = 80 cm = 0.8 m
h = 1.5 m
Pe = 1000 kg/m3
E = ¿?
Yk = ¿?
Utilizando la Ecuación General
E Pe sen y A G  *  * *
Si la compuerta es vertical =90° entonces el Sen 90° = 1
A y Pe E G * * 



h B b






B b
yG
2
3
3.2
2(1.2 ) 0.8
1.5




yG (0.5 )(1.6) 0.8
m m
m
m
m
m m m
m m
2
0.5
(1.2 0.8 )
3
  



  

 




2 2
m





I x    
2
2
2
m m m
2(1.2 )(0.8 )
2
2
2
2
(0.125 )(1.48) 0.185
1.92
4
 (0.125 ) 1
  

(1.2 0.8 )
1
(1.5 )
18
h 2
Bb
( )
1
18
m m
m
m
m m
B b

 


 


   

 


 
m
m
0.185
k G 1.03
m
m
I
y
y y
x
G
0.8
0.8
2
    
2 (1.5 ) 1.5
 
 
1.2 0.8
2
 

2
m m
m m
h
B b


A  






 m m  kg
kg



E 1000 0.8 1.5 1200 2
m
3  



Utilizando la ecuación particular

 



m m m m m
 

2*(1.2 )  3*(1.2 )(0.8 ) 
(0.8 )

 



 



  




h B Bb b
 

2 3
 


(1.2 0.8 )
(1.5 )
6
1000
( )
6
2 2 2
kg
3
2 2 2
m m
m
B b
E Pe


 m  m kg
kg
1000 0.375 3.2 1200 2
m
3  

 



h = 1.5 m Yk = 1.03 m
E = 1200 kg
b
h
B

4. 5.- Calcule el empuje hidrostático que se genera sobre una compuerta plana vertical y de forma circular,
considerando que el la altura del agua coincide con el diámetro de la compuerta y es igual a 60 cm. Determine el
punto de aplicación del Empuje hidrostático sobre la compuerta.
Datos:
h = D = 60 cm = 0.6 m
Pe = 1000 kg/m3
E = ¿?
Yk = ¿?
Utilizando la Ecuación General
E Pe sen y A G  *  * *
Si la compuerta es vertical =90° entonces el Sen 90° = 1
A y Pe E G * * 
y r G  m yG 3. 0 
2
2 2
0.10225
(0.3 )
4
4
m
r m
I x   
m
m
0.0225
k G 0.375
m
m
I
y
y y
x
G
0.3
0.3
2
    
2 2 2 A  *r  (3.1416 )(0.3m)  0.283m
 m m  kg
kg



E 1000 0.3 0.283 84.9 2
m
3  



Utilizando la ecuación particular
3 E  Pe* *r



  m kg
kg


E 1000 3.1416 0.3 84.8
m
3
3  







5
5
   
y r m m m k (0.3 ) (1.25)(0.3 ) 0.375
4
4
h = 0.6 m
Yk = 0.375 m
D E = 84.9 kg

6. 6.- Calcule el empuje hidrostático que se genera sobre una pared plana, verti cal y rectangular de 90 cm de ancho
que se encuentra sumergida bajo una lámina de agua de 30 cm de altura; considere que la altura desde el fondo
del canal hasta la superficie libre del agua es de 2.5 m. Calcule el centro de presiones del Empuje hidrostático.
Datos:
b = 90 cm = 0.9 m
h2 = 30 cm = 0.3 m
h1 = 2.5 m
Pe = 1000 kg/m3
E = ¿?
Yk = ¿?
 
2
1 h h
2
* *
2
2
E Pe b


h1 = 2.5 m Yk = 1.66 m
E = 2772 kg
 (2.5 ) (0.3 )


 E = 2772 kg
2
kg



1000 * 0.9 *
2 2
3
m m
m
m
E












3 3
m m
(2.5 ) 
(0.3 )
1
y h k 



1
h h
  2




2
2
1
3
2
3
1
1 3
h h
y m k yk = 1.66 m

  2 2


(2.5 ) 
(0.3 )
3
2.5
m m
8.- Calcule el ancho que debe tener una compuerta plana, vertical y rectangular que se encuentra sumergida bajo
una lámina de agua de 50 cm; esta compuerta debe soportar un Empuje hidrostático de 2500 kg, cuando la altura
del agua desde el fondo hasta la superficie libre de la misma es de 9.8 pies. Determine el punto de aplicación del
Empuje.
Datos:
h2 = 50 cm = 0.5 m
E = 2500 kg
h1 = 9.8 pies = 2.987 m
Pe = 1000 kg/m3
b = ¿?
Yk = ¿?
2 *
E
 2 
2
2
1 *
Pe h h
b


2*2500
 b = 0.58 m = 58 cm
 m 2 m
2 
kg
3 1000 * (2.987 ) (0.5 )
m
kg
b




3 3
m m
(2.987 ) 
(0.5 )
1
y h k 



1
h h
  2




2
2
1
3
2
3
1
1 3
h h
y m k yk = 1.97 m

  2 2


(2.987 ) 
(0.5 )
3
2.987
m m
h2 = 0.3 m
b
(h1 - h2)
b
(h1 - h2)
h2 = 0.5 m
h1 = 2.987 m Yk = 1.97 m
E = 2500 kg

8. 9.- Calcule la altura de agua que existe en un dique (desde el fondo hasta la superf icie libre del agua),
considerando que el agua es retenida por una compuerta plana, vertical y rectangular, con un ancho de 2 m La
compuerta se encuentra sumergida bajo una lámina de 50 cm de profundidad. El Empuje hidrostático generado
sobre una compuerta (E) es de 154350 N. Calcule también el centro de presiones (yk).
b1 = 2 m
b2 = 3 m
h2 = 50 cm = 0.5 m
E1 = 154350 N = 15750 kg
Pe = 1000 kg/m3
h1 =¿?
2
2 *
2*(15750 )
h   h
2
E
1 Pe *
b
2 h2 = 0.5 m
 h1 = 4 m
1 (0.5 )
kg

1000 *(2 )
3
m
m
m
kg
h 






3 3
m m
(4 ) 
(0.5 )
1
y h k 



1
h h
  2




2
2
1
3
2
3
1
1 3
h h
y m k yk = 2.65 m

  2 2


(4 ) 
(0.5 )
3
4
m m
10.- Calcule el diámetro que debe tener una compuerta plana, vertical y circular que recibe un Empuje
hidrostático de 300 kg. En este caso la altura del agua coincide con el diámetro de la compuerta. Calcule además
el punto de aplicación del Empuje.
Datos:
E = 300 kg
Pe = 1000 kg/m3
D = ¿?
Yk = ¿?
3 E  Pe* *r
1
3

E
* 





Pe 
r
1
3
300
kg
3 1000 *3.1416

















m
kg
r r = 0.457 m D = 2* r D= 2*0.457 m = 0.914 m
5
y r m m k    yk = 0.571 m
(0.457 ) (1.25)(0.457 )
4
5
4
11.- Calcule el Empuje hidrostático (E) que se genera sobre una pared plana vertical y rectangular con agua en
ambos lados de la misma. El tirante aguas arriba de la pared (h1) es de 1.8 m y el tirante aguas abajo (h2) es de 80
cm. Considere el ancho de la pared de 1.5 m. Calcule también el centro de presiones (yk).
Datos
h1 = 1.8 m
h1 = 4 m Yk = 2.65 m
E1 = 15750 kg
h = 0.914 m
Yk = 0.571 m
D E = 300 kg
h1 = 1.8 m
Yk = 1.12 m
h2 = 0.8 m
E = 1950 kg

9. h2 = 80 cm = 0.8 m
b = 1.5 m
Pe = 1000 kg/m3
E = ¿?
Yk = ¿?
Si la pared es vertical entonces  = 90° por tanto, seno 90° = 1
 h h

sen 
E Pe b
2 *
* *
2
2
2
1 

 (1.8 ) (0.8 )


 E = 1950 kg
2*1
kg



1000 * 1.5 *
2 2
3
m m
m
m
E












3 3
m m
(1.8 ) 
(0.8 )
1
y m k yk = 1.12 m
y h k 


1
h h
  2



2
2
1
3
2
3
1
1 3
h h

  2 2


(1.8 ) 
(0.8 )
3
1.8
m m

10. 12.- Calcule el ancho que debe tener una pared plana, vertical y rectangular con agua en ambos lados. Considere
la altura del agua (aguas arriba de la pared) de 2.3 m y la altura del agua (aguas abajo) de 1.6 m. El Empuje
hidrostático que recibe la pared es de 10701.6 N.
Datos
h1 = 2.3 m
h2 = 1.6 m
Pe = 1000 kg/m3
E = 10701.6 N = 1092 kg
b = ¿?
Yk = ¿?
Si la pared es vertical entonces  = 90° por tanto, seno 90° = 1
 h h

sen 
E Pe b
2 *
* *
2
2
2
1 

sen E
2* *
Pe h h
 2 
2
2
1 *
b



h1 = 2.3 m
2*1*1092
 b = 0.8 m = 80 cm
 m 2 m
2 
kg
3 1000 * (2.3 ) (1.6 )
m
kg
b




3 3
m m
(2.3 ) 
(1.6 )
1
y h k 



1
h h
  2




2
2
1
3
2
3
1
1 3
h h
y m k yk = 1.31 m

  2 2


(2.3 ) 
(1.6 )
3
2.3
m m
13.- Calcule el tirante que existe aguas arriba de una pared plana vertical y rectangular, considerando que recibe
un Empuje hidrostático de 39,200,000 dinas, cuando el tirante aguas abajo de la pared es de 30 cm y el ancho de
la misma es de 50 cm.
Datos
h2 = 30 cm = 0.3 m
Pe = 1000 kg/m3
E = 39,200,000 dinas = 392 N = 40 kg
b = 50 cm = 0.5 m
h1 = ¿?
Yk = ¿?
Si la pared es vertical entonces  = 90° por tanto, seno 90° = 1
 h h

sen 
E Pe b
2 *
* *
2
2
2
1 

2
sen E
2* *
h

h  
1 Pe *
b
2 2
2*1* 40
1 (0.3 )
 h1 = 0.5 m = 50 cm
kg


1000 *(0.5 )
3
m
m
m
kg
h 




3 3
m m
(0.5 ) 
(0.3 )
1
y h k 


1
h h
  2



2
2
1
3
2
3
1
1 3
h h

y m k yk = 0.295 m = 29.5 cm
  2 2

(0.5 ) 
(0.3 )
3
0.5
m m
Yk = 1.31 m
h2 = 1.6 m
E = 1092 kg
h1 = 50 cm
Yk = 29.5 cm
h2 = 30 cm
E = 40 kg

11. 14.- Calcule el tirante que existe aguas abajo de una pared plana vertical y rectangular, considerando que recibe
un Empuje hidrostático de 2793 N, cuando el tirante aguas arriba de la pared es de 1.2 m y el ancho de la misma
es de 60 cm.
Datos
Pe = 1000 kg/m3
E = 2793 N = 285 kg
b = 60 cm = 0.6 m
h1 = 1.2 m
h1 = 1.2 m
h2= ¿?
Yk = ¿?
Si la pared es vertical entonces  = 90° por tanto, seno 90° = 1
 h h

sen 
E Pe b
2 *
* *
2
2
2
1 

sen E
2* * 2
Pe b
h h
*
2 1

 
2*1* 285
  h2 = 0.7 m = 70 cm
kg


1000 *(0.6 )
(1.2 )
3
2
2
m
m
kg
h m







3 3
m m
(8 ) 
(2 )
1
y h k 



1
h h
  2




2
2
1
3
2
3
1
1 3
h h
y m k yk = 0.714 m = 71.4 cm

  2 2


(8 ) 
(2 )
3
8
m m
15.- Calcule el Empuje hidrostático que se genera sobre una pared plana y rectangular, inclinada a 75° con
respecto a la superficie libre del agua (aguas arriba de la pared) , donde el tirante es de 2.2 m y el tirante aguas
abajo de la pared es de 1.8 m. Considere el ancho de la pared de 90 cm. Calcule también el centro de presiones
(yk).
Datos
h1 = 2.2 m
h2 = 1.8 m
b = 90 cm = 0.9 m
Pe = 1000 kg/m3
E = ¿?
Yk = ¿?
Si la pared es inclinada con  = 75° por tanto, seno 75° = 0.9659
 h h

sen 
E Pe b
2 *
* *
2
2
2
1 

 (2.2 ) (1.8 )


 E = 745.42 kg
2*0.9659
kg



1000 * 0.9 *
2 2
3
m m
m
m
E











3 3
m m
(2.2 ) 
(1.8 )
1
y h k 


1
h h
  2



2
2
1
3
2
3
1
1 3
h h

y m k yk = 1.197 m
  2 2

(2.2 ) 
(1.8 )
3
2.2
m m
Yk = 71.4 cm
h2 = 70 cm
E = 285 kg
h1 = 2.2 m Yk = 1.197 m
h2 = 1.8 m
E = 745.42 kg
 = 75°

12. 16.- Calcule el ancho que debe tener una pared plana y rectangular con agua en ambos lados, inclinada a 65° con
respecto a la superficie libre del agua (aguas arriba de la pared) . Considere la altura del agua (aguas arriba de la
pared) de 3.2 m y la altura del agua (aguas abajo) de 2.6 m. El Empuje hidrostático que recibe la pared es de
28,222 N.
Datos
h1 = 3.2 m
h2 = 2.6 m
Pe = 1000 kg/m3
E = 28222 N = 2879.8 kg
b = ¿?
Yk = ¿?
Si la pared es inclinada con  = 65° entonces , seno 65° = 0.9063
 h h

sen 
E Pe b
2 *
* *
2
2
2
1 

sen E
2* *
Pe h h
 2 
2
2
1 *
b



h1 = 3.2m
2*0.9063* 2879.8
 b = 1.5 m
 m 2 m
2 
kg
3 1000 * (3.2 ) (2.6 )
m
kg
b




3 3
m m
(3.2 ) 
(2.6 )
1
y h k 



1
h h
  2




2
2
1
3
2
3
1
1 3
h h
y m k yk = 1.744 m

  2 2


(3.2 ) 
(2.6 )
3
3.2
m m
17.- Calcule el tirante que existe aguas arriba de una pared plana vertical y rectangular, considerando que recibe
un Empuje hidrostático de 39,200,000 dinas, cuando el tirante aguas abajo de la pared es de 30 cm y el ancho de
la misma es de 50 cm.
Datos
h2 = 40 cm = 0.4 m
Pe = 1000 kg/m3
E = 188.5 kg
b = 50 cm = 0.5 m
h1 = ¿?
Yk = ¿?
Si la pared es inclinada con  = 80° entonces , seno 80° = 0.9848
 h h

sen 
E Pe b
2 *
* *
2
2
2
1 

2
sen E
2* *
h

h  
1 Pe *
b
2 2
2*0.9848*188.5
 h1 = 0.95 m = 95 cm
1 (0.4 )
kg

1000 *(0.5 )
3
m
m
m
kg
h 





3 3
m m
(0.95 ) 
(0.4 )
1
y h k 

 
h 
h
1
  2

2
2
1
3
2
3
1
1 3
h h

y m k yk = 0.594 m = 59.4 cm
  2 2

(0.95 ) 
(0.4 )
3
0.95
m m
Yk = 1.744 m
h2 = 2.6 m
E = 2879.8 kg
 = 65°
h1 = 95 cm Yk = 1.744 m
h2 = 40 cm
E = 188.5 kg
 = 80°

14. 18.- Calcule el tirante que existe aguas abajo de una pared plana y rectangular inclinada a 120° respecto al fondo
del depósito, considerando que recibe un Empuje hidrostático de 2771.4 kg, cuando el tirante aguas arriba de la
pared es de 2.5 m y el ancho de la misma es de 1.2 m.
Datos
Pe = 1000 kg/m3
E = 2771.4 kg
b = 1.2 m
h1 = 2.5 m
h2= ¿?
Yk = ¿?
El ángulo de inclinación de la pared con respecto al fondo del depósito () es de 120°, entonces considerando
ángulos alternos  = 180 -   = 180 – 120 = 60
Si la pared es inclinada con  = 60° entonces, seno 60° = 0.8660
 h h

sen 
E Pe b
2 *
* *
2
2
2
1 

h2 = 1.5 m

sen E

2* * 2

3 3
m m
(8 ) 
(2 )
1
y h k 



1
h h
  2




2
2
1
3
2
3
1
1 3
h h
(2.5 )
y m k yk = 1.479 m

  2 2


(8 ) 
(2 )
3
8
m m
2*0.8660*2771.4
kg


19.- Calcule el ángulo de inclinación de una pared plana y rectangular, respecto a la superficie libre del agua
(aguas arriba de la pared) que sostiene un tirante de agua a cada lado, lo cual genera un Empuje hidrostático (E)
de 811.6 kg, el tirante aguas arriba de la pared es de 2 m y el tirante aguas abajo es de 1.3 m, el ancho de la pared
es de 70 cm.
Datos
Pe = 1000 kg/m3
E = 811.6 kg
b = 70 cm = 0.7 m
h1 = 2 m
h2= 1.3 m
 = ¿?
Yk = ¿?
 h h

E
sen Pe b
2*
* *
2
2
2
1 
 
 (2 m ) (1.3 m
)

h h
  sen  = 0.9962
kg
m
kg
m
sen
2*811.6
*(0.7 )*
3
1000
2 2 






Para calcular el valor del ángulo se utiliza la función inversa del seno (sen-1)
Sen-1 (0.9962) = 85  = 85°


3 3
m m
(8 ) 
(2 )
1
y h k 

 
h 
h
1
  2

2
2
1
3
2
3
1
1 3
h h

y m k yk = 1.163 m
  2 2

(8 ) 
(2 )
3
8
m m
 = 60°
h1 = 2.5 m
Yk = 1.479 m
h2 = 1.5 m
E = 2771.4 kg
 = 120°
 = 85°
h1 = 2 m
Yk = 1.163 m
h2 = 1.3 m
E = 811.6 kg
 
sen 
E Pe b
2*
* *
2
2
2
1 

Pe b
h h
*
2 1

  1000 *(1.2 )
3
2
2
m
m
kg
h m




 

16. 20.- Calcule el ángulo de inclinación de una pared plana y rectangular, respecto al fondo del depósito (aguas
arriba de la pared) que sostiene un tirante de agua a cada lado, lo cual genera un Empuje hidrostático (E) de
344.2 N, el tirante aguas arriba de la pared es de 65 cm y el tirante aguas abajo es de 45 cm, el ancho de la pared
es de 30 cm.
Datos
Pe = 1000 kg/m3
E = 344.2 N = 35.12 kg
b = 30 cm = 0.3 m
h1 = 65 cm = 0.65 m
h2= 45 cm = 0.45 m
 = ¿?
Yk = ¿?
h h
 h h

E
sen Pe b
2*
* *
2
2
2
1 
 
h1 = 65 cm Yk = 37.2 cm
 (0.65 m ) (0.45 m
)

  sen  = 0.9396
kg
m
kg
m
sen
2*35.12
*(0.3 )*
3
1000
2 2 






Para calcular el valor del ángulo se utiliza la función inversa del seno (sen-1)
Sen-1 (0.9396) = 69.98  = 69.98°
El ángulo  calculado es el ángulo de inclinación de la pared con respecto a la superficie libre del agua (aguas
arriba de la pared); el valor buscado es el ángulo de inclinación de la pared con respecto al fondo del depósito ()
entonces considerando ángulos alternos  = 180 -   = 180 – 69.98 = 110.02
El ángulo buscado es  = 110.02°
Si la pared es inclinada con  = 69.98° entonces, seno 69.98° = 0.9396



3 3
m m
(0.65 ) 
(0.45 )
1
y h k 



1
h h
  2




2
2
1
3
2
3
1
1 3
h h
y m k yk = 0.372 m =37.2 cm

  2 2


(0.65 ) 
(0.45 )
3
0.65
m m
 
sen 
E Pe b
2*
* *
2
2
2
1 

 = 69.98°
 = 110.02°
h2 = 45 cm
E = 35.12 kg