1) La función f(z) = (z - 1)/z2 tiene dos series de Laurent, una en la bola B(1;1) que coincide con la serie de Taylor, y otra en la corona C(1;1,∞).
2) Para hallar las series de Laurent de f(z) = 1/z2 sinh z en una corona C(0;0,r), se calcula primero la serie de McLaurin de g(z) = z/sinhz y luego se divide entre z3.
3) Para hallar las dos primeras series de Laurent de f(z) = cosec
Este documento describe cómo encontrar la solución general de una ecuación diferencial lineal no homogénea. Explica que primero se debe resolver la ecuación diferencial homogénea asociada para encontrar un conjunto fundamental de soluciones. Luego, se encuentra una solución particular de la ecuación no homogénea original. La solución general es la suma de las soluciones de la ecuación homogénea multiplicadas por constantes arbitrarias, más la solución particular.
Este documento presenta un resumen de las ecuaciones diferenciales con variables separables. Explica que este tipo de ecuaciones toman la forma de ∫f(x)dx + ∫f(y)dy y pueden resolverse separando las variables y luego integrando. Proporciona tres ejemplos resueltos de ecuaciones diferenciales con variables separables, mostrando los pasos para separar las variables y obtener la solución integral.
1) El documento presenta la solución a 10 problemas de matemáticas relacionados con cálculo vectorial, teoremas como Stokes y Green, límites y derivadas parciales. 2) Los problemas incluyen demostraciones geométricas e integrales de superficie y línea. 3) El documento proporciona detalles completos sobre cada paso de los cálculos para llegar a la solución de cada problema.
Dokumen ini membahas tentang bentuk polar bilangan kompleks, yaitu representasi bilangan kompleks menggunakan modulus (r) dan argumen (θ). Dibahas pula operasi perkalian dan pembagian bilangan kompleks dalam bentuk polar beserta contoh soalnya. Terakhir membahas rumus pangkat bilangan kompleks menurut rumus De Moivre.
Este documento define los límites de funciones complejas y proporciona ejemplos de su cálculo. Explica que para que un límite exista, la función debe tender al mismo número complejo a medida que se acerca al punto, independientemente de la trayectoria. También cubre las propiedades de los límites complejos y las reglas para derivar funciones complejas.
Este documento describe cómo encontrar la solución general de una ecuación diferencial lineal no homogénea. Explica que primero se debe resolver la ecuación diferencial homogénea asociada para encontrar un conjunto fundamental de soluciones. Luego, se encuentra una solución particular de la ecuación no homogénea original. La solución general es la suma de las soluciones de la ecuación homogénea multiplicadas por constantes arbitrarias, más la solución particular.
Este documento presenta un resumen de las ecuaciones diferenciales con variables separables. Explica que este tipo de ecuaciones toman la forma de ∫f(x)dx + ∫f(y)dy y pueden resolverse separando las variables y luego integrando. Proporciona tres ejemplos resueltos de ecuaciones diferenciales con variables separables, mostrando los pasos para separar las variables y obtener la solución integral.
1) El documento presenta la solución a 10 problemas de matemáticas relacionados con cálculo vectorial, teoremas como Stokes y Green, límites y derivadas parciales. 2) Los problemas incluyen demostraciones geométricas e integrales de superficie y línea. 3) El documento proporciona detalles completos sobre cada paso de los cálculos para llegar a la solución de cada problema.
Dokumen ini membahas tentang bentuk polar bilangan kompleks, yaitu representasi bilangan kompleks menggunakan modulus (r) dan argumen (θ). Dibahas pula operasi perkalian dan pembagian bilangan kompleks dalam bentuk polar beserta contoh soalnya. Terakhir membahas rumus pangkat bilangan kompleks menurut rumus De Moivre.
Este documento define los límites de funciones complejas y proporciona ejemplos de su cálculo. Explica que para que un límite exista, la función debe tender al mismo número complejo a medida que se acerca al punto, independientemente de la trayectoria. También cubre las propiedades de los límites complejos y las reglas para derivar funciones complejas.
Este documento describe las series de Laurent y sus propiedades. Define las series de Laurent, la corona de convergencia y cómo calcular los radios internos y externos de la corona. Explica que una función analítica en una corona puede expresarse como una serie de Laurent convergente en dicha corona, y cómo calcular los coeficientes de la serie.
Ecuaciones reducibles a variables separablesArkantos Flynn
Este documento presenta cómo reducir ecuaciones diferenciales a variables separables mediante sustituciones. Explica que si una ecuación diferencial tiene la forma dy/dx = f(x,y), entonces puede reducirse a variables separables haciendo la sustitución z = ax + by + c. Proporciona demostraciones y ejemplos para ilustrar el proceso de reducción y resolución de este tipo de ecuaciones diferenciales.
The document discusses Stokes' theorem, which relates the line integral of a vector field F around a closed oriented curve C to a surface integral of the curl of F over any surface S whose boundary is C. It provides the mathematical definition of Stokes' theorem, an analogy to Green's theorem, and an example proof for a special case where the surface S is the graph of a function z=g(x,y). It also gives two examples of using Stokes' theorem to calculate line integrals.
Buku ini membahas persamaan diferensial mulai dari pengertian dasar, jenis, klasifikasi, orde, solusi, dan contoh-contoh penerapannya dalam ilmu fisika, biologi, dan teknik. Bab demi bab menjelaskan konsep-konsep penting persamaan diferensial orde satu, dua, dan tinggi beserta metode-metode penyelesaiannya.
1.4 Series trigonométricas de Fourier
As séries trigonométricas de Fourier de uma função são indispensáveis na análise e modelação de fenómenos periódicos como as vibrações, movimentos ondulatórios, etc. Muitas das equações diferenciais em derivadas parciais que se apresentam na prática em conexão com estes fenómenos, são resolvidos mediante o uso de séries trigonométricas de Fourier.
Função periódica:
Este documento describe conceptos fundamentales sobre derivadas, incluyendo: (1) la tasa de variación media y cómo se calcula, (2) la definición de derivada como un límite, y (3) algunas reglas para calcular derivadas como la derivada de funciones compuestas o la derivada de la función inversa.
Fungsi merupakan konsep penting dalam matematika. Dokumen ini membahas kekontinuan fungsi pada bilangan kompleks. Definisi kekontinuan fungsi adalah bahwa fungsi f(z) dikatakan kontinu di z0 jika batas fungsi ketika z mendekati z0 sama dengan nilai fungsi di z0. Dokumen ini juga membahas teorema-teorema terkait kekontinuan fungsi kompleks dan kekontinuan seragam.
Este documento describe el uso de series de potencias para resolver ecuaciones diferenciales lineales. Explica que si un punto es regular, siempre es posible encontrar dos soluciones independientes en forma de series de potencias convergentes dentro de cierto intervalo. También presenta teoremas sobre la existencia y representación de soluciones mediante series de potencias para puntos regulares de una ecuación diferencial de valor inicial.
Este documento describe diferentes algoritmos de ordenamiento, incluyendo burbuja, inserción, selección, shellsort, ordenamiento por mezcla y quicksort. Explica cómo funciona cada algoritmo de forma iterativa o recursiva, y compara su complejidad computacional y tiempo de ejecución para diferentes cantidades de datos. El algoritmo más rápido es generalmente quicksort, mientras que burbuja es el más lento.
1. Dokumen tersebut membahas tentang struktur aljabar khususnya grup simetri dan grup siklik.
2. Grup simetri adalah grup dari semua permutasi dari himpunan unsur, sedangkan grup siklik adalah grup yang dibangkitkan oleh satu elemen yang disebut generator.
3. Dokumen tersebut juga menjelaskan definisi, contoh, dan teorema-teorema terkait grup simetri dan grup siklik.
O documento apresenta um capítulo sobre integrais duplos. Define integrais duplos e a sua interpretação física como área. Explica como calcular integrais duplos dependendo da regularidade do domínio de integração, seja no sentido do eixo x ou y. Apresenta ainda algumas propriedades e exemplos de cálculo de integrais duplos.
1) The document contains exercises on the completeness property of real numbers from an introduction to real analysis course.
2) It includes problems, solutions, and proofs regarding the infimum and supremum of sets, bounded sets, and the completeness property.
3) Key results proven include if A and B are bounded subsets of the real numbers, then their union A ∪ B is bounded, and if S is a bounded set and S0 is a nonempty subset of S, then the infimum of S0 is greater than or equal to the infimum of S.
Parte teórica y práctica del Tema 2.4: Área y Longitud de Arco, contenido perteneciente a la Unidad 2: Curvas Planas, Ecuaciones Parametricas y Coordenadas Polares.
Este documento presenta la unidad sobre la integral de Riemann-Stieltjes. Introduce los antecedentes de la integral, incluyendo su definición, propiedades como la linealidad y aditividad, y teoremas como la integración por partes y el cambio de variable. También incluye ejemplos y actividades para que los estudiantes apliquen los conceptos.
Este documento presenta conceptos relacionados con las singularidades de funciones analíticas, incluyendo:
1) Las series de Laurent, que representan funciones analíticas en anillos circulares;
2) Tipos de singularidades aisladas como polos, singularidades evitables y esenciales;
3) El teorema de los residuos, que relaciona la integral de una función alrededor de una curva cerrada con la suma de los residuos de la función en el interior de la curva.
Este documento presenta ejercicios de cálculo integral, series, desarrollos en serie y residuos para una asignatura de ampliación de matemáticas en telecomunicaciones. Incluye problemas sobre integración sobre contornos, series geométricas y de potencias, desarrollos en serie de Taylor y Laurent, y cálculo de residuos y polos de funciones. El documento contiene 7 lecciones con múltiples ejercicios en cada una para practicar diferentes temas avanzados de análisis matemático.
Este documento describe las series de Laurent y sus propiedades. Define las series de Laurent, la corona de convergencia y cómo calcular los radios internos y externos de la corona. Explica que una función analítica en una corona puede expresarse como una serie de Laurent convergente en dicha corona, y cómo calcular los coeficientes de la serie.
Ecuaciones reducibles a variables separablesArkantos Flynn
Este documento presenta cómo reducir ecuaciones diferenciales a variables separables mediante sustituciones. Explica que si una ecuación diferencial tiene la forma dy/dx = f(x,y), entonces puede reducirse a variables separables haciendo la sustitución z = ax + by + c. Proporciona demostraciones y ejemplos para ilustrar el proceso de reducción y resolución de este tipo de ecuaciones diferenciales.
The document discusses Stokes' theorem, which relates the line integral of a vector field F around a closed oriented curve C to a surface integral of the curl of F over any surface S whose boundary is C. It provides the mathematical definition of Stokes' theorem, an analogy to Green's theorem, and an example proof for a special case where the surface S is the graph of a function z=g(x,y). It also gives two examples of using Stokes' theorem to calculate line integrals.
Buku ini membahas persamaan diferensial mulai dari pengertian dasar, jenis, klasifikasi, orde, solusi, dan contoh-contoh penerapannya dalam ilmu fisika, biologi, dan teknik. Bab demi bab menjelaskan konsep-konsep penting persamaan diferensial orde satu, dua, dan tinggi beserta metode-metode penyelesaiannya.
1.4 Series trigonométricas de Fourier
As séries trigonométricas de Fourier de uma função são indispensáveis na análise e modelação de fenómenos periódicos como as vibrações, movimentos ondulatórios, etc. Muitas das equações diferenciais em derivadas parciais que se apresentam na prática em conexão com estes fenómenos, são resolvidos mediante o uso de séries trigonométricas de Fourier.
Função periódica:
Este documento describe conceptos fundamentales sobre derivadas, incluyendo: (1) la tasa de variación media y cómo se calcula, (2) la definición de derivada como un límite, y (3) algunas reglas para calcular derivadas como la derivada de funciones compuestas o la derivada de la función inversa.
Fungsi merupakan konsep penting dalam matematika. Dokumen ini membahas kekontinuan fungsi pada bilangan kompleks. Definisi kekontinuan fungsi adalah bahwa fungsi f(z) dikatakan kontinu di z0 jika batas fungsi ketika z mendekati z0 sama dengan nilai fungsi di z0. Dokumen ini juga membahas teorema-teorema terkait kekontinuan fungsi kompleks dan kekontinuan seragam.
Este documento describe el uso de series de potencias para resolver ecuaciones diferenciales lineales. Explica que si un punto es regular, siempre es posible encontrar dos soluciones independientes en forma de series de potencias convergentes dentro de cierto intervalo. También presenta teoremas sobre la existencia y representación de soluciones mediante series de potencias para puntos regulares de una ecuación diferencial de valor inicial.
Este documento describe diferentes algoritmos de ordenamiento, incluyendo burbuja, inserción, selección, shellsort, ordenamiento por mezcla y quicksort. Explica cómo funciona cada algoritmo de forma iterativa o recursiva, y compara su complejidad computacional y tiempo de ejecución para diferentes cantidades de datos. El algoritmo más rápido es generalmente quicksort, mientras que burbuja es el más lento.
1. Dokumen tersebut membahas tentang struktur aljabar khususnya grup simetri dan grup siklik.
2. Grup simetri adalah grup dari semua permutasi dari himpunan unsur, sedangkan grup siklik adalah grup yang dibangkitkan oleh satu elemen yang disebut generator.
3. Dokumen tersebut juga menjelaskan definisi, contoh, dan teorema-teorema terkait grup simetri dan grup siklik.
O documento apresenta um capítulo sobre integrais duplos. Define integrais duplos e a sua interpretação física como área. Explica como calcular integrais duplos dependendo da regularidade do domínio de integração, seja no sentido do eixo x ou y. Apresenta ainda algumas propriedades e exemplos de cálculo de integrais duplos.
1) The document contains exercises on the completeness property of real numbers from an introduction to real analysis course.
2) It includes problems, solutions, and proofs regarding the infimum and supremum of sets, bounded sets, and the completeness property.
3) Key results proven include if A and B are bounded subsets of the real numbers, then their union A ∪ B is bounded, and if S is a bounded set and S0 is a nonempty subset of S, then the infimum of S0 is greater than or equal to the infimum of S.
Parte teórica y práctica del Tema 2.4: Área y Longitud de Arco, contenido perteneciente a la Unidad 2: Curvas Planas, Ecuaciones Parametricas y Coordenadas Polares.
Este documento presenta la unidad sobre la integral de Riemann-Stieltjes. Introduce los antecedentes de la integral, incluyendo su definición, propiedades como la linealidad y aditividad, y teoremas como la integración por partes y el cambio de variable. También incluye ejemplos y actividades para que los estudiantes apliquen los conceptos.
Este documento presenta conceptos relacionados con las singularidades de funciones analíticas, incluyendo:
1) Las series de Laurent, que representan funciones analíticas en anillos circulares;
2) Tipos de singularidades aisladas como polos, singularidades evitables y esenciales;
3) El teorema de los residuos, que relaciona la integral de una función alrededor de una curva cerrada con la suma de los residuos de la función en el interior de la curva.
Este documento presenta ejercicios de cálculo integral, series, desarrollos en serie y residuos para una asignatura de ampliación de matemáticas en telecomunicaciones. Incluye problemas sobre integración sobre contornos, series geométricas y de potencias, desarrollos en serie de Taylor y Laurent, y cálculo de residuos y polos de funciones. El documento contiene 7 lecciones con múltiples ejercicios en cada una para practicar diferentes temas avanzados de análisis matemático.
Este documento trata sobre series de Laurent. Explica cómo extender las series de Taylor a funciones con polos mediante la introducción de términos con potencias negativas. Define los residuos de las series de Laurent y explica cómo se pueden usar para calcular integrales de funciones complejas. También presenta el teorema de Laurent, el cual establece que toda función holomorfa en una corona admite una única serie de Laurent convergente en dicha corona.
Este documento presenta las soluciones a 8 objetivos de una prueba de matemáticas. Cada solución incluye los pasos de cálculo para resolver problemas relacionados con series, funciones complejas, integrales de funciones racionales y transformadas de Laplace.
El documento lista las soluciones propuestas para varios ejercicios de cálculo. Incluye las soluciones para las partes (g) del Ejercicio 1, (a)-(d) del Ejercicio 2, (a) del Ejercicio 3, (e) del Ejercicio 4, (d) del Ejercicio 5, (a)-(e) del Ejercicio 6, (e) del Ejercicio 7, (e) del Ejercicio 8 y (f) del Ejercicio 9. Cada ejercicio parece tratar sobre un tema diferente de c
Este documento presenta 6 ejercicios sobre transformada z. Cada ejercicio analiza una función o ecuación diferencial determinando su transformada z de manera analítica y numérica usando Matlab. Los ejercicios incluyen hallar polos y ceros, obtener la función discreta, resolver ecuaciones recursivas, y encontrar expresiones en forma cerrada. Los resultados se comparan gráficamente.
Este documento presenta un resumen de los temas relacionados con la Transformada Z. Introduce la definición de la Transformada Z y su región de convergencia. Explica que la Transformada Z toma valores complejos al igual que su inversa. Además, describe las propiedades clave de la Transformada Z como su relación con la Transformada Discreta de Fourier y las características de la región de convergencia para diferentes tipos de señales. Finalmente, presenta ejemplos de cálculo de la Transformada Z para diferentes señales discretas.
Este documento describe diferentes tipos de líneas de transmisión y su análisis mediante parámetros distribuidos. Las líneas de transmisión se pueden representar como una red de parámetros distribuidos como inductancia, resistencia, capacitancia y conductancia por unidad de longitud. Esto permite desarrollar ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento de voltajes y corrientes a lo largo de la línea.
Este documento presenta cuatro problemas de cálculo relacionados con funciones, puntos críticos, integrales dobles y volúmenes. El primer problema encuentra los puntos críticos de una función de tres variables y determina su naturaleza. El segundo problema encuentra los puntos de máximo y mínimo absoluto de una función sobre una curva de intersección de superficies. El tercer problema calcula una integral doble sobre una región acotada. El cuarto problema verifica la fórmula para el volumen de un cilindro y calcula el volumen
(1) El documento describe las funciones complejas de variable real, sus derivadas e integrales. Las reglas del cálculo son análogas a las funciones reales.
(2) También define curvas y contornos en el plano complejo y establece la integral de contorno como la integral de una función a lo largo de una curva.
(3) Explica que las integrales de contorno son independientes del camino cuando la función tiene una primitiva en el dominio, es decir, cuando la integral a lo largo de cualquier contorno cerrado es cero.
El documento presenta los números complejos, incluyendo su representación como a + bi, operaciones como suma, resta, multiplicación y división, y formas polares y trigonométricas. También cubre ecuaciones irresolubles en números reales y aplicaciones de los números complejos.
Este documento presenta una introducción a las integrales definidas e integrales impropias en el campo de cálculo. Explica los tipos de integrales definidas, incluidas las integrales alrededor de una circunferencia y a lo largo del eje real. También introduce los lemas de Jordan y cómo se pueden usar para calcular integrales alrededor de polos y singularidades. Por último, define las integrales impropias y discute casos en los que convergen o divergen.
Este documento contiene la solución de varios problemas relacionados con la conversión entre coordenadas cartesianas y polares. En el primer problema, el autor convierte puntos cartesianos a polares y los grafica. Luego, transforma ecuaciones cartesianas a polares y resuelve por áreas bajo curvas dadas en coordenadas polares.
El documento presenta la solución paso a paso de varios problemas relacionados con la conversión entre coordenadas cartesianas y polares. En el primer problema, se convierten puntos cartesianos específicos a coordenadas polares y viceversa. Los siguientes problemas involucran transformar ecuaciones entre los sistemas de coordenadas y calcular áreas de regiones delimitadas por curvas dadas en coordenadas polares.
Unidad 2 control 2 /FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA PULSODavinso Gonzalez
La transformada Z es una herramienta análoga a la transformada de Laplace para sistemas de tiempo discreto. Se define la transformada Z de una secuencia discreta x(k) y de una función muestreada x(kT). El documento presenta ejemplos de cálculo de transformadas Z para diferentes funciones y desarrolla propiedades como linealidad y traslación. También explica métodos para calcular la transformada Z inversa como división directa, uso de la función delta de Kronecker y expansión en fracciones parciales.
ESPERAMOS QUE ESTA INFOGRAFÍA SEA UNA HERRAMIENTA ÚTIL Y EDUCATIVA QUE INSPIRE A MÁS PERSONAS A ADENTRARSE EN EL APASIONANTE CAMPO DE LA INGENIERÍA CIVIŁ. ¡ACOMPAÑANOS EN ESTE VIAJE DE APRENDIZAJE Y DESCUBRIMIENTO
1. Cap´ıtulo 5
Series de Laurent
Problema 5.1 Hallar las series de Laurent centradas en z0 = 1 de la funci´on
f(z) = (z − 1)/z2
.
Soluci´on:
La funci´on f es holomorfa salvo en z = 0. Por tanto, si centramos las series
en z0 = 1, tendremos dos series de Laurent, una en la bola B(1; 1) y otra en la
corona C(1; 1, ∞).
B(1;1)
C(1;1,∞)
0 1
Figura 5.1: Coronas de f(z) = (z − 1)/z2
La serie de Laurent en la bola B(1; 1) coincide con la serie de Taylor. Usamos
la serie de g(z) = z−2
,
1
z2
=
∞
n=0
(−1)n
(n + 1)(z − 1)n
, pues gr)
(z) = (−1)r
(r + 1)!z−2−r
,
que tambi´en podemos obtener como derivada de la serie de la funci´on −z−1
,
que es una serie geom´etrica,
1
z
=
1
1 + (z − 1)
=
∞
n=0
(−1)n
(z − 1)n
.
f(z) =
z − 1
z2
=
∞
n=0
(−1)n
(n + 1)(z − 1)n+1
=
∞
m=1
(−1)m−1
m(z − 1)m
= (z − 1) − 2(z − 1)2
+ 3(z − 1)3
− 4(z − 1)4
+ O (z − 1)5
.
1
2. Para la otra corona, podemos hacer el cambio w = 1/(z − 1) y desarrollar
en w = 0,
f(z) =
w−1
(w−1 + 1)2
=
w
(w + 1)2
=
∞
n=0
(−1)n
(n + 1)wn+1
=
∞
m=1
(−1)m−1
m
(z − 1)m
= (z − 1)−1
− 2(z − 1)−2
+ 3(z − 1)−3
− 4(z − 1)−4
+ O (z − 1)−5
,
teniendo en cuenta que la serie de McLaurin de 1/(w + 1)2
ya la tenemos,
tomando u = w + 1,
1
(w + 1)2
=
1
u2
=
∞
n=0
(−1)n
(n + 1)(u − 1)n
=
∞
n=0
(−1)n
(n + 1)wn
. 2
Problema 5.2 Hallar la serie de Laurent de la funci´on f(z) = 1/z2
sinh z en
una corona C(0; 0, r). ¿Cu´al es el valor de r?
Soluci´on:
La funci´on f es holomorfa salvo en los ceros del denominador, que son z =
inπ, n ∈ Z. El polo z = 0 es triple y el resto son simples. Por tanto, la primera
corona en la que es holomorfa es C(0; 0, π).
0
C(0;0,π)
iπ
-iπ
i2π
-i2π
Figura 5.2: Coronas de f(z) = 1/z2
sinh z
Como f(z) = g(z)/z3
, precisamos solamente la serie de McLaurin de g(z) =
z/ sinhz, que es holomorfa en B(0; π). Como es par,
g(z) = a0 + a2z2
+ a4z4
+ O(z6
) , sinh z = z +
z3
6
+
z5
120
+ O(z7
) ,
z = g(z) sinh z = a0z + a2 +
a0
6
z3
+ a4 +
a2
6
+
a0
120
z5
+ O(z7
)
g(z) = 1 −
z2
6
+
7z4
360
+ O(z6
) ,
f(z) =
1
z3
−
1
6z
+
7z
360
+ O(z3
) . 2
2
3. Problema 5.3 Hallar las series de Laurent centradas en el origen de la funci´on
f(z) = 1/(z − 1)(z − 2).
Soluci´on:
La funci´on es holomorfa salvo en sus polos simples, z = 1, z = 2. Por tanto,
tenemos tres coronas en las que la funci´on es holomorfa, B(0; 1), C(0; 1, 2),
C(0; 2, ∞).
C(0;1,2)
0 1 2
C(0;2,∞)
B(0;1)
Figura 5.3: Coronas de f(z) = f(z) = 1/(z − 1)(z − 2)
Nos ser´an muy ´utiles las series geom´etricas,
1
z − 1
= −
∞
n=0
zn
, si |z| < 1 ,
1
z − 1
=
1/z
1 − 1/z
=
∞
n=0
1
zn+1
, si |z| > 1 ,
1/2
z/2 − 1
= −
∞
n=0
zn
2n+1
, si |z| < 2 ,
1
z − 2
=
1/z
1 − 2/z
=
∞
n=0
2n
zn+1
, si |z| > 2 ,
ya que ahora s´olo tenemos que restar las series convergentes en cada regi´on,
f(z) =
1
z − 2
−
1
z − 1
.
En B(0; 1),
f(z) =
∞
n=0
1 −
1
2n+1
zn
=
1
2
+
3
4
z +
7
8
z2
+
15
16
z3
+
31
32
z4
+ O(z5
) .
En C(0; 1, 2),
f(z) = −
∞
n=1
1
zn
−
∞
n=0
zn
2n+1
.
En C(0; 2, ∞),
f(z) =
∞
n=1
2n−1
− 1
zn
= z−2
+ 3z−3
+ 7z−4
+ O(z−5
) . 2
Problema 5.4 Hallar las dos primeras series de Laurent de la funci´on f(z) =
cosec z.
3
4. Soluci´on:
La funci´on f(z) = 1/ sinz es holomorfa salvo en z = nπ, n ∈ Z. Luego f es
anal´ıtica en infinitas coronas de la forma C(0; nπ, (n + 1)π).
C(0;π,2π)
0 2π
C(0;2π,3π)
C(0;0,π)
π−π−2π
Figura 5.4: Coronas de f(z) = cosec z
En C(0; 0, π), tenemos que la funci´on g(z) = z/ sinz es holomorfa y par y
tiene serie de McLaurin, g(z) = anzn
,
z = g(z) sin z = a0 + a2z2
+ a4z4
z −
z3
6
+
z5
120
+ O(z7
)
= a0z + a2 −
a0
6
z3
+ a4 −
a2
6
+
a0
120
z5
+ O(z7
) ,
g(z) = 1 +
z2
6
+
7z4
360
+ O(z6
) , f(z) =
g(z)
z
=
1
z
+
z
6
+
7z3
360
+ O(z5
) .
En la corona C(0; π, 2π), la situaci´on es m´as complicada. Tratamos de sepa-
rar la parte principal de la funci´on de la parte holomorfa, buscando una funci´on
h,
h(z) =
1
sin z
−
a
z
−
b
z − π
−
c
z + π
,
que sea holomorfa en z = 0, ±π, para poder calcular su serie de McLaurin.
Como sin z = z+O(z3
), a = 1. Como sin z = π−z+O (z−π)3
, b = −1. Del
mismo modo, c = −1. Por tanto, simplificando y usando las series ya conocidas,
h(z) =
1
sin z
−
1
z
−
1/π
1 − z/π
+
1/π
1 + z/π
=
z
6
+
7z3
360
−
1
π
+
z
π2
+
z2
π3
+
z3
π4
+
z4
π5
+
1
π
−
z
π2
+
z2
π3
−
z3
π4
+
z4
π5
=
1
6
−
2
π2
z +
7
360
−
2
π4
z3
+ O(z5
) ,
obtenemos una serie convergente en B(0; 2π). As´ı pues,
1
sin z
= h(z) +
1
z
+
1/π
1 − z/π
−
1/π
1 + z/π
= h(z) +
1
z
−
2z
z2 − π2
= −2
∞
n=1
π2n
z2n+1
−
1
z
+
1
6
−
2
π2
z +
7
360
−
2
π4
z3
+ O(z5
) ,
4
5. para lo cual hemos expresado, para |z| > π, la serie geom´etrica,
z
z2 − π2
=
1/z
1 − π2/z2
=
∞
n=0
π2n
z2n+1
=
1
z
+
π2
z3
+
π4
z5
+ O(z−7
) . 2
Problema 5.5 Calcular las integrales de las siguientes funciones:
1. 1/(z2
− 1) a lo largo de la circunferencia de radio 2 centrada en el origen.
2. 1/(z2
+ z − 1) a lo largo de la circunferencia de radio 1/2 centrada en el
origen.
3. 1/(z4
+1) a lo largo de la semicircunferencia superior de radio 2 centrada
en el origen.
4. (1 + z)/(1 − cos z) a lo largo de la circunferencia de radio 7 centrada en
el origen.
5. sin z/(1 − cos z) a lo largo de la circunferencia de radio 8 centrada en el
origen.
6. sin2
z/(1 − cos z) a lo largo de la circunferencia de radio 5π centrada en
el origen.
Soluci´on:
1. La funci´on f(z) = 1/(z2
− 1) es holomorfa salvo en z = ±1, que son polos
simples, ambos rodeados por la circunferencia, Γ, de radio 2 centrada en
el origen. Calculamos ambos residuos,
Res (f, ±1) = l´ım
z→±1
z 1
z2 − 1
= l´ım
z→±1
1
2z
= ±
1
2
,
y aplicamos el teorema de los residuos para calcular la integral,
Γ
f(z) dz = i2πRes (f, 1) + i2πRes (f, −1) = 0 . 2
¡
Γ
Figura 5.5: Curva Γ y polos de f(z) = 1/(z2
− 1)
2. La funci´on 1/(z2
+ z − 1) es holomorfa salvo en z = (−1 ±
√
5)/2, que son
polos simples, ninguno de ellos rodeado por la circunferencia, Γ, de radio
1/2 centrada en el origen. Por tanto, la integral es nula. 2
5
7. ¡
π ¢
π−2π−4π
Γ
Figura 5.8: Curva Γ y polos de f(z) = (1 + z)/(1 − cos z)
e igualmente Res (f, −2π) = 2. Aplicamos el teorema de los residuos para
calcular la integral,
Γ
f(z) dz = i2π (Res (f, 0) + Res (f, 2π) + Res (f, −2π)) = i12π . 2
5. La funci´on f(z) = sin z/(1 − cos z) es holomorfa salvo en z = n2π, n ∈
Z. De ellos, s´olo 0, ±2π, est´an rodeados por la circunferencia de radio 8
centrada en el origen. Como sin z = z + O(z3
) y 1 − cos z = z2
/2 + O(z4
),
los polos son simples. Los tres residuos son iguales, ya que la funci´on es
peri´odica,
f(z) =
sin z
1 − cos z
=
z + O(z3
)
z2/2 + O(z4)
=
2
z
+ O(z) , Res (f, 0) = 2 .
Aplicamos el teorema de los residuos para calcular la integral,
Γ
f(z) dz = i2π (Res (f, 0) + Res (f, 2π) + Res (f, −2π)) = i12π . 2
6. La funci´on f(z) = sin2
z/(1 − cos z) presenta singularidades evitables en
z = n2π, n ∈ Z, ya que,
f(z) =
1 − cos2
z
1 − cos z
= 1 + cos z ,
por lo que se puede extender a una funci´on entera y su integral a lo largo
de cualquier curva cerrada es nula. 2
Problema 5.6 Calcular las siguientes integrales:
1.
2π
0
dt
2−sin t .
2.
π
0
dt
2 cos t+3 .
3.
2π
0
dt
1+a2−2a cos t , 1 = a 0.
4.
2π
0
ecos t
cos(nt − sin t) dt, n ≥ 1.
5.
π
0 sin2n
t dt.
7
8. Soluci´on:
Trasladamos las integrales a la circunferencia, Γ, centrada en el origen de
radio unidad, mediante la transformaci´on z = eit
, dz = ieit
dt.
1.
2π
0
dt
2 − sin t
=
Γ
2 dz
i4z − z2 + 1
= i2πRes
2
i4z − z2 + 1
, z0 =
2
√
3π
3
,
ya que el integrando tiene polos simples en z = i(2 ±
√
3) y s´olo z0 =
i(2 −
√
3) est´a en el interior de la circunferencia,
Res
2
i4z − z2 + 1
, z0 = l´ım
z→z0
(z − z0)2
i4z − z2 + 1
= l´ım
z→z0
2
i4 − 2z
=
1
i
√
3
. 2
i(2+√3)
i(2-√3)
Γ
Figura 5.9: Circunferencia unidad y polos de f(z) = 2/(i4z − z2
+ 1)
2. Como el coseno es sim´etrico respecto a π, la integral es la mitad de la
integral en el intervalo [0, 2π],
π
0
dt
2 cos t + 3
= −
i
2 Γ
dz
z2 + 1 + 3z
= πRes
1
z2 + 1 + 3z
, z0 =
√
5π
5
,
ya que el integrando tiene polos simples en z = (−3 ±
√
5)/2 y s´olo z0 =
(−3 +
√
5)/2 est´a en el interior de la circunferencia,
Res
1
z2 + 1 + 3z
, z0 = l´ım
z→z0
z − z0
z2 + 1 + 3z
= l´ım
z→z0
1
2z + 3
=
1
√
5
. 2
3.
2π
0
dt
1 + a2 − 2a cost
= −i
Γ
dz
(1 + a2)z − a(z2 + 1)
.
El integrando es una funci´on holomorfa salvo en los polos simples z =
a, 1/a, de los cuales s´olo uno est´a en el interior de la circunferencia. Cal-
culamos los residuos, para f(z) = 1/ (1 + a2
)z − a(z2
+ 1) ,
Res (f, a) = l´ım
z→a
z − a
(1 + a2)z − a(z2 + 1)
= l´ım
z→a
1
(1 + a2) − 2az
=
1
1 − a2
,
8
9. Γ
(-3+√5)/2(-3-√5)/2
Figura 5.10: Circunferencia unidad y polos de f(z) = 1/(z2
+ 1 + 3z)
Γ
a 1/a
Figura 5.11: Circunferencia unidad y polos de f(z) = 1/((1 + a2
)z − a(z2
+ 1))
Res (f, 1/a) = l´ım
z→1/a
z − 1/a
(1 + a2)z − a(z2 + 1)
=
1
a2 − 1
,
2π
0
dt
1 + a2 − 2a cost
=
2π
|a2 − 1|
. 2
4.
I =
2π
0
ecos t
cos(nt − sin t) dt =
2π
0
ecos t ei(nt−sin t)
+ ei(sin t−nt)
2
dt
= −
i
2 Γ
e1/z
zn−1
+ ez
z−n−1
dz
= πRes e1/z
zn−1
, 0 + πRes ez
z−n−1
, 0 =
2π
n!
,
donde los residuos los obtenemos de los desarrollos,
e1/z
zn−1
= zn−1
+ · · · +
1
n!
z−1
+ O(z−2
) , Res e1/z
zn−1
, 0 =
1
n!
,
ez
z−n−1
= z−n−1
+ · · · +
1
n!
z−1
+ O(1) , Res ez
z−n−1
, 0 =
1
n!
. 2
5. Como el integrando es sim´etrico respecto de π, la integral es la mitad de
la integral en el intervalo [0, 2π],
I =
π
0
sin2n
t dt = −
i
2 Γ
z − z−1
2i
2n
dz
z
= −
i(−1)n
22n+1
Γ
(z2
− 1)2n
z2n+1
dz
=
(−1)n
π
22n
Res
(z2
− 1)2n
z2n+1
, 0 =
π
22n
(2n)!
(n!)2
=
π
22n
2n
n
2n − 1
n − 1
. . .
n + 1
1
.
9
10. Pues para calcular el residuo nos interesa el coeficiente del t´ermino de
grado 2n del numerador,
(z2
− 1)2n
=
2n
k=0
2n
k
z2k
(−1)2n−k
=
2n
n
(−1)n
z2n
+ · · · . 2
Problema 5.7 Calcular las integrales de las siguientes funciones a lo largo de
la recta real:
1. 1/(x4
+ 1).
2. 1/(x6
+ 1).
3. 1/(x2
− 2x + 4).
4. 1/(x2
+ a2
).
5. 1/(x2
+ a2
)(x2
+ b2
)2
.
Soluci´on:
Todas ellas se pueden reducir a integrales en el dominio complejo, bien en el
semiplano superior, bien en el inferior, ya que el l´ımite de zf(z) cuando z tiende
a infinito es cero para todas ellas y no tienen polos en el eje real.
1. La funci´on f(z) = 1/(z4
+1) tiene polos en z = eiπ/4
, ei3π/4
, ei5π/4
, ei7π/4
,
de los cuales los dos primeros est´an en el semiplano superior. Por tanto,
∞
−∞
f(x) dx = i2π Res f, eiπ/4
+ Res f, ei3π/4
=
√
2
2
π ,
Res f, eiπ/4
= l´ım
z→eiπ/4
z − eiπ/4
z4 + 1
= l´ım
z→eiπ/4
1
4z3
=
e−iπ/4
4
=
1 − i
4
√
2
,
Res f, ei3π/4
=
e−i3π/4
4
= −
1 + i
4
√
2
. 2
eiπ/4
ei3π/4
e-iπ/4e-i3π/4
Figura 5.12: Polos de f(z) = 1/(z4
+ 1)
10
11. 2. La funci´on f(z) = 1/(z6
+ 1) tiene polos en z = eiπ/6
, eiπ/2
, ei5π/6
en el
semiplano superior. Por tanto,
∞
−∞
f(x) dx = i2π
2
n=0
Res f, ei(2n+1)π/6
= i2π
√
3 − i
12
−
i
6
−
√
3 + i
12
=
2
3
π ,
Res f, einπ/6
= l´ım
z→einπ/6
z − einπ/6
z6 + 1
= l´ım
z→einπ/6
1
6z5
=
e−in5π/6
6
. 2
eiπ/6
e-i5π/6
ei5π/6
e-iπ/6
-i
i
Figura 5.13: Polos de f(z) = 1/(z6
+ 1)
3. La funci´on 1/(z2
− 2z + 4) tiene un ´unico polo simple, z0 = 1 + i
√
3, en el
semiplano superior. Por tanto,
∞
−∞
f(x) dx = i2πRes (f, z0) =
√
3
3
π ,
Res (f, z0) = l´ım
z→z0
z − z0
z2 − 2z + 4
= l´ım
z→z0
1
2z − 2
=
1
i2
√
3
. 2
-ia
ia
Figura 5.14: Polos de f(z) = 1/(z2
+ a2
)
4. La funci´on 1/(z2
+a2
) tiene un ´unico polo simple, z0 = ia, en el semiplano
superior si a 0. Por tanto,
∞
−∞
f(x) dx = i2πRes (f, z0) =
π
a
,
11
12. Res (f, z0) = l´ım
z→z0
z − z0
z2 + a2
= l´ım
z→z0
1
2z
=
1
i2a
. 2
5. La funci´on 1/(z2
+ a2
)(z2
+ b2
)2
tiene un polo simple, z0 = ia, y un polo
doble, z1 = ib, en el semiplano superior si a = b 0. Por tanto,
∞
−∞
f(x) dx = i2π
1
n=0
Res (f, zn) =
π
a(a2 − b2)2
+
a2
− 3b2
2(a2 − b2)2b3
π ,
Res (f, z0) = l´ım
z→z0
(z−z0)f(z) = l´ım
z→z0
1
(z + ia)(z2 + b2)2
=
1
i2a(a2 − b2)2
.
Res (f, z1) = l´ım
z→z1
d
dz
(z − z1)2
f(z) = l´ım
z→z1
d
dz
1
(z2 + a2)(z + ib)2
= l´ım
z→z1
−2z(z + ib) − 2(z2
+ a2
)
(z2 + a2)2(z + ib)3
=
1
i4
a2
− 3b2
(a2 − b2)2b3
. 2
ib
-ib
-ia
ia
Figura 5.15: Polos de f(z) = 1/(z2
+ a2
)(z2
+ b2
)2
En el caso en el que a = b, el polo es triple, z0 = ia. Por tanto,
∞
−∞
f(x) dx = i2πRes (f, z0) =
3π
8a5
,
Res (f, z0) = l´ım
z→z0
1
2
d2
dz2
(z − z0)3
f(z) = l´ım
z→z0
d2
dz2
1
(z + ia)3
= l´ım
z→z0
12
(z + ia)5
=
3
i8a5
. 2
Problema 5.8 Calcular las integrales de las siguientes funciones a lo largo de
la recta real:
1. eikx
/(x2
+ a2
), a 0
2. cos kx/(x2
+ 1).
3. sin kx/(x2
+ 1).
4. eikx
/(x + ia), a 0.
5. x3
sin x/(x2
+ 1)2
.
12
13. 6. cos x/(x2
+ 4)(x2
+ 1).
Soluci´on:
Todas ellas se pueden reducir a integrales en el dominio complejo de funciones
de la forma eikx
f(x), ya que el l´ımite de f(z) cuando z tiende a infinito es cero
para todas ellas y no tienen polos en el eje real.
1. Para k 0: la funci´on f(z) = 1/(z2
+ a2
) tiene un ´unico polo simple en
z0 = ia en el semiplano superior si a 0. Por tanto,
∞
−∞
f(x)eikx
dx = i2πRes f(z)eikz
, z0 =
π
a
e−ka
,
Res f(z)eikz
, z0 = l´ım
z→z0
z − z0
z2 + a2
eikz
= l´ım
z→z0
eikz
z + ia
=
e−ka
i2a
.
Para k = −il 0 podemos usar el residuo en z1 = −ia, pero es m´as
c´omodo usar las propiedades de simetr´ıa del integrando,
∞
−∞
f(x)e−ilx
dx =
∞
−∞
f(−y)eily
dy =
∞
−∞
f(y)eily
dy =
π
a
eka
,
haciendo el cambio de variable y = −x. Juntando ambos resultados,
∞
−∞
f(x)eikx
dx =
π
a
e−|k|a
. 2
2. Esta integral es la parte real de la anterior, luego vale πe−|k|a
/a. 2
3. El integrando es una funci´on impar, luego la integral es nula. 2
4. Para k 0, no hay polos en el semiplano inferior, as´ı que la integral es
nula.
-ia
Figura 5.16: Polos de f(z) = eikz
/(z + ia)
Para k 0, la funci´on f(z) = 1/(z + ia), tiene un polo simple, z0 = −ia,
en el semiplano inferior. Por tanto,
∞
−∞
f(x)eikx
dx = −i2πRes f(z)eikz
, z + ia = −i2πeka
. 2
13
14. 5. La integral es la parte imaginaria de la integral de Fourier de una funci´on,
que extendida al dominio complejo, f(z) = z3
/(z2
+ 1)2
, tiene un ´unico
polo doble, z0 = i, en el semiplano superior. Por tanto,
∞
−∞
f(x)eix
dx = i2πRes f(z)eiz
, i =
iπ
2e
,
∞
−∞
f(x) sin x dx =
π
2e
,
Res f(z)eiz
, i = l´ım
z→i
d
dz
(z − i)2
z3
(z2 + 1)2
eiz
= l´ım
z→i
d
dz
z3
eiz
(z + i)2
=
1
4e
. 2
6. La integral es la parte real de la integral de Fourier de una funci´on, que
extendida al dominio complejo, f(z) = 1/(z2
+ 4)(z2
+ 1), tiene dos polos
simples, z0 = i, z1 = i2, en el semiplano superior. Por tanto,
∞
−∞
f(x)eix
dx = i2π
1
n=0
Res f(z)eiz
, zn =
π
3e
−
π
6e2
,
∞
−∞
f(x) cos x dx =
π
3e
−
π
6e2
,
Res f(z)eiz
, z0 = l´ım
z→z0
(z − z0)eiz
(z2 + 4)(z2 + 1)
= l´ım
z→z0
eiz
(z2 + 4)(z + i)
=
1
i6e
,
Res f(z)eiz
, z1 = l´ım
z→z1
eiz
(z2 + 1)(z + i2)
=
i
12e2
. 2
Problema 5.9 Calcular
3
2
√
5x−x2−6
x2 dx.
Soluci´on:
La integral propuesta es de la forma,
3
2
√
5x − x2 − 6
x2
dx =
3
2
f(x) |x − 2| · |x − 3| dx ,
con f(z) = 1/z2
.
2 30
Figura 5.17: Puntos singulares del integrando
La funci´on g(z) = f(z)
√
z − 2 π
√
z − 3 π
tiene un polo doble en z0 = 0,
fuera del intervalo de integraci´on,
Res (g, 0) = l´ım
z→0
d
dz
√
z − 2 π
√
z − 3 π
=
√
−3 π
2
√
−2 π
+
√
−2 π
2
√
−3 π
=
5
√
6
12
.
14
15. El infinito es polo simple, ya que,
g(w−1
)
w2
=
1
w
1 − 5w + 6w2
π
,
Res (g, ∞) = − l´ım
w→0
1 − 5w + 6w2
π
= −1 ,
Con lo cual, ya estamos en condiciones de evaluar la integral,
3
2
√
5x − x2 − 6
x2
dx = πRes (g, ∞) + πRes (g, 0) =
5
√
6
12
π − π . 2
Problema 5.10 Calcular
∞
0
log x
x2+1 dx.
Soluci´on:
Esta integral se reduce a una en el dominio complejo. Para ello, tenemos que
calcular los polos fuera del semieje positivo de la funci´on g(z) = (ln z)2
2π/(z2
+1),
que son dos polos simples, z = ±i,
Res (g, i) = l´ım
z→i
(ln z)2
2π
z + i
= −
π2
/4
i2
, Res (g, −i) = l´ım
z→−i
(ln z)2
2π
z − i
=
9π2
/4
i2
,
∞
0
log x
x2 + 1
dx = −
(Res (g, i) + Res (g, −i))
2
= (iπ2
/2) = 0 . 2
0
i
-i
Figura 5.18: Puntos singulares del integrando
La integral por residuos se va a la parte imaginaria,
∞
0
dx
x2 + 1
= −
(Res (g, i) + Res (g, −i))
2π
= (iπ/2) =
π
2
,
que ya era conocida.
Problema 5.11 Calcular
∞
0
log x
(x2+1)2 dx.
Soluci´on:
Esta integral se reduce a una en el dominio complejo. Para ello, tenemos que
calcular los polos fuera del semieje positivo de la funci´on g(z) = (ln z)2
2π/(z2
+
1)2
, que son dos polos dobles, z = ±i,
15
16. Res (g, i) = l´ım
z→i
d
dz
(ln z)2
2π
(z + i)2
= l´ım
z→i
2(ln z)2π
z(z + i)2
−
2(ln z)2
2π
(z + i)3
= −
π
4
+ i
π2
16
,
Res (g, −i) = l´ım
z→−i
d
dz
(ln z)2
2π
(z − i)2
= l´ım
z→−i
2(ln z)2π
z(z − i)2
−
2(ln z)2
2π
(z − i)3
=
3π
4
− i
9π2
16
,
∞
0
log x
(x2 + 1)2
dx = −
(Res (g, i) + Res (g, −i))
2
= −
π − iπ2
4
= −
π
4
. 2
Problema 5.12 Calcular la integral
∞
0
sin2
x
x2
dx, usando el valor principal
de
∞
−∞
1 − ei2x
x2
dx.
Soluci´on:
Calculamos el valor principal
I := −
∞
−∞
1 − ei2x
x2
dx = iπRes (f, 0) = 2π ,
teniendo en cuenta que, como z = 0 es un polo simple de f(z) = (1 − ei2z
)/z2
,
por ser 1 − ei2z
= −i2z + O(z2
),
Res (f, 0) = l´ım
z→0
zf(z) = l´ım
z→0
1 − ei2z
z
= −i2 .
La integral que buscamos est´a relacionada con la parte real de esta integral,
(I) =
∞
−∞
1 − cos 2x
x2
dx = 2π .
Esta integral es convergente en el origen, ya que 1−cos 2x = 2 sin2
x = O(x2
).
Es una singularidad evitable. Por tanto, como el integrando es par,
∞
0
sin2
x
x2
dx =
1
2
∞
−∞
sin2
x
x2
dx =
1
4
∞
−∞
1 − cos 2x
x2
dx =
π
2
. 2
Problema 5.13 Calcular la integral
∞
0
sin3
x
x3
dx, usando el valor principal
de
∞
−∞
3eix
− ei3x
− 2
x3
dx.
Soluci´on:
Calculamos el valor principal
I := −
∞
−∞
3eix
− ei3x
− 2
x3
dx = iπRes (f, 0) = i3π ,
16
17. teniendo en cuenta que, como z = 0 es un polo simple de f(z) = (3eiz
− ei3z
−
2)/z3
, por ser 3eiz
− ei3z
− 2 = 3z2
+ O(z3
),
Res (f, 0) = l´ım
z→0
zf(z) = l´ım
z→0
3eiz
− ei3z
− 2
z2
= 3 .
La integral que buscamos est´a relacionada con la parte imaginaria de esta
integral,
(I) =
∞
−∞
3 sin x − sin 3x
x3
dx = 3π .
Esta integral es convergente en el origen, ya que 3 sin x − sin 3x = 4 sin3
x =
O(x3
). Es una singularidad evitable. Por tanto, como el integrando es par,
∞
0
sin3
x
x3
dx =
1
2
∞
−∞
sin3
x
x3
dx =
1
8
∞
−∞
3 sin x − sin 3x
x3
dx =
3
8
π . 2
Problema 5.14 Calcular la suma de la serie
∞
n=1
1/(n2
+ 1)2
.
Soluci´on:
La funci´on f(z) = 1/(z2
+ 1)2
tiene polos dobles en z = ±i y cumple los
requisitos para aplicar
∞
n=−∞
f(n) = −Res (π cot πzf(z), i) − Res (π cot πzf(z), −i) ,
para lo cual calculamos los residuos,
Res (π cot πzf(z), ±i) = l´ım
z→±i
d
dz
π cot πz
(z i)2
= l´ım
z→±i
−
π2
cosec2
πz
(z i)2
−
2π cot πz
(z i)3
= −
π coth π + π2
cosech2
π
4
,
∞
n=−∞
f(n) = 2
∞
n=1
f(n) + 1 =
π coth π + π2
cosech2
π
2
,
∞
n=1
f(n) =
π coth π + π2
cosech2
π
4
−
1
2
,
teniendo en cuenta que f es una funci´on par. 2
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