Este documento presenta conceptos relacionados con las singularidades de funciones analíticas, incluyendo:
1) Las series de Laurent, que representan funciones analíticas en anillos circulares;
2) Tipos de singularidades aisladas como polos, singularidades evitables y esenciales;
3) El teorema de los residuos, que relaciona la integral de una función alrededor de una curva cerrada con la suma de los residuos de la función en el interior de la curva.
Este documento trata sobre series de Laurent. Explica cómo extender las series de Taylor a funciones con polos mediante la introducción de términos con potencias negativas. Define los residuos de las series de Laurent y explica cómo se pueden usar para calcular integrales de funciones complejas. También presenta el teorema de Laurent, el cual establece que toda función holomorfa en una corona admite una única serie de Laurent convergente en dicha corona.
1) La función f(z) = (z - 1)/z2 tiene dos series de Laurent, una en la bola B(1;1) que coincide con la serie de Taylor, y otra en la corona C(1;1,∞).
2) Para hallar las series de Laurent de f(z) = 1/z2 sinh z en una corona C(0;0,r), se calcula primero la serie de McLaurin de g(z) = z/sinhz y luego se divide entre z3.
3) Para hallar las dos primeras series de Laurent de f(z) = cosec
El documento lista las soluciones propuestas para varios ejercicios de cálculo. Incluye las soluciones para las partes (g) del Ejercicio 1, (a)-(d) del Ejercicio 2, (a) del Ejercicio 3, (e) del Ejercicio 4, (d) del Ejercicio 5, (a)-(e) del Ejercicio 6, (e) del Ejercicio 7, (e) del Ejercicio 8 y (f) del Ejercicio 9. Cada ejercicio parece tratar sobre un tema diferente de c
Este documento describe las series de Laurent y sus propiedades. Define las series de Laurent, la corona de convergencia y cómo calcular los radios internos y externos de la corona. Explica que una función analítica en una corona puede expresarse como una serie de Laurent convergente en dicha corona, y cómo calcular los coeficientes de la serie.
Este documento presenta ejercicios de cálculo integral, series, desarrollos en serie y residuos para una asignatura de ampliación de matemáticas en telecomunicaciones. Incluye problemas sobre integración sobre contornos, series geométricas y de potencias, desarrollos en serie de Taylor y Laurent, y cálculo de residuos y polos de funciones. El documento contiene 7 lecciones con múltiples ejercicios en cada una para practicar diferentes temas avanzados de análisis matemático.
Este documento presenta una serie de ejercicios sobre números complejos. Incluye preguntas sobre raíces n-ésimas de la unidad, ecuaciones polinómicas, transformaciones geométricas como giros y exponentes de números complejos. También introduce conceptos como relaciones de orden en el conjunto de los números complejos y propiedades de figuras geométricas como paralelogramos y circunferencias bajo diferentes transformaciones.
Este documento presenta las respuestas a 7 tareas relacionadas con cálculo complejo. En la tarea 1, se demuestra que el límite limz→0 z/z no existe. En la tarea 2, se muestra que la función g(z) = z/z si z ≠ 0 y g(z) = 1 si z = 0 es continua en C-{0}. En la tarea 7, se estudia la convergencia de la serie ∞n=0 in/n y se concluye que converge absolutamente.
Este documento trata sobre series de Laurent. Explica cómo extender las series de Taylor a funciones con polos mediante la introducción de términos con potencias negativas. Define los residuos de las series de Laurent y explica cómo se pueden usar para calcular integrales de funciones complejas. También presenta el teorema de Laurent, el cual establece que toda función holomorfa en una corona admite una única serie de Laurent convergente en dicha corona.
1) La función f(z) = (z - 1)/z2 tiene dos series de Laurent, una en la bola B(1;1) que coincide con la serie de Taylor, y otra en la corona C(1;1,∞).
2) Para hallar las series de Laurent de f(z) = 1/z2 sinh z en una corona C(0;0,r), se calcula primero la serie de McLaurin de g(z) = z/sinhz y luego se divide entre z3.
3) Para hallar las dos primeras series de Laurent de f(z) = cosec
El documento lista las soluciones propuestas para varios ejercicios de cálculo. Incluye las soluciones para las partes (g) del Ejercicio 1, (a)-(d) del Ejercicio 2, (a) del Ejercicio 3, (e) del Ejercicio 4, (d) del Ejercicio 5, (a)-(e) del Ejercicio 6, (e) del Ejercicio 7, (e) del Ejercicio 8 y (f) del Ejercicio 9. Cada ejercicio parece tratar sobre un tema diferente de c
Este documento describe las series de Laurent y sus propiedades. Define las series de Laurent, la corona de convergencia y cómo calcular los radios internos y externos de la corona. Explica que una función analítica en una corona puede expresarse como una serie de Laurent convergente en dicha corona, y cómo calcular los coeficientes de la serie.
Este documento presenta ejercicios de cálculo integral, series, desarrollos en serie y residuos para una asignatura de ampliación de matemáticas en telecomunicaciones. Incluye problemas sobre integración sobre contornos, series geométricas y de potencias, desarrollos en serie de Taylor y Laurent, y cálculo de residuos y polos de funciones. El documento contiene 7 lecciones con múltiples ejercicios en cada una para practicar diferentes temas avanzados de análisis matemático.
Este documento presenta una serie de ejercicios sobre números complejos. Incluye preguntas sobre raíces n-ésimas de la unidad, ecuaciones polinómicas, transformaciones geométricas como giros y exponentes de números complejos. También introduce conceptos como relaciones de orden en el conjunto de los números complejos y propiedades de figuras geométricas como paralelogramos y circunferencias bajo diferentes transformaciones.
Este documento presenta las respuestas a 7 tareas relacionadas con cálculo complejo. En la tarea 1, se demuestra que el límite limz→0 z/z no existe. En la tarea 2, se muestra que la función g(z) = z/z si z ≠ 0 y g(z) = 1 si z = 0 es continua en C-{0}. En la tarea 7, se estudia la convergencia de la serie ∞n=0 in/n y se concluye que converge absolutamente.
(1) El documento describe conceptos básicos de conjuntos de puntos en el plano complejo, incluyendo conjuntos abiertos, cerrados, interiores y fronteras. (2) También introduce funciones complejas y lugares geométricos descritos por ecuaciones complejas como círculos, elipses, parábolas e hipérbolas. (3) Finalmente, discute conjuntos de Julia y el conjunto de Mandelbrot formado por valores de c que producen conjuntos de Julia conexos.
Este documento presenta una introducción a las integrales definidas e integrales impropias en el campo de cálculo. Explica los tipos de integrales definidas, incluidas las integrales alrededor de una circunferencia y a lo largo del eje real. También introduce los lemas de Jordan y cómo se pueden usar para calcular integrales alrededor de polos y singularidades. Por último, define las integrales impropias y discute casos en los que convergen o divergen.
1) Los números complejos se definen como pares ordenados de números reales y se les da una estructura de cuerpo mediante las operaciones de suma y multiplicación.
2) Geométricamente, los números complejos pueden representarse en un plano cartesiano, donde la parte real e imaginaria corresponden a las coordenadas.
3) Aunque el conjunto de números complejos no tiene un orden natural como los reales, se definen conceptos como el módulo, argumento y conjugado de un número complejo.
Este documento trata sobre derivadas e integrales de funciones de variable compleja. Presenta las definiciones de derivada y función analítica, y discute la interpretación geométrica de la derivada como el cambio en el valor de la función dividido por el cambio en la variable. También introduce las reglas de diferenciación y las ecuaciones de Cauchy-Riemann, que son condiciones necesarias para la existencia de la derivada. Finalmente, incluye ejemplos y ejercicios para aplicar estos conceptos.
Este documento presenta 6 ejercicios sobre transformada z. Cada ejercicio analiza una función o ecuación diferencial determinando su transformada z de manera analítica y numérica usando Matlab. Los ejercicios incluyen hallar polos y ceros, obtener la función discreta, resolver ecuaciones recursivas, y encontrar expresiones en forma cerrada. Los resultados se comparan gráficamente.
Este documento presenta dos problemas de análisis complejo. El primer problema estudia la convergencia de dos sucesiones de funciones analíticas. El segundo problema calcula una integral utilizando la fórmula integral de Cauchy para derivadas. También incluye un test con 5 preguntas sobre conceptos de análisis complejo.
Este documento presenta un resumen de los temas relacionados con la Transformada Z. Introduce la definición de la Transformada Z y su región de convergencia. Explica que la Transformada Z toma valores complejos al igual que su inversa. Además, describe las propiedades clave de la Transformada Z como su relación con la Transformada Discreta de Fourier y las características de la región de convergencia para diferentes tipos de señales. Finalmente, presenta ejemplos de cálculo de la Transformada Z para diferentes señales discretas.
(1) El documento describe las funciones complejas de variable real, sus derivadas e integrales. Las reglas del cálculo son análogas a las funciones reales.
(2) También define curvas y contornos en el plano complejo y establece la integral de contorno como la integral de una función a lo largo de una curva.
(3) Explica que las integrales de contorno son independientes del camino cuando la función tiene una primitiva en el dominio, es decir, cuando la integral a lo largo de cualquier contorno cerrado es cero.
Este documento presenta conceptos básicos sobre el cálculo diferencial de funciones de varias variables, incluyendo: 1) Definiciones de derivadas parciales y direccionales; 2) Propiedades de derivadas parciales y direccionales; 3) Ejemplos de cálculo de derivadas parciales de funciones específicas. Además, incluye problemas resueltos que ilustran conceptos como la existencia de derivadas parciales pero no direccionales, y que la existencia de derivadas direccionales no garantiza la contin
Este documento presenta conceptos clave sobre el cálculo diferencial de funciones de varias variables, como derivadas parciales, derivadas direccionales y derivadas de orden superior. Introduce las definiciones formales de derivadas parciales y direccionales, y discute propiedades como que las derivadas parciales se pueden obtener como componentes de la derivada direccional. Luego, presenta una serie de problemas resueltos como ejemplos para ilustrar estos conceptos.
Este documento define y explica las propiedades del rotacional y la divergencia de un campo vectorial. El rotacional representa la circulación del campo alrededor de un punto y la divergencia representa la compresibilidad de un fluido. Se proporcionan ejemplos para calcular el rotacional y la divergencia de campos vectoriales específicos.
1) El documento presenta definiciones y proposiciones relacionadas con integrales de superficie. Introduce conceptos como superficies paramétricas, planos tangentes, orientabilidad y flujo de campos vectoriales a través de superficies.
2) Incluye 22 ejercicios para aplicar estos conceptos al cálculo de áreas, planos tangentes y flujos a través de diversas superficies.
3) El objetivo es comprender y aplicar las herramientas matemáticas necesarias para resolver problemas de cálculo vectorial en vari
Este documento describe diferentes tipos de líneas de transmisión y su análisis mediante parámetros distribuidos. Las líneas de transmisión se pueden representar como una red de parámetros distribuidos como inductancia, resistencia, capacitancia y conductancia por unidad de longitud. Esto permite desarrollar ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento de voltajes y corrientes a lo largo de la línea.
El documento explica los números complejos, incluyendo que un número complejo consta de una parte real y una parte imaginaria. Describe cómo sumar, restar, multiplicar y dividir números complejos mediante operaciones con sus partes reales e imaginarias. También cubre la representación trigonométrica y exponencial de números complejos.
1. El documento presenta equivalencias entre infinitésimos útiles para calcular límites, como sen x ~ x cuando x se acerca a 0. Demuestra que sen x ~ x usando desigualdades de áreas de triángulos y sectores circulares.
2. Generaliza el resultado anterior para probar que si f(x) es un infinitésimo en x0, entonces sen f(x) ~ f(x) cuando x se acerca a x0.
3. Incluye problemas para practicar el uso de estas equivalencias en el cálculo de límites.
1) Los números complejos son un conjunto provisto de dos operaciones: suma y producto. No tienen una relación de orden definida.
2) Las partes real e imaginaria de un número complejo z se denotan como Re(z) y Im(z), respectivamente. La unidad imaginaria se representa por i y cumple que i^2 = -1.
3) Las propiedades básicas de los números complejos incluyen la suma, resta, multiplicación, división, módulo, conjugado y representación gráfica en el plano complejo.
Este documento presenta las soluciones a 8 objetivos de una prueba de matemáticas. Cada solución incluye los pasos de cálculo para resolver problemas relacionados con series, funciones complejas, integrales de funciones racionales y transformadas de Laplace.
(1) El documento describe conceptos básicos de conjuntos de puntos en el plano complejo, incluyendo conjuntos abiertos, cerrados, interiores y fronteras. (2) También introduce funciones complejas y lugares geométricos descritos por ecuaciones complejas como círculos, elipses, parábolas e hipérbolas. (3) Finalmente, discute conjuntos de Julia y el conjunto de Mandelbrot formado por valores de c que producen conjuntos de Julia conexos.
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1) Los números complejos se definen como pares ordenados de números reales y se les da una estructura de cuerpo mediante las operaciones de suma y multiplicación.
2) Geométricamente, los números complejos pueden representarse en un plano cartesiano, donde la parte real e imaginaria corresponden a las coordenadas.
3) Aunque el conjunto de números complejos no tiene un orden natural como los reales, se definen conceptos como el módulo, argumento y conjugado de un número complejo.
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(2) También define curvas y contornos en el plano complejo y establece la integral de contorno como la integral de una función a lo largo de una curva.
(3) Explica que las integrales de contorno son independientes del camino cuando la función tiene una primitiva en el dominio, es decir, cuando la integral a lo largo de cualquier contorno cerrado es cero.
Este documento presenta conceptos básicos sobre el cálculo diferencial de funciones de varias variables, incluyendo: 1) Definiciones de derivadas parciales y direccionales; 2) Propiedades de derivadas parciales y direccionales; 3) Ejemplos de cálculo de derivadas parciales de funciones específicas. Además, incluye problemas resueltos que ilustran conceptos como la existencia de derivadas parciales pero no direccionales, y que la existencia de derivadas direccionales no garantiza la contin
Este documento presenta conceptos clave sobre el cálculo diferencial de funciones de varias variables, como derivadas parciales, derivadas direccionales y derivadas de orden superior. Introduce las definiciones formales de derivadas parciales y direccionales, y discute propiedades como que las derivadas parciales se pueden obtener como componentes de la derivada direccional. Luego, presenta una serie de problemas resueltos como ejemplos para ilustrar estos conceptos.
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2) Incluye 22 ejercicios para aplicar estos conceptos al cálculo de áreas, planos tangentes y flujos a través de diversas superficies.
3) El objetivo es comprender y aplicar las herramientas matemáticas necesarias para resolver problemas de cálculo vectorial en vari
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El documento explica los números complejos, incluyendo que un número complejo consta de una parte real y una parte imaginaria. Describe cómo sumar, restar, multiplicar y dividir números complejos mediante operaciones con sus partes reales e imaginarias. También cubre la representación trigonométrica y exponencial de números complejos.
1. El documento presenta equivalencias entre infinitésimos útiles para calcular límites, como sen x ~ x cuando x se acerca a 0. Demuestra que sen x ~ x usando desigualdades de áreas de triángulos y sectores circulares.
2. Generaliza el resultado anterior para probar que si f(x) es un infinitésimo en x0, entonces sen f(x) ~ f(x) cuando x se acerca a x0.
3. Incluye problemas para practicar el uso de estas equivalencias en el cálculo de límites.
1) Los números complejos son un conjunto provisto de dos operaciones: suma y producto. No tienen una relación de orden definida.
2) Las partes real e imaginaria de un número complejo z se denotan como Re(z) y Im(z), respectivamente. La unidad imaginaria se representa por i y cumple que i^2 = -1.
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ACERTIJO DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARÍS. Por JAVI...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARIS”. Esta actividad de aprendizaje propone el reto de descubrir el la secuencia números para abrir un candado, el cual destaca la percepción geométrica y conceptual. La intención de esta actividad de aprendizaje lúdico es, promover los pensamientos lógico (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia y viso-espacialidad. Didácticamente, ésta actividad de aprendizaje es transversal, y que integra áreas del conocimiento: matemático, Lenguaje, artístico y las neurociencias. Acertijo dedicado a los Juegos Olímpicos de París 2024.
Soluciones Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinar...Juan Martín Martín
Criterios de corrección y soluciones al examen de Geografía de Selectividad (EvAU) Junio de 2024 en Castilla La Mancha.
Soluciones al examen.
Convocatoria Ordinaria.
Examen resuelto de Geografía
conocer el examen de geografía de julio 2024 en:
https://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/2024/06/soluciones-examen-de-selectividad.html
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
1. MATEMATICAS ESPECIALES I - 2017
PRACTICA 9
Singularidades - Series de Laurent - Teorema de los residuos
Teorema. Sean r y R números reales tales que 0 < r < R < ∞. Sea f una función holomorfa en
A(z0, r, R) = {z ∈ C : r < |z − z0| < R}. Entonces para todo z ∈ A(z0, r, R) se cumple
f(z) =
X
n≥0
an(z − z0)n
+
X
n≥1
bn
(z − z0)n
,
donde, si ρ es cualquier número r < ρ < R,
an =
1
2πi
Z
|z−z0|=ρ
f(w)
(w − z0)n+1
dw y bn =
1
2πi
Z
|z−z0|=ρ
f(w)
(w − z0)−n+1
dw.
A esta serie se la conoce como serie de Laurent de f con centro en z0. Sus coeficientes están
unı́vocamente determinados por f. La serie converge absolutamente en A(z0, r, R) y uniformemente
en cualquier corona cerrada contenida en A(z0, r, R). Al igual que ocurre con los desarrollos en series
de potencias, los desarrollos en series de Laurent son únicos.
Definición. Un punto z0 es una singularidad aislada de una función f si f es holomorfa en un entorno
reducido de z0 pero no en z0.
Definición. Sea z0 una singularidad aislada de una función holomorfa f y consideremos el desarrollo
en series de Laurent de f alrededor de z0 y convergente en un entorno reducido de z0. Decimos que
a) z0 es una singularidad evitable de f si bn = 0 para todo n ≥ 1,
b) z0 es un polo de orden k de f si bk 6= 0 y bn = 0 para todo n ≥ k + 1,
c) z0 es una singularidad esencial de f si bn 6= 0 para infinitos valores de n.
Teorema. Sea D un abierto en C, sea f una función holomorfa en D y sea z0 una singularidad aislada
de f. Entonces
a) f tiene una singularidad evitable en z0 si, y solo si, existe lim
z→z0
f(z) en C,
b) f tiene un polo en z0 si, y solo si, lim
z→z0
f(z) = ∞,
c) f tiene una singularidad esencial en z0 si, y solo si, no existe lim
z→z0
f(z) en C∞.
Los casos considerados son mutuamente excluyentes y agotan las posibilidades para las singularidades
aisladas.
Definición. Si z0 es una singularidad aislada de una función holomorfa f, se llama residuo de f
en z0, y se representa por Res (f, z0), al coeficiente b1 de la serie de Laurent de f con centro en z0 y
convergente en un entorno reducido de z0.
Proposición. Supóngase que f tiene una singularidad aislada en z0. Sea k el número entero más
chico tal que lim
z→z0
(z −z0)k
f(z) existe. Entonces f tiene un polo de orden k en z0. Además, si hacemos
φ(z) = (z − z0)kf(z), φ puede definirse de forma única en z0 de modo que
φ es holomorfa en z0 y Res (f, z0) =
φ(k−1)(z0)
(k − 1)!
.
2. Teorema (de los residuos). Sea D un abierto en C y f una función tal que si z ∈ D entonces f
es holomorfa en z o bien f tiene una singularidad aislada en z. Sea γ una curva cerrada y simple
contenida en D que no pasa por ninguna singularidad de f. Si z1, z2 · · · zp son las singularidades de f
en el interior de C, entonces
Z
C
f(z) dz = 2πi
p
X
i=1
Res (f, zi).
Ejemplos.
1. Encontrar todos los desarrollos en series de Laurent alrededor de z0 = i de la función f(z) =
z
z2 + 1
e indicar las regiones donde son válidos.
La función f(z) es analı́tica en C − {−i, i}. Con centro en z0 = i, se pueden definir dos coronas en las
que f(z) será analı́tica en cada uno de sus puntos.
i
−i
i
−i
0 < |z − i| < 2 2 < |z − i| < ∞
•
•
•
•
Las fórmulas que definen los coeficientes an y bn no son muy prácticas para realizar los cálculos.
Gracias a la unicidad de la representación en series, podemos usar otras técnicas para obtener el
desarrollo de Laurent de f(z) en cualquiera de las coronas de convergencia con centro en z0. Para
ello, es conveniente descomponer a f(z) en fracciones simples; tendremos
z
z2 + 1
=
z
(z + i)(z − i)
=
1
2
1
z − i
+
1
2
1
z + i
| {z }
g(z)
.
La idea, entonces, es expresar a g(z) en potencias (positivas o negativas) de z −i utilizando resultados
válidos para la serie geométrica.
3. En la región 0 < |z − i| < 2,
1
z + i
=
1
(z − i) + 2i
=
1
2i
1
1 − (−
z − i
2i
)
=
1
2i
X
n≥0
−
z − i
2i
n
.
Por lo tanto, el desarrollo en series de Laurent de f(z) será
z
z2 + 1
=
1
2
1
z − i
+
1
2
X
n≥0
(−1)n (z − i)n
(2i)n+1
.
Por definición, f(z) tiene un polo simple en z0 = i. El coeficiente b1 de este desarrollo determina el
residuo de f(z) en z0; tendremos Res (f, z0) = 1/2.
En la región 2 |z − i| ∞,
1
z + i
=
1
(z − i) + 2i
=
1
z − i
1
1 − (−
2i
z − i
)
=
1
z − i
X
n≥0
−
2i
z − i
n
.
Luego, tendremos
z
z2 + 1
=
1
2
1
z − i
+
1
2
X
n≥0
(−1)n (2i)n
(z − i)n+1
=
1
z − i
+
1
2
X
n≥1
(−1)n (2i)n
(z − i)n+1
.
2. Encontrar el desarrollo en series de Laurent alrededor de z0 = i de la función h(z) =
1
(z − i)(z + i)2
válido en la región 0 |z − i| 2.
Obsérvese que esta función es analı́tica en C − {−i, i}; por lo tanto, la región 0 |z − i| 2 es una de
las coronas con centro en z0 = i en las que h(z) resulta analı́tica. Descomponiendo a h(z) en fracciones
simples, tendremos
1
(z − i)(z + i)2
= −
1
4
1
z − i
+
1
4
1
z + i
+
i
2
1
(z + i)2
.
Razonando como en el ejercicio anterior, si z ∈ {z : |z − i| 2},
1
z + i
=
1
2i
X
n≥0
(−1)n (z − i)n
(2i)n+1
.
A partir de este desarrollo y de los resultados de convergencia válidos para series de potencias, para
todo z ∈ {z : |z − i| ≤ 2 − ε, ε 0},
1
(z + i)2
= −
d
dz
1
z + i
= −
1
2i
d
dz
X
n≥0
(−1)n (z − i)n
(2i)n+1
= −
1
2i
X
n≥1
(−1)n
n
(z − i)n−1
(2i)n+1
.
Finalmente,
1
(z − i)(z + i)2
= −
1
4
1
z − i
+
1
8i
X
n≥0
(−1)n (z − i)n
(2i)n+1
−
1
4
X
n≥1
(−1)n
n
(z − i)n−1
(2i)n+1
= −
1
4
1
z − i
+
1
8i
X
n≥0
(−1)n
(n + 2)
(z − i)n
(2i)n+1
.
3. Encontrar el residuo de las siguientes funciones en los puntos indicados.
a) f(z) =
ez − 1
sin z
; z0 = 0 b) f(z) =
z2
(z − 1)3(z + 1)
; z0 = 1 c) f(z) = e1/z
; z0 = 0.
4. a) Tanto ez − 1 como sin z, se anulan en z0 (más aún, ambas funciones tienen un cero de orden 1 en
el origen). Luego, usando la regla de L’Hopital, tendremos
lim
z→0
ez − 1
sin z
= lim
z→0
ez
cos z
= 1.
Entonces, f tiene en z0 una singularidad evitable; por lo tanto, Res (f, 0) = 0.
b) Definiendo φ(z) =
z2
z + 1
, analı́tica y no nula en un entorno de z0 = 1, tendremos φ(z) = (z−1)3f(z).
Luego, f tiene en z0 un polo de orden 3. En efecto,
lim
z→1
(z − 1)3
f(z) = lim
z→1
z2
z + 1
=
1
2
.
Entonces, para calcular el residuo hacemos
Res (f, 1) =
1
2
φ00
(1) =
1
2
2
(z + 1)3 1
=
1
8
.
c) El desarrollo en series de potencias de ew convergente en |w| ∞ es
ew
= 1 + w +
w2
2!
+
w3
3!
+ · · · +
wn
n!
+ · · ·
Obsérvese que, si w =
1
z
, |w| ∞ ⇒ |z| 0. Entonces, si z 6= 0,
e1/z
= 1 +
1
z
+
1
z22!
+
1
z33!
+ · · · +
1
znn!
+ · · ·
Luego, f tiene en z0 = 0 una singularidad esencial y
Res (f, 0) = b1 = 1.
4. Calcular
Z
γ
1 + z
1 − cos z
dz; γ es la circunferencia centrada en el origen de radio 2.
La función 1 − cos z tiene un cero de orden 2 en z0 = 0 y ceros de orden 1 en los puntos zk = 2kπ;
k ∈ Z y k 6= 0. Por lo tanto, la función f(z) =
1 + z
1 − cos z
tendrá un polo doble en z0 y un polo simple
en cada zk. De todas las singularidades de f(z), solamente z0 pertenece la interior de γ. Entonces,
por el Teorema de los residuos
Z
γ
1 + z
1 − cos z
dz = 2πi Res (f, 0).
El residuo de f en z0 = 0 viene dado por
lim
z→0
d
dz
z2
f(z) = lim
z→0
d
dz
z2 1 + z
1 − cos z
= lim
z→0
(2z(1 + z) + z2)(1 − cos z) − z2(1 + z) sin z
(1 − cos z)2
.
Aplicando la regla de L’Hopital, obtendremos
Res (f, 0) = 2.
? ? ?
5. Singularidades.
1. Hallar los puntos singulares de las siguientes funciones y determinar en cada caso si son aisladas
o no aisladas.
(a) f(z) =
1
z − z3
(b) f(z) = Log (1 − z)
(c) f(z) = sec
π
z
(d) f(z) =
p
z(z − 1)
2. Mostrar que las siguientes funciones tienen singulares evitables y definir su prolongación a C.
(a) f(z) =
z − sin z
z3
(b) f(z) =
z3 − 3z2 + 2z
z − 1
(c) f(z) =
1 − ez2
z2
(d) f(z) =
1 − cos z
z
3. Supongamos que h(z) y g(z) son funciones analı́ticas en un entorno de z0; que z0 es un cero de
orden p para h(z) y un cero de orden k para g(z). Sea f(z) =
h
g
(z). Probar que:
(a) si p − k ≥ 0, f(z) tiene una singularidad evitable en z0,
(b) si p − k 0, f(z) tiene un polo de orden k − p en z0.
4. Mostrar que todos los puntos singulares de las siguientes funciones son polos y determinar el
orden de los mismos.
(a) f(z) =
1 − ez
z3
(b) f(z) = tan z
(c) f(z) =
1
z2(1 − cos z)
(d) f(z) =
sin πz
z4(z − 1)2
5. Sea f(z) una función definida sobre el plano complejo extendido. Haciendo w = 1/z en f(z)
se obtiene la función F(w) = f(1/w). Entonces, la naturaleza de la singularidad de f(z) en
z = ∞ queda determinada por la naturaleza de la singularidad de F(w) en w = 0. Investigar el
comportamiento de las siguientes funciones en z = ∞.
(a) f(z) = z3 + 2z
(b) f(z) =
1
z2
+ sin
1
z
(c) f(z) =
z4
1 + z4
(d) f(z) = ze1/z
6. Probar que las funciones enteras ez y sin z carecen de lı́mite cuando z → ∞. Conclusión ?
6. 7. Demostrar que si f(z) es analı́tica y no idénticamente nula, todo punto de acumulación de ceros
de f(z) es un punto singular esencial de f(z) (Lo mismo sucede si existen infinitos puntos de
nivel; es decir, soluciones de la ecuación f(z) = c, o sea ceros de la función g(z) = f(z) − c).
8. Examinar el conjunto de ceros de la función
(a) f)z) = cos
1 + z
1 − z
z0 = 1,
(b) f(z) = z sinh
1
z
z0 = 0,
(c) f(z) = 1 − cos
1
z
z0 = 0.
Luego, aplicar el resultado del ejercicio anterior para probar que z = z0 es un punto singular
esencial de la misma.
Series de Laurent - Cálculo de residuos
9. Probar que, si 0 |z| 4,
1
4z − z2
=
1
4z
+
X
n≥0
zn
4n+2
.
10. Probar que, si 0 |z| ∞,
sinh(z)
z3
=
1
z2
+
X
n≥0
z2n
(2n + 3)!
.
11. Obtener los desarrollos en series de Laurent alrededor del punto z0 para las siguientes funciones
(a) f(z) =
1
z2(1 − z)
, z0 = 0,
(b) f(z) =
sin z
z5
, z0 = 0,
(c) f(z) = z2e1/z, z0 = 0,
(d) f(z) =
1
z(z − 1)(z + 2)2
, z0 = 1.
Especificar las regiones en las que estos desarrollos son válidos. Luego, clasificar la singularidad
que la función presenta en z0 y determinar el residuo correspondiente.
12. Hallar el desarrollo en series de Laurent de la función f(z) =
1
(z − 1)(z − 2)
que sea convergente
en la corona 1 |z| 2.
13. Considérese la función g(z) =
3z − 1
(z − 1)(z2 − 1)
.
(a) Hallar el radio del mayor cı́rculo con centro en z0 = i en el que g(z) puede desarrollarse en
series de Taylor.
(b) Indicar todas las coronas con centro en z0 = 1 en las que g(z) puede desarrollarse en series
de Laurent.
(c) Encontrar el desarrollo en series de Laurent alrededor de z0 = 1 que converja en z1 = 3+2i.
(d) Se puede determinar el residuo de g(z) en z0 = 1 usando el desarrollo hallado en el inciso
anterior?
14. Analizar si las siguientes funciones admiten un desarrollo en series de Laurent en un entorno
reducido de z0.
7. (a) cos
1
z
, z0 = 0
(b) sec
1
1 − z
, z0 = 1
(c) Log (z), z0 = 0
(d) z2
csc
1
z
, z0 = 0
15. Calcular los residuos de las siguientes funciones respecto de todos sus puntos singulares aislados.
(a) f(z) =
z + 1
z2 − 2z
(b) f(z) =
z2
(z2 + 1)2
(c) f(z) =
sin z
z(z2 − 1)
(d) f(z) =
z
cos z
(e) f(z) =
1 − e2z
z4
(f) f(z) =
ez
z3(z2 + 4)
Teorema de los residuos.
16. Calcular las siguientes integrales considerando que el recorrido de los contornos se realiza en
sentido positivo.
(a)
Z
γ
ez
z2(z2 − 9)
dz γ : |z| = 1
(b)
Z
γ
cos πz
z(z2 + 1)
dz γ : |z| = 2
(c)
Z
γ
z3
sin z(1 − cos z)
dz γ : |z| = 5
(d)
Z
γ
tan z dz γ : |z| = 2
(e)
Z
γ
dz
z(ez − 1)
γ : |z| = 2
(f)
Z
γ
z2 + 2
(z + 1)(z2 − 4)
dz γ : |z| = 4
17. Calcular las integrales
(a)
Z
C
z5
e2/z
dz
(b)
Z
C
z cos
1
z
dz
(c)
Z
C
sin2
1
z
dz
donde C es un contorno simple y orientado positivamente que encierra al punto z0 = 0.
8. 18. Evaluar
Z
γ
Log z
1 + ez
dz, donde γ es el contorno que se indica en la figura.
5 + 5i
5 − 5i
−5 − 5i
−5 − 2i 10 − 2i
10 + 10i
−5 + 10i
−5 + 5i •
•
•
• •
•
•
•
19. Sea γ un contorno cerrado simple que limita un recinto Ω que contiene al punto z = 0. Sean f(z)
y g(z) dos funciones analı́ticas en Ω; supongamos que la función g(z) no se anula en el contorno
γ y tiene n ceros simples en Ω, ninguno de los cuales coincide con el origen de coordenadas.
Calcular
1
2πi
Z
γ
f(z)
zg(z)
dz.
20. Sean ϕ(z) y f(z) dos funciones analı́ticas en todo punto de un dominio simplemente conexo D.
Si z0 es el único cero de f(z) en D, demostrar que si C es un contorno cerrado simple orientado
positivamente en D que encierra a z0, se cumple
1
2πi
Z
C
ϕ(z)
f0(z)
f(z)
dz = mϕ(z0),
donde m es el orden del cero z0.
21. Sea D un dominio simplemente conexo en todo punto del cual la función f(z) es analı́tica. Se
denota por C un contorno cerrado simple en D, orientado positivamente, tal que f(z) 6= 0 en
cualquier punto sobre C. Entonces, si f(z) tiene N ceros interiores a C, demostrar que
N =
1
2πi
Z
C
f0(z)
f(z)
dz.
22. Sea f(z) una función analı́tica dentro y sobre un contorno simple y cerrado C excepto por un
número finito de polos interiores a C. Si f(z) no tiene ceros sobre C pero tiene un número finito
de ceros interiores a C, se tiene
1
2πi
Z
C
f0(z)
f(z)
dz = N − P,
donde N es el número total de ceros y P es el número total de polos dentro de C.
El número de ceros o el número de polos se establece teniendo en cuenta sus respectivos órdenes.