Este documento explica diferentes métodos para factorizar expresiones algebraicas como trinomios, diferencias de cuadrados, diferencias de cubos y sumas de cubos. Describe los pasos para identificar si un trinomio es un cuadrado perfecto y cómo factorizar trinomios de la forma x2 + bx + c y ax2 + bx + c. También explica cómo factorizar expresiones que son diferencias o sumas de cuadrados y cubos extrayendo las raíces cuadradas y cúbicas de los términos.

1. FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS

2. TRINOMIO CUADRADO PERFECTOTCP

3. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO(TCP)TRINOMIO: expresión algebraica con tres términosEjemplo: 2x2 – 3x + 6.CUADRADO PERFECTO: Número cuya raíz cuadrada es exacta Ejemplo: 25 es cuadrado perfecto, ya que x2es cuadrado perfecto,

4. Un trinomio es cuadrado perfecto, si tiene, de los tres términos, dos que sean cuadrados perfectos, y el otro término debe ser la raíz cuadrada de los que son cuadrados perfectos.Nota: los términos que son cuadrados perfectos deben ser positivos ambos.

5. Ejemplo: Determinar si el trinomio 10x + 25 + x2, es cuadrado perfectoPrimero ordenaremos el polinomio de mayor a menor: x2 + 10x + 25 (este paso no es necesario)x2 + 10x + 25 (2)(x)(5) = 10xObservamos que el trinomio cumple las condiciones, por lo tanto es un TCP

6. FACTORIZACIÓN DE UN TCPFactorizar x2 + 10x + 25Se le extrae la raíz cuadrada a los términos que son cuadrados perfectos.x2 + 10x + 25Se forma un binomio con estos dos términos separados por el signo del otro término (+): (x + 5) y se el eleva al cuadradoEntonces x2 + 10x + 25 = (x + 5)2

7. Factorizar x2 – 3x + 9x2 – 3x + 9Entonces: x2 – 3x + 9 = (x – 3) 2

8. TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c

9. Factorizar x2 + 8x + 15PROCEDIMIENTO: El primer término de cada factor será la raíz cuadrada de x2, que es igual a x:(x )(x )Los signos que se colocan después de las x se determinan así:En el primer factor se coloca el signo del segundo término del trinomio: (x + )(x )En el segundo factor se coloca el signo que resulta al “multiplicar los signos” del segundo y tercer término: (+).(+) = +(x + )(x + )Ahora se calculan los divisores del término independiente, los divisores de 15: 1, 3 y 5. De estos escogemos dos números que sumados (ya que resultaron signos iguales en los factores) den el coeficiente del segundo término (8), los números son 3 y 5. Estos números se colocan dentro de los paréntesis , colocando primero el número mayor:(x + 5 )(x + 3 )x2 + 8x + 15 = (x + 5 )(x + 3 )

10. Factorizarx2 – x – 20x2 - x + 20 = (x )(x )x2 - x + 20 = (x – )(x + )Se calculan los divisores de 20: 1, 2, 5, 4, 10, 20Escogemos dos números que restados (ya que en los paréntesis resultaron signos diferentes) den el coeficiente de x que es 1: esos números son 4 y 5x2 – x + 20 = (x – 5)(x + 4 )

11. TRINOMIO DE LA FORMA ax2 + bx + c

12. Factorizar 6x2 + 13x + 61. Se multiplica cada término del trinomio por el coeficiente de x2 (6), pero el producto por el segundo término queda expresado, 13(6x), cuidando de que dentro del paréntesis quede el número por el cual se está multiplicando, multiplicado por la variable, es decir:6x2 + 13x + 6 = 6(6x2)+13(6x) + (6)(6)= 36x2 + 13(6x) +36.Como el trinomio se multiplicó por 6 también se debe dividir entre 6,para que no cambie:

13. Factorizar 6x2 + 13x + 6Ahora se factoriza el trinomio del numerador, aplicando el mismo procedimiento del caso anterior: (se buscan dos números que sumados den 13 y multiplicado den 36Tenemos que eliminar el 6 del denominador, Observe que el 3 es el factor común en (6x + 9) y 2 es el factor común en (6x +4), entonces:

14. Por lo tanto 6x2 + 13x + 6= (2x +3)(3x + 2)

15. DIFERENCIA DE CUADRADOS

16. DIFERENCIA DE CUADRADOSUn diferencia de cuadrados es una diferencia en la cual los dos términos tienen raíces cuadradas exactas.Ejemplos: x2 – 25 x2 – 9x2 – 49

17. FACTORIZAR UNA DIFERENCIA DE CUADRADOSFactorizar x2 – 25 El primer término de cada factor será la raíz cuadrada de x2, que es igual a x:(x )(x )Los signos que se colocan después de las x son uno positivo y el otro negativo (x + )(x – )Ahora se extrae la raíz cuadrada de 25, que es 5, y se coloca después de los signos : (x + 5)(x – 5 )x2 – 25 = (x + 5)(x – 5 )

18. Factorizar x2 – 49x2 – 49 = (x + 7) (x – 7)

19. DIFERENCIA Y SUMA DE CUBOS

20. DIFERENCIA DE CUBOSFactorizar x3 – 8 Se el extrae la raíz cúbica a los dos términos:La raíz cúbica de x3 es xLa raíz de 8 es 2El primer factor será entonces (x – 2)El segundo factor será un trinomio , el cual se forma con los términos del primer factor de la siguiente forma:Primer término : El primer término del primer factor (x) se eleva al cuadrado: x2 Segundo término : el producto de los dos términos del primer factor: (2)(x) = 2x Tercer término: se eleva al cuadrado el segundo término del primer factor: (22) = 4Entonces el segundo factor es x2 + 2x + 4 .Por lo tanto. x3 – 8 = ( x – 2 ) (x2 + 2x + 4)

21. Factorizar x3 – 27 x3 – 27 = (x – 3) (x2 + 3x + 9)Nota: los signos del segundo factor serán todos positivos si es una diferencia de cubos. Si es una suma de cubos, el procedimiento es el mismo, y los signos del segundo factor se colocan intercalados:x3 + 27 = (x + 3) (x2 - 3x + 9)Raíz cúbica de x3 y 27 El cuadrado de xEl cuadrado de 3El producto de 3 y x: (3)(x) = 3x

22. FACTORIZAR:1) x2 − 4 2) x4 − 16 3) 9 + 6x + x2 4) x2 - x - 65) x4 − 10x2 + 9 6) x4 − 2x2 + 3 7) x2 − 11x + 30 8) 3x2 + 10x + 3 9) 2x2 − x − 1 10) x3 + 1000 11) 27a3 + 125b3 12) 64x3y6 + 216z9 13) 1000 - m3 14) 8a3 - 64b3 15) 125x9y18 - 512z27