La parábola
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La parábola es una curva geométrica definida como el lugar de los puntos equidistantes de un foco y una directriz. Tiene elementos como el foco, directriz, eje focal, vértice y parámetro. Su ecuación canonica depende de si el eje focal es horizontal o vertical y la posición del vértice. Algunas aplicaciones son antenas parabólicas, cocinas y centrales solares, diseño de puentes y pliegues de papel.
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Matematica parabolas
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LA PARÁBOLA
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Parábola en Arquitectura
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LA PARABOLA
La parábola es una curva plana definida como el lugar geométrico de los puntos equidistantes de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz. Presenta elementos como el foco, directriz, eje y vértice. Tiene propiedades como que los rayos paralelos al eje se reflejan pasando por el foco, lo que se usa en faros de autos y antenas parabólicas. Se representa mediante ecuaciones que relacionan las coordenadas de sus puntos.
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La parábola
- 1. LA PARÁBOLA
- 2. DEFINICIÓN: La parábola es una curva abierta y plana, que se define como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto denominado foco, y una recta denominada directriz, observando la figura, FP = PQ = r.
- 3. El eje de la parábola es la recta perpendicular a la directriz, que pasa por el foco F. La distancia FD, del foco a la directriz, se denomina parámetro de la parábola, el punto medio del segmento FD, es el punto V, que se denomina vértice de la parábola.
- 4. ELEMENTOS • El punto F se denomina foco • La recta l es la directriz • La recta que contiene el foco y es perpendicular a la directriz se llama eje focal o eje de simetría E. • El punto de corte de la parábola con el eje se denomina vértice V, y equidista del foco y la directriz. • Se denomina parámetro a la distancia del foco a la directriz y se expresa como 2p. • La cuerda AB que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal se llama lado recto
- 5. ECUACIÓN CANONICA DE LA PARÁBOLA Supongamos que F tiene coordenadas (0, p) y la recta d tiene ecuación y = − p con p > 0. Observe la gráfica: Observe que d (P,F) = (x − 0)2 + ( y − p)2 y que d (P,l) = y + p . Igualando distancias y resolviendo: Observe que d (P,F) = [ (x − 0)2 + ( y − p)2 ] y que d (P,l) = y + p . Igualando distancias y resolviendo: d(P,F) = d (P,l ) [ (x − 0)2 + ( y − p)2 ] = y + p ( [ (x − 0)2 + ( y − p)2 ])2 = (y + p)2 x2 + y2 – 2py + p2 = y2 + 2py + p2 x2 = 4py Observe que para la parábola anterior el eje focal es el eje y , el vértice es el punto (0,0) y además que la parábola es cóncava hacia arriba. Se denomina parábola vertical (eje y) p < 0 abre hacia arriba p > 0 abre hacia abajo
- 6. ECUACIÓN CANONICA PARÁBOLA HORIZONTAL (EJE X) CON VÉRTICE (0,0) y ² = 4px Vértice (0,0) Para hallar el foco: F = (p, 0) Para hallar la directriz: x = - p p < 0 abre a la izquierda p > 0 abre a la derecha
- 7. ECUACIÓN CANONICA PARÁBOLA VERTICAL CON VÉRTICE (H,K) Si se desplaza una parábola con vértice en el origen h unidades de manera horizontal y luego k unidades de manera vertical, el resultado de esto es una parábola con vértice en (h,k) y eje de simetría paralelo a uno de los ejes coordenados. Si consideramos la ecuación y ² = 4px y reemplazamos x por x-h y y por y-k tenemos (x - h)² = 4p(y - k)² Con esta ecuación se halla el foco: (h, k + p) Con esta la directriz: Y = k - p p < 0 abre hacia abajo p > 0 abre hacia arriba
- 8. ECUACIÓN CANONICA PARÁBOLA HORIZONTAL CON VÉRTICE (H,K) Si se desplaza una parábola con vértice en el origen h unidades de manera horizontal y luego k unidades de manera vertical, el resultado de esto es una parábola con vértice en (h,k) y eje de simetría paralelo a uno de los ejes coordenados. Si consideramos la ecuación y ² = 4px y reemplazamos x por x-h y y por y-k tenemos (y - k)² = 4p(x - h) Para hallar el foco: F = (h +p, k) Para hallar la directriz: x= h - p p < 0 abre a la izquierda p > 0 abre a la derecha
- 9. APLICACIONES PRÁCTICAS Las aplicaciones prácticas son muchas: las antenas satelitales y radiotelescopios aprovechan el principio concentrando señales recibidas desde un emisor lejano en un receptor colocado en la posición del foco. La concentración de la radiación solar en un punto, mediante un reflector parabólico tiene su aplicación en pequeñas cocinas solares y grandes centrales captadoras de energía solar.
- 10. EN EL DISEÑO ESTRUCTURAL Y ARQUITECTÓNICO DE PUENTES