investigación hecha para mostrar la validez de una proposición mediante el cálculo de predicados.

1. Republica bolivariana de Venezuela
I.U.T Antonio José de Sucre
Ministerio del poder popular para la educación
Proceso de inferencia
Hecho por: Greiso Noguera

2. Calculo de predicados
Función Proposicional
Consideramos una función proposicional (A, P(x)) con dominio un conjunto A. Al
reemplazar la variable x de p(x) por elementos de A obtenemos proposiciones verdaderas
o falsas. Nos preguntamos ¿para cuántos elementos de A, P(x) es verdadera?. Como
posible respuestas tenemos:
Para todos los elementos de A.
Para algunos elementos de A.
Para ningún elemento de A.
Los términos todos, algunos, un solo y ninguno, por indicar cantidad, son llamados
cuantificadores. De estos, los fundamentales son todos, algunos y, como caso particular
de este último, un único.
Así, podemos decir que una función proposicional está constituida por los siguientes
elementos:
P(x): que es una proposición abierta que contiene la variable x.
A : que es un conjunto llamado dominio o universo del discurso.
Denotaremos a una función proposicional con dominio A y proposición abierta P(x)
como (A, P(x)). Los elementos de A que hacen a P(x) verdadera forman el conjunto
llamado dominio de verdad de la función proposicional.
Cuantificador Universal
El cuantificador todo se llama cuantificador universal y se le denota con el
símbolo que es una A invertida (de "all" palabra inglesa para "todos").
Al cuantificar a la función proposicional P(x) mediante el cuantificador universal
obtenemos la proposición:
Para todo elemento x de A, P(x), que se simboliza del modo siguiente:

3. A las proposiciones que tienen esta forma las llamaremos proposiciones universales.
Otras maneras de leer la proposición (1), son las siguientes:
a. Para cada x en A, P(x)
b. Cualquiera que sea x en A, p(x)
c. P(x), para cada x en A
d. P(x), para todo x en A
Con mucha frecuencia, cuando el dominio A de P(x) está sobreentendido, la
pro x) ( p(x) )
x A) ( P(x) ) es verdadera si y sólo si P(x) es verdadera para todo
elemento x de A; esto es, si y sólo si el dominio de verdad P(x) coincide con A.
Ejemplo
Simbolizar las siguientes proposiciones y determinar su valor lógico:
a. Todo hombre es mortal.
b. Cada número natural es menor que.
Solución
Considerar la siguiente función proposicional:
M(x) : x es mortal.
Con dominio el conjunto S formado todos los seres humanos.
La proposición a se escribe simbólicamente así:
Esta proposición es verdadera.
a. La proposición b se escribe simbólicamente así:
n N) (n > 1)
Esta proposición es falsa, ya que para el número natural n=1 no es cierto que 1>1

4. Cuantificador Existencial
El Cuantificador: Existe al menos uno, se llama cuantificador existencial, y se le denota
con el símbolo , que es un E al revés.
A la Proposición: Existe al menos un x de A tal que P(x)
La escribiremos simbólicamente del modo siguiente:
( xÎ A) ( P(x)) (2)
A las proposiciones que tienen esta forma las llamaremos proposiciones existenciales.
Otras maneras de leer la proposición (2) son:
a. Para algún x en A, P(x)
b. Existe un x en A tal que p(x)
c. P(x), para algún x en A
Si el dominio de la función proposicional está sobreentendido, a la proposición (2) la
escribiremos simplemente así:
($ x) ( P(x))
La proposición ($ x Î A) (P(x)) es verdadera si y sólo si P(x) es verdadera al menos
para un x de A. Esto es, si y sólo si el dominio de verdad de P(x) es no vacío.
Ejemplo
Simbolizar las siguientes proposiciones y determinar su valor lógico:
a. Algunos hombres son genios.
b. Existe un número natural mayor que 1.
c. Existe un número real cuyo cuadrado es negativo.
Solución
Considerar la función proposicional:
a. G(x): x es un genio.

5. Con dominio el conjunto S formado por todos los seres humanos.
La proposición a, se simboliza así:
($ x Î S) ( G(x))
Esta proposición es verdadera.
b. La proposición b, se simboliza así:
($ n Î N) (n > 1)
y es verdadera.
c. La proposición c, se simboliza así:
($ x Î R) (x2
< 0)
Esta proposición es falsa, ya que el cuadrado de todo número real es no negativo.
Cuantificador Existencial de unicidad
Como un caso particular del cuantificador existencial "existe al menos uno" tenemos el
cuantificador existe un único o existe sólo uno, que lo llamaremos cuantificador existencial
de unicidad y lo simbolizaremos por !. Así la expresión:
! x A) ( P(x))....................................... (3)
Se leerá de cualquiera de las siguientes formas:
a. Existe un único x en A tal que P(x)
b. Existe un sólo x en A tal que P(x)
c. Existe uno y sólo un x en A tal que P(x)
d. P(x), para un único x en A
La proposición (3) es verdadera si y sólo si el dominio de verdad de P(x) es un conjunto
unitario, esto es, si y sólo si P(x) es verdadero para un único x de A.
Ejemplo
Simbolizar las siguientes proposiciones y determinar su valor lógico:
a. Existe un único número natural que sumado con 3 da 10 .
b. Existe sólo un número real tal que su cuadrado es 16.

6. c. Existe un único número real tal que su cuadrado es - 4.
Solución
a. ! x N) ( 3 + x = 10 )
Verdadero: Sólo el número 7 cumple con 7 + 3 = 10
b. ! x R) (x2
= 16 )
Falsa: x= -4 y x= 4 cumplen con x2
= 16
c. ! x R) (x2
=- 4)
Falsa: no existe ningún número real cuyo cuadrado sea - 4.
Negación de Cuantificadores
Las dos leyes de De Morgan nos proporcionan las relaciones entre la negación, la
conjunción y la disyunción. Como las proposiciones universales y existenciales son
generalizaciones de la conjunción y disyunción, respectivamente, es de esperar que las
leyes de De Morgan también tengan sus respectivas generalizaciones. Efectivamente así
sucede con de De Morgan o reglas de la negación de cuantificadores. Estas dicen lo
siguiente:
1. ~ ((" x Î A) (P(x))) º ($ x Î A) (~ P(x))
2. ~ (($ x Î A) ( P(x))) º (" x Î A) (~ P(x))
Estas reglas nos dicen que para negar una proposición con cuantificadores se cambia
el cuantificador, de universal a existencial o viceversa, y se niega la proposición
cuantificada.
Ejemplo
Usando las reglas de la negación de cuantificadores hallar la negación de las
siguientes proposiciones:
a. ($ n Î N) (n2
= n)
b. (" x Î R) (x > 2 ® x2
> 3)
Solución
a. ~ [($ n Î N) (n2
= n )] º (" n Î N) ~ ( n2
= n) (Negación de cuantificadores)
º (" n Î N) ( n2
¹ n) (Negación de la función proposicional)
b. ~ [(" x Î R) (x > 2 ® x2
> 3)] º ($ x Î R) ~ (x > 2 ® x2
> 3)

7. º ($ x Î R) ~ (~ (x > 2) Ú (x2
>3) (L. del condicional)
º ($ x Î R) (x > 2) Ù (x2
£ 3) (L.de De Morgan)
Proposiciones con dos Cuantificadores
Podemos considerar funciones proposicionales de varias variables de la forma
(A,B,C,P(x,y,z)), pero en nuestro caso trabajaremos con funciones proposicionales de
dos variables, las cuales denotaremos por (A,B,P(x)) con dominio de x el conjunto A y
dominio de y el conjunto B. Así podemos obtener las siguientes proposiciones:
(" xÎ A)(" yÎ B)(P(x,y))º (" yÎ B)(" xÎ A)(P(x,y))
1. ($ xÎ A)($ yÎ B)(P(x,y)) º ($ yÎ B)($ xÎ A)(P(x,y))
2. (" xÎ A)($ yÎ B)(P(x,y))
3. (" yÎ B)($ xÎ A)(P(x,y))
4. ($ xÎ A)(" yÎ B)(P(x,y))
5. ($ yÎ B)(" xÎ A)(P(x,y))
Proposiciones como las anteriores son llamadas funciones proposicionales de dos
variables. De dichas proposiciones obtenemos el valor lógico, analizando el dominio de
sus variables y los cuantificadores que contiene.
Ejemplo
Determinar el valor lógico de las siguientes proposiciones:
1. (" xÎ N)($ yÎ N) (y> x)
2. ($ xÎ R)(" yÎ R)(x+y = 0)
3. (" xÎ R)($ yÎ R)(x+y = 0)
Solución
VL[(" xÎ N)($ yÎ N)(y> x)] = 1, ya que para cualquier x en N existe y = x+1 tal que y> x.
VL[($ xÎ R)(" yÎ R)(x+y = 0)] = 0, no existe ningún número real que sumado con todo
número real sea igual a cero.
VL[(" xÎ R)($ yÎ R)(x+y = 0)] = 0, ya que dado un número real x existe y = -x tal que
x+y=0.
Veamos ahora como podemos negar proposiciones con dos cuantificadores.
Negación de Proposiciones con dos Cuantificadores

8. ~ [(" xÎ A)($ yÎ B)(P(x,y))] º ($ xÎ A)(" yÎ B)(~ P(x,y))
~ [(" xÎ A)(" yÎ B)(P(x,y))] º ($ xÎ A)($ yÎ B)(~ P(x,y))
~ [($ xÎ A)(" yÎ B)(P(x,y))] º (" xÎ A)($ yÎ B)(~ P(x,y))
~ [($ yÎ B)($ xÎ A)(P(x,y))] º (" yÎ B)(" xÎ A)(~ P(x,y))
Ejemplo
Negar la proposición ($ xÎ R)(" yÎ R)(x+y = 0)
Solución
~ [($ xÎ R)(" yÎ R)(x+y = 0)] º (" xÎ R)($ yÎ R)(~ (x+y = 0))
º (" xÎ R)($ yÎ R)(x+y ¹ 0))

9. Inferencia Lógica
El proceso por el cual se infiere una conclusión de varias observaciones se llama
razonamiento inductivo. La conclusión puede ser correcto o incorrecto, o correcto dentro
de un cierto grado de precisión o correcto en determinadas situaciones. Conclusiones
inferidas a partir de observaciones múltiples pueden analizarse por observaciones
adicionales.
Esta definición es discutible Lógica la inferencia de una ley general de casos
particulares.”) La definición dada por lo tanto aplica sólo cuando la “conclusión” es
general.
1. Una conclusión sobre la base de evidencia y razonamiento. 2. El proceso de llegar a
esa conclusión: “orden, salud y por limpieza de inferencia”.
Ejemplos de inferencia
Filósofos griegos define una serie de silogismos, corregir tres de parte de inferencias, que
pueden utilizarse como bloques de construcción para razonamiento más complejo.
Comenzamos con el más famoso de todos ellos:
1.Todos los hombres son mortales
2.Sócrates es un hombre
3.Por lo tanto, Sócrates es mortal.
¿El lector puede comprobar que las premisas y conclusión son verdaderas, pero la lógica
se ocupa de inferencia: sigue la verdad de la conclusión de que las instalaciones?
La validez de una inferencia depende de la forma de la inferencia. Es decir, la palabra
“válido” no se refiere a la verdad de las premisas o la conclusión, sino a la forma de la
inferencia. Una inferencia puede ser válida incluso si las piezas son falsas y pueden ser
válidas incluso si las piezas son verdaderas. Pero un formulario válido con premisas
verdaderas siempre tendrá una conclusión verdadera.
Por ejemplo, considere la forma de la siguiente symbological pista:
1.Todas las frutas son dulces.
2.Una banana es una fruta.

10. 3.Por lo tanto, una banana es dulce.
Para que la conclusión que ser necesariamente cierto, las premisas deben ser
verdaderas.
Ahora pasamos a un formulario no es válido.
1.Todos los a son B.
2.C es un B.
3.Por lo tanto, C es un A.
Para mostrar que este formulario no es válido, demostramos cómo puede conducir a una
conclusión falsa de premisas verdaderas.
1.Las manzanas son frutas. (Corregir)
2.Los plátanos son frutas. (Corregir)
3.Por lo tanto, plátanos son manzanas. (Mal)
Un argumento válido con premisas falsas puede llevar a una conclusión falsa:
1.Todas las personas altas son griegos.
2.John Lennon era alto.
3.Por lo tanto, John Lennon era griego.
Cuando se utiliza un argumento válido para derivar una conclusión falsa de premisas
falsas, la inferencia es válida porque sigue la forma de una inferencia correcta.
También puede utilizarse un argumento válido para derivar una conclusión verdadera de
premisas falsas:
1.Todas las personas altas son músicos
2.John Lennon era alto
3.Por lo tanto, John Lennon fue un músico
En este caso tenemos dos premisas falsas que implican una conclusión verdadera.