Este documento presenta 6 ejercicios sobre transformada z. Cada ejercicio analiza una función o ecuación diferencial determinando su transformada z de manera analítica y numérica usando Matlab. Los ejercicios incluyen hallar polos y ceros, obtener la función discreta, resolver ecuaciones recursivas, y encontrar expresiones en forma cerrada. Los resultados se comparan gráficamente.

1. Gu´ıa 1: Ejercicios sobre transformada z
Alumno: Guillermo M. Tabeni Couvert
Profesor: Ing. Carlos A. Espinoza
J.T.P.: Ing. Daniel R. Graff
C´atedra de Ingenier´ıa Industrial
Universidad Tecnol´ogica Nacional, F.R.A.
2 de julio de 2007
Objetivo: Realizar distintos ejercicios num´ericos de mano y con el uso de Matlab.
Ejercicio 1
Para la funci´on Y (z), determinar los polos y ceros y ubicarlos dentro del plano z. Los teoremas del valor
inicial y final son aplicables en dicha funci´on. ¿Por qu´e? Hallar sus valores.
Y (z) =
0, 792z2
(z − 1)(z2 − 0, 416z + 0, 208)
Para hallar los polos y ceros de Y (z), introducimos los comandos:
z=tf(’z’);
Yz=.792*z^2/((z-1)*(z^2-0.416*z+.208))
[ceros,polos,K]=zpkdata(Yz,’v’)
Vemos que hay un cero doble en el origen, un polo real en 1 y un par de polos complejos conjugados:
ceros =
0
0
polos =
1.0000
0.2080 + 0.4059i
0.2080 - 0.4059i
K =
0.7920
Ahora, graficamos el plano z con los ceros y polos obtenidos:
[num,den]=tfdata(Yz,’v’);
zplane(num,den)
zgrid
Por el teorema del valor inicial:
y(t = 0) = l´ım
z→∞
Y (z) = l´ım
z→∞
0, 792z2
z3 − 1, 416z2 + 0, 624z − 0, 208
= l´ım
z→∞
0, 792/z
1 − 1, 416/z + 0, 624/z2 − 0, 208/z3
= 0
Por el teorema del valor final:
y(t → ∞) = l´ım
z→1
[1 − z−1
Y (z)] = l´ım
z→1
z − 1
z
0, 792z2
(z − 1)(z2 − 0, 416z + 0, 208)
= l´ım
z→1
0, 792z
z2 − 0, 416z + 0, 208
= 1
Estos teoremas son aplicables porque, por definici´on, existen los l´ımites calculados.
Alumno: Guillermo Tabeni, UTN, FRA, 2007 1/11

2. Ejercicio 2
Obtenga la transformada z de la siguiente funci´on donde a es una constante. Grafique y compare en
Matlab la funci´on en tiempo continuo y la funci´on en tiempo discreto.
x(t) =
1
a
(1 − e−at
)
Distribuyendo, tenemos
x(t) =
1
a
−
e−at
a
Luego, por la transformada del escal´on y la propiedad lineal de la transformada z,
X(z) =
1
a(1 − z−1)
−
1
a(1 − e−akz−1)
=
1 − e−ak
z−1
− 1 + z−1
a(1 − z−1)(1 − e−akz−1)
=
1
a
z−1
(1 − e−ak
)
1 − z−1(1 + e−ak) + z−2e−ak
(1)
En el Matlab comparamos la respuesta del sistema continuo (en rojo) con la del sistema discreto (azul):
num=[0 1-exp(-1) 0];
den=[1 -1-exp(-1) exp(-1)];
t=0:0.2:10;
xt=(1-exp(-t));
plot(t,xt,’r’)
hold;
impz(num,den)
Alumno: Guillermo Tabeni, UTN, FRA, 2007 2/11

3. Ejercicio 3
Para la funci´on G(z) = Y (z)/X(z), hallar la transformada inversa z mediante el m´etodo Matlab (comando
filter) hasta k = 10. Graficar la secuencia (comando stem).
Y (z) = 0, 01409z3
+ 0, 028z2
+ 0, 01409z
X(z) = z3
− 2, 7624z2
+ 2, 5811z − 0, 8187
Con el siguiente programa graficamos los 10 primeros elementos de la secuencia de Y (z)/X(z).
num=[0.01409 0.028 0.01409 0];
den=[1 -2.7624 2.5811 -0.8187];
Xz=[1 zeros(1,10)];
Yz=filter(num,den,Xz);
n=0:1:10;
stem(n,Yz);
xlabel(’k’);
Alumno: Guillermo Tabeni, UTN, FRA, 2007 3/11

4. Ejercicio 4
Para la ecuaci´on en diferencias encontrar la serie en forma recursiva realizando un programa en Matlab.
Luego, hallar la transformada Z mediante c´alculo de mano y luego, mediante el m´etodo de Matlab (comando
filter), encontrar la transformada inversa Z hasta k = 30. Verificar ambos gr´aficos y hallar conclusiones.
x(k + 2) = x(k + 1) + x(k), donde x(0) = 0 y x(1) = 1
Las transformadas z de x(k + 2), x(k + 1) y x(k) est´an dadas, respectivamente, por
Z[x(k + 2)] = z2
X(z) − z2
x(0) − zx(1)
Z[x(k + 1)] = zX(z) − zx(0)
Z[x(k)] = X(z)
Al tomar las transformadas z de ambos miembros de la ecuaci´on en diferencias dada, se obtiene
z2
X(z) − z = zX(z) + X(z)
donde se han reemplazado las condiciones iniciales dadas.
Finalmente, despejando y simplificando,
X(z) =
z
z2 − z − 1
(2)
que es la transformada z buscada.
Ahora utilizo el siguiente programa para comparar el m´etodo manual con el m´etodo de Matlab.
%Metodo manual
x(1)=0;
x(2)=1;
N=30;
for k=1:N-1
x(k+2)=x(k+1)+x(k)
end
n=0:N;
subplot(2,1,2);
stem(n,x,’r’);
title(’Metodo manual’);
%Metodo Matlab
num=[0 1 0];
den=[1 -1 -1];
n=0:1:N;
x=[1 zeros(1,N)];
y=filter(num,den,x);
subplot(2,1,1);
stem(n,y,’b’);
title(’Metodo Matlab’);
Alumno: Guillermo Tabeni, UTN, FRA, 2007 4/11

5. Ejercicio 5
Encontrar la expresi´on en forma cerrada de y[n] usando el m´etodo de la transformada Z. Donde u[n]
representa la funci´on escal´on.
y[n] − (5/6)y[n − 1] + (1/6)y[n − 2] = (1/5)n
u[n], donde y[−1] = 6 e y[−2] = 25
Las transformadas z de secuencias desplazadas son:
Z[y(n − 1)] = Y (z)z−1
+ y(−1)
Z[y(n − 2)] = Y (z)z−2
+ y(−1)z−1
+ y(−2)
Adem´as, la transformada z de an
u[n] es,
Z[an
u(n)] =
1
1 − (z/a)−1
Al tomar las transformadas z de ambos miembros de la ecuaci´on en diferencias dada, se obtiene
Y (z) −
5
6
Y (z)z−1
+ 6 +
1
6
Y (z)z−2
+ 6z−1
+ 25 =
1
1 −
z−1
5
Y (z) z2
−
5
6
z +
1
6
− 5z2
+ z +
25
6
z2
=
z3
z −
1
5
Y (z) z3
−
31
30
z2
+
1
3
z −
1
30
=
11
6
z3
−
7
6
z2
+
1
5
z
Despejando Y (z)/z, para luego aplicar el m´etodo de inversi´on por fracciones parciales:
Y (z)
z
=
11
6
z2
−
7
6
z +
1
5
z3 −
31
30
z2 +
1
3
z −
1
30
Factorizando el denominador, la funci´on expandida tendr´a la forma:
Y (z)
z
=
a1
z −
1
2
+
a2
z −
1
3
+
a3
z −
1
5
Alumno: Guillermo Tabeni, UTN, FRA, 2007 5/11

6. donde los coeficientes son:
a1 = (z −
1
2
) ·
Y (z)
z z= 1
2
=
3
2
a2 = (z −
1
3
) ·
Y (z)
z z= 1
3
= −
2
3
a3 = (z −
1
5
) ·
Y (z)
z z= 1
5
= 1
La descomposici´on en fracciones parciales podr´ıa haberse realizado con Matlab, de la siguiente manera:
num=[0 11/6 -7/6 1/5];
den=[1 -31/30 1/3 -1/30];
[R,P,K]=residue(num,den)
R =
1.5000
-0.6667
1.0000
P =
0.5000
0.3333
0.2000
K =
[]
Reemplazando y multiplicando ambos miembros por z:
Y (z) =
3/2
1 − 1
2 z−1
−
2/3
1 − 1
3 z−1
+
1
1 − 1
5 z−1
La transformada inversa, resulta:
y(n) =
3
2n+1
−
2
3n+1
+
1
5n
(3)
que es la forma cerrada pedida.
Con el siguiente programa podemos comparar las secuencias obtenidas con la ecuaci´on de diferencias
dada al comienzo del problema y la forma cerrada obtenida:
%Metodo itarativo - Ecuacion de diferencias
y(1)=25;
y(2)=6;
N=30;
u=[0 0 ones(1,N+1)];
for n=1:N+1
y(n+2)=(1/5)^(n-1)*u(n+2)+(5/6)*y(n+1)-(1/6)*y(n)
end
n=-2:N;
subplot(2,1,1);
stem(n,y);
title(’Metodo itarativo - Ecuacion de diferencias’);
%Metodo iterativo - Expresion en forma cerrada
for n=1:N+1
y(n)=3/(2^(n-2))-2/(3^(n-2))+1/(5^(n-3))
end
n=-2:N;
subplot(2,1,2);
stem(n,y,’r’);
title(’Metodo iterativo - Expresion en forma cerrada’);
Alumno: Guillermo Tabeni, UTN, FRA, 2007 6/11

7. Ejercicio 6
Resuelva la siguiente ecuaci´on en diferencias tanto de manera anal´ıtica como por computadora con
Matlab. La funci´on de entrada u[k] = 1 para k = 0, 1, 2, . . ..
x(k + 2) − x(k + 1) + 0, 25x(k) = u(k + 2), donde x(0) = 1 y x(1) = 2
Las transformadas z de x(k), x(k + 1) y x(k + 2) est´an dadas, respectivamente, por
Z[x(k)] = X(z)
Z[x(k + 1)] = zX(z) − zx(0)
Z[x(k + 2)] = z2
X(z) − z2
x(0) − zx(1)
Adem´as, la transformada z de u[k + 2] es
Z[u(k + 2)] = z2
U(z) − z2
u(0) − zu(1) =
z2
1 − z−1
− z2
− z
ya que u(0) = u(1) = 1.
Al tomar las transformadas z de ambos miembros de la ecuaci´on en diferencias dada, se obtiene
z2
X(z) − z2
− 2z − zX(z) + z + 0, 25X(z) =
z2
1 − z−1
− z2
− z
Despejando X(z)/z, para luego aplicar el m´etodo de inversi´on por fracciones parciales:
X(z)
z
=
z2
z3 − 2z2 + 1, 25z − 0, 25
=
z2
(z − 1)(z − 1
2 )2
La funci´on expandida tendr´a la forma:
X(z)
z
=
a1
(z − 1
2 )2
+
a2
z − 1
2
+
a3
z − 1
donde los coeficientes son:
a1 = (z − 1
2 )2
·
X(z)
z z= 1
2
= −
1
2
a2 =
d
dz
(z − 1
2 )2
·
X(z)
z z= 1
2
= −3
a3 = (z − 1) ·
X(z)
z z=1
= 4
Alumno: Guillermo Tabeni, UTN, FRA, 2007 7/11

8. Reemplazando y multiplicando ambos miembros por z:
X(z) = −
1
2 z−1
(1 − 1
2 z−1)2
−
3
1 − 1
2 z−1
+
4
1 − z−1
La transformada inversa, resulta:
x(k) = −
k
2k
−
3
2k
+ 4 (4)
Con el siguiente programa podemos comparar las secuencias obtenidas con la ecuaci´on de diferencias
dada al comienzo del problema y la forma cerrada obtenida:
%Metodo itarativo - Ecuacion de diferencias
x(1)=1;
x(2)=2;
N=30;
u=[ones(1,N+3)];
for k=1:N-1
x(k+2)=u(k+2)+x(k+1)-0.25*x(k);
end
k=0:N;
subplot(2,1,1);
stem(k,x);
title(’Metodo itarativo - Ecuacion de diferencias’);
%Metodo iterativo - Expresion en forma cerrada
for k=1:N+1
x(k)=-(k-1)/(2^(k-1))-3/(2^(k-1))+4
end k=0:N;
subplot(2,1,2);
stem(k,x,’r’);
title(’Metodo iterativo - Expresion en forma cerrada’);
Ejercicio 7
Usar el m´etodo de la divisi´on directa para obtener la transformada z inversa. Decidir si el sistema es
estable o no. ¿Por qu´e? Mostrar el diagrama de polos y ceros en el plano z. Si el sistema es inestable,
implementar la modificaci´on necesaria para que deje de serlo.
Alumno: Guillermo Tabeni, UTN, FRA, 2007 8/11

9. X(z) =
z−1
(1 − z−2
)
(1 + z−2)2
Primero, expreso X(z) en polinomios de z−1
:
X(z) =
z−1
− z−3
1 + 2x−2 + z−4
Luego, efectuando la divisi´on:
+z−1
−z−3
/1 + 2z−2
+ z−4
−z−1
−2z−3
−z−5
z−1
− 3z−3
+ 5z−5
− 7z−7
+ 9z−9
− · · ·
−3z−3
−z−5
+3z−3
+6z−5
+3z−7
+5z−5
+3z−7
−5z−5
−10z−7
−5z−9
−7z−7
−5z−9
. . . . . .
Comparando directamente X(z) =
∞
0 x(k)z−k
, tenemos
x(0) = 0
x(1) = 1
x(2) = 0
x(3) = −3
x(4) = 0
x(5) = 5
x(6) = 0
x(7) = −7
x(8) = 0
x(9) = 9
...
Como vemos, la secuencia x(n) es alternadamente creciente; por lo tanto, el sistema es inestable.
Graficamos los polos y ceros de X(z) mediante la siguiente secuencia de comandos:
num=[0 1 0 -1 0];
den=[1 0 2 0 1];
zplane(num,den);
Alumno: Guillermo Tabeni, UTN, FRA, 2007 9/11

10. Confirmamos con el diagrama de polos y ceros que el sistema es inestable, ya que posee polos m´ultiples
sobre el c´ırculo unitario (es condici´on suficiente, p´ag. 183 del libro de Ogata).
Ejercicio 8
Encuentre la transformada inversa Z utilizando el m´etodo de expansi´on en fracciones parciales y con el
Matlab (comando residuez).
X(z) =
z−1
(0, 5 − z−1
)
(1 − 0, 5z−1)(1 − 0, 8z−1)
Multiplicamos numerador y denominador por z2
y luego, divido ambos miembros por z para expresar
X(z)/z en potencias de z:
X(z)
z
=
0, 5(z − 2)
z(z − 0, 5)(z − 0, 8)
La funci´on expandida tendr´a la forma:
X(z) =
a1
z − 0, 5
+
a2
z − 0, 8
+
a3
z
donde los coeficientes son:
a1 = (z − 0, 5) ·
Y (z)
z z=0,5
= 5
a2 = (z − 0, 8) ·
Y (z)
z z=0,8
= −2, 5
a3 = (z) ·
Y (z)
z z=0
= −2, 5
Reemplazando y multiplicando ambos miembros por z:
X(z) =
5
1 − 0, 5z−1
−
2, 5
1 − 0, 8z−1
− 2, 5
La descomposici´on en fracciones parciales podr´ıa haberse realizado con Matlab, de la siguiente manera:
num=[0 .5 -1]; % En potencias asc. de z^{-1} o desc de z
den=[1 -1.3 .4];
[R,P,K]=residuez(num,den)
R =
-2.5000
5.000
P =
0.8000
0.5000
K =
-2.5
Por simple inspecci´on de la tabla, la transformada inversa resulta:
x(k) = 5 · (0, 5)k
− 2,5 · (0, 8)k
− 2, 5 · δ(k) (5)
que es el resultado de la ecuaci´on en diferencias en forma cerrada.
Para verificar el resultado, puedo compararlo con el m´etodo de Matlab.
N=30;
delta=[1 zeros(1,N)]
%Metodo iterativo - Expresion en forma cerrada
for k=1:N+1
x(k)=5*(0.5)^(k-1)-2.5*(0.8)^(k-1)-2.5*delta(k);
Alumno: Guillermo Tabeni, UTN, FRA, 2007 10/11

11. end
k=0:N;
subplot(2,1,1);
stem(k,x);
title(’Metodo iterativo - Expresion en forma cerrada’);
%Metodo Matlab
num=[0 .5 -1];
den=[1 -1.3 .4];
n=0:1:N;
x=[1 zeros(1,N)];
y=filter(num,den,x);
subplot(2,1,2);
stem(n,y,’r’);
title(’Metodo Matlab’);
Alumno: Guillermo Tabeni, UTN, FRA, 2007 11/11