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LAURENT RESIDUOS.pdf
- 1. MATEMATICAS ESPECIALES I- 2017 PRACTICA 9 Singularidades - Series de Laurent - Teorema de los residuos Teorema. Sean r y R números reales tales que 0 < r < R < ∞. Sea f una función holomorfa en A(z0, r, R) = {z ∈ C : r < |z − z0| < R}. Entonces para todo z ∈ A(z0, r, R) se cumple f(z) = X n≥0 an(z − z0)n + X n≥1 bn (z − z0)n , donde, si ρ es cualquier número r < ρ < R, an = 1 2πi Z |z−z0|=ρ f(w) (w − z0)n+1 dw y bn = 1 2πi Z |z−z0|=ρ f(w) (w − z0)−n+1 dw. A esta serie se la conoce como serie de Laurent de f con centro en z0. Sus coeficientes están unı́vocamente determinados por f. La serie converge absolutamente en A(z0, r, R) y uniformemente en cualquier corona cerrada contenida en A(z0, r, R). Al igual que ocurre con los desarrollos en series de potencias, los desarrollos en series de Laurent son únicos. Definición. Un punto z0 es una singularidad aislada de una función f si f es holomorfa en un entorno reducido de z0 pero no en z0. Definición. Sea z0 una singularidad aislada de una función holomorfa f y consideremos el desarrollo en series de Laurent de f alrededor de z0 y convergente en un entorno reducido de z0. Decimos que a) z0 es una singularidad evitable de f si bn = 0 para todo n ≥ 1, b) z0 es un polo de orden k de f si bk 6= 0 y bn = 0 para todo n ≥ k + 1, c) z0 es una singularidad esencial de f si bn 6= 0 para infinitos valores de n. Teorema. Sea D un abierto en C, sea f una función holomorfa en D y sea z0 una singularidad aislada de f. Entonces a) f tiene una singularidad evitable en z0 si, y solo si, existe lim z→z0 f(z) en C, b) f tiene un polo en z0 si, y solo si, lim z→z0 f(z) = ∞, c) f tiene una singularidad esencial en z0 si, y solo si, no existe lim z→z0 f(z) en C∞. Los casos considerados son mutuamente excluyentes y agotan las posibilidades para las singularidades aisladas. Definición. Si z0 es una singularidad aislada de una función holomorfa f, se llama residuo de f en z0, y se representa por Res (f, z0), al coeficiente b1 de la serie de Laurent de f con centro en z0 y convergente en un entorno reducido de z0. Proposición. Supóngase que f tiene una singularidad aislada en z0. Sea k el número entero más chico tal que lim z→z0 (z −z0)k f(z) existe. Entonces f tiene un polo de orden k en z0. Además, si hacemos φ(z) = (z − z0)kf(z), φ puede definirse de forma única en z0 de modo que φ es holomorfa en z0 y Res (f, z0) = φ(k−1)(z0) (k − 1)! .
- 2. Teorema (de losresiduos). Sea D un abierto en C y f una función tal que si z ∈ D entonces f es holomorfa en z o bien f tiene una singularidad aislada en z. Sea γ una curva cerrada y simple contenida en D que no pasa por ninguna singularidad de f. Si z1, z2 · · · zp son las singularidades de f en el interior de C, entonces Z C f(z) dz = 2πi p X i=1 Res (f, zi). Ejemplos. 1. Encontrar todos los desarrollos en series de Laurent alrededor de z0 = i de la función f(z) = z z2 + 1 e indicar las regiones donde son válidos. La función f(z) es analı́tica en C − {−i, i}. Con centro en z0 = i, se pueden definir dos coronas en las que f(z) será analı́tica en cada uno de sus puntos. i −i i −i 0 < |z − i| < 2 2 < |z − i| < ∞ • • • • Las fórmulas que definen los coeficientes an y bn no son muy prácticas para realizar los cálculos. Gracias a la unicidad de la representación en series, podemos usar otras técnicas para obtener el desarrollo de Laurent de f(z) en cualquiera de las coronas de convergencia con centro en z0. Para ello, es conveniente descomponer a f(z) en fracciones simples; tendremos z z2 + 1 = z (z + i)(z − i) = 1 2 1 z − i + 1 2 1 z + i | {z } g(z) . La idea, entonces, es expresar a g(z) en potencias (positivas o negativas) de z −i utilizando resultados válidos para la serie geométrica.
- 3. En la región0 < |z − i| < 2, 1 z + i = 1 (z − i) + 2i = 1 2i 1 1 − (− z − i 2i ) = 1 2i X n≥0 − z − i 2i n . Por lo tanto, el desarrollo en series de Laurent de f(z) será z z2 + 1 = 1 2 1 z − i + 1 2 X n≥0 (−1)n (z − i)n (2i)n+1 . Por definición, f(z) tiene un polo simple en z0 = i. El coeficiente b1 de este desarrollo determina el residuo de f(z) en z0; tendremos Res (f, z0) = 1/2. En la región 2 |z − i| ∞, 1 z + i = 1 (z − i) + 2i = 1 z − i 1 1 − (− 2i z − i ) = 1 z − i X n≥0 − 2i z − i n . Luego, tendremos z z2 + 1 = 1 2 1 z − i + 1 2 X n≥0 (−1)n (2i)n (z − i)n+1 = 1 z − i + 1 2 X n≥1 (−1)n (2i)n (z − i)n+1 . 2. Encontrar el desarrollo en series de Laurent alrededor de z0 = i de la función h(z) = 1 (z − i)(z + i)2 válido en la región 0 |z − i| 2. Obsérvese que esta función es analı́tica en C − {−i, i}; por lo tanto, la región 0 |z − i| 2 es una de las coronas con centro en z0 = i en las que h(z) resulta analı́tica. Descomponiendo a h(z) en fracciones simples, tendremos 1 (z − i)(z + i)2 = − 1 4 1 z − i + 1 4 1 z + i + i 2 1 (z + i)2 . Razonando como en el ejercicio anterior, si z ∈ {z : |z − i| 2}, 1 z + i = 1 2i X n≥0 (−1)n (z − i)n (2i)n+1 . A partir de este desarrollo y de los resultados de convergencia válidos para series de potencias, para todo z ∈ {z : |z − i| ≤ 2 − ε, ε 0}, 1 (z + i)2 = − d dz 1 z + i = − 1 2i d dz X n≥0 (−1)n (z − i)n (2i)n+1 = − 1 2i X n≥1 (−1)n n (z − i)n−1 (2i)n+1 . Finalmente, 1 (z − i)(z + i)2 = − 1 4 1 z − i + 1 8i X n≥0 (−1)n (z − i)n (2i)n+1 − 1 4 X n≥1 (−1)n n (z − i)n−1 (2i)n+1 = − 1 4 1 z − i + 1 8i X n≥0 (−1)n (n + 2) (z − i)n (2i)n+1 . 3. Encontrar el residuo de las siguientes funciones en los puntos indicados. a) f(z) = ez − 1 sin z ; z0 = 0 b) f(z) = z2 (z − 1)3(z + 1) ; z0 = 1 c) f(z) = e1/z ; z0 = 0.
- 4. a) Tanto ez− 1 como sin z, se anulan en z0 (más aún, ambas funciones tienen un cero de orden 1 en el origen). Luego, usando la regla de L’Hopital, tendremos lim z→0 ez − 1 sin z = lim z→0 ez cos z = 1. Entonces, f tiene en z0 una singularidad evitable; por lo tanto, Res (f, 0) = 0. b) Definiendo φ(z) = z2 z + 1 , analı́tica y no nula en un entorno de z0 = 1, tendremos φ(z) = (z−1)3f(z). Luego, f tiene en z0 un polo de orden 3. En efecto, lim z→1 (z − 1)3 f(z) = lim z→1 z2 z + 1 = 1 2 . Entonces, para calcular el residuo hacemos Res (f, 1) = 1 2 φ00 (1) = 1 2 2 (z + 1)3 1 = 1 8 . c) El desarrollo en series de potencias de ew convergente en |w| ∞ es ew = 1 + w + w2 2! + w3 3! + · · · + wn n! + · · · Obsérvese que, si w = 1 z , |w| ∞ ⇒ |z| 0. Entonces, si z 6= 0, e1/z = 1 + 1 z + 1 z22! + 1 z33! + · · · + 1 znn! + · · · Luego, f tiene en z0 = 0 una singularidad esencial y Res (f, 0) = b1 = 1. 4. Calcular Z γ 1 + z 1 − cos z dz; γ es la circunferencia centrada en el origen de radio 2. La función 1 − cos z tiene un cero de orden 2 en z0 = 0 y ceros de orden 1 en los puntos zk = 2kπ; k ∈ Z y k 6= 0. Por lo tanto, la función f(z) = 1 + z 1 − cos z tendrá un polo doble en z0 y un polo simple en cada zk. De todas las singularidades de f(z), solamente z0 pertenece la interior de γ. Entonces, por el Teorema de los residuos Z γ 1 + z 1 − cos z dz = 2πi Res (f, 0). El residuo de f en z0 = 0 viene dado por lim z→0 d dz z2 f(z) = lim z→0 d dz z2 1 + z 1 − cos z = lim z→0 (2z(1 + z) + z2)(1 − cos z) − z2(1 + z) sin z (1 − cos z)2 . Aplicando la regla de L’Hopital, obtendremos Res (f, 0) = 2. ? ? ?
- 5. Singularidades. 1. Hallar lospuntos singulares de las siguientes funciones y determinar en cada caso si son aisladas o no aisladas. (a) f(z) = 1 z − z3 (b) f(z) = Log (1 − z) (c) f(z) = sec π z (d) f(z) = p z(z − 1) 2. Mostrar que las siguientes funciones tienen singulares evitables y definir su prolongación a C. (a) f(z) = z − sin z z3 (b) f(z) = z3 − 3z2 + 2z z − 1 (c) f(z) = 1 − ez2 z2 (d) f(z) = 1 − cos z z 3. Supongamos que h(z) y g(z) son funciones analı́ticas en un entorno de z0; que z0 es un cero de orden p para h(z) y un cero de orden k para g(z). Sea f(z) = h g (z). Probar que: (a) si p − k ≥ 0, f(z) tiene una singularidad evitable en z0, (b) si p − k 0, f(z) tiene un polo de orden k − p en z0. 4. Mostrar que todos los puntos singulares de las siguientes funciones son polos y determinar el orden de los mismos. (a) f(z) = 1 − ez z3 (b) f(z) = tan z (c) f(z) = 1 z2(1 − cos z) (d) f(z) = sin πz z4(z − 1)2 5. Sea f(z) una función definida sobre el plano complejo extendido. Haciendo w = 1/z en f(z) se obtiene la función F(w) = f(1/w). Entonces, la naturaleza de la singularidad de f(z) en z = ∞ queda determinada por la naturaleza de la singularidad de F(w) en w = 0. Investigar el comportamiento de las siguientes funciones en z = ∞. (a) f(z) = z3 + 2z (b) f(z) = 1 z2 + sin 1 z (c) f(z) = z4 1 + z4 (d) f(z) = ze1/z 6. Probar que las funciones enteras ez y sin z carecen de lı́mite cuando z → ∞. Conclusión ?
- 6. 7. Demostrar quesi f(z) es analı́tica y no idénticamente nula, todo punto de acumulación de ceros de f(z) es un punto singular esencial de f(z) (Lo mismo sucede si existen infinitos puntos de nivel; es decir, soluciones de la ecuación f(z) = c, o sea ceros de la función g(z) = f(z) − c). 8. Examinar el conjunto de ceros de la función (a) f)z) = cos 1 + z 1 − z z0 = 1, (b) f(z) = z sinh 1 z z0 = 0, (c) f(z) = 1 − cos 1 z z0 = 0. Luego, aplicar el resultado del ejercicio anterior para probar que z = z0 es un punto singular esencial de la misma. Series de Laurent - Cálculo de residuos 9. Probar que, si 0 |z| 4, 1 4z − z2 = 1 4z + X n≥0 zn 4n+2 . 10. Probar que, si 0 |z| ∞, sinh(z) z3 = 1 z2 + X n≥0 z2n (2n + 3)! . 11. Obtener los desarrollos en series de Laurent alrededor del punto z0 para las siguientes funciones (a) f(z) = 1 z2(1 − z) , z0 = 0, (b) f(z) = sin z z5 , z0 = 0, (c) f(z) = z2e1/z, z0 = 0, (d) f(z) = 1 z(z − 1)(z + 2)2 , z0 = 1. Especificar las regiones en las que estos desarrollos son válidos. Luego, clasificar la singularidad que la función presenta en z0 y determinar el residuo correspondiente. 12. Hallar el desarrollo en series de Laurent de la función f(z) = 1 (z − 1)(z − 2) que sea convergente en la corona 1 |z| 2. 13. Considérese la función g(z) = 3z − 1 (z − 1)(z2 − 1) . (a) Hallar el radio del mayor cı́rculo con centro en z0 = i en el que g(z) puede desarrollarse en series de Taylor. (b) Indicar todas las coronas con centro en z0 = 1 en las que g(z) puede desarrollarse en series de Laurent. (c) Encontrar el desarrollo en series de Laurent alrededor de z0 = 1 que converja en z1 = 3+2i. (d) Se puede determinar el residuo de g(z) en z0 = 1 usando el desarrollo hallado en el inciso anterior? 14. Analizar si las siguientes funciones admiten un desarrollo en series de Laurent en un entorno reducido de z0.
- 7. (a) cos 1 z , z0= 0 (b) sec 1 1 − z , z0 = 1 (c) Log (z), z0 = 0 (d) z2 csc 1 z , z0 = 0 15. Calcular los residuos de las siguientes funciones respecto de todos sus puntos singulares aislados. (a) f(z) = z + 1 z2 − 2z (b) f(z) = z2 (z2 + 1)2 (c) f(z) = sin z z(z2 − 1) (d) f(z) = z cos z (e) f(z) = 1 − e2z z4 (f) f(z) = ez z3(z2 + 4) Teorema de los residuos. 16. Calcular las siguientes integrales considerando que el recorrido de los contornos se realiza en sentido positivo. (a) Z γ ez z2(z2 − 9) dz γ : |z| = 1 (b) Z γ cos πz z(z2 + 1) dz γ : |z| = 2 (c) Z γ z3 sin z(1 − cos z) dz γ : |z| = 5 (d) Z γ tan z dz γ : |z| = 2 (e) Z γ dz z(ez − 1) γ : |z| = 2 (f) Z γ z2 + 2 (z + 1)(z2 − 4) dz γ : |z| = 4 17. Calcular las integrales (a) Z C z5 e2/z dz (b) Z C z cos 1 z dz (c) Z C sin2 1 z dz donde C es un contorno simple y orientado positivamente que encierra al punto z0 = 0.
- 8. 18. Evaluar Z γ Log z 1+ ez dz, donde γ es el contorno que se indica en la figura. 5 + 5i 5 − 5i −5 − 5i −5 − 2i 10 − 2i 10 + 10i −5 + 10i −5 + 5i • • • • • • • • 19. Sea γ un contorno cerrado simple que limita un recinto Ω que contiene al punto z = 0. Sean f(z) y g(z) dos funciones analı́ticas en Ω; supongamos que la función g(z) no se anula en el contorno γ y tiene n ceros simples en Ω, ninguno de los cuales coincide con el origen de coordenadas. Calcular 1 2πi Z γ f(z) zg(z) dz. 20. Sean ϕ(z) y f(z) dos funciones analı́ticas en todo punto de un dominio simplemente conexo D. Si z0 es el único cero de f(z) en D, demostrar que si C es un contorno cerrado simple orientado positivamente en D que encierra a z0, se cumple 1 2πi Z C ϕ(z) f0(z) f(z) dz = mϕ(z0), donde m es el orden del cero z0. 21. Sea D un dominio simplemente conexo en todo punto del cual la función f(z) es analı́tica. Se denota por C un contorno cerrado simple en D, orientado positivamente, tal que f(z) 6= 0 en cualquier punto sobre C. Entonces, si f(z) tiene N ceros interiores a C, demostrar que N = 1 2πi Z C f0(z) f(z) dz. 22. Sea f(z) una función analı́tica dentro y sobre un contorno simple y cerrado C excepto por un número finito de polos interiores a C. Si f(z) no tiene ceros sobre C pero tiene un número finito de ceros interiores a C, se tiene 1 2πi Z C f0(z) f(z) dz = N − P, donde N es el número total de ceros y P es el número total de polos dentro de C. El número de ceros o el número de polos se establece teniendo en cuenta sus respectivos órdenes.