Este documento explica las leyes de exponentes y logaritmos. Presenta 7 leyes de exponentes que describen cómo se comportan las potencias al multiplicar, dividir, elevar a otra potencia, etc. También introduce los logaritmos como exponente que representa la potencia a la que hay que elevar una base para obtener un número dado, y explica propiedades como los logaritmos decimales y naturales.

1. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Leyes de exponentes y logaritmos Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
x × x × x ××× x = x
1
MATEMÁTICAS BÁSICAS
LEYES DE EXPONENTES Y LOGARITMOS
LEYES DE EXPONENTES
Sea un número real x . Si se multiplica por sí mismo se obtiene x × x . Si a este resultado se multiplica
nuevamente por x resulta x × x × x . De manera sucesiva, si x se multiplica por si misma n veces, se
obtiene: x × x × x × ×× x
n veces
Para simplificar este tipo de expresiones se acostumbra utilizar una notación abreviada, tal que:
5
4
3
2
× =
x x x
× × =
x x x x
× × × =
x x x x x
× × × × =
x x x x x x
y en general:
n
n veces
Donde x es llamada base y el número n escrito arriba y a su derecha, es llamado exponente. El
exponente indica el número de veces que la base se toma como factor.
Primera ley de los exponentes
Sea un número real x diferente de cero y dos números naturales n y m también diferentes de cero.
Entonces, se cumple que:
n m n m x x x
× = +
Al multiplicar potencias con la misma base, se mantiene la base y se suman los exponentes.
Ejemplos.
1) ( x 3 )( +
x 2 ) = x 3 2 = x 5 2) ( 4a 2 )( 5a 6 ) = 20a
8
3) ( 2k 4 )( - k 2 )( 5k 7 ) = -10k
13
( ) 
3
3 2 6
3 4 4) 8 
ab a b = a b 4


5)
1
48
1
8





- 3 5 6 4 9 10 9 10
5
240
12
4
6
5
q p q p q q p q p - = - = 






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x = -
2
Segunda ley de los exponentes
Sea un número real x diferente de cero y dos números naturales n y m también diferentes de cero.
Entonces, se cumple que:
n m
n
m
x
x
Al dividir potencias con la misma base, se mantiene la base y se restan los exponentes.
Ejemplos.
1)
x = - =
7 4 3
7
4
x x
x
2)
5
8
a = -
-
3
2
10
5
a
a
7 3
28
k m =
-
3) 2 2
5
4
7
k m
k m
-
4)
2
6
4
8
3
2
3
1
4
a
a
a
=
5)
4 6
- x 3 y 6 z 7
= -
2 2
2
3
32
48
xy z
x y z
Tercera ley de los exponentes
Sea un número real x diferente de cero. Si en la ley anterior, se hace que n = m , se tiene que:
x n n
n
0 x x
x
n
= - =
.
Pero al dividir una expresión por si misma el resultado es la unidad, así que se cumple que:
1
0 x =
Cualquier base diferente de cero elevada a la potencia cero es uno.
2
= 2 - 2 = 0
=
x
1) 1
2
x x
x
2) a 0 5 = 5(1) =
5
3) ( xyz ) 0 =
1

3. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Leyes de exponentes y logaritmos Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
3
3
=
a
27
a
4) 3
9
3
13 13 0
13
3 4 6
x
x x x
5) 1
13
6 7
= - = - = -
-
=
-
-
x x
x
x x
Cuarta ley de los exponentes
Sea un número real x diferente de cero y dos números naturales n y m también diferentes de cero.
Entonces, se cumple que:
( n )m = n ×
x x
m Al elevar una potencia a otra potencia, se mantiene la base y se multiplican los exponentes.
Ejemplos.
1) ( ) 3(2) 6 3 2 x = x = x
2) ( ) 3(4) 12 3 4 a = a a
3) ( ) 5(3) 15 5 3 e = e = e
Quinta ley de los exponentes
Sean dos números reales x y y diferentes de cero y un número natural n también diferente de cero.
Entonces, se cumple que:
( )n n n xy = x y
El producto de uno o más factores que se elevan todos a la vez a un exponente es igual a un producto de
cada factor elevado al exponente.
Ejemplos.
( 5
1) 2a 2
) = 5 × a 10 2 = 32a
10
( - 3 3
2) 3k 4
) = ( - ) × k 12 = -27k
12 3 ( 4
3) 5ab 3
) = 4 × a 4 12 4 12
5 b = 625a b
4) ( ) 2 2 6 2 6 2 2 4xy = 4 × x × y = 16x y
5) ( ) 6 30 12 18 30 12 18 5 2 3 6 10m n p = 10 ×m × n p = 1'000,000m n p
Sexta ley de los exponentes
Sean dos números reales x y y diferentes de cero y un número natural n también diferente de cero.
Entonces, se cumple que:

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n n
x
0 ¹ =  

4


 

, y
y
x
y
n
El cociente de uno o más factores que se elevan todos a la vez a un exponente es igual al cociente de
cada factor elevado al exponente.
Ejemplos.
1)
2
2
2
x
y

x = y
 

 
2) ( )
3 3
3 3
a b

ab ab
= = ( ) 3
c 3 d
3
cd
cd



3) ( ) ( )
4 3 4
3 4

5 625
12
81
3
5
3
5
3
4
4
4
3 p p p p = = =  


 

4) ( )
12
k


=  

k 
k
 = = ( 4
2
) 8
4
3
4
4
3
2
4
3
2
k
2 2 16
8
4
m
m
m
m

 



 

5) ( ) ( ) ( )
18 30
6 3 6 5 6
, x y
4 096
x y =  - x y
= 
( ) 6 ( 6
12
4
) ( 2
) 24 12
6
3 5
4 2
729
3
4
4
 -
3
w z
w z
w z


 

Séptima ley de los exponentes
Sea un número real x diferente de cero. Si n es un número entero diferente de cero, por las leyes
anteriores se cumple que:
1
0 = n-n = = n × -n =
n
n
x x x x
x
x
1
Pero el recíproco del número real n x se definió como n x
1 × = n
n
x .
, ya que cumple con 1
x
Comparando las expresiones, se llega a:
n
n
x
x
1 - =
Elevar una expresión a una potencia entera negativa, equivale a formar una fracción con numerador uno
y cuyo denominador es la misma expresión pero con la potencia positiva.
Ejemplos.
1)
x
x
1 1 - =
3 6
2) 6
3
a
a = -

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log x b a =
a x b
log x = log x 10
5
p q = - 4 5
= -
3 5
24
3) 7 10
4 5
8
8
3
p q
p q
p q
-
- -
4)
b
2
3
a c
27 = - - a b c
=
5 3 4
a b c
a bc
6
6 2 1
11 5
2
3
2
18
( - 4
3
) = - -
5) x 4 x 12
= × 1 = 1
4 12 12
16
1
2
2 2
x x
LOGARITMOS
Sea la expresión: , con a 0 y a ¹ 1.
a x b =
Se denomina logaritmo base a del número x
al exponente b al que hay que elevar la base para
obtener dicho número. Es decir:
que se lee como el logaritmo base del número es ” y como se puede apreciar, un logaritmo
representa un exponente.
La constante a es un número real positivo distinto de uno, y se denomina base del logaritmo. La
potencia b a para cualquier valor real de solo tiene sentido si a 0 .
Ejemplos.
2 = ⇒ 25 2 5 log =
1) 5 25
4 = ⇒ 81 4 3 log =
2) 3 81
3) 8 512 3 = ⇒ 512 3
8 log =
4)
1
64
1
2


6
= 

1
1 log =
⇒ 6
64
2
5)
1
1024
4
1
- 5 = ⇒ log = -
5
4 1024
b
Logaritmos Decimales:
Se llaman logaritmos decimales a los logaritmos que tienen por base el número diez. Al ser muy
habituales es frecuente no escribir la base:
Logaritmos Naturales:
Se llaman logaritmos naturales (también llamados neperianos) a los logaritmos que tienen por base el
número irracional e = 2.718281828459 × × × , y se denotan como ln o por L :

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loge x ln x L x = =
6
Ejemplos.
45 45 1 653212 10 log = log » .
log 168 ln 168 5.123963 e = »
Para potencias enteras de diez, los logaritmos decimales cumplen con:
10 0 01 0 01 2
- 2 = . ⇒ log .
= -
- 1 = . ⇒ log .
= -
10 0 1 0 1 1
0 = ⇒ log =
10 1 1 0
1 = ⇒ log =
10 10 10 1
2 = ⇒ log =
10 100 100 2
3 = , ⇒ log , =
10 1 000 1 000 3
4 = , ⇒ log , =
10 10 000 10 000 4
Los logaritmos decimales de los números comprendidos entre otros dos, cuyos logaritmos decimales son
números enteros, son números decimales. Todo número decimal se compone de parte entera y parte
decimal. La parte entera recibe el nombre de característica y la parte decimal, mantisa.
La parte entera del logaritmo o característica depende del intervalo en el que se defina el número y la
parte decimal o mantisa del valor de las cifras significativas del número.
Por ejemplo, para log 45 = 1.653212 × × × , la característica es y la mantisa es 0.653212 × × × .
La mantisa siempre es positiva, pero la característica puede ser cero si el número está comprendido
entre y 10 , es positiva, sí el número es mayor que o negativa si el número es menor que 1 . Las
potencias de sólo tienen característica, su mantisa es 0 . En el logaritmo de un número menor que
1 la característica es negativa, pero la mantisa es positiva. Por ejemplo log 0.5 » -1 + 0.698970 y
no puede escribirse como - 1.698970 , pues esto indica que tanto la característica como la mantisa
son negativas. El modo correcto de escribirlo, indicando que sólo la característica es negativa, es
1.698970 .
Ejemplos.
1) Para log 624 » 2.795184 , la característica es 2
2) Para log 7 » 0.845098 , la característica es 0
3) Para log 0.029 » 2.462398 , la característica es - 2
Las propiedades de los logaritmos son las siguientes:
1)
2) log a a = 1
3) log a (u v) log a u log a v × = +
1
1 10
10
1 = 0 a log

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5 3
5 3


log 4 5 3 2 4 5 3 2
log 25 = log = log -log » - . » .
7
u

log a a a - = 
4) log u log v
v


n
= ×
a 5) log u n log u a
6) log u
log u a
n
n
a
1 =
Ejemplos.
Comprobar las propiedades de los logaritmos.
0 log = log =
1) 10 1 0
2) log 10 = 1
3) log (100 ×1,000) = log 100,000 = 5
que equivale a calcular: log 100 + log 1,000 = 2 + 3 = 5
1 000 000 = = 

4) 10 000 4
100


log ,
' ,
log
que equivale a calcular: log1'000,000 - log 100 = 6 - 2 = 4
5) 10 100 2
2 log = log =
que equivale a calcular: 2 × log 10 = 2(1) = 2
6) log 10,000 = log 100 = 2
1 1
que equivale a calcular: × log , = (4) =
2
2
10 000
2
Ejemplo.
Aplicando las propiedades de los logaritmos, simplificar la siguiente expresión: ( )( ) 4
6
a b
5 3
2




c
log
Solución.
( )( ) ( a )( b
) [ log ( a )( c ) log c ] ( log a log b log c
) c
log
a b
c
2
4
2
6 6 6 6 6 6
4
6 - + = - = = 

Ejemplo.
Sabiendo que log 100 = 2 y que log 4 » 0.6020 , aplicando las propiedades de los logaritmos y sin
usar la calculadora, determinar los valores aproximados de: log 400, log 25 , log 16 , log 2 .
Solución.
log 400 = log (100)(4) = log 100 + log 4 » 2 + 0.6020 » 2.6020
100 4 2 0 0620 1 398
100
4
16 4 2 4 2(0 0620) 1 204 2 log = log = log » . » .
2 4 .
0 3010
0 6020
2
4
1
2
.
log = log = log » »

8. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Leyes de exponentes y logaritmos Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
Un antilogaritmo es el número que corresponde a un logaritmo dado. Consiste en el problema inverso al
cálculo del logaritmo de un número. Esto es:
a a = Û = Û =
log x y antilog y x a x y
es decir, consiste en elevar la base al número que resulta.
10 10 log , . anti log . , , » Û » Û . »
10 =
8
Ejemplo.
4 527 3 655810 3 655810 4 527 10 4 527 3 655810
Cambio de Base:
Dada una base conocida b , para calcular un logaritmo de un número x en cualquier base a , se aplica
la siguiente expresión:
log x
= b
a .
log a
log x
b
Por conveniencia, la base elegida para b generalmente es la diez, así que la expresión queda como:
log x
log a
log x a
10
Ejemplo.
Calcular: 570 3 log
Solución: se identifican las variables: a = 3, x = 570, b = 10
.
log
log = » »
3 .
5 776048
2 755874
0 477121
570
3
570
.
log
5 776048 . »
Comprobación: 3 570