El documento resume las propiedades del flujo eléctrico y la Ley de Gauss. Explica que el flujo eléctrico mide el número de líneas de campo que pasan a través de una superficie y cómo se calcula el flujo a través de superficies planas y curvas. Luego introduce la Ley de Gauss, que establece que el flujo eléctrico total a través de una superficie cerrada es proporcional a la carga total encerrada. Finalmente, resume las propiedades del campo eléctrico en conductores en equilibrio

1. LEY DE GAUSS
TEMA II
Mgr. Iván Ruiz U.

2. FLUJO ELÉCTRICO
El flujo eléctrico, es una magnitud física escalar que mide el
número de líneas de campo que pasa por una sección
transversal, es decir, la intensidad del campo eléctrico en una
sección transversal.
I. Ruiz
FLUJO ELÉCTRICO DE UN CAMPO CONSTANTE EN UNA
SUPERFICIE PLANA
Considerando un campo eléctrico
constante definido en una superficie plana
de área A.
Se define el flujo eléctrico, como el
producto de la componente normal del
campo eléctrico multiplicado por el área de
la superficie.
E n
E A
 =

3. La componente normal del campo eléctrico
esta dada por la expresión:
I. Ruiz
Por tanto el flujo esta dada por:
cos
E E A
 
=
FLUJO ELÉCTRICO DE UN CAMPO CONSTANTE EN UNA
SUPERFICIE PLANA
cos
n
E E 
=
Considerando la definición del producto escalar y representando
el área en forma vectorial, el flujo eléctrico esta dada por la
expresión:
E E n A
 = 
Donde, es el vector unitario normal a la superficie
n

4. Considerando un campo eléctrico
variable definido en una superficie
curva; esta superficie se subdivide
en diferenciales de áreas, donde
esta definido el diferencial de flujo
eléctrico:
I. Ruiz
FLUJO ELÉCTRICO DE UN CAMPO VARIABLE EN UNA
SUPERFICIE CURVA
El flujo eléctrico total sobre la superficie curva esta dada por:
Ei i i i
E n A

 =  
0 0
1 1
lim lim
i i
N N
E Ei i i i
A A
i i
E n A
 
 →  →
= =
=  =  
 
Por la definición de integral, el flujo eléctrico para un campo
variable definido en una superficie curva de área, A esta dado
por:
E
A
E n d A
 = 


5. Considerando una superficie
cerrada, llamada Superficie
Gaussiana SG, en cuya superficie
esta definida un campo eléctrico, el
flujo eléctrico a través de la
Superficie Gaussina tiene la misma
definición al caso anterior, pero que
se denota por la expresión:
I. Ruiz
FLUJO ELÉCTRICO A TRAVÉS DE UN SUPERFICIE CERRADA
E
SG
E n d A
 = 

Llamada integral cerrada

6. Es una identidad integral que permite calcular la magnitud
del campo eléctrico para distribuciones de carga con alta
simetría, como: esferas, cilindros infinitos y placas infinitas.
Establece que:
“El flujo eléctrico total a través de una superficie cerrada, es
proporcional a la carga total encerrada por esta superficie
cerrada”, es decir:
I. Ruiz
LEY DE GAUSS
0
T
SG
Q
E n d A

 =

Donde el campo eléctrico es el definido
en la superficie cerrada.
La Carga total esta dada por:
1
' ( ') '
N
T i
i V
Q q r dV

=
= +
 

7. Se considera una carga puntual Q
ubicada en el origen de un sistema
coordenadas.
El campo eléctrico en cualquier
punto de la superficie Gaussiana
está dada por:
I. Ruiz
DEMOSTRACIÓN DE LA LEY DE GAUSS
3
0
4
Q r
E
r
 
=
Por la definición del vector unitario:
r
r
ur


=
El campo eléctrico se puede escribir:
3 2 2
0 0 0
4 4 4
r
Q r Q r Q
E u
r r r r
     
= = =

8. Multiplicando escalarmente con el
diferencial de área:
I. Ruiz
DEMOSTRACIÓN DE LA LEY DE GAUSS
Considerando la proyección del
vector diferencial de área dA en la
dirección del campo eléctrico:
Utilizando la definición de ángulo solido, y su
correspondiente diferencial de ángulo de solido:
2 2
0 0
cos
4 4
r
Q Q dA
E n dA u n dA
r r

   
 =  =
' cos
r
dA n dA u dA

=  =
Se tiene:
2
0
4
'
r
dA
Q
dA
n
E


=



2
R
A
=
 2 2
'
d A d A
d
R r
 = =

9. Considerando el diferencial de ángulo solido:
I. Ruiz
DEMOSTRACIÓN DE LA LEY DE GAUSS
Aplicando en ambos miembros la integral de Gauss
La integral del diferencial del ángulo solido es igual a 4 π,
por tanto se tiene:
2
0 0
'
4 4
Q dA Q
E n dA d
r
   
 = = 
0 0
4 4
SG SG SG
Q Q
E n dA d d
   
 =  = 
  
0

Q
dA
n
E
SG
=





10. Complemento de la ley de
Gauss:
“Si la carga total está afuera de la
superficie y no existe carga neta
dentro de la superficie cerrada,
el flujo eléctrico total a través de
la superficie Gaussiana es igual a
cero”.
I. Ruiz
CONTINUACIÓN DE LA LEY DE GAUSS
La demostración es cualitativa que considera que:
El número de líneas de campo que entran a la superficie
gaussiana es igual al número de líneas que salen de la misma
superficie.
0
SG
E n dA
 =


11. El calculo de la magnitud del campo eléctrico, requiere de
una superficie Gaussina adecuada que simplifique la
identidad integral de gauss.
Por ejemplo:
Si la distribución de carga esta definida en una placa infinita,
la superficie gaussiana adecuada es una superficie del tipo
paralelepípedo.
Si la distribución de carga esta definida en un cilindro infinito,
la superficie gaussiana adecuada es una superficie cilíndrica.
Si la distribución de carga esta definida en una esfera, la
superficie gaussiana adecuada es una superficie cilíndrica.
I. Ruiz
CALCULO DEL CAMPO ELÉCTRICO

12. Los vectores unitarios asociados a las superficies gaussianas:
paralelepípedo, cilindro, esfera, se muestran en el siguiente
Grafico.
I. Ruiz
VECTORES UNITARIOS NORMALES A LA
SUPERFICIE FAUSTIANA

13. La integral de gauss para una placa, se descompone en seis
integrales:
I. Ruiz
INTEGRAL DE GAUSS PARA UNA PLACA
( )
( ) ( )
y y z
z x x
y y y y y z
SG A A A
y z y x y x
A A A
E n dA Eu u dA Eu u dA Eu u dA
Eu u dA Eu u dA Eu u dA
 =  + −  − +  +
+  − +  +  −
   
  
La tercera a la sexta integral se cancelan,
porque los vectores unitarios son
perpendiculares, en cambio la primera y
la segunda integral son iguales:
2 2 2
y y
y y
A A
Eu u dA E dA E A
 = =
 
La integral de gauss para una placa esta dada
por:
2
SG
E n dA E A
 =


14. La integral de gauss para un cilindro infinito, se descompone
en tres integrales:
I. Ruiz
INTEGRAL DE GAUSS PARA UN CILINDRO INFINITO
Lateral
A
( )
z z
z z
SG A A
E n dA Eu u dA Eu u dA Eu u dA
   
 =  +  − + 
   
La primera y segunda integral se
cancelan, porque los vectores
unitarios son perpendiculares, en
cambio la tercera integral es igual a:
La integral de gauss para un cilindro infinito
esta dada por:
2
SG
E n dA E r h

 =

Lateral Lateral
A A
2
SG
E n dA Eu u dA E dA E r h
  
 =  = =
  

15. La integral de gauss para una esfera, se descompone en una
integral:
I. Ruiz
INTEGRAL DE GAUSS PARA UNA ESFERA
esfera esfera
2
A A
4
r r
SG
E n dA Eu u dA E dA E r

 =  = =
  
La integral de gauss para una esfera
esta dada por:
2
4
SG
E n dA E r

 =


16. “El campo eléctrico dentro de un
conductor en equilibrio
electrostático es nulo”.
Demostración:
Se utiliza el método del absurdo.
Se supone que dentro del conductor
el campo no es nulo, entonces, la
carga q dentro del conductor
experimenta una fuerza:
I. Ruiz
PROPIEDADES ELÉCTRICAS DE CONDUCTORES
0
F q E ma
= = 
En consecuencia la carga q se mueve, que contradice la
condición de equilibrio electrostático, por lo tanto el campo
dentro del conductor es nulo:
0
E =

17. “La carga dentro de un conductor en
equilibrio electrostático es nulo,
cualquier exceso de carga se
distribuye en la superficie del
conductor”.
Demostración:
I. Ruiz
PROPIEDADES ELÉCTRICAS DE CONDUCTORES
Se considera una SG dentro del conductor, obteniéndose:
0
0 0
SG SG
Q
E n dA n dA

 =  = =
 
De la cual se concluye:
0
Q =

18. “El campo eléctrico sobre la superficie
de un conductor en equilibrio
electrostático es perpendicular a su
superficie”.
Demostración
Por el método del absurdo se considera
que el campo no es perpendicular, por
tanto tiene la forma:
I. Ruiz
PROPIEDADES ELÉCTRICAS DE CONDUCTORES
T T N N
E E u E u
= +
La componente tangencial haría mover a la carga de la
superficie, contradiciendo el equilibrio electrostático. En
cambio, la componente normal se contrarresta con las fuerzas
cooperativas que ejercen las moléculas del conductor sobre
esta carga, por tanto:
0 0
T N N N
E E y E E u
=  =

19. La magnitud del campo eléctrico sobre la
superficie de un conductor en equilibrio
electrostático, esta dada por la
expresión:
I. Ruiz
PROPIEDADES ELÉCTRICAS DE CONDUCTORES
0
n
E


=
Demostración
Aplicando la ley de gauss al diferencial de superficie gaussiana
cilíndrica, se tiene:
A
0 ( )
N N N N N N N
SG A A
E n dA E u u dA u dA E u u dA E A

 =  +  − +  = 
   
La carga encerrada por la superficie gaussiana es:
Por tanto se tiene:
q A

 = 
0 0 0
N N
SG
Q A
E n dA E A E
 
  

 =  = =
