Este documento presenta dos problemas de análisis complejo. El primer problema estudia la convergencia de dos sucesiones de funciones analíticas. El segundo problema calcula una integral utilizando la fórmula integral de Cauchy para derivadas. También incluye un test con 5 preguntas sobre conceptos de análisis complejo.

1. PRUEBA DE EVALUACION
CONTINUA DE VARIABLE
COMPLEJA 2016
1.Problema Dadas las sucesiones de funciones analíticas en D (0; 1)
i) fn (z) =
zn
n + zn
n 1
,
ii) fn (z) =
nzn
1 + zn
n 1
.
Se pide estudiar la convergencia y convergencia de ambas sucesiones.
2.Problema. Calcular la siguiente integral utilizando la fórmula integral
de Cauchy para las derivadas
Z
C
e2z
(z + 1)
4 dz ,
donde C = fz j jz + 1j = 3g recorrida una vez en sentido positivo.
TEST
1.Pregunta. Dada la ecuación
zz 2z 2z 8 = 0 ,
el conjunto de soluciones en el plano complejo representa:
A) una recta
B) una circunferencia
C) el conjunto vacío .
2.Pregunta. Si el radio de convergencia de la serie de potencias
1X
n=0
anzn
1

2. es R , donde 0 < R < 1 , entonces el radio de convergencia R1 de la serie
1X
n=1
n n
anzn
,
es:
A) R1 = 0
B) R1 = eR
C) R1 = 1 .
3.Pregunta. ¿Cual de las siguientes a…rmaciones sobre la función expo-
nencial es cierta?
A) lim
z!1
ez
= 1
B) lim
z!1
ez
= 0 cuando z tiende a 1 y z 2 Y = fz = x + yi j 0 x 2 g
C) lim
z!1
ez
= 0 cuando z tiende a 1 y z 2 X = fz = x + yi j x < 0 , 0 y 2 g
.
4.Pregunta. Si f (z) es una función analítica ¿cual de las siguientes fun-
ciones g (z) es también analítica?
A) g (z) = f (z)
B) g (z) = f (z)
C) g (z) = f (z) .
5.Pregunta. ¿Cual de las siguientes a…rmaciones es correcta?
A) Si f : A ! C es analítica, siempre se veri…ca
Z
f (z) dz = 0 ,
si es un camino cerrado en A .
B) Si Z
f (z) dz = 0
para todo camino cerrado entonces existe una primitiva F (z) de f (z) , es decir
se satisface
F0
(z) = f (z) , z 2 A .
C) Si f : A ! C es analítica, A abierto, y si 1; 2 : [a; b] ! C son dos
caminos tales que
1 (a) = 2 (a) , 1 (b) = 2 (b) ,
2

3. entonces Z
1
f (z) dz =
Z
2
f (z) dz .
3

4. SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS
1. Problema. Dadas las sucesiones de funciones analíticas en D (0; 1)
i) fn (z) =
zn
n + zn
n 1
,
ii) fn (z) =
nzn
1 + zn
n 1
.
Se pide estudiar la convergencia de ambas sucesiones.
Solución.
i) De la estimación
jfn (z)j
1
n 1
en D (0; 1) ,
deducimos la convergencia uniforme de fn (z) en D (0; 1) a la función identica-
mente nula f0 (z) 0 cuando n ! 1:
ii) Sea D (0; r) el disco cerrado de radio r < 1:De la estimación en
D (0; r)
jfn (z)j
nrn
1 rn
,
donde
nrn
1 rn
! 0 , cuando n ! 1
concluimos la convergencia uniforme sobre compactos de fn (z) en D (0; 1) a la
función identicamente nula f0 (z) 0 cuando n ! 1:
Problema 2. Calcular la siguiente integral utilizando la fórmula integral
de Cauchy para las derivadas
Z
C
e2z
(z + 1)
4 dz ,
donde C = fz j jz + 1j = 3g recorrida una vez en sentido positivo.
Solución. Aplicando la fórmula integral de Cauchy para las derivadas
obtenemos en este caso
Z
C
e2z
(z + 1)
4 dz =
2 i
3!
"
d3)
e2z
dz3
#
z= 1
=
2 i
3!
23
e2z
z= 1
=
8 i
3e2
.
SOLUCIONES DEL TEST : 1-B , 2-C , 3-C , 4-B, 5-B ,
4