El documento explica los conceptos básicos de la parábola, incluyendo que es el lugar geométrico de puntos que equidistan de un foco y una directriz. Define los elementos clave de una parábola como el foco, directriz, vértice y lado recto. Finalmente, desarrolla las ecuaciones analíticas de parábolas con el eje focal paralelo a los ejes x e y.

2. LA PARÁBOLA

3. Conceptos y elementos de la parábola
La parábola es el lugar geométrico de todos los puntos P(x,y)
del plano que equidistan de un punto fijo ( F ) llamado foco
y de una recta Fija llamada directriz.
d( P , F ) =d( P , D )= constante

4. foco
directríz eje
vértice
F
P
LD
p p
Lado
recto=|4p|
La Parábola

5. ELEMENTOS MÁS IMPORTANTES DE LA PARÁBOLA
Foco : es el punto fijo.
Directriz : es la recta fija D.
Parámetro : es la distancia del foco a la directriz
y se designa por 2p.
Vértice : es el punto de intersección de la parábola con su eje de
simetría.
Lado recto : es la cuerda focal AB perpendicular al eje focal o eje
de simetría de la parábola, cuya medida es | 4p |.

6. Lado recto
El lado recto (4p) es la cuerda paralela a la
directriz que pasa por el foco.

7. Ecuación de la parábola con vértice en el origen
A continuación determinemos la ecuación analítica de la parábola.
Para ello supongamos que el eje focal de la parábola coincide con el eje X, y que el
vértice se encuentra en el origen del sistema.
De acuerdo a lo anterior, las coordenadas del
foco son: ( p , 0 )
y la directriz tiene como ecuación : x = -p
Si P ( x , y ) es un punto de la parábola, se cumple que:
d ( P , F ) = d ( P , D )
/ ( )2
reduciendo, resulta la ecuación canónica

8. Observamos que:
_ Si p > 0, el foco de la parábola está en la parte positiva del eje X, por lo tanto, su
concavidad se orienta hacia la derecha.
_ Si p < 0, el foco de la parábola está en la parte negativa del eje X, por lo tanto, su
concavidad se orienta hacia la izquierda.
En forma análoga,
Si el eje de simetría de la parábola coincide con el eje Y, la parábola tiene por eje focal
al mismo eje Y.
Las coordenadas del foco son :
F ( 0 , p )
y la ecuación de la directriz es :
y = -p
Su ecuación canónica es ahora

9. Ejemplos:
1) Determinemos los elementos de la parábola de ecuación:
2) Determinemos la ecuación de la parábola de foco F(3 , 0) y directriz x + 3 = 0.
3) Determinemos la ecuación de la parábola si L.R = 8 y su directriz D : y = 2.

11. Parábolas con eje focal paralelo al eje x
y
x
0
p>0
V(h,k). .F
(y-k)2 = 4p(x-h)
y
x
0
F. .V(h,k)
p<0

12. y
x
0
F.
.V(h,k)
p>0
(x-h)2 = 4p(y-k)
y
x
0
.
.F
V(h,k)
p<0
Parábolas con eje focal paralelo al eje y

13. ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA.
Si consideramos una parábola con vértice V(0,0), su ecuación canónica es
Si le aplicamos una traslación T(h,k), obtenemos la ecuación principal de la
parábola con vértice V(h,k):
Por efecto de la traslación, el nuevo eje focal
se mantiene paralelo al eje X. La ecuación principal
permite conocer de inmediato las coordenadas de
su vértice, el valor de p y, por lo tanto, la medida
del lado recto.
Desarrollado los cuadrados de binomios y
Ordenando la ecuación principal, se obtiene la ecuación general de la
parábola:
D= -4p ; E= -2k ;

14. V(h,k) ; F(h+p,k) ; D: x = -p+h ; L.R : 4p
Ahora ,
Si el eje focal o eje de simetría es paralelo al eje Y, la ecuación principal es de la
forma:
o su equivalente, la ecuación general:
D = -2h ; E = -4p ;
V(h,k) ; F(h,p+k) ; D: y = -p+k
L.R: 4p

15. Ejemplos:
1) Determinemos los elementos de la parábola de ecuación
a)
b)
c)
d)
2) Determinemos la gráfica y la ecuación de la parábola:
a) F( 1 , 3 ) ; V( -2 , 3 ).
b) F( ½ , 2 ) ; V( 2 , 2 ).
c) F( 6 , -2 ) ; Directriz: x = -2
d) F( 3/2 , -4/3 ) ; Directriz: y = 4/3

16. Ejemplos
1. y=8x2
2. x-16y2=0
3. 8x2+12y=0
4. y2=4x+2y
5. x2+6x+12y+9=0