Mecanica agullo-1

MECÁNICA
de la partícula y del sólido rígido
Con 1014 figuras
410 cuestiones con soluciones
131 problemas con resultados
30 "enigmas"
y 135 ejemplos de aplicación
Joaquim Agulló 8atlle
Escuela Técnica Superior
de Ingeniería Industrial de Barcelona
vers·lón en castellano de
Ana Barjau Condomines
Escuela Técnica Superior
de Ingeniería Industrial de Barcelona
PUBLICACIONES
OK PUNT

Dr. J. Agulló Batlle
E~cuela Técnica Superior de Ingeniería Industrial de Barcelona
Diagonal, 647. 08028 Barcelona
~ECÁ.N ICA de la partícula y del sólido rígido
2- edlclon, corregida y ampliada.
Versión en castellano de l b ' I
J Agull' l' a o ra tltU ada Mecanica de la particula i del sóJid rígid de
. o, -comp ementada con d ' J ' '
)Or OK Pu t B I os caprtu 05- publicada originalmente en catalán
n, arce ona. © 1995 por el autoc
_os dibujos han sido realizados por el autor
;J 2000 por el autor
Edita: Publicaciones OK PUNT, 1996
Gran Via Caries 111, 55
08028 Barcelona
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Imprime: cpda-etseib
Diagonal, 647
08028 Barcelona
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o~ra p~r qualquier medio o procedimiento, incluidos la reprografía y el tratamiento
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CONTENIDO
Prólogo xi
Direccionado interno xv
Notación xvii
Capítulo1 Espacio y tiempo. Derivación de vectores
1.1 El tiempo absoluto de la mecánica newtoniana 2
1.2 El espacio. Concepto de referencia 3
1.3 ,Derivación temporal de vectores 5
1.4 Las bases vectoriales, El producto vectorial 6
1.5 Derivación temporal de vectores en bases fijas 9
1.6 Derivación de vectores en bases móviles. Vector velocidad angular 10
1.7 Rotación simple 12
1.8 Rotación general. ÁngulOS de Euler 14
1.9 Las dos familias de angulas de Euler 19
1.10 Relación entre las derivadas temporales de un vector en referencias
distintas 23
1.1 Composición de rotaciones alrededor de ejes 1ijos 24
1.ll Alternativas a la composición de rotaciones 26
Ull Integración de vectores en bases móviles 30
1.C CUESTIONES 31
1.E ENIGMAS 34
Capítulo2 Cinemática del punto 35
2.1 El punto material. Vector de posición 36
2.2 Los vectores velocidad y aceleración 36
2.3 Las componentes intrínsecas de la velocidad y la aceleración. Radio de
curvatura 39
2.4 Relación entre las velocidades en referencias distintas. El movimiento
de arrastre 42
2.5 Relación entre las aceleraciones en referencias distintas. Las
aceleraciones de arrastre y de Coriolls 44
2.6. Interés de las relaciones entre las velocidades y entre las aceleraciones
en referencias distintas 45
2.1 Velocidad angular del triedro intrínseco o de Frenet 49
2.11 El guiado inercial 50
2.C CUESTIONES 52
2.P PROBLEMAS 57
2.E ENIGMAS 61

Li
CONTENIDO vil
"
,¡ CONTENIDO
'1
Ji
5.9 Extensión de la dinámica a las referencias no galileanas. Fuerzas de
'1 Capítulo3 Cinemática del sólido rígido 63 inercia de arrastre y de Coriolis 140
5.10 Fuerzas de inercia en referencias que se trasladan 142
3.1 El sólido rígido. Posición y orientación 64 5.11 Ejemplos de dinámica de la part(cula 142
3.2 Velocidad y aceleración de los puntos de un sólido rígido 64 5.1 Campo gravitatorio exterior e interior a la superficie terrestre 144
3.3 Condiciones básicas de enlace. Contacto y no deslizamiento 67 5.11 Dinámica en la referencia terrestre 146
3.4 Rodadura pertecta. El punto geométrico de contacta. Aceleración de los 5.e CUESTIONES 148
puntos de contacto 69
:¡
PROBLEMAS 157
5.P
3.5 Geometría de la distribución de velocidades. Eje instantáneo de rotación
~II
5.E ENIGMAS 161
Y desllzamiento. Axoides 71
lí
3.6 Caso del movimiento plano. Centro instantáneo de rotación o polo de
1
Capítulo6 Fuerzas de interacción entre sólidos 163
velocidades 74
3.1 Formulación matricial de la cinemática del sólido rfgido 77 6.1 Fuerzas a distancia entre sólidos. Gravitación. Muelles, amortiguadores
~¡
3.C CUESTIONES 78
!:i y accionamientos torsionales 164
3.P PROBLEMAS 87 .!:! 6.2 Torsor de las fuerzas de enlace entre dos sólidos 167
3.E ENIGMAS 97 . 6.3 Caracterización analítica del torsor de enlace entre dos sólidos. Casos
,1:1
de caracterización inmediata 168
Capítulo4 Introducción a la cinemática de sístemas 99 tl~'
6.4 Caracterización analítica de los torsores de enlace en un sistema
'~
multisÓlido. Los sólidos auxiliares de enlace 170
:~
4.1 Los sistemas mecánicos. Sistemas multisólido 100 't 6.5 La indeterminación de las fuerzas de enlace. Mal condicionamiento de
4.2 Configuración. Coordenadas generalizadas 100 ';1 los enlaces 173
~
4.3 Enlaces geométricos. Coordenadas independientes. Espacio de 6.6 Análisis sistemático de la indeterminación y el mal condicionamiento
configuración 101 ,
en los enlaces parciales entre dos sólidos 177
Velocidades generalizadas 103
i1
6.7 Condiciones límite de los enlaces. Enlaces unilaterales, deslizamiento,
4.4
!
4.5 Enlaces cinemáticos. Grados de libertad. Espacio de fases 105 rodadura y pivotamiento 178
4.6 Holonomía 106 ¡ 6.1 Los pares gravitatorios 182
4.7 Composición de enlaces. Redundancias tolal y tangente 108 ~ 6.U Tabla de torsores para los enlaces más usuales en los mecanismos 184
4.8 Análisis sistemático de la redundancia en los enlaces parciales » 6.C CUESTIONES 185
entre dos sólidos 112 1
1
J 6.E ENIGMAS 196
4.C CUESTIONES 114

4.E ENIGMAS 122 ii Capítulo 7 Geometría de masas 197
Capítulo 5 Dinámica del punto material 123 7.1 Centro de inercia 198
7.2 Determinación analítica del centro de inercia. Simetrlas. Teoremas de
5.1 Las propiedades del tiempo y del espacio en los fenómenos mecánicos. Guldin o de Pappus 199
Las referencias galileanas 124 7.3 Tensor de inercia. Componentes 203
5.2 La dinámica de la partícula libre. Principio de la inercia (1 a ley de 7.4 Teorema de Steiner 205
Newton) 126 7.5 Cambio de base en el tensor de inercia 208
5.3 La dinámica de las partículas que interaccionan. Principio de la 7.6 Direcciones principales de inercia. Rotores simétricos y rotores esféricos 209
relatividad de Galileo. Hechos experimentales de Mach. Principio de la 7.7 Aspectos prácticos en la determinación del tensor de inercia 214
determinación 127 7.8 Elipsoide de inercia 218
5.4 Masa y fuerza. 2a y 3a leyes de Newton 128 7.1 Tabla de centros y tensores de inercia 220
5.5 Las referencias galileanas prácticas 130
7.C CUESTIONES 222
5.6 Dependencia de las fuerzas de interacción respecto a las posiciones y 7.P PROBLEMAS 227
velocidades 131
5.7 Las fuerzas de interacción a distancia. Gravitación. Muelles, Capítulo8 Teoremas vectoriales 231
amortiguadores y accionamientos 132
5.8 Las fuerzas de contacto. Fuerzas de enlace. El rozamiento seco o de
8.1 Teorema de la Cantidad de Movimiento 232
Coulomb 137
8.2 Teorema del Momento Cinético para un punto fijo, para un punto móvil

viii CONTENIDO
y para G 234
8.3 Descomposición baricéntrica del momento cinético 238
8.4 Momento cinético del sólido rfgido 239
8.5 Forma integrada de los teoremas vectoriales. Los vectores impulso
de una fuerza e impulso de un momento 248
8.6 Extensión de los teoremas vectoriales a las referencias no galileanas 250
8.1 Equilibrio estático y dinámico de un rotor 252
8.C CUESTIONES 255
8.P PROBLEMAS 269
8.E ENIGMAS 278
Capítulo9 Teorema de la Energía 281
9.1 El Teorema de la Energía. Energia cinética. Trabajo y potencia de las
fuerzas 282
9.2 Descomposición baricéntrica de la energra cinética 283
9.3 El Teorema de la Energía para una referencia que se traslada respecto
a una galileana. Teorema de la Energía para las energías cinéticas de
rotación y de traslación 284
9.4 Energía cinética del sólido rígido 286
9.5 Trabajo de las fuerzas interiores del sistema 289
9.6 Trabajo de las fuerzas que actuan sobre un sólido rfgido 293
9.7 Trabajo de las fuerzas de enlace y de las fuerzas de fricción 294
9.8 Fuerzas conservativas o que derivan de potencial. Sistemas
conservativos 296 .
9.9 Energía potencial 298
9.10 Sistemas de un grado de libertad que conservan la energía mecánica.
Posiciones de equilibrio y estabilidad 302
9.11 Imposibilidad de los movimientos continuos de primera y segunda
especie
9.12 Extensión del Teorema de la Energía a las referencias no galileanas
9.C CUESTIONES
9.P PROBLEMAS
9.E ENIGMAS
Capítulo1 OMétodo de las Potencias Virtuales
10.1 Fuerzas de inercia de d'Alembert. Planteo del Método de las Potencias
Virtuales
10.2 Obtención de las ecuaciones del movimiento
10.3 Obtención de fuerzas de enlace
10.4 El torsor de las fuerzas de inercia de d'Alembert de un sólido rígido
10.C CUESTIONES
10.P PROBLEMAS
10.E ENIGMAS
Capítulo11 Ecuaciones de Lagrange
11.1 Las fuerzas generalizadas en el Método de las Potencias Virtuales
305
307
309
320
327
329
330
331
333
335
345
352
358
359
360
CONTENIDO Ix
11.2 Componentes de la fuerza generalizada de inercia 361
11.3 Componentes de la fuerza generalizada conservativa 363
11.4 Ecuaciones de Lagrange ordinarias 364
11.5 Cálculo de fuerzas de enlace mediante las ecuaciones de Lagrange
ordinarias
11.6 Ecuaciones de Lagrange con multiplicadores
11.7 Principio de Hamilton
11.C CUESTIONES
11.P PROBLEMAS
Capítulo1 2 Introducción a la dinámica percusiva
12.1
12.2
12.3
12.4
12.5
12.6
12.7
12.8
12.9
12.10
12.11
12.C
12.P
12.E
Hipótesis básicas de la dinámica percusiva. Conceptos de sacudida y
percusión
Comportamiento percusivo de los enlaces
La solución integrada. Caso de percusiones dadas. Caso de colisión
Versión percusiva de los teoremas vectoriales
Centro de percusión
Versión percusiva del Teorema de la Energía. Pseudotrabajo de las
percusiones
Hipótesis de Newton
Versión percusiva del Método de las Potencias Virtuales
Versión percusiva de las Ecuaciones de Lagrange
Colisiones multipuntuales
Colisiones con rozamiento
CUESTIONES
PROBLEMAS
ENIGMAS
Soluciones de las cuestiones
Resultados de los problemas
Soluciones de los enigmas
índice alfabético
367
370
372
373
379
383
384
387
391
393
396
397
399
406
408
412
415
418
428
434
435
437
457
469

"
PRÓLOGO
Éste es un texto de Mecánica especialmente concebido para los estudios de ingeniería
superior en los que esta materia tiene una incidencia importante. Recoge la experiencia
de tres décadas de la asignatura de Mecánica de segundo curso de la carrera de
Ingenieros Industriales impartida en la Escuela Técnica Superior de Ingeniería
Industrial de Barcelona.
Su contenido se centra en el movimiento general en el espacio del sólido rígido y de
sistemas compuestos por sólidos rígidos, aunque también incluye la consideración de
las partículas materiales. La dinámica se presenta en la versión vectorial por la
relevancia que tiene en la ingeniería mecánica el concepto de vector fuen:a, que en
esta versión juega el papel de causa de los cambios en los movimientos. La versión
variacianalo analítica, en la que las funciones de energra potencial sustituyen a las
fuerzas como causa de los cambios en los movimientos, es interesante, en el ámbito de
la ingeniería mecánica, como segunda lectura: desarrolla recursos potentes para el
estudio de la dinámica, aunque poco intuitivos y no siempre aplicables a los sistemas
de interés en la ingeniería.
A lo largo de todo el texto se da preferencia a la presentación de los métodos
generales respecto a las consideraciones casuísticas y a las aplicaciones monográficas,
aunque mediante algunas secciones, ejemplos y apéndices se procura vincularlos a
problemas reales y a aplicaciones representativas o relevantes en la ingeniería. Ejemplo
de ello son los apéndices dedicados al guiado inercial, a los torsores para los enlaces
más usuales en los mecanismos y al equilibrio estático)' dinámico de los rotores.
En lo que se refiere al enfoque, se procura que cada método que se expone sea
operativo de inmediato en casos generales de aplicación, para evitar tener que recurrir
forzosamente a ejemplos y problemas triviales o bien tener que reciclar los temas a lo
largo del texto para dar paso a casos de complejidad creciente. Esto conduce a
estudiar el caso general y considerar las situaciones más simples como casos
particulares de aplicación. Así, en el estudio del movimiento del sólido rígido no se
sigue la secuencia: traslación plana, rotación plana, traslación en el espacio, rotación en
el espacio sino que se presenta directamente el caso de movimiento general del sólido
rígido en el espacio.
xi

xii PRÓLOGO
Esta·manera de proceder obliga a que la presentación de las heITamientas que se
necesitan para la aplicación de un método preceda a la presentación de éste. Por este
motivo el Capítulo 1 se ocupa de la modelización del tiempo y del espacio -que
constituyen el marco físico de los fenómenos mecánicos- y presenta la derivación
lelllp0rc/{ de vectores, operación necesaria ya para los primeros pasos en cinemática. Se
remarca el carácter relativo a las referencias de esta derivación y se muestra como
hacerla en el caso, muy frecuente, de representar los vectores mediante sus
componentes en una base móvil. Este último punto conduce a ocuparse de la
orientación de las bases mediante Jos ángulos de El/ler y a introducir el vector
velócidad a!1fju!ar de éstas.
Con estos recursos el Capítulo 2 introduce los vectores posición, velocidad y
Clce1er(/(.:iólI de una partícula en una referencia cualquiera. Se presenta la relación entre
la cinemática en referencias con movimiento relativo entre sí y se introduce el concepto
de movimiento de arrastre, que es un recurso decisivo cuando se trata de formular la
cinemática del sólido rígido en el Capítulo 3. En este capítulo se presenta la velocidad·y
la aceleración de los puntos del sólido rígido con movimiento en el espacio. En el
estudio, de la cinemática del sólido rígido se da preferencia al tratamiento analítico
algébrico respecto al gráfico de acuerdo con la evolución de los recursos de cálculo a
disposición del ingeniero. No obstante se incluye, por su carácter formativo, la
consideración de aspectos geométricos como el eje instantáneo de rotación y
deslizamiento y los Clxoides, y en el estudio de casos simples se utiliza la
representación gráfica de los vectores. Este capítulo incluye también una breve
consideración del caSo particular de la cinemática plana.
Aunque en el Capítulo 3 ya se introducen las consideraciones básicas de enlace
entre sólidos rígidos, es en el Capítulo 4, dedicado a hacer una introducción a la
cinemática de sistemas formados por sólidos rígidos, donde se desarrolla con mayor
profundidad el estudio cinemático de los enlaces. Se presta especial atención a la
redundancia de los enlaces por las implicaciones que tiene en el diseño mecánico. La
inclusión de este capítulo está justificada por el interés renovado y creciente
experimentado en ingeniería por la mecánica de los sistemas multis6lido durante los
últimos quince años. El interés por esta materia ha sido promovido conjuntamente por
una capacidad creciente del ingeniero para tr<1bajar en ella -graci<1s a los recursos
informáticos- y por el desarrollo de aplicaciones corno la robótica que se insieren
plenamente en esta rama de la Mecánica.
Con el Capítulo 5 se inicia la dinámica. En pro del rigor axiomático, pero también
por presentar las leyes de la dinámica desde una perspectiva nueva que estimule su
comprensión, se ha adoptado una presentación fundamentada en las propiedades
básicas del e:;pacio y del tiempo y en los hechos experimentales de M<1ch. Para hacer
operativa la formulación de la dinámica se incluye el estudio de las fuerzas de
interacción más usuales.
Previo al estudio de los teoremas y métodos generales de la dinámica de sistemas
que se lleva a cabo en los capítulos 8, 9, la y l1,los capítulos 6 y 7 presentan las
herramientas adecuadas para aplicarlos al caso del sólido rígido. El Capítulo 6 estudia
I<ls interacciones entre sólidos y su descripción simplificada dada por el torsor, ya que
Ins fuerzas que actúan sobre el sólido rígido intervienen en la dinámica de éste
mediante su tarsor exclusivamente. La parte más extensa del capítulo se dedica al
·.'.1
'",
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:1
'[
,
PRÓLOGO xliI
estudio de los torsores de fuerzas de enlace entre los s6li,dos. Se relaciona la
""d d e"o de las condiciones de enlace con la indeterminactón de las fuerzas de
re un nn 14 d' ·6 r 1
enlace y se analizan las situaciones lúnitede los enlaces. La presente e. ICI n a~~ la e
estudiO de la redundancia y la indeterminación en los enlaces con la mtroducclOO de
un métodO sistemático de análisis. .
El Capítulo 7. relativo a la geometría de masa:, presenta el concepto ~e ~~ntlo de
inercia de un sistema- y de un sólido rígido en partlcular- y el de :ensor de melCJa.de un
sólido rígido, herramienta fundamental para de~cribir la dinámIca de los cambIOS de
orientaci6n del sólido. El estudio de las propIedades fund~mentales del tensor de
inercia se complementa con el de un buen número de propIedades Y aspectos que
fOlciUtan su determinación.
Los teoremas Ymétodos generales de la dinámica de sistemas se pr~senta~ 'para los
sistemas de materia constante, que se prevé que estén fonnados por sóh~os ngldos con
enlaces entre sí. El Capítulo 8 se ocupa de los dos teoremas vectonales -el de la
cantidad de movimiento y el del momento cinético-, el Capítulo 9 se oc~pa del de la
energía. En este capítulo se adapta la definición de las fuerz<1s conserv~t1va: Y, de los
sistemas conservativos al caso de los sistemas mecánicos ~~u~les en la mgem~~Ia, y se
hace una introducción al estudio de 1<1s posiciones de eqUlltbno y de su estabIlIdad en
sistemas de un arado de libertad que conservan la energía mecánica. .
El CapítuloO 1O presenta el método de las potencias virtual~s b~Jo el e~foque
vectorial por el interés que tiene en el estudio de l~ estática y la dI~ár:l1ca de sIstema~
n1111tisólido y muy particularmente en el caso de SIstemas con mO:lmlento plano. ::~
otro lado e~te método es la puerta de acceso a la dinámica analítIca desde, la verSiOn
vectorial mediante las ecuaciones de Lagrange, que se presentan :~ el Cap¡tu~~ ll. De
I "·d" 'a y tamb¡en la verSlOn con
. estas ecuaciones se presenta a verslQn 01 lOan . . , . .
multiplicadores, muy utilizada actualmente en los programas de slmulaclOn dmámIca de
mecanismos. . . . S
Finalmente el Capítulo 12 hace una introducción a la dinámica percuslVa. e
presentan las ~'ersiones percusivas de los teoremas y métodos .g~n.erales ~ se ,hace
hincapié en su aplicación a una clase amplia de sistemas multlsohdo de mteres en
Ingeniería Mecánica. , d ' lo con
Los problemas y cuestiones que se proponen al fmal de ca .a capItu -
soluciones incluidas al final del libro- se han previsto con ~~ntellldo y grado de
dificultad adecuados para ayudar a comprender y hacer fan:~har~s los conceptos y
métodos presentados, al tiempo que pueden permitir la.eval~aclOn dIrect~ por par!e del
lector o lectora de SI.1 orado de aprendizaje. Se han lOc1Uldo como estImulo .alounas
o _ 1 d . sterisco (*)- de dIficultad
cuestiones y preO l1ntas de problemas -sena a as pOI un a .. , I
o • I U dad de la presente edlclon a
sensiblemente supenor a la de resto. na n~ve , . .
constituyen los "enigmas", previstos como ~uestlOnes mas ampllas y partIcularmente
vinculadas a la realidad cotidiana de la mecámca.. de
Este libro, que es fruto de una experiencia c011l~ar,t1da con ~.l profesor.a~o
~' de la Escuela Técllú:CI Superior de lngenrena lndusfllal. de BCII cr:'ona
meCulllca • . . d· . s e mtercamblos de
durante los últimos treinta años, no sería el mlsmo SID las ISCl.lSlOne , .
puntos de vista en Jo que se refiere al contenido y enfoque del curSO ~e mecamca
mant~nidos con los profesores y profesoras que han formado. p~rte del equipo d~ce~te
a lo largo de estos años, a quienes deseo expresar mi reconoclmlent~. De est~ c~e~~~:o
de más de cuarenta personas deseo expresar muy particularmente mi agradeCllTIl

-,~,'..•.•..~,..·,:
•.,.li"".'
.•.
:.•.•,
•.
,'.i.:.'.".,
•.
•.•.•
,.,!,·,·,.,·.:
.•.•
,'.".i,.'¡I!
..
: ..•.•. :..•
·,:,0.;;;;;~!li,::'~~:::¡:::!:'::,;".;l'::':f;~"~:;~:';;,c;:~';':,";:.~
,-" _, .'í:G,lafj,fiq<¡.d¡o(as:mantenidas sobre el planteo docente de la mecánica que sin duda han
;1": "~:,.d~ja?o'·~>;sl.r,huella en. muchos lugares de esta obra. El hecho de que haya sido
1'. : ,;',{:,:; ,pre:clsamente Ana BarJau la persona que se ha ocupado de la traducción uarantiza
:'r:' i la fidelidad de esta versión respecto a la obra original. 1:>
',; r' I En la revisión final del manuscrito tengo que agradecer la colaboración inestimable
1_, de buena parte del profesorado de mecánica, en particular de Jordi Manínez Ed d
F d D ' D '1 ' uar
l' ernan ez- IaZ, ame elos y Llu'isa Jordi.
Tamb~én deseo. mencionar la h.abilidad y perfeccionismo de Isabel Segalés en la
preparación materIal del manUScnto -en absoluto sencilla a causa de la notación-
aceptando ~e buen grado cambios y retoques hasta elúltirno momento.
Sólo qUien haya escrito un libro en paralelo a otras ocupaciones tan absorbentes
co~~o las do;enres y las de i?vesti,~aci6n, conoce la carga que esto presupone para las
pe¡~onas mas cercanas:. pareja e. hijOS. en forma de recortes al tiempo libre compartido.
Su soporte y comprensIón han Sido decisi vos para poder concluir esta obra.
Barcelona, julio de 2000.
Joaquim Agulló Batlle. 'J,
',':
DIRECCIONADO INTERNO
Cada uno de los doce capítulos de este libro eSlá dividido en secciones y apéndices
que se identifican mediante dos números separados por un pUnLo. El primero es el
número del capítulo al que pertenece la sección o apéndice y el segundo identifica la
sección o apéndice dentro del capítulo con un número arábigo o romano,
respectivamente. Así el identificador 4.8 se refiere a la octava sección del cuarto
capítulo y el 3.11 se refiere al segundo apéndice del tercer capítulo.
Para facilitar la consulta de referencias internas, en la parte superior de cada página
de la izq uierda aparece:
[núm. de pág.] [TÍTULO DEL CAPÍTULO] [identificador de sección o apéndice J
y en la parte superior de cada página de la derecha:
[identificador de sección o apéndice] [TÍTULO DE LA SECCIÓN O APÉNDICE] (núm. de pág.]
Las ecuaciones están numeradas correlativamente dentro de cada sección o
apéndice. Cuando la ecuación (k) es referida dentro de la misma sección en que
aparece, se identifica en la forma Ec. (k) simplemente. Cuando la ecuación (k) de la
sección o apéndice Lj es referida dentro de otra sección, se identifica en la forma Ec.
(iJ.k).
Las figuras de las secciones y apéndices se identifican en la fon11a fig. i.j.k, donde
i.j es el idenlificndor de la sección o apéndice y k identifica la figura dentro de la
sección o apéndice por orden correlativo.
Los ejemplos de las secciones o apéndices se identifican en la forma Ejemplo i.j.k;
donde i.j es el identificador de la sección o apéndice y k identifica el ejemplo dentro
de la sección o apéndice por orden correlativo. En los ejemplos, las ecuaciones no
están numeradas en principio y las figuras, si hay más de una, se identifican
simplemente como fig. a, Fig. b, ... por orden correlativo. Como los ejemplos no se
utilizan para presentar demostraciones o para introducir complementos teóricos, no se
hu previsto unu formu específica para referencial' sus ecuaciones o figuras desde otras
partes del libro.
xv

NOTACION
1, Para conseguir un grado de precisión y rigor elevados, la notación utilizada prevé
un uso amplio de subíndices (y ocasionalmente de supraíndices), y de infonnaci6n
entre paréntesis. Esta notación se aligera cuando el contexto Jo permite.
2. Los vectores definidos en el espacio físico de 3 dimensiones se escriben en negrita
y, cuando su símbolo consta de dos letras. éstas se unen con una barra superior:
OP, GK ..... Las matrices se representan por letras entre corchetes: [ S J, [M J, .... El
tensor de inercia, único tensor utilizado, se representa por 11.
3. El vector columna de componentes de un vector se representa mediante el símbolo
del vector entre llaves con indicación al pie de las llaves, si corresponde, de la base
vectorial en la que está proyectado el vector:
{al ~{::} si no hay duda respecto a la base.
4. Las referencias se denotan genéricamente por R, Rl, RA. En particular RT o T es
la referencia terrestre (fija a la Tierra), i es la que se utiliza por defecto. En la
composición de movimientos se utilizan las denominadas referencia absoluta AB
y referencicl rehlfiva REL. A menudo se utilizan referencias que se trasladan
respecto a la referencia de estudio y se denotan por RTB, RTG, ... donde B, G, ".
es el punto que define el movimiento de la referencia.
En dinámica se introducen las referencias galileanas R.Gal, R' .Gal., ... y las
referencias 110 ga/i!eanas R. no Galo, ...
5. Las bases yectoriales, que son siempre ortonormales directas (o dextrógiras), se
denotan genéricamente por B, B', B", ." Bl, B2, ... En el estudio de las bases
móviles se utiliza BF y BM para base fija y base móvil. En el estudio de la
orientación de la base mediante rotaciones sucesivas ey., ~•...se utiliza BC(, Ba~' ...
para las base~ orientadas mediante a. de a y ~, ele. Los versares de las bases se
denotan por e¡,e' ¡, ...; i=l, 2, 3.
6. En la derivación temporal de vectores, la referencia en la que se deriva se indica,
cuando es necesario. mediante el subíndice identificador de la referencia puesto al
pie de un corchete:
dUJ == il]R == Ú, sí no hay confu~i6n en 10 que respecta a la referencia.
dt R
xvii

1:'·'
xvii i NOTACION
H<ly que distinguir la derivada temporal de un vector de la derivad,a lemporal de
sus componentes:
:t {u}. oo{~;lJ ;donde ú; = :t u;(t)
u;¡ B
que en principio no coincide con { U: ]R la.
7. Los puntos se indican mediante una letra mayúscula. Cuando es necesario precisar
la referencia a la que pertenecen, ésta se indica mediante el correspondiente
subíndice: OR ' PR 50n los puntos O y P que pertenecen a la referencia R. Las
partículas se identifican mediante el punto correspondiente.
Eventualmente se puede utilizar un subíndice en minúscula indicativo de una
definición "ad boc" del punto: Jg es el punto geométrico J definido "ad hoc" (por
ejemplo como punto que coincide en todo instante con el contacto puntual entre
dos sólidos).
8. Los vectores posición se forman con las dos letras que simbolizan el punto origen
y el punto posicionado respectivamente, y con indicación, si es necesario, de la
referencia a la que pertenece cada punto mediante el subíndice correspondiente.
Así en el caso de máximo rigor: OPRAPRB es el vector de posición del punto Pde la
referencia B tomado a partir del punto origen O que pertenece a la referencia Ay se
trata por tanto de un vector de posición en la referencia A. A menudo este grado de
precisión no es necesario y los vectores de posición se denotan por OPRB, ORA P ,
OP.
En el capitulo 4 el vector de posición de P en la referencia R se denQtu
simplificadamente por rR(P).
9. Las velocidades de los puntos se denotan genéricamente por "ReP),donde Pes el
punto y R la referencia, En la composición de movimientos se introduce la
velocidad de arr((stre v¡¡reP). v5lvRep)1 es la celeridad de P en la ref. R.
10. Las aceleraciones de los puntos se denotan genéricamente por 3Rep), donde Pes
el punto y R la referencia. En la composición de movimientos se introducen la
w;elerucióll de ctrrw;tre 3 ar(P) y la aceleración de Cario lis aCor(P),
Ocasionalmente se utilizan los supraíndices s y n para denotar las componentes
intrínseca.' tllllge!!cia¡ y llornwl, respectivamente.
11. Las velocidades angulares de la base B, la referencia R' Y el sólido 5, se denotan,
respectivamente, por Q~, QI~', Q~, donde los supraIndices B, R', 5 denotan, la
base B, la referencia R' Yel sólido S. El subíndice R denota la referencia donde se
considera la velocidad angular. En la composición de movimientos se introduce la
velocidad wlgt/lar de arrastre UJr=º::L
NOTACION xi x
B R' S
12,Las aceleraciones angulares se denotan genéricament~ .~or a R, al{, ºR de
'd d i E I OSlClOn de movimientos se
forma análoga a las velocl a es angu ares. n aR~~rnp.
introduce la aceleración angular de arrastre au¡.5 a AB s ~r lAB'
13. Las fuerzas de interacción se denotan genéricamente por Fp_)Q' cuando se quiere
explicar que se trata de la interacción que P ejerce sobre Q, y p~r F(P) ,cu~nd~ no
eS necesario explicitar el origen. Los subíndices g, m, a, E. roz, fnc son :ndlCatlVOS,
respectivamente, de fuerza gravitatoria. ?,e un 1~~eJle, de un, aI?ortl,guad~r, de
enlace, de rozamiento y de fricción. Tamblen se uuhzan los submdlces tnt, ext que
aluden al carácler interior O exterior de las fuerzas.
14 Los momentos de las fuerzas se denoten genéricamente por 1'1(0) donde O es
.indicativo del punto respecto al cual se ha tomado el momento. Los subíndi~es m, a
E, son indicativos. respectivamente, de momento de un muelle, de un amorttgu?dor
y de enlace. También se utilizan los subíndices int, ext que aluden al caracter
interior o exterior de los momentoS.
¡s. Las fuerzas de inercia se denotan por .r(P) las de d'Alembert'y por !Grep) y
:r.. .(P) las de arrastre y de Coriolis, P es el punto que las reclbe. Para las de
d'~Alembert se puede indicar la referencia mediante un subíndice: :JR (P).
16. Los momentos de las fuerzas de inercia de d'Alembert se denotan por .:M(O) y
.'M(O) según se tomen respecto al centro de inercia de! sóli~o o respecto ~ un
punto del s61ido que sea permanentemente fijo a la referencIa. La referenCIa se
puede indicar mediante un subíndice.
17. El momento cinético de un sistema, dada una referencia R de es.tudio se denota
por OK R(SiSl), o simplementeOK, para OE R,por BKRTB(sist), o stmplemente BK,
para un punto B móvil en R y GKRTc(sist), o simplemente GK, para G.
IS.La energía cinética de un sistema en la referencia R se, denota TR(sist). L~s
supraíndices Trans, Rot y Rot-B son indicativos respectl:~mente, de energm
cinética de translación, de rotación (alrededor de G), )' de rotaclOn alrededor de B.
19.EI trabajo de la fuerza F E;n la referencia R se denota WR(F). Pa.ra el trabajo
conjunto de la acción y la re'acción no es necesario indicar la re!erenc~a. Para estoS
trabajo!> 10$ subíndices res pas, mot, ...son indicativos de trabajO realIzado por las
resistencias pasivas, de trabajo realizado por un motor, ....
20 Las percusiones se denotan genéricamente por P i P según correspondan a
fucrzas de interacción o a fuerzas de inercia~d' Alembert. Sus momentos re,specto
a un punto Q se denotan como MP(Q) y 9iPeQ)· La utilización de subíndices es
análoga a la de las fuerlas y momentos (puntos 13 y 14).
El supraíndice E9 es indicativo de concentración de la masa en el centro d: inercia
del sistema. El supraíndice Ji< es indicativo de carácter virtual en las velOCidades )'
potencias, y de carácter generalizlldo en las fuerzas.

xxNOTACION
a
b
b¡
e¡
c. cl
e
e¡
f
o g(P),
o'
gT
k. kl
n
g¡
r
S
S
ui
v
v
v nu
vn~
AB
BK
Cij
CI
[C]
: !
D,,(sist), D
E
El
F
FR¡!rc
F¡
:r
"
:F¡
G
GK
GL
1.1V" l~
1:~
"
I¡k
11 (P)
"
aceleración (véase el punto la)
versor binormal intrínseco
~ iJv(P)! iJu¡
~ iJQs ! iJu¡
constante de un amortiguador, constante de un amortiguador torsional
coeficiente de restitución de Newton
versor de una base vectorial (véase el punto 5)
función de enlace geométrico o de confiauración
. . .
campo gravltatono, campo gravitatorio en P
módulo del campo gravitatorio creado por la Tierra en su superficie
constante de un muelle, constante de un muelle torsional
versar normal intrínseco
coordenada generalizada
vector de posición (véase el punto 8)
versar tangente intrínseco
recorrido a lo largo de una trayectoria
tiempo
velocidad generalizada
velocidad (véase el punto 9)
celeridad (véase el punto 9)
velocidad normal de acercamiento (en una colisión)
velocidad normal de separación (en una COlisión)
referencia absoluta (véase el punto 4)
momento cinético en B (véase el punto 17)
coeficientes de las ecuaciones de enlace cinemática
~jglas de coordenada independiente y de cenfro i/lSfCIntclneo de
rotación O polo de ,e]ocidw/es
matriz de coeficientes de las ecuaciones de enlace cinemática
cantidad de movimiento de un sistema en la referencia R
eT+U = Energía mecánica
!-iiglas de eje illsramelneo de rolC!ción )' desliul/lzienlO
fuerza de interacción (véase el puma Í3)
fuerza perctlsiva
componente i de una fuerza generalizada
fuerza de inercia (véase el punto 1S)
componente i de una fuerza generalizada de inercia de d' Alembert
constante de gravitación. centro de inercia, centro de gravedad
momento cinético en G (véase el punto 17)
siglas de grado de liberte/el
cenrro inSTal11clneo de rotación o polo de velocidades
momentos de inercia respecto a un eje
momento principal de inercia
producto de inercia para los ejes j, k
tensor de inercia de un sólido para su punto P
NOTACiÓN xxI
L ;;;T-U, función Lagrangiana
!VI momento (véase el punto 14)
M ,M C' Mpdrnomento de pivotamiento, ídem estático, idem dinámico
M~. Mr
:, Mrd mOl11ento de rodadura, idem estático. ídem dinámico
!íW momento de las fuerzas de inercia de d' Alembert (véase el punto 16)
9vf!p( G) momento resultante en G de las percusiones de inercia de d' Alembert de
un sólido
[M]
OK
P
p
[Q]
-'1
R,R1.RA
REL
RT
SAE
[SJ
[SIjIJ
[SIjIS~]
T
TI
TCM
TMC
URrF)
U(q)
[UAJ
W
W
matriz de inercia del sistema
momento cinético en O (véase el punto 17)
percusión
percusión de inercia, percusión resultante de las fuerzas de inercia de
d'Alembert de un sólido
2[ "RSA]+[QRSA][QRSA]
radio de curvatura
referencia (véase el punto 4)
referencia relativa (véase el punto 4)
referencia terrestre (véase el punto 4)
siglas de sólido lIt1xi/Íar de enlace
matriz de cambio de base ortogonal
matriz de cambio de base asociada a la rotación 'v
matriz de cambio de base asociada a la rotación según los ángulos
de Eulenv, S, ~
energía cinética (véase el punto 18)
triedro intrínseco
siglas de Teorema de la cantidad de movimiento
siglas de Teorema del l11omenlO cinético
energía potencial de la fuerza conservativa F en la referencia R
energía potencial de un sistema
malriz antisimétrica asociada a la aplicación lineal V/
trabajo de las fuerzas (véase el punto 19)
potencia de una fuerza
O'. aceleración angular (véase el punto 12)
~ ángulo de rotación
S radio torsional de curvatura
e ángulo de rotación, segundo ángulo de Euler. ángulo de nutación
(} velocidad angular asociada a la rotación de ángulo e
A¡ multiplicador de Lagrange
~,Il~, ~cl coeficiente de rozamiento seco, ídem estático, idem dinámico
p distancia entre puntos, distancia de un punto a un eje
O" densidad
O"L,aS'O"V densidad lineal. superficial, volumétrica
<p ángulo de rotación, tercer ángulo de EuJer, ángulo de ratació propia
(spin)
~ velocidad angular asociada a lJ rotación de ángulo <p

I
xxii NOTACION
ji
>V..
11:,
1
ro
ángulo de rotación, primer cíngulo de Euler, ángulo de precesión
velocidad angul<1f asociada a la rotación de ángulo ji
componente i de una percusión generalizada
intervalo de la sacudida o intervalo de colisión (-) O)
velocidad angular, véase .0.. Frecuencia angular o pulsación [rad S-I]
de una oscilación sinusoidal
velocidad angular (véase el punto 11)
NOTA: esta notación no incluye la relativa a los parámetros de Eulel; parámetros de
Rodrigues y paráme[ros de Kayley-Klein presentados en el apéndice 1.1 porque
estos parámetros no se utilizan a lo largo del texto.
MECÁNICA
de la partícula y del sólido rígido

CAPíTULO 1
ESPACIO Y TIEMPO. DERIVACiÓN DE VECTORES
La CINEMÁTICA se ocupa del estudio del mOI'imienfO de los- cuerpos materiales sin
prestar atención a las causas de estos movimientos. Como rama de la mecánica y de la
física. este estudio se traduce en la formulación de modelos matemáticos de aquello que
se estudia que permitan hacer predicciones de la realidad física dentro de un cierto grado
de aproximación.
Puesto que por movimiento de un cuerpo material se entiende su cambio de
posicióll en el espacio y a lo largo del tiempo, la cinemática debe ocuparse de
modelizar matemáticamente el espacio y el tiempo -como marco físico de los fenómenos
mecánicos-, así como los cuerpos matericdes y su posición dentro del espacio. y debe
ocuparse también de la evaluaci6n de elementos descriptivos del cambio de esta
posición a lo largo del tiempo.
En lo que se refiere a los modelos matemáticos de los cuerpos materiales, se establece
una gama de complejidad creciente:parrículo material, sólido rr'gido, medios conlinuos
(que incluyen los sólidos deformables y los fluidos). Este texto se ocupa
exclusivamente de los dos primeros modelos (presentados en los capítulos 2 y 3,
respectivamente). para los cuales la complejidad de la modelización matemática es muy
inferior a la exigida por los medios continuos.
En la evaluación de los aspectos descriptivos del cambio de posición, la operación
matemática de derivación respeCTO al Tiempo utilizada para evaluar velocidades de
cambio es la herramienta más destacada, A menudo esta derivación temporal hay que
aplicarla a vectores -corno en la obtención de la velocidad o de la aceleración-, y su
realización exige una extensión de la derivación escalar.
Por una parte, la derivada temporal de un vector depende de la referencia o, dicho de
. otro modo, del observador que evalua la velocidad de cambio -así. un vector fijo en una
plataforma giratoria, que es visto como móvil por los observadores fijos al suelo, es visto
como constante por los observadores fijos a la platafonna-. Por otra parte, en la
representación de los vectOres a través de sus componentes se utilizan con frecuencia
bc/ses )'ectoría/es de orientación variable respecto a la referencia en la que se quiere
calcular su derivada temporal, y por tanto hay que tener en cuenta en este cálculo el
cambio de orientación de la base en el tiempo.

I
I
Y1"F'AP() DERIVACiÓN DE VECTORES 1.1
;" e:-¿:~¿:~~"J:,~nj%;~,~~~~~,:~móviles es frecuente porque puede facilitar la proyección de
J( en un problema, y hacen más simples las expresiones de sus
co.m¡,on.enl"' así como su interpretación física. Así, en el caso de un vehículo tiene un
evidente la base de orientación fija a su chasis de ejes longitudinal, transversal y
perpendicular a éstos.
, pI., estudio de la deriva:ión de vectores conduce a introdu'cir el concepto de
veloCldad angular de rotaci6n de las bases vectOliales, que describe su velocidad de
cambio de ?1~ientaci6n. En lo ~ue se refiere a la definición de orientación -aspecto en
absoluto tnvIal y más complejo de lo que parece a primera vista-, en este texto se
utilizarán de forma exclusiva los ángulos de Euler por ser el procedimiento más
adec~ado en un primer estudio, a~n~ue en el apéndice de este capítulo se presenta una
resena breve de algunos procedimientos alternativos por su interés en ámbitos tan
propios de la ingeniería como la robótica y la dinámica de naves en el espacio.
La derivación temporal de Vectores se presenta tanto en la cinemática como en la
dinámica, de forma que la herramienta que se pone a punto en este capítulo jueoa un
papel destacado en toda la mecánica. o
1.1 EL TIEMPO ABSOLUTO DE LA MECÁNICA NEWTONIANA
Se llega a la noción de tiempo a p~rtir de la de sucesión ordenada de instantes
entendiendo por instantes lo que tienen en común dos sucesos simultáneos. U~
observador ve sucesos, como por ejemplo el suceso A consistente en la colisión de las
part~culas PI y P2 Y el suceso B consistente en la colisión de las partículas P3 y P4'
Soble estos dos sucesos el observador establece sin ambiO"üedad:
si son simultáneos o
si no son simultáneos y A tiene lugar antes que B
. si ?O SOn ~imultáneos y B tiene lugar antes que A
SI san sll1ll1ltáneos se dice que tienen lugar en el mismo instante de tiempo. Cada
observador, a través de la consideración de la simultaneidad y ordenación de sucesos, es
~apaz de establecer una sucesión ordenada de instantes a la que se asocia la noción de
tiempo.
Sin embargo, en .10 .que se refiere a la simultaneidad u ordenaci6n de los sucesos A y
B, observadores dlstll1tos pueden llegar a conclusiones diferentes. Para el primer
observador podrían ser simultáneos, en cambio" A anterior a B" podría ser la conclusión
de un segundo observador en movimiento respecto al primero con velocidad apreciable
comparada con la d~ l~ luz, y también" B anterior a A" podría ser cierto para un tercer
observador en mOVIl11!ento respecto a los Otros dos t.:lmbién con velocidad apreciable
comparada con la d~ b luz. Por lo tanto, cada observador establece una sucesión
orden.ada de ~nS[anLeS, pero si la velocidad entre ellos es elevada Sus respectivas
sucesIOnes e lOS tantes no coinciden. Esto hay que tenerlo presente en mecánica
relativista.
En la mecánica newtonianll la velocidad entre los observadores es despreciable
c~mpar~~a con la de la luz, ~ ello implica que la apreciación de simultaneidad y
01 denaclOn de :)lIcesos sea la nusma para todos. Este hecho se conoce con el nombre de
~I'illcjpio de la simultalleidad absoluta, y su consecuencia es que la sucesión de
instantes es común a todos los observadores. Estos instantes constituyen la columna
vertebral del llamado fiempo absoluto de la mecánica newtoniana. En mecánica
1.2 EL ESPACIO. CONCEPTO DE REFERENCIA 3
ncwtoniana, un reloj único podrá marcar los instantes de tiempo -por ejemplo a través de
umi. sucesión de acontecimientos definida por la coincidencia de una aguja Con unas
1~1arCaS sobre un dial- para todos los observadores. Puesto que entre dos instantes
~iempre es posible intercalar otro, el modelo matemático para representar esta sucesión
~rdennda y densa de puntos es obviamente un espacio racional unidimensional R I .
En lo que se refiere al tiempo, queda pendiente su medición (es decir, la valoración del
intervalo de tiempo entre dos instantes) porque está condicionada por los principios de
la dinámica, y por tanto no es una cuestión exclusiva de la cinemática. A propósito de la
formulación del principio de la inercia (Sección 5.2) se establece la medición del tiempo
absoluto de la mecánica newtoniana: se hacen corresponder intervalos de tiempo iguales
a intervalos iguales de recorrido de la panícula libre en una referencia galileana.
En mecánica relativista, en la que no se acepta el Principio de Simultaneidad
Absoluta, el tiempo se manifiesta a los observadores con movimiento relativo entre ellos
a través de sucesiones no coincidentes de instantes. Por este motivo en mecánica
relativista cada observador necesita un reloj propio que marque su tiempo pmtlcular.
1.2 EL ESPACIO. CONCEPTO DE REFERENCIA
Con el fin de modelizar el espacio físico en el que se sitúan los cuerpos materiales, hay
que escoger un espacio entre los diversos espacios puntuales de las matemáticas. Debe
ser un espacio puntual porque debe permitir posicionar puntos. La observación del
espacio físico y las comprobaciones geométricas más directas ponen fácilmente de
manifiesto que, para las necesidades de la mecánica, es adecuado como modelo
matemático el espacio puntual afín de tres dimensiones más simple: el euclidiano E:'i.
Para posicionar un punto P en un E3
es necesario un origen O y un Triedro
el, ez, e~, Fig.1.2.1, que es lo que en terminología matemática se denomina "referencia",
pero en este texto se denomina referencial con el fin de reservar el nombre de referencia
para otra entidad de mayor interés en la mecánica. El vector OP, que pertenece al
espacio vectorial asociado al espacio puntual, sitúa P a partir de 0, y en un contexto
matemático sus componentes se considerarían en la base el' e;:, e~
p
e,
o
e,
Flg. 1.2.1
,
Op= La¡e¡
¡""I
Si la base es ortonmmal,
(1)
(2)
En el estudio de la mecánica, la base que se
utiliza para proyectar los vectores no suele
coincidir con el triedro que define el referencial.
Desde el punto de vista matemático, dos referenciales son distintos cuando difieren sus
orígenes y/o triedros respectivos, pero ésta distinción no es de particular relevancia en

4 ESPACIO Y TIEIv1PO. DERIVACION DE VECTORES 1.2
la mccrinica. en la gue el tiempo juega un papel importante. Desde el punto de 'ista de l<l
mecánica. 18 considero.ción de un nueYo referencial adquiere interés cU3ndo se mueve
respecto 81 primero. coso. que OCUlTe sea porque Stl origen se TIlueve en ¿I sea porque b
orientación de su triedro es variable en ¿¡. o por ambas Causas al mbmo tiempo. Este selÍa
el caso de un referencial fijado a un vehículo -origen perteneciente al chnsis del 'ehículo
y triedro fijo respecto al mismo- respecto D un primer referencial fijado al suelo.
La consideración de referencinles con movimiento relati'o entre ellos conduce ni
concepto de referencicl en sentido mecánico. Se define como referencia el e5pocio de
pllllroS fijos respecto a un referencicll y por tanto jijos enfre sí. La condición de fijeza
es la que hace inten'cnir el concepto de tiempo. ajeno a las matemáticas. Obviamente dos
referencins que no presenten movimiento relati'o -porgue se encuenrren asociadns ti
referenciales sin movimiento relativo- coinciden y no tiene demnsiado interés l1lec5nico
distinguirlas. En mednica es tnnto más importante el concepto de referencia que el de
referenciaL que prácticamente sólo se prestnrri mención ti las referencias. A menudo se
dibujaní un n:ferenciul como ayuda par3 dsunlizar una referencia. pero ni su origen
ttndr5 una significación especial ni su triedro serLÍ habitu~:d!llente 1<1 base de trab<ljo en la
que se proyecten Jo~ vectores.
El mo"imicnlo es un concepto asocindo siempre a una referencia: aguélla en la que
tiene lugnr. Se dice que los moYimienros son relativos a las referencias. Así. si un punto P
'3 ocupando posiciones cnmbinl1tes dentro de una referencin. se trata de un punto móvil
dentro de aqlle1la referencia. y la sucesión de posiciones constituye In tnlyectori8. de P
en ello.. Ob'iamente esta sucesión de posiciones es relJli"a 8. cada referencia. Así, un
punto P en reposo en la referencia fija al chasis de un vehículo qUe se mueve respect"o al
suelo. es m6vjl respecto a IEl referencia fija n) :>uelo. en la que describe una cierta
trayectoria.
Cuando se hobl::l de ohsl!I"l'Udores se sobreentiende que cada observador e5tú
asociEldo 1"1 unn referencia y que lo gue obsena es el J11O'jmiento relativo o. su referencia.
Aunque la imagen ment<ll más conveniente de unn referencia es la de un espacio de
puntos fi.ios entre sí. Fig. 1.2..2. una representnción práctica es la de un referencial o la de
un referencial con un observador.
Rl Rl
Flg. 1.2.2
El concepto de referencia como espacio de puntos fijos entre sí es trtn parecido al
l'llIlCt'plO de sólido r(!?ido definido como conjunlo de PUlltos materiales fijos entre sí
1.3 DERIVACIOI-l TEIv1PORAL DE VECTORES 5
j
.'. " e",ático pueden ser [m[aJos coma sinónimos porgue es
O IpunlOlelstaCl1. . d d'l
lJue. dc:s' e e . di' ')'d 'íoitlo sólo un subconJunto e puntos e a
en e! caso e so 1 o 1 C" • • bl
irrclt' nnte que. . :, I . Por e<;le motivo. todo 10 que se esta ezca
. .. 'pond::m a puntos maten,l e~. . . , .
rckrenCli.l COl1e~ ~ f ',' la t,'oclucción inl1ledint;:¡ en la C1!lem~tlca
.' 'le les re erencJ;)S llene U] < 1,
"';.1b¡,<;~ el tnO'11l1I
en10 t. l ' , t tol e"t,·c referencia v sólido rígido hace que a menudo
, . 1 "("I'do EslO. nna O!llD. 0<1 . '- d' I
del :-,.)]¡l~) 11",1 '.' ' ..... t., 'é" de sólidos respectO a !QS c1.wles se Ice que a
". l" rderellC18.S a 1.1. . . . f " 1'0 "
..¿o ddlll,lll .1:-:'. • f . l"d .i:.l o. un'! plo.laforma gJr::ltOna. re erenCW sO J <lIla
rercrc!1..:i:¡ eS solrclClrl8: re erenCla so 1 nI , . ....
1 I ··e Je un ·ehíclllo. etc. l ' t e las
:1 e la,,1;:. . ) . ' c'o es 118Y 1.1113 perfect::J. aoa ogJa en r ..
1 se reflere::l as 01 lenta J 11 " . . ' . .
En .0 qll~l '1 'b'ls'e, de 1',5 referencias )' tmnbi¿n de los SÓlIdos ngldos.y pOI tanto
." t:.1 'l(mee; ue 3~' . ~
(lllen '1 ' . 100-..00" <:I1ol1l<:res se referirán indistintamente n estos tres elementos.
la~ e OCll. '-.' < '"
1 ,3
DERIVACiÓN TEMPORAL DE VECTORES
., .1""','0.",611 lenl!~orD.1 de una magnitud (ID.l, ,e"~11ua su. 'el(~cid,:1d de c8J11hio.
L .. '- . '- t 1 d 1 te "ltl e el incremento
T
'., r'i 11l'11rnente se define a tr:J."és del puso o. 1Jmlte ~ coelen tI
1,lllC l • d" t de tleJll'~O .3.1'
~(",) de la m<:gnilud Yel correspon lente lIlcreIl1en o 1"
d(o). 6,.(1)
--=::lllll...l1......0--·
dt ~t
()
l
. 1 e,te ['",u'te todos los obsen'odore5 utilizan el mismo tiempo. que es el
Cuando se ca t:U a . , . . ' . 1 . 'amo por
. "1)0 oLsolut0 de In mecánica ne"toni'lIla. y SI lo que der]'an es Ull :sca al.l':: .
!lel ." L'. 11 d l" 1 el Illlsmo 6p rnla un
'. 1 d' , " p elllre dos punw-:;. toJos e os elec alal .
elE'lllplo <. 151anCla . " •
" 't po,' t·,,110 todos halbrnl1 elnllslllo resultado.
mismo .:..l -." . <
(2)
dp _ )' ~p . valor único pnl"rt todos los obser"adores.
- - lll'.o.l_() •
e1t Li.t
RA
u
Fig. 1.3.1
Abor:J bien. si lo que deri"an es un vector u.
que como "ectar pertenece al espncio v~ctorirtl
asociado a las respecti'as referencJas, su
i~cremento DU no es. en principio. el mismo
para lodos los obser'adores. En lo que se,
refiere a su módulo. ni tratarse de un escalar. SI
que todos verán el mismo: es en .la ~ri.entnció.~
del 'eetor en lo que en pnnclplo habla
apreci3cio nes discrepantes. Por ejemplo. si se
considera la referencin RA fijo. al suelo y la
r ' 'o RB 'ol',d:uia a una plat"Jfonn¡¡
re elenCl.. ",.. .
giratoria que tiene el eje fijo a la referencIa RA.
Fisd.3.l. un vcclor u que seo. visto como
CO~lst:1nle por el observador B 5ern "isto con10
>.!iratorio por el obseryador A. Así. mientras el
~bservndor B c:llcl11aría una deri'<1da nula
¡..~,
I :1

11<,
i
"
!
lit.
..
6 ESPACIO Y TIEMPO. DERIVACION DE VECTORES 1.4
para el vector u al ser nulos sus incrementos, el observador A calcularía una derivada no
nula al verlo cambiar de orientación. El origen de esta distinta apreciación de los
incrementos de los vectores y de sus derivadas temporales se halla en la rotación relativa
entre las dos referencias y. como se verá en la Sección 1.10, la diferencia entre las dos
derivadas depende de un vector que describe la velocidad de cambio de orientación de
una referencia respecto a la otra.
Se llega por tanLO a la conclusión de que la derivada temporal de un vector es relativa
a las referencias, aspecto que será necesario incorporar a la definición
dU] . D.u]R
- :;:::;hm.6.l_)U~('
dt R I....l
(3)
donde el subíndice R indica la referencia donde se calcula la derivada y en la que, por
consiguiente, se determinan los incrementos, Una notación utilizada con frecuencia para
indicar derivación temporal consiste en poner un punto sobre la variable que se deriva,
Así:
. dp
p=-
dt
u - -
.] - dU]
R dt R'
(4)
En las ocasiones en las que no haya ninguna duda sobre la referencia respecto a la cual
se deriva un vector, se prescindirá del subíndice R y se utilizará simplemente ü, con el fin
de aligerar la notación.
1.4 LAS BASES VECTORIALES. EL PRODUCTO VECTORIAL
Aunque los vectores de un espacio vectorial de tres dimensiones, como el asociado al
espacio puntual E] con el que se representa el espacio físico, admiten una
represenLación gráfica simple y intuitiva, es muy conveniente representarlos a través de
las componentes en una base vectorial porque ésta es la adecuada para el tratamiento
analítico y numérico.
Históricamente la representación gráfica de los vectores ha jugado un papel
importante como herramienta de trabajo en la mecánica. En particular, la estática
gráfica y fa cinemática gráfica constituyeron dos ramas importantes de la mecánica
aplicada él la ingeniería. Actualmente la capacidad extraordinaria de los recursos de
cálculo electrónico ha priorizado el tratamiento analítico y numérico.y ha desplazado los
recursos gráficos como herramienta de trabajo.
En este texto la representación gráfica no será utilizada como recurso de cálculo pero
sí como elemento auxiliar para interpretar aspectos de la resolución de problemas. En
casos particubnnente sencillos, la representación "a mano alzada" de los vectores junto a
la indicación del valor (cuando es negativo indica que el vector tiene sentido opuesto al
del vector representado) permite realizar el estudio sin recurrir al tratamiento analítico
basado en la representación de los vectores a través de sus componentes, Este último
procedimiento e::; el que se utilizará en casos de mayor complejidad,
En una base vectorial B de versores el ,e2 ,e3, un vector u de componentes
U I ,U 2 ,U.¡,
,
u::::I,u¡e¡
¡",]
1.5 DERIVACIÓN TEMPORAL DE VECTORES EN BASES FIJAS 7
(1)
. . (" a través del vector columna de sus componentes. Se uLiliza la notación:
.~~ ~Cple5en '"'
(2)
Cuando no hay posibilidad de confusión en cuanto a la base utilizada, se puede omitir el
subíndice indicativo B.
La representación de los vectores como vectores columna de sus coo;ponentes, Ec.
(2), es más conveniente que la represen;ación segú~ .1a Ec. (1) por ser mas compacta y
facilitar la utilización de los recursos del algebra matncJaL. . .
Todas las bases utilizadas serán orlOl1onnales )' dlrecras. Por ser 01 TOnal mal, el
producto escalar de los versares de la base verifica:
Fig.1.4.1
ei ·ei ::::1; ei ·e j ;;:;0; i*j (3)
y por ser directa (o dextrógira), el pr?ducto
vectorial de los versares de la base venfica la
propiedad circular
(4)
empleando el convenio usual para el sentido del
producto vectorial: sentido de avance de un
tornillo (con rosca a la derecha como es usual)
que gira en el sentido de la rotación que lleva al
primer vector a coincidir con el segundo,
barriendo el menor de los dos ángulos fonnados
por los dos vectores. Si e3 se tomas~ ~n el otro
sentido sería una base Ínversa (o Ievog1ra). (Hg.
lA.l)
Para dos vectores q y u de componentes q ¡ y u j respectivamente en la base. B de
versares ei' la expresión del producto vectorial como desarrollo de un determmante
establece:
e, e, e,
q/ u = DET q, q, q, . (5)
u, Uz u,
En la notación utilizada, Ec, (2), el desarrollo del determinante de la Ec. (5) conduce a
la expresión:

a ESPACIO Y TIEMPO. DERIVACiÓN DE VECTORES 1.4
(6)
que es .la que será .u.tilizada a lo largo del texto y que conduce a calcular los menare
determmante a pal Ur de los vectores columna de componente 1 d I s del
fiJa como en la Ec. (5). s en ugar e os vectores
lncidentalmente, el producto vectorial
lineal q A que transforma el vector
representar a través de una matriz:
q A U puede ser interpretado como aplicación
u en el q A u. Como aplicación lineal se puede
(7)
~~ matriz [q Aja es ((!1!isimélrica y en ella las componentes del,
posIciones ector q ocupan las
(8)
r';~ representación matricial del producto vectorial tiene más interés teórico ue
~Ca(;~co. En el mome~to de calcular un producto vectorial es mejor la Ec. (6) qU~ la
pa~el d~~~~c:~o~etermlDados procesos analíticos esta representación vectorial juega un
Finalmente en lo que se . f 1 b
fijas o ~1óvile~ respecto a l~er~%~:n;i~. ;~e:'ljaa:~~:n~oorn:~t~~i~ni~~iéstas pueden ser
referenCia es fija, y móviles cuando ésta es variable a lo larco del tiempo ón respecto a la
El hecho de que una ba"e fí' ó'l' o .
. s sea Ua o m VI es Irrelevante en las .
relaCIOnan vecto ' . operacIOnes que
el producto vect~;i~l~n un miSmo lOStante de tiempo, como la suma, el producto escalar y
(9)
1.5 DERIVACiÓN TEMPORAL DE VECTORES EN BASES FIJAS 9
expresiones (9) son válidas tanto si la base B es fija o móviL porque las
componentes de todos los vectores corresponden al mismo instante. Sin embargo, en las
operaciones que relacionan vectores en instantes distintos, y la derivación temporal es la
más característica de ellas (el vector derivada se encuentra a partir de la información del
vector en dos instantes distintos, aunque la separación entre ellos tienda a cero), habrá
que tomar precauciones cuando se utilice una base móvil porque las componentes de
los vectores en instantes distintos corresponden a orientaciones distintas de la base.
Como se verá en la sección 1.6, la derivación en bases móviles introduce un término
función de la velocidad de cambio de orientación de la base.
Otra operación que relaciona vectores en instantes distintos, aunque menos
frecuente que la derivaCÍón temporal, es la integración temporal, cuya realización en
bases móviles se presenta en el Apéndice 1II de este capítulo.
En el momento de escoger una base vectorial, el criterio a seguir es de orden
práctico. Las bases, como herramienta de soporte para expresar las componentes de los
vectores -y más adelante de tensores-, hay que escogerlas procurando que estas
componentes sean de fácil obtenCÍón y tengan expresiones simples. Mientras Sólo haya
que expresar vectores, y éste es el caso de la cinemática, hay que evitar en lo posible las
dobles proyecciones. En dinámica interviene el tensor de inercia, y conseguir que los
elementos de Su matriz sean COnstantes es el factor más condicionante en la elección de
la base.
1.5 DERIVACiÓN TEMPORAL DE VECTORES EN BASES FIJAS
En una base vectorial de orientación fija a la referencia, las componentes del vector
derivada temporal se obtienen simplemente por derivación temporal de las componentes
del vector:
{U}BF ={~:} .
u", BF
(1)
.;.Demostración. En una base fija de versores el,e2,e~, el vector u se expresa de la
fonnu
.1
u ==:L. Ll¡e¡.
i=]
La derivación temporal de esta expresión conduce a
" "
u]1{ == iu¡e¡ + ::tU¡e¡]R'
¡el ;=1
(2)
(3)
Al ser las componentes u; funciones escalares, en su derivación no hace falta
especificar la referencia, cosa que es imprescindible en la derivación temporal de los
versores ei' Sin embargo, al tratarse de una base fija, ei ] R == oypor tanto

~.
~
~
m
u
¡;
=
lS
!l1
III
~
ti!
~
1*
l<l
M
j
11',1
iil
,
l'
:
10 ESPACIO y TIEMPO, DERIVACiÓN DE VECTORES 1.6
J
U]R :::;Lú¡e¡, (4)
1=1
expresión que pone de manif¡esto que las componentes del vector derivada temporal son
las derivadas temporales de las componentes del vector. .;.
1.6 DERIVACiÓN DE VECTORES EN BASES MÓVILES. VECTOR
VELOCIDAD ANGULAR
En la derivación de un vector, el vectOr derivada se halla a partir de la información del
vector en dos inSUll1feS distintos, cuya separación tiende a cero, aunque ello pase
desapercibido en la operativa de la derivación analítica. Si entre estos dos instantes la
orientación de la base vectorial en la que se proyectan los vectores cambia, ello
constituye una causa de variación de las componentes de los vectores y por tanto habrá
que tenerla en cuenta. Si el vector ti tiene las componentes u¡ en una base de versares
e¡ móvil respecto a la referencia R,
:> ;1
ú]g =:¿ú¡e¡ + Lu¡e¡]R' (1)
¡"'I i=l
el cambio de valor de las componentes del vector no es indicativo, por sísolo, del cambio
del vector en la referencia. Así, un vector que sea constante en la referencia tiene en
principio componentes variables en una base que sea móvil, de forma que, en la
derivación temporal, la variación de sus componentes tendrá que ser toralmente
compensada:
Por otra parte, un vector que tenga componentes constantes en una base móvil no será,
en principio, constante respecto a la referencia, y tendrá derivada temporal no nula a
pesar de ser nulas las derivadas temporales de sus componentes:
La observación de la Ec. (1) pone de manifiesto que en las bases móviles, al ser ahora
las derivadas temporales de los versares de la base e¡ JR
:1=- O, la segunda suma del
segundo miembro no se anula y, como consecuencia, las derivadas temporales de las
componentes del vector no determinan por sí solas el vector derivada.
Para calcular en una base móvil B las componentes del vector derivada temporal
relativa a la referencia R, hay que sumar al vector columna de las derivadas temporales
de las componentes el vector producTo veclOrilll de un vector n.~ llamado velocidad
ungula/" de 1(( base, relativa a la referencia en la que se deriva, por el vector que se
deriva:
1.6 DERIVACION DE VECTORES EN BASES MÓVILES. VECTOR VELOCIDAD ANGULAR 11
·.{ú] } ~ .'!..{U}B +{Q.~I u} .
R B dt B
(2)
Demostración. Como se conoce la expresión de la derivación en una base fija,
"'"{.]} :::: d I dt{u} ,y se trata de conocer la expresión en una base móvil, la matriz de
u R BF BF .. á bl I
cambio de base que pasa de una a otra será el elemento que permHlr esta ecer a
relación entre ellas.
Entre las componentes de u en la base móvil BM )' en una base fija BF existe la
relación
(3)
donde [S] es la rnmriz de cambio de base que tiene por columnas las componentes en la
base fija de los versares de la base móvil. Esta matriz es variable en el tiempo. Al ser las
dos bases ortonormaJes directas, se verifica
(4)
La derivación temporal de la Ec. (3) conduce a
(5)
donde [5] es la matriz que tiene como elementos la derivada temporal de los respe.ctivos
elementos de [S]. En la Ec. (5), el primer rniembroes el vector columna de las den:radas
temporales de las componentes de u en una base fija y define por tanto la denvada
temporal del vector en la referencia. Este primer miern~r~ es {u]R } aF' y a partir de/us
componentes pueden hallarse las de ú]1<, en la base movll premultJpl1cando por [S] ,lo
cual conduce a:
(6)
La matriz [S]T [S] es antisimétrica, es decir, es igual a su traspuesta cambiada de
signo, puesto que a partir de
(7)
se obtiene
(8)
Se>!ún se ha visto en la sección lA, la aplicación lineal asociada a las matrices
cuadradas antisimétricas de dimensión 3 eS el prodllft~ vectorial de un vector ?Of el
vector que se transforma. El vector asociado a [S] [S) se llama vector velocIdad

¡ [ii,
i ¡:;
1 1"
1 ¡I
, '1,
! I¡'
, ;1
···1'
, I
¡ ,1
¡i
'I
ji'
I
:,
I
1 2' ESPACIO Y TIEMPO. DERIVACiÓN DE VECTORES 1.7
angt¡J~lr de la b~lse B respecto a la referencia R, yse representa por n:. Al sustituir
[SJ [S] por Iº,,) A en laEe. (6)se obtiene la Ee. (2). .;.
A partir de [SJT[S] las componentes de {n&} se identifican, como se ha visto en la
sección lA, de la sigulente manera:
(9)
AJ'TISIMÉTR1CA
Así pues, siempre será posible hallar el vector D.: en función de las variables utilizadas
para definir la orientación de la base, las cuales determinan la matriz [S] de cambio de
base en cada instante.
En este curso se utilizarán los ángulos de Eu!er comO variables para definir la
orientación de las bases, y para estos ángulos se verá en la sección 1.8 que la velocidad
angular de la base puede hallarse de forma muy directa y intuitiva sin necesidad de
:"ecurrir en cada aplicaci.ón al cálculo de [Sf[sJ. Este cálculo sólo se hará una vez para
Introducir el método directo e intuitivo.
El vector velocidad angular, establecido para las bases, es extensible de inmediato a
las referencias ya los sólidos porque su orientación se define mediante la orientación de
una base "solidaria" -de orientación ftia a la referencia móvil o al sólido, respectivamente
-. Así pues, para describir la velocidad angular de una referencia o de un sólido se
establecerán unos ángulos de Euler que permitan describir su orientación, y la velocidad
angular será la asociada a estos ángulos de Euler.
El significado físico del vector velocidad angular -de una base, referencia o sólido- es
el de velocidad de cambio de orientación (un hecho destacable es que la velocidad de
cambio de orientación es lin vector sin serlo la orientación). D. ~ no es la derivada
temporal de ningún vector que defina la orientación de la base B en la referencia R.
Este hecho se analiza más detalladamente en el apéndice 1.1.
Aunque en lo que se refiere al movimiento de la base en el proceso de derivación
temporal de vectores sólo interviene la velocidad angular, más adelante tendrá interés el
vector aceleración angula r o: ~ de una base, referencia o sólido, definida coma derivada
temporal de la velocidad angular, ambas relativas a la misma referencia. Así para una
referencia RA que cambia de orientación respecto a la referencia R se define la
üceleración angular a:A
:
aRA =~.QRAJ =QRA]
R dt R - R R'
R
(10)
1.7 ROTACIÓN SIMPLE
Para definir la orientación de una base vectorial se pueden utilizar distintos conjuntos de
variables a partir de los cuales se puede calcular la matriz de cambio de base. Entre estas
variables, los áIJgulos de rotación son las más utilizadas y presentan la ventajü de una
Fig. 1.7.1
3
[
R
B
e,
3 /
I r/--..eje fijo a las
e3 '-!J dos bases
&=_,"---2'
2
2'
2
Flg. 1.7.2
,.7 ROTACiÓN SIMPLE 13
lOtelpretaciOn intultlva muy directa. Además,
muchas veces la orientación relativa entre
sólidos -y por tanto entre bases solidarias a
éstos~ se introduce físicamente mediante
articulaciones de rotación que penniten que un
sólido gire respecto a otro alrededor de un eje
común a ambos. Por este motivo, aunque el
cambio de orientación general entre dos bases
dependa de varios ángulos de rotación, es
interesante estudiar la rotación simple, que es la
que tiene lugar alrededor de un eje de
orientación fija respecto a las dos bases
(Fig.1.7.1). Para definirla es suficiente un solo
ángulo de giro. Este estudio permitirá establecer
una identificación directa de la velocidad
angular de la base asociada a la rotación simple,
que será de gran utilidad en el estudio del caso
general en la sección 1.8. Es interesante
en particular el caso de la rotación alrededor de
uno de los ejes de la base.
Sea el caso de la base móvil B' de versares
e'l,e'2 y e';¡ que gira respecto a la base fija B de
versares el ,e2 y e] alrededor del eje comú~ 3
(Fig.1.7.2), Ysea 'V el ángulo que orienta el y
e'.., respecto a los versares ftjos el)' e..,.
El vector D.:' de la base móvil res-pecto a la
referencia R es
(1)
Se trata de un vector que tiene la dirección del
eje de giro, el senrido de avance de un
tornillo (con rosca normal a la derecha) que
gira COIl If creciente, y el valor igual a ji.
En este caso Q f 'al hallarse sobre el eje 3
común a las dos bases, tiene el mismo vector
columna de componentes en la base orientada
con 'V que en la base sin orientar con ji.
.¡. Demostración. La matriz [SJ del cambio {u} B = [SJ{u} B' es
r
eos ji
[SJ = se~jI
-sen",
cos '"
O

;',
I
I ¡:I:,
I ' "
1 II
I I jj
I
) :1,
~ l.
I
l'
: 1
I '1
I
I
I
I
I
1
14 ESPACIO Y TIEMPO, DERIVACiÓN DE VECTORES 1.8
Lamarriz [S]T[S] asociadaan:' es
[
cos ji semj1
[S]T [S1= -semI' cos jI
O O
=l~ ~jI ~]
0][~jisenjI
° jI cos jI
1 O
-ji cos jI
-jJsenljl
O ~]=
La identificación de las componentes de nt de acuerdo con la ecuación (1.6.9)
conduce al resultado de la Ec. (1). .¡.
1.8 ROTACiÓN GENERAL. ÁNGULOS DE EULER
La orientación general de una base móvil respecto a una base fija se puede describir a
wlvés de 3 valores independientes, puesto que los 9 elementos de la matriz de cambio de
base [SJ, que por columnas Son las componentes en la base fija de los versares de la base
móvil, están sujetos a las 6 condiciones de ortonormalización, Ec. (1.4.3). Entre las
diversas opciones existentes para describir las rotaciones de las bases (o de referencias, o
de sólidos), los ángulos de Euler constituyen la opción de mayor interés para un primer
estudio porque son de interpretación física muy directa y porque a menudo se hallan
materializados en los mecanismos.
Los ángulos de Euler son un conjunto de tres rotaciones simples ji, 8Y<p. A partir de
una base fija, la primera rotación orienta una base mediante una rotación simple de
ángulo 1.1'. A partir de esta base orientada con ji, la segunda rotación orienta una nueva
base mediante otra rotación simple de eje perpendicular a la de la rotación precedente y
ángulo 8. Finalmente, a partir de esta base orientada con ji y8, la tercera rotación· orienta
la base gue es ya de orientación general mediante una nueva rotación simple de eje
perpendicular al de la rotación precedente y ángulo c.p. La Fig.1.8.l ilustra esta
composición de rotaciones (para mayor claridad se han dibujado las bases desplazadas,
pero esto es irrelevante porque, como bases vectoriales, pertenecen lodas al espacio
vectorial asociado a la referencia).
Es característico de los ángulos de Euler que el primero corresponda a una rotación
alrededor de un eje fijo a la referencia, el segundo a una rotación alrededor de un eje de
orientación afectada por la primera rotación, y el tercero a una rotación alrededor de un
eje de orientación afectada por las dos primeras rotaciones. Este tercer eje es fijo a la
base móvil, en cambio el segundo eje no es fijo ni a la referencia, como el primero, ni a la
base móvil, como el tercero. El segundo, sin embargo, es perpendicular a los otros dos.
Si los ejes de giro de los ángulos de Euler no se tomasen de forma que el de cada
ángulo fuese perpendicular al del anterior ~garantizando na obstante que no coincidiese
con el mismo-, las orientaciones que se podrían conseguir serían un subdorninio continuo
del dominio de todas las orientaciones. En este caso habría orientaciones inalcanzables.
Eri lo que se refiere a las velocidades angulares de rotación, a las tres rotaciones
simples mencionadas les corresponden respectivamente:
o/ ,de B~ respecto a BE Sobre el eje de giro de la ~/, sentido de avance de un
1.8 ROTACION GENERAL. ÁNGULOS DE EULER 1 5
tornillo que gire hacia '4f creciente y valor ~. .
e
· d B respecto a B Sobre el eje de.giro de la 8, sentido de avance d~ un
,e ~!a , j i . . . e
'llo que aire haCia ecreciente y valo) .
t?r
l1l
d
B o respecto a B . Sobre el eje de giro de la ep, sentido de avance de un
<p , e '4!6q¡ 'V6• •
tomillo que gire hacia <p creciente y valor q:>.
La velocidad angular de la base de orientación general
(o respecto a la referencia) es
b:.J."~ Cija
COl11.j.1 •
bust: orit:ntadn
con fre.
base ori~n¡¡¡d¿¡
c0I1¡!.9ycp.
Flg. 1.8.1
BF
E:jt! Jt! orit:l1taci6n fija
respectO a BF
(y también Bf),
B'l'8
Eje de or·lcntac6n njn
resp~clo nBfl
(y también Bjf,e).
B1.f16q¡ respecto a la base fUa
(l)
bose ori~ntudn
[Sipl
Eje de orit!nlllción rija
respecto a BII,8
(y tambi~n B'V.9,CP)·
.;, Demostración. Cada una de las rotaciones simples lleva asod,ada una mat~z ~a~
. cambio de base (en esta demostración se prescinde de los paréntesls cuadrados e
matrices para simplificar la escritura):
(2)
de forma que.

l' 6 ESPACIO Y TIEMPO. DERIVACiÓN DE VECTORES 1.8
(3)
La matriz de cambio de base que relaciona la base B~,eq¡ con la base fija es pues
La velocidad angular de B'I'E!q¡ es el vector asociado a STS,
y puesto que,
T'
SfS" = l.ji A] expresada en la base B.,
S~~fl= [~/]expresada en la base B~re'
S.S.= [ ,!,Al expresada en la base B,••,
(4)
(S)
la ecuación (5) pone de nwnifiesto que STS en la base B
1V9
q¡ es la suma de
aplicaciones lineales anteriores, y por tanto la validez de la Ec. (1),
las tres
.¡.
Un aspecto particularmente interesante de los ángulos de Euleres la independencia
de la orientación final de la base respecto al orden cronológico en el que se introducen
los valores de los ángulos, o bien respecto a la historia relativa en la que se introducen, si
se introducen en el tiempo de forma simultánea, como es fácil comprobar intuitivamente
o de forma analítica.
Como consecuencia no sorprende que muchos mecanismos que introducen
rotaciones entre sólidos introduzcan físicamente unas que corresponden a ángulos de
Euler..
• EJEMPLO 1.8.1 El soporte del foco esquematizado en la figura, que permite orientar el
haz de luz en cualquier dirección, tiene dos articulaciones que materializan los dos primeros
nngulos de Euler. LJ. rotJción 1.jI alrededor del eje vertical corresponde J. un primer ángulo de
EuJer -ll] producirse alrededor de un eje fijo-, y la rotación e alrededor del eje horizontal
orientado mediante el ángulo 1.jI corresponde a un segundo ángulo de Euler.
L.l velocidad angular de rotación.Q k del foco es la misma que la de la base B" de ejes
J ", 2", 3".
Las componentes de esta velocidad anguJarse expresan convenientemente en las bases B' de
ejes 1',2',3', Y B" de ejes 1", 2", 3" orientadas por el primer y por los dos primeros
ángulos de ElIJer respectivamente,
R
1.8 ROTACIÓN GENERAl. ÁNGULOS DE EUlER 17
orientación
horizontal
fijo o lo
referencia
La determinación de la aceleración angular del foco, utilizando las bases B' y B", conduce a
En el caso de la base B", puesto que nf=n ~ ,el producto vectorial nf /n~ que hay que
añadir es nulo. .
Es importante notar que existe aceleración angular ?el foco aunque que las ve~ocldades
de rotación ji y é sean constantes, Los térmi~os en .'-Ve, que serían n~ ~ulos, provlenen ~el
cambio de orientación ele la velocidad angular 8 ocaslOnado por la rotaClQn 1.jI.

18 ESPACIO Y TIEMPO. DERIVACiÓN DE VECTORES 1.8
t EJEI'lPLO 1.8.2 El soporte esquematizado en la figura, que permite que el volante
adopte u~a orientación general, tiene tres al1iculaciones que materializan tres ángulos de Euler.
La r~t,aclón ji alrededor del eje horizontal fijo corresponde al primer ángulo de Euler. La
rotac.lOo e al rededor del. t:je que se encuentra sobre el marco corresponde al segundo yla
rotacIón (j) alrededor del eje del volante corresponde al tercero.
El murco se orienta sólo con el primer ángulo, y su velocidad angular es ljI.
2'
El basculant~ se orienta con los dos primeros ángulos, y su velocidad angular es V+ é,
El volante se onenta con l.os tres ángulos, ysu velocidad angular es nJ~ = V+9+ <jl. Las
componenles de esta velOCidad angular se expresan convenientemente en las bases B' de eJ'es
l' o' 3' )' B" d "I"?" 3" ' d '
, -, . e ejes ,-, anenta as por el pnmer y por los dos primeros ángulos de
Euler respectivamenle.
Las bases fija d,e ejes 1, 2, 3 Y la de ejes 1.", 2''', 3'" orientada con 10$ tres ángulos,
son menos COI1Vel1lenles para expresar las componentes de .Q v porque requieren dobles
proyecciones. R
•
1.9 LAS DOS FAMILIAS DE ANGULOS DE EULER 19
LAS DOS FAMILIAS DE ÁNGULOS DE EULER
" Aunque los ángulos de Euler vengan sugeridos por las articulaciones presentes en un
, 'mecanismo o se tomen según conveniencia en cada caso particular, usualmente
pertenecen a las .dos familias gu: se obtienen al toma: como ejes de giro ejes de la base
que va siendo onentada secuenCIalmente por los tres angulas,
3' 3
't'
""-

--¿
't' 2'
/J 't'
1=1'
2
1"
3
3"
3'
8 't'
,
3"::3'" 3 3
secuencio
f
1-2'-3"
1::1'
2
lsecuencia
1-2'-1"
Flg. 1.9.1 Las dos secuencias de ejes para los ángulOS d'Euler
Así, tal como se ilustra en la Fig. 1.9.1,partiendo de la base fija de ejes 1,2,3, el
primer giro se toma alrededor de uno de sus ejes como por ejemplo el 1, con lo que la
base pasa a ser la de ejes l'e:¡ 1,2',3'. La segunda rotación se toma alrededor de uno de
los ejes de la base 1',2',3' (distint.o del 1), por ejemplo el 2', con lo que la base pasa a ser
la 1",2" <=2', 3". Al tornar la tercera rotación sobre uno de los ejes de la base 1n, 2", 3"
(distinto del 2"), si se toma e13" se ha seguido una secuencia (la 1 - 2'- 3") en la que
intervienen secuencialmente los tres ejes de la base. Si se torna el 1", se ha seguido una
secuencia (la 1~ 2' -1") en laque intervienen secuencialemente sólo dos de los ejes de la
base.
Así pues existen dos esquemas posibles para la secuencia de rotaciones:
secuencia
secuencia
i ~ j' - k"
i ~ j' - i"
que, para abreviar. se denominarán secuencia i-j-k y secuencia i-j-i respectivamente. En
lerminoloO"ía inO"lesa se denominan "three-body axis system" y "two-body axis system"
e e
respecti vamente.

i
"
,
'1,
,,;
;'
,1
"
2 O ESPACIO Y TIEMPO. DERIVACiÓN DE VECTORES 1.9
El primer sistema es el que se utiliza usualmente para definir la orientación de los
vehículos -chasis de un automóvil, avión, barco, ete.-. Con los ejes 1, 2, (Fig. 1.9.2)
definidos como
1. eje longitudinal de! vehículo, dirigido hacia delante
2. eje transversal del vehículo, de derecha a izquierda (mirando hacia delante)
los ángulos de Euler se toman según la secuencia i-j-k (aunque no hay una opción única
sobre cuales son los ejes i, j, k) Yadoptan los nombres propios:
· balanceo: rotación alrededor del eje 1 (original o modificado).
· cabeceo: rotación alrededor del eje 2 (original o modificado).
· guiiic/dll: rotación alrededor del eje 3 (original o modificado).
En terminología inglesa, estos tres ángulos reciben los nombres de roll, pitclz, yaw,
respectivamente, y en terminología francesa Jos de rOl/lis, tangage y cap o [acet,
respectivamente. En la Fig. 1.9.2 se ilustra su aplicación a un vehículo en la secuencia 1-
2-3.
También se podría utilizar la secuencia 3-2-1. Si esta secuencia se aplica a orientar un
barco, (Fig. 1.9.3) cuando el barco se encuentra en una orientación arbitraria el eje 3=;3'
de guiñada (l u rotación de Euler) se mantiene vertical (y no coincide por tanto con el eje
3''' fijo al barco); el eje 1":1'" de balanceo (3ti • rotación de Euler) es el eje lOngitudinal
del barco (que no coincide con el eje 1 inicial); el eje 2'=2" de cabeceo (2a. rotación de
Euler) es el eje horizontal perpendicular al eje longitudinal del barco.
Al principio, la aplicación más destacada de la secuencia i-j-i fue el estudio de los
giróscopos o rotores nlpidos, y en particular de la peonza, y de esta aplicación proceden
sus nombres: precesión ji, nutación 8 y rotacióll propia (spin) <p, indicados en la Fig.
1.9.4, también de gran difusión.
guinado
(Uyow")
3
orientación
de partido
2
("pitch")
[" tangage"J
balanceo --.....
("roll") '-'f'
["'rOUIiS"~_1' ~
~(-==;>--?' 2"
;J/ 7~
1:# 1"
'"
Fig. 1.9.2 FOl1liliu do: :.íngulo~ d'Eult:r onlunceo, cnbt:ct'o, gllilbda
3=3'
1.9 LAS DOS FAMILIAS DE ÁNGULOS DE EULER 21
jz
3 orientación
de partido
1 " 2
rot~ción
propio
("spin")
l J l ,
/preceslon
I+J ("precession")
}¡,""ifiit;I--- 2'"
~(j5;~:::::7,-+--- 2'"
1"
("nutatlon")
2
l'
Fig. 1.9.3 ürientuciún dt: un harco con la
St:clIencia: guiñudu, cuht:ceo. balanceo
Fig. 1.9.4 Familia de ángulos dt: Euler precesión.
nutación, rotación propin
En el estudio de los robots, para definir la orientación de la pinza se utiliza
indistintamente una familia u otra de ángulos de Euler.
En el momento de escoger los ángulos de Euler para orientar un sólido determinado
suele ser decisiva la existencia de algún ángulo que, por su interés, se desee que forme
parte de ellos. Según corresponda a una rotación alrededor de un eje fijo, orientado por
un solo ángulo u orientado por dos ángulos será, respectivamente, el primer, segundo o
tercer ángulo de Euler. Si el que se fija es el segundo, los otros dos quedan
condicionados.
• EJEMPLO
orientación
fijo --;:;~_,,_
~e
el caso de una rueda que se mueve rodando sobrc un plano
horizontal, si la orientación de su avance (es
la dirección de la rodera, que coincide con la
del diámetro horizontal de la rueda) y la
i. de. inclinación del plano de la rueda respecto al
móxlma pendIente plano vertical pueden cambiar a lo largo del
tiempo, los dos ángulos que las definen son
suficientemente relevantes por ser dos de los
ángulos de Euler.
En la figura, el ángulo 'l' de orientación
de la rueda, que corresponde a unn rotación
alrededor del eje vertical, es el primer
ángulo de Euler. El de inclinación e, que
corresponde a una rotación sobre la dirección
del diámetro horizontal de la rueda (de
Ángulos de orientaciÓIl dI.! una rut:da.
S~cu~ncia i. j. k.
orientación fijada por 'V), es el segundo
ángulo de Euler. El tercero corresponde. si
los dos primeros han de tener el significado

~
oj
¡;j .....
Iil
~.
1111.
I!j!
~..
~....
22 ESPACIO Y TIEMPO. DERIVACION DE VECTORES 1.9
descrito, a la rotación <p de la rueda respecto del triedro formado por el eje de la rueda y los
diámetros horizontales y de máxima pendiente.
Se trata de un conjunto de ángulos de Euler de secuencia i-j-k. En este caso las
denominaciones cabeceo-balanceo-guiñada no son adecuadas. +
+ EJEMPLO 1.9.2 Los proyectiles se lanz.an con un movimiento de rotación rápida
alrededor de su eje para favorecer que éste no se desvie de la dirección de avance del
proyectil.
En el estudio de cómo interviene esta rotación se puede considerar un tramo de la
truyectoriu del proyectil suficientemente corto como para aceptar que es rectilínea. El ángulo 6
(Fig.u) de desviación del eje del proyectil respecto a la trayectoria es el ángulo más relevante
del caso. Como ángulo de Eulcr ha de ser el segundo pues es necesario un ángulo ji previo
que delermine sobre cu:.í.l de los planos axiales a la trayectotia hay que tomar el ángulo 8.
Dicho de otro modo, para determinar el eje de la rotación 9, que es perpendiculara la
trayectoria, hay que indicar cuál de los infinitos ejes perpendiculares a la trayectoriahay que
tomar. El ángulo ji, que corresponde a una rotación alrededor de la dirección fija de la
trayectoria, es el primer ángulo de Euler. Respecto al triedro formado por el eje del proyectil,
el de la rotnción 8 y el perpendicular a ambos, el proyectil aún tiene la rotación <p alrededor de
su eje, que constituye el tercer ángulo de ~uler. Los tres ángulos considerados corresponden a
la secuencia i+i, y las denominaciones "precesión - nutación - rotación propia" son
adecuadas.
plono vert¡cal que paso
por lo trayectoria
lid
3
3·
Fig. .. Ángulo~ d.: ori':nlnción de un proyectil.
Secuencio i. j, i
3:03'
FIg. b Ángulos de orientnción de un proyectil.
Secuencin i. j, k'
1.1 O RELACiÓN ENTRE LAS DERIVADAS TEMPORALES DE UN VECTOR EN REFS. DISTINTAS 23
Un inconveniente de estos ángulos es que 'V y <p resultan indeterminados para 9=0 al
coincidir los ejes de las rotaciones respectivas, Su suma está determinada pero no el
valor de cada uno de ellos porque no hay ningún plano singularizado axial a la u'ayectoria que
determine el ángulo 'V. Si se considera más importante eludir esta indeterminación que hácer
que esea uno de los ángulos de Euler, enLonces se pueden utilizar los ángulos de Euler de
secuencia i-j-k, (Fig.b): la rotación ji' sobre el eje horizontal perpendicular a la trayectoria (ejc
3), la rotación S' sobre el eje 2' y la rotación <p' sobre el eje del proyectil. En estc caso las
denominnciones de balanceo, cabeceo, guiñadn no resultan adecuadas. ..
1.10 RELACiÓN ENTRE LAS DERIVADAS TEMPORALES DE UN
VECTOR EN REFERENCIES DISTINTA S
En el estudio de la cinemática es interesante a menudo relacionar el movimiento de un
mismo objeto -partícula o sólido rígido- en dos referencias distintas (como por ejemplo el
de un vehículo respecto al suelo y respecto a otro vehículo). Puesto que en el estudio de
la cinemática la derivación temporal de vectores juega un papel central y ésta es relativa
a las referencias -se ha expuesto en la Sección 1.3-, en el momento de relacionar
movimientos en referencias distintas hay que conocer la relación que hay entre las
derivadas temporales respectivas,
La derivada temporal de un vector u respecto a una referencia RI es igual a la
derivada temporal respecto a otra referencia R2 más el producto vectorial de la
velocidad angular de la referencia R2 respecto de la referencia Rl por el vector que se
deríva:
.j .j ARO
U tU = U R2 +!,¿, RI A U. (1)
Esta expresión pone de manifiesto que las derivadas temporales en dos referencias sólo
difieren si hay movimiento de cambio de orientación entre ellas, como ya se había
intuido en la Sección 1.3.
010 Demostración. Si se considera una base vectorial móvil respecto a la referencia R1
pero fija respecto a la R2 (Fig. 1.10.1), la Ec. (1.6.1) relativa a la derivación en bases
móviles conduce a
(2)
Pero, por oLro lado, {u]R2}B= d I dt{u} Bal ser la base B fija a R2 y.Q~¡=n:~,de fonna
que
(3)
ecuación que expresa la relación vectorial de la Ee. (1) en la base B.

24 ESPACIO Y TIEMPO. DERIVACiÓN DE VECTORES 1.1
Rl
Fig. 1.10.1
p
(base móvil
en Rl
base fijo
en R2
1,1 COMPOSICiÓN DE ROTACIONES ALREDEDOR DE EJES FIJOS
Un método conceptualmente simple para orientar una base a través de tres áno-ulos
" a
ConsIste en someterla suceslvamente a tres rotaciones alrededor de tres ejes fijos, por
ejemplo: una rotación de ángulo ~I alrededor
del eje 1 fijo, seguida de una rotación ~2
alrededor del eje 2 fijo,)' seguida finalmente de
una rotación ~3 alrededor del eje 3 fijo
(Fig.l.I.l). Éste es el método usual en
infOlmática gráfica.
Fig. 1.1.'
La matriz de cambio de base que determina las
componentes de los vectores en la base fija a
partir de las componentes en la base orientada
con las tres rotaciones es:
(1)
siendo las matrices [S~iJ las de cambio de base
asociadas a cada una de las rotaciones ~i:
(2)
Como el orden de las matrices en el
producto de la Ec. (1) es, de derecha a
izquierda, el de la secuencia de introducción
de las rotaciones, y el producto de matrices es
1.1 COMPOSICiÓN DE ROTACIONES ALREDEDOR DE EJES FIJOS 25
conmutativo, la matriz de cambio [S] -y por consiguiente la orientación final-
depende del orden de la secuencia.
Esto se puede ilustrar con el caso representado en la Fig.l.I.2, en el cual se aplican a
. 'un sólido tres rotaciones ~1=~2=~3=90o alrededor de tres ejes 1,2,3 ortogonales. Cada
una de las seis secuencias posibles conduce a una orientación final distinta.
3
2
Fig, 1.1.2
Así pues. para que los tres valores S' ~2" [33 definan de fonna uní'oca la orientación final,
es necesario introducir las rotaciones secuencialmente, es decir, una después de otra y
siempre en el mismo orden.
A causa de esto, esta composición de rotaciones es poco conveniente para ser
materializada en mecanismos que pretenden orientar sólidos de forma unívoca, porque
para cambiar la orientación hay que volver a la de partida y de ésta pasar a la nueva
orientación. Es decir, para pasar de la orientación definida por PI' P2 ' ~3 a la definida por
~1+Ll~1 ' ~2+LI~2' ~3+LI~3 ,hay que pasar en plimer lugar a la ~1= ~2= ~3=O y a partir de
ésta introducir la [31 +,6.~ 1' f32+,6.~2' P3+~~3' orientación que no coincidiría con la obtenida
introduciendo secuencialmente y de forma aditiva Ll.S1 ' Ll.P2' 6.~3 . Un mecanismo que
introdujese simultáneamente las tres rotaciones alrededor de tres ejes fijos definiría una
orientación final que dependería de la historia relativa entre los giros.
Las rotaciones ~ 1 ' ~2 ' ~3 introducidas secuencialmente -es decir, una después de la
otra y a partir del valor cero- constituyen, a pesar de todo, un recurso matemático para
definir de forma unívoca la orientación final de una base. Como recurso matemático
válido, las rotaciones secuenciales PI' ~2 ' ~3 alrededor de ejes fijos ortogonales penniten
definir no sólo la orientación sino también la velocidad angular de la base orientada. La
Ec. (1) muestra la equivalencia entre esta composición de rotaciones y la
correspondiente a los ángulos de Eu1er jf:=~, alrededor del eje 3=3'., 8=S.? alr~dedor d.el
eje 2'=2" Y cp=~! a)rededor del eje 1""';1"'. En consecuencia, n:l := 13 + Ih +33 con 131
sobre el eje .1"=1"', 132 sobre el 2'=,2", y ~3 sobre e13E:;3',
La aplico.ción simultánea de las tres rotaciones alrededor de ejes fijos, aunque no
permite la introducción de orientaciones unívocamente relacionadas con los valores ~l'
~2' ~3 introducidos, permite, en una realización física mediante un mecanismo,

introducir un cambio continuo de orientación y por este motivo se halla en mecanismos
usuales, especialmente en el caso de dos ejes. Un ejemplo lo tenemos en el "ratón"
("mouse") utilizado en los ordenadores.
En el caso de aplicación simultánea de las tres rotacion~s alr~ded9r de ejes fijos !le
puede de~ostrar que la velocidad angular es el vector n:=~l + ~2 + ~3con PI' 132 y ~3
sobre los ejes 1,2, Y3 respectivamente.
En el caso del "ratón", de 1.os ordenadores, la velocidad angular de la bola respecto a
la carcasa se mide como 131)' 132 sobre ejes fijos a la carcasa (que, en principio, no ha de
3 cambiar de orientación respecto a la
2
3
mesa).EJ ejemplo 1.1.1 ilustra este
procedimiento.
• EJEMPLO 1.1.1 En el sistema
esquematizado en la figura, la esfera de radio
R se apoya sobre un soporte que le pennite
girur libremente alrededor de su ~entfo O. En
todo ioslnnte la rueda P, que mantiene
Contacto sin desliz<lr con la esfer<l, la hace
gir<lf alrededor del eje 1 con P¡=8¡rlR, y la
rueda Q, que también mantiene contacto sin
deslizar con la esfera, la hace girar alrededor
del eje 2 con Pl=91r1R. Se trata de una
composición de rotaciones alrededor de dos
ejes fijos.
Si las dos ruedas giran
simultáneamente, para cada par de valores ~¡
y Pl no hay una orientación única de la esfera;
ésta depende de la historitt relativa entre PI y
Pl· De hecho, maniobrando adecuadamente,
se puede llevar la esfera a cualquier
orientación Con estas dos rotaciones.
En un ratón de ordenador es la bola la
que al girar, hace rodar las ruedas P y Q, cuyo ángulo girado se traduce en forma de tensión
elécuicu proporcional gracias a un potenciómetro. •
1.11 ALTERNATIVAS A LA COMPOSICiÓN DE ROTACIONES
Los ángulos de Euler, aun siendo el recurso más intuitivo para representar los cambios de
orie~~ación. de base~, referencias o sólidos rígidos, presentan desde el punto de vista
anahuco el InconvenIente de no tener una intervención equivalente en la expresión de
la matriz de cambio de base. ASÍ, para los ángulos de Euler de' secuencia 1,2, 3, esta
matriz tiene la expresión
1.11 ALTERNATIVAS A LA COMPOSICiÓN DE ROTACIONES 27
[S] ~l~
O
O 1
cos6
O sen TOs~ -sen <p
~J~
cosjf -sen '1' O I O sen ~ cos~
sen ji cos ji -sen e o cose o o
[ cos6cos~ -cose sen tp
sen e l
::= cos ji sen <p + sen If sen ecos <p cos If cos cp - sen If sen e sen 'P -sen jIcose . (1)
sen ji sen <p - cos ji sen ecos cp sen 'V cos <p + cos If sen e sen <p COSlfcose
Esta intervención no equivalente hace que la utilización de los ángulos de Euler,-y
lo mismo puede decirse de la composición de rotaciones alrededor de ejes fijos-, no
pueda aprovecharse de propiedades analíticas interesantes como las presentadas por
otras variables de orientación que intervienen de forma más equivalente o simétrica.
Las propiedades asociadas a la simetría de las variables de orientación tienen un
interés particular en la cinemática del sólido rígido asistida por ordenador, cosa que ha
resucitado métodos de orientación de bases que habían sido desarrollados pero que se
hallaban casi olvidados. La astronáutica y la robótica han sido las impulsoras más
destncadas de esta renovación.
A continuación se revisan las alternativas a la composición de rotaciones más
representativas:
.. Parámetros de EuJer
.. Parámetros de Rodrigues
.. Parámetros de Cayley~Klein
Parámetros de Ruler. El llamado teorema de Euler establece que cualquier cambio de
orientación de un sólido (o una base) puede
ser descrito COmo una rotación simple -es
decü~ una rotación alrededor de un eje fijo a
la referencia y al sólido-. Asípues un cambio
3
Fig.1, 11. 1
.1
¿
2
de base puede ser descrito mediante un
versar v y el ángulo 8 girado alrededor del
mismo (Hg.l.!I.l).
Éste es un procedimiento que parte siempre
de la posición de referencia, a la que hay que
volver (de fOffi1a análoga a como pasa con las
rotaciones alrededor de ejes fijos) para
introducir cualquier cambio de orientación.
Por ello no es adecuado para su
materialización física mediante un mecanismo.
Si VI' V2, v:;1 son las componentes de
ven la base fija, se definen como parámetros de Euler

!.
,1
I
:1
¡;
:1
1,;1
~.'
'1:
lii,
Ii~
, .
,..
,
i
,
11
,
!
I
El =v1se02"0'
I
E,., =v,.,sen-o,
- - 2
I
E~=V1Sen:.-.O
.1 . 2'
I
24 =cas-o.
2
(2)
E - ·f' ') '1 '1 2
stas parametros ven Ican el +Ei +23 +24 = 1, Y por lo tanto sólo 3 son
independientes.
Los parámetros de Euler pueden ser considerados como componentes de un
eUl/temió" de Hamiltol1. Los cuaterniones de Hamiltan son una generalización de los
números complejos en la que se consideran tres ejes imaginarios en lugar de uno solo.
Así, su expresión
contiene tres unidades imaginarias que verifican
¡2+/+k2=1.
ij ~ -ji ~ k.
jk ~ -kj ~ i,
ki ~ -ik ~ j.
(3)
(4)
Aparte del interés que presentan los parámetros de Euler por inscribirse en la teoría
de Jos cunterniones y ser siempre determinados y acotados -no exceden la unidad-, la
propiedad analítica que les da el máximo interés como parámetros definidores de la
orientación de una base es el papel simétrico que juegan en la expresión de la matrizde
cambio de base.
La matriz [S] que establece Iu JB.FIJA =[S] [u}B.NUEVA' tiene la expresión
2(E 1E2 -E 3E4 )
~ ~ ~ ~
-el +E2 -E) +e;¡ (5)
2(E 2e3 +E 1E4 )
Si se compara la expresión de los elementos de esta matriz con la de los elementos d e
la matriz de cambio que corresponde a una familia de ángulos de Euler 1jI, 8,cp, como la de
secuencia 1 - 2' ~ 3" .Ee. (1), se hace evidente la ventaja de los parámetros de Euler sobre
los ángt1ios de Euler en lo que se refiere a la simetría del papel jugado en la matriz de
cambio.
Los parámetros de ElIJer se relacionan con los ángulos de Euler 'f' (eje 3:,,;;3'), e(eje
2·~2··) y <p (T·~r) de la forma
1.11 ALTERNATIVAS A LA COMPOSICiÓN DE ROTACIONES 29
(6)
Parámetros de Rodrigues. A partir de los parámetros de Euler, los de Rodrigues se
expresan de la forma
e, I
PI =-=v¡tg-o
8 4 2·
e2 I
p, ~-~v,to-8 (7)
2.4 ~ O 2
E: 3 1
P1 =-=v~to-o
• E:
4
.l "2
Los parámetros de Rodrigues juegan, como los parámetros de Euler, un papel
simétrico en la matriz de cambio de base. pero comparados con aquellos presentan la
ventaja de ser sólo tres, y el inconveniente de poder hacerse infinitos (los de Euler no
exceden la unidad).
[
P¡-P;-Pi+ 1
I .
[SJ~, , '1 2(PIP2 +P3)
Pi+P,+Pi+"( )
- P,P3 -P2
2(P,P2 -P3)
-P1+p~-p~+1
2(P2P3 +PI)
2(PIP3+P,) j
2(P,P3 - PI) . (8)
, ' ,
-PI -P,+Pi+ 1
Parámetros de Cayley~Klein. A partir de los parámetros de Euler, los de Cayley-Klein
se expresan como:
a=E4 + ie3'
~=El+i€::!,
"Y = -El +i€2 '
(3:::::: E..¡ - iE: 3 '
(9)
con i "" "C! unidad imagínaria del álgebra. Estos parámetros verifican la relación
(lO)
Una ventaja de los parámetros de Kayley~Klein, comparados con los de Euler,es que
retienen parle de la simplicidad del cálculo de cuaterniones utilizando la unidad
imaginarin i "".J-=l del álgebra ordinaria en lugar de las tres unidades imaginarias i,j, k de
los cuaterniones de Hamilton.

3 O ESPACIO Y TIEMPO. DERIVACION DE VECTORES 1.111
En lo que se refiere a la simetría del papel jugado en la matriz de cambío
1 (' , , ')
2: a- +~- +T +5-
[Sl~ ~(_a2 _~2 +y2 +5 2)
i(ay +~5)
i(a2_~' +y' _52)
2
~(a2 _~2 _y' +02)
-ay+~o
(11)
se hallan en una situación intermedia entre los parámetros de EuJer (o los parámetros de
Rodrigues) y los ángulos de Euler.
1.111 INTEGRACiÓN DE VECTORES EN BASES MÓVILES
A veces, la información de un vector derivada temporal iIJR se conoce en [onna de sus
componentes en una base móviL Éste suele ser el caso de vectores medidos
experimentalmente con senSores fijados sobre vehículos. Así, con dos acelerómetros
fijados sobre el chasis de un vehículo, uno según la dirección longitudinal y otro según
la dirección transversal, se pueden medir las dos componentes de la aceleración del
vehículo, que constituye una referencia móyil respecto al suelo.
Si a partir de las componentes de iI]R en una base móvil BM hay que determinarlas
componentes de u en esta misma base, no es correcto límitarse a integrar las
componentes {ti]R} por el mismo motivo por el cual la derivada temporal de un
~ . . d 1
vectar en una base movil no se puede obtener SImplemente derIvan o as componentes
del vector. Dentro del intervalo temporal dt considerado tanto en la operación de
derivación como en la de integración, la base móvil experimenta un cambio de
orientación que hay que tener en cuenta.
En el caso de un "hovercraft" que dispusiera de dos sensores de velocidad respecto
al agua (que en este caso particular se supone en reposo respecto a la costa), uno según
el eje longitudinal y otro sobre el eje transversal, no tendría sentido integrar las dos
señale$ obtenidas para determinar el desplazamiento del hovercraft respecto a la costa.
Un recurso que se podría adoptar es el de pasar a una base fija, ¡óJR }B~[S]{ tih }BM,
utilizando la matriz de cambio. En la base fija sí que la integración de u] R se limita a la
integración de las componentes
,
{U(t)}BF ~{u(tO)LF + J{u(t)]RlBFdt . (1)
'o
Una vez obtenido ll(t) en la base fija, se podría pasar de nuevo a la base móvil
multiplicando por [SF, Iu(t») BM ~ [SF (u(t) )BF.
También es posible plantear la integración en la propia base móvil. Lo que hay que
integrar es la derivada temporal de las componentes de u en la base móvil, y si se tiene
en cuenta la Ec. (1.6.1) relativa a la derivación de vectores en bases móviles
l.e CUESTIONES·' 3'1
(2)
estas derivadas forman precisamente el primer término del segundo miembro, para las que
se obtiene la expresión siguiente:
(3)
La integración temporal de esta expresión conduce a
,
{U(t)}BM ~{u(tO)}BM + J[{u(t)JRlB'I-{Q~(t)AU(t)lBM]ctt. (4)
'o
Esta expresión presenta la dificultad de inc1uirdentro de la integral el vector {ll(t)}BM a
determinar.
Si se procede numéricamente, como es usual cuando se parte de información
experimental, la integraclón numérica permite resolver fácilmente esta dificultad. Así, en
la formulación más elemental de la integración numérica, se tendría:
Esta formulación se puede mejorar utilizando estimaciones más precisas de iJ]R ,.Q ~
Y u(t) dentro del intervalo t, t+~t.
1.C CUESTIONES
1.1 Si un sólido gira con velocidad angular.Q de módulo constante y dirección variable, ¿qué
se puede ufirmar de su aceleración angulru'?
A Es;o:O y perpendicular a.Q siempre.
B Es;o:O y paralela a.Q sólo si la base vectorial utilizada es fija a la referencia,
e Es""'O y paralela a Q siempre,
D Es",.,O y su dirección no está condicionada.
E Es nula.
guiñada
1.2
B~
balanceo cabeceo
Si los ángulos de orientación de un barco corresponden a la
guiñada '+', al cabeceo 9 y al balanceo<p, en este orden, ¿cuál es
la dirección del eje del cabeceo en cualquier instante?
A La proyección horizontal del eje longitudinal del barco.
B La horizontal perpendicular al eje longitudinal del barco.
e La perpendicular al plano de simetría del barco.
D La que forma triedro ortogonal con los ejes de guiñada y
balanceo.
E La perpendicular al plano de simetría del barco para la
orientación jI=8=tp=0.

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