Este documento contiene información sobre varios temas matemáticos como la factorización, números complejos, año luz y biografías de matemáticos como Gauss. Explica diferentes métodos de factorización como factor común, diferencia de cuadrados, trinomio cuadrado perfecto y suma y diferencia de cubos. También incluye ejemplos y actividades de factorización.

1. Estudios Matemáticos Argentera
El olvido de las Matemáticas perjudica a todo el
conocimiento, ya que el que las ignora no puede
conocer las otras ciencias ni las cosas de este
mundo. (Roger Bacón)
Módulo 2
Johann Carl Friedrich Gauss (30 de abril de
1777– 23 de febrero de 1855). Matemático,
astrónomo y físico alemán. Trabajó en la teoría
de números, el análisis matemático, la geometría
diferencial, la geodesia, el magnetismo y la
óptica. Considerado "el príncipe de las
matemáticas" y "el matemático más grande
desde la antigüedad", tuvo influencia notable en
muchos campos de la matemática y de la ciencia,
y es considerado uno de los matemáticos que
más influencia ha tenido en la historia. Fue un
prodigio desde niño. Su tesis doctoral (1799)
versó sobre el teorema fundamental del álgebra
(que establece que toda ecuación algebraica de
coeficientes complejos tiene soluciones
igualmente complejas). Trabajó en la geometría
no euclidiana, No publicó sus conclusiones, pero
se adelantó en más de treinta años a los trabajos
posteriores de Lobachewski y Bolyai.
Año luz
Un año luz es la distancia que recorre la luz en un
año. Equivale aproximadamente a 9,46 × 1012km
= 9.460.000.000.000 km, o sea, algo menos de
10 billones de kilómetros. Específicamente, un
año luz es la distancia que recorrería un fotón en
un año Juliano (365,25 días de 86.400 s) a la
velocidad de la luz en el vacío (299.792,458
km/s), a una distancia infinita de cualquier
campo gravitacional o campo magnético. Por lo
tanto el Valor De Un año luz equivale
exactamente 9.460.730.472.580.8 km,
aproximadamente 5,88 × 1012millas

2. FACTORIZACIÓN
Importancia de la factorización
La factorización es un proceso base, pilar y fundamental para el desarrollo
de las matemáticas más complejas y amplias como el cálculo y el algebra
superior. Es un proceso abstracto que está en medio de nuestro aprendizaje
para abrirnos paso a otros temas matemáticos
Factorización:
Es un proceso que consiste en escribir una expresión por el producto
indicado de sus factores. Es muy útil para simplificar expresiones y
encontrar sus equivalentes, especialmente para resolver ecuaciones.
Existen diferentes casos de factorización entre los cuales podemos encontrar
Factor común, Diferencia de Cuadrados, Trinomio Cuadrado Perfecto,
Trinomio de la forma ax2± bx±c;a=1, Factorización del trinomio ax2±
bx±c; a  1 , Suma y diferencia de cubos, Casos combinados.
Factor Común
Este es el primer caso y se emplea para factorizar una expresión en la cual
todos los términos tienen algo en común (un número, una letra). Sacar el
factor común es extraer la literal común de un monomio o polinomio con el
menor exponente y el divisor común de sus coeficientes por eso debemos
abrir un paréntesis y dividir cada término entre el factor común.
Ejemplo: Factorizar la siguientes expresiones.
1) ax  bx  cx  x(a  b  c)
2) mx  nx  my  ny  x(m  n)  y(m  n)  (m  n)( x  y)
3) 6ax  18bx  6x (a  3b)
1

3. Diferencia de Cuadrados
Para factorizar alguna diferencia de cuadrados basta con sacarle la raíz
cuadrada exacta a ambos términos de la expresión y alternar los signos
dentro de dos pares de paréntesis.
Ejemplo. Factorice las expresiones:
x 2 16  ( x  4)( x  4)
4x2 – 9y2 = (2x + 3y) (2x – 3y)
x2 - a2 = (x + a)(x - a)
Trinomio Cuadrado Perfecto:
Un trinomio será cuadrado perfecto cuando podamos expresarlo como el
cuadrado de otra cantidad. Si este tiene la forma de una ecuación de
segundo grado entonces el término lineal será igual al doble del producto
de las raíces cuadradas del término cuadrático y el independiente.
Para factorizarlo el primer y el tercer término no serán negativos, mientras
que el segundo no importa pues este se pondrá en el cuadrado del binomio.
Si un trinomio es T.C.P entonces es factorizable.
a) Verificar que el polinomio 4y2  20 y  25 es un T.c.p.
4 y 2  2 y ^ 25  5  2(2 y)(5)  20 y es un tcp.
b)  2  10  25    5  5    5
2
c) 36 2  24  4 2   6  2  6  2    6  2 
2
Trinomio de la forma ax 2 ± bx ±c;a=1
Este tiene la forma x 2 + bx + c para factorizarlo debemos abrir dos pares
de paréntesis, colocar la raíz cuadrada del primero en cada paréntesis; en el
primer paréntesis poner el signo del segundo término y en el segundo
paréntesis poner la multiplicación de los signos de segundo y tercer término.
Si los signos de los paréntesis son iguales, buscar dos números que
2

4. sumados den el segundo y multiplicado den el tercer término. Si los signos
de los paréntesis son opuestos, buscar dos números que restados den el
segundo y multiplicados den el tercer término. El número mayor se anota en
el primer paréntesis.
Factorización del trinomio ax2± bx±c; a  1
Tiene la forma a x 2 +bx+c pero el coeficiente del término cuadrático es
diferente de uno.
Para factorizarlo debemos seguir estos pasos:
1. Multiplicar el trinomio completo por el coeficiente del término
cuadrático.
2. Transformar el polinomio resultante en función de una base.
3. Nombrar esa base con algo que la represente mientras se opera.
4. Factorizar el polinomio con la nueva base.
5. Igualar nuevamente a la base original
6. Descomponer el coeficiente en 2 cantidades por las cuales se pueda
dividir el paso 5
7. Solución
3

5. Ejemplos : Factorizar las siguientes expresiones
10x 2  3x  4. Otro método de factorizarlos es el siguiente.
1) (10)10x  3x(10)  4(10).
2
Factorizar 10x 2  3x  4.
10x   3 10x   40
2
2)
3) w  10x 10x 2  3x  4 = x 2  3x  4(10)
4) w 2  w  40   w  8  w  5 = x 2  3x  40 =  x  8   x  5 
5) 10 x  8  10x  5  10x  8  10x  5 
10x  8 10x  5    5x  4   2x  1
6) 2 5
2 5
7)  5x  4   2x  1
Suma y diferencia de cubos
Son dos términos sumados o restados que tienen raíz cúbica.
La regla es la siguiente tanto para la suma como para la resta:
Suma: a 3  b3   a  b (a 2  ab  b2 )
Resta: a 3  b3   a  b  (a 2  ab  b2 )
Ejemplo: Factoriza las siguientes expresiones
a) a 3  27   a  3 (a 2  3a  9)
b) 8x3 y 3  64   2 xy  4  (2 xy) 2  (2 xy)(4)  (4) 2 
 
  2 xy  4 (4 x 2 y 2  8 xy  16)
Caso de factorización complexión de cuadrados
Para completar el cuadrado hace falta agregar un tercer término (n)o un
segundo término x que serían los término que nos falta en nuestra
expresión., para ello partiremos del concepto de trinomio cuadrado
perfecto.
En caso de que no falte ningún termino lo llevaremos a la
forma a( x  h)  k , siendo a un coeficiente y h un número y k puede ser
una expresión cualquiera.
4

6. Caso 1: Cuando falte el término lineal.
Ejemplo: 36x² + 81
Agregamos el Termino (k) 36x ²+nx+81
n = 2√36 * √81
n = 2(6) (9)
n = 108
Sustituyendo a n por su valor, será 36x² + 108x + 81, para no alterar la
operación restamos el termino encontrado a el resultado.
(6x+9)² –108x
Caso 2: Cuando falte el término independiente
Ejemplo: x 2  6 x
x 2  6 x , buscamos termino n para completar un trinomio cuadrado perfecto
2 2
b 6
para luego factorizar x  6 x  n , por definición n         3  9 ,
2 2
2 2
significa que x 2  6 x  9  ( x  3)( x  3)  ( x  3)2
( x  3)2  9
Caso 3: Cuando no falte ningún término.
Ejemplo3: x2  8x  17
x 2  8x  17   x 2  8 x  16  1   x  4 2   1
   
Ejemplo 4: Haga una complexión de cuadrado en 2 x2  6 x  15
2 x 2  6 x  15   2 x 2  6 x   15  2( x 2  3x)  15
9 18
 2( x 2  3x  n)  15  2( x 2  3x  )  15 
4 4
3 78 3 1
 2( x  ) 2   2( x  ) 2  19
2 4 2 2
5

7. Casos Combinados de factorización:
Hay expresiones que para ser factorizable necesitan pasar por distintas
Técnicas las cuales pueden variar según la expresión que se vaya a usar:
Ejemplos : Factorizar los polinomios.
a) 3 x3  12 xy 2  3x( x 2  4 y 2 )  3x  x  2 y  x  2 y  
 
b) mn3 +64m   m  (n3  64)=  m   n  4   n 2  4n  16  
 
Actividades
Factorizar las siguientes expresiones.
Resolver los siguientes ejercicios:
I ) Factorizar:
a) bx-cx+4x= f )  2 w 2 
b) 4x 2 y 5 16 x 5 y 8 w  20 x 6 y 9 v  g) x 2 3 x  2 
c)  2 100  h)  2   12 
w3
d) x 3
 i ) 6 2 11  4 
1000
e) 8 3 27  j) 2 2 11  12 
II ) Realizar la siguente complexión de cuadrados:
a)  2 7  c)  2 5  8 
b) 3y 2 9 y  d )  2 2   3 
Debe entenderse que todos somos educadores, cada acto de nuestra vida
cotidiana tiene implicancia, a veces significativas. Procuremos entonces , enseñar
con el ejemplo. René Gerónimo Favaroro.
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8. Bibliografía
Morel Roberto, Ventura Eduardo (2008); Matemática Superior I. Santo
Domingo Rep. Dom: Universidad Católica de santo Domingo.
Sobel Max; Lerner Norbert, (2006). Precálculo. 6ta edición, México:
editora Pearson Educación.
Baldor Aurelio, (1994). Algebra. Undécima edición, México: editora Codice
América, S.A.
Santillana I. serie umbral, (educación media).
(2001), 1ra edición, Rep.Dom: Editora Santillana
Demana; Waits; Foley; Kennedy y Blitzer. Matemáticas universitarias
introductorias con nivelador mathlab. (2009), 1ra edición, México: Editora
Pearson Educación.
448 pág.
Peña Geraldino, Rafael. Matemática Básica Superior, (2005), 4ta edición,
República Dominicana. Editorial Antillanas.
Significado e importancia de la factorización algebraica en la escuela.
http://grupos.emagister.com/debate/colegas_docentes_de_matematicas.
“Año Luz” en http://es.wikepedia.org/wiki/luz
Biografía de Frederick Gauss en
http://es.wikepedia.org/wiki/car_fridrich_gauss
Revisado el 12 de Enero 2012.
Wilton Oltmanns
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