TEMAS -PREDICADOS ALGEBRA - OBJETIVO TERMINAL Y OBJETIVO ESPECIFICO - INFERENCIAS LOGICAS

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
I.U.T Antonio José de Sucre
Catedra: Informática
Materia: Algebra
Alumno: diego Páez 28.459.523
PREDICADOS ALGEBRA
Objetivo Terminal Y Objetivos Específicos
Objetivo Terminal
Basados en la revisión bibliográfica y la ejercitación dirigida, mostrar la validez de
una proposición mediante el cálculo de predicados.
Objetivos Específicos
- Identificar una función proporcional y sus respectivos elementos que lo
conforman.
- Identificar los distintos cuantificadores de una función proposicional.
- Aplicar las distintas reglas de la negación de cuantificadores.
Calculo de Predicados
En los cálculos de predicados se tienen elementos más simples para formar las
expresiones atómicas, a diferencia de una proposición simple donde su valor es
verdadero o falso de acuerdo a una interpretación.
En el cálculo de predicados el valor de verdad depende de los componentes que
forman el predicado. Por ejemplo: Pedro es padre de Idalia es una expresión en
cálculo de predicados, que en general podría ser: x es padre de y, o simplemente
p(x,y).
En otras palabras, se tiene aquí una proposición abierta que depende de dos
variables, y que por supuesto el valor de verdad depende de los valores que se le
dan a las variables, porque por ejemplo: Frank es padre de Lisbeth puede tener un
valor de verdad diferente al anterior.
En general, se puede decir que un predicado puede tener una o más variables y
que las variables pueden tomar valores de un conjunto específico llamado
DOMINIO. Así por ejemplo las dos expresiones

2. mencionadas anteriormente son de la forma p(x,y) donde el predicado p
representa “es padre de” y el domino es el conjunto de las personas.
El Cálculo de Predicados permite ampliar el espectro del CALCULO
PROPOSIONAL trabajando con fórmulas de diversos tipos además del booleano.
Mientras la logico proposicional presenta limitaciones expresivas no permitiendo
describir la estructura interna de las proposiciones, la lógica de predicados cuenta
con un lenguaje mucho más expresivo que posibilita resolver esas limitaciones.
En la lógica proposicional la representación proposicional del juicio “Si Ana
estudia, aprueba” se compone de dos átomos “Ana estudia”, representado como p
y “Ana aprueba”, representado como q, pero las variables proposicionales p y q no
reflejan el vínculo que existe entre las proposiciones que representan, (ambas
hacen referencia a Ana).
En el lenguaje del cálculo de predicados los atomos tienen una representación
relacional, pudiendo representarse “Ana estudia” como Est(ana), donde Est(x) es
la relación untaria (de un argumento) que expresa que el individuo x estudia, de un
modo similar “Ana aprueba” puede representarse como Apr(ana), siendo Apr(x) la
relación que expresa que el individuo x aprueba, de este modo Est(ana) y
Apr(ana) expresan explícitamente que ambas proposiciones hacen referencia a
propiedades distintas (estudiar y aprobar) de un mismo objeto (Ana).
Por lo tanto se puede definir Cálculo de predicado como un sistema formal,
estructurado para el estudio de la inferencia en los lenguajes formales con
cuantificadores que alcanzan solo a variables de individuos, y con predicados y
funciones cuyos argumentos son constantes o variables de individuos.
La construcción de fórmulas en este cálculo obliga a definir nuevas expresiones
llamadas predicados.
Un predicado es una aplicación de una función booleana cuyos argumentos
pueden ser de diferentes tipos, es decir un predicado puede ser una función de
tipo Z → B.
Los nombres de las funciones (igual, menor) son llamados símbolos de
predicados. También se utiliza la notación x < y para expresar el predicado
menor(x, y). Por ejemplo, la siguiente expresión x < y ∧ x = z ⇒ q(x, z + x) contiene
tres predicados, x < y, x = z y q(x, x + z).
Los argumentos de los predicados son en este caso, variables de tipo distinto de B
o también expresiones de éstos tipos.

3. Los argumentos de un predicado son llamados términos, por ejemplo en la fórmula
anterior los términos en los predicados son x, y, z y z + x.
El cuantificador universal
La conjunción ᴧ es asociativa, conmutativa y tiene elemento neutro verdadero. Por
lo tanto puede considerarse una operación válida para definir la expresión
cuantificada.
(ᴧ x : R : P )
El símbolo Ɐ, que se lee “para todo”, se conoce como cuantificador universal y la
expresión anterior se denomina cuantificación universal y se lee “para todo x que
satisfaga R se satisface P ”.
La sentencia “todos los cantantes hacen uso intensivo de la voz”, presenta una
variable, pues “cantantes” no hace referencia a ningún elemento en particular por
lo que sólo puede ser representado por una variable, sin embargo constituye una
proposición porque se le puede asignar un valor veritativo.
Esto se debe a que la variable está cuantificada universalmente por “todos” con lo
que se expresa que la propiedad “hacer uso intensivo de la voz” se cumple por
todos los elementos del universo (conjunto de todos los cantantes).
El cuantificador universal (∀) es la operación que en el cálculo de predicados
permite representar este tipo de proposiciones quedando el ejemplo anterior de la
siguiente manera:
∀(x) UsoIntVoz(x)
>Puede apreciarse que x, de acuerdo con lo planteado en el epígrafe anterior, es
libre en UsoIntVoz(x), pero no ocurre lo mismo en ∀(x) UsoIntVoz(x) pues al
cuantificarse una variable, esta deja de ser libre.
Algunos ejemplos del uso de este cuantificador son los siguientes:
a)Todos los perros ladran.
b)Cada hombre debe pensar por su propia cabeza.
Es posible definir este nuevo operador a partir de otro ya conocido, la conjunción
(ᴧ), pues si a1, a2, a3... son los elementos del universo en que toma valores la
variable x, entonces:
∀(x) A(x) ⇔ A(a1) ᴧ A(a2) ᴧ A(a3) ᴧ ...

4. Esta equivalencia, evidencia que basta con que para un valor ai del universo, A(ai)
sea falsa para que∀(x) A(x) sea falsa también.
Por último queda especificar que si el universo en que toma valores la variable x
es vacío se establece que ∀(x) A(x) es verdadera.
El cuantificador existencial
La disyunción ⅴ es simétrica, asociativa y su elemento neutro es falso. Por lo
tanto puede considerarse una operación válida para definir la expresión
cuantificada
(ⅴ x : R : P )
Esta expresión se escribe usualmente así:
(∃x : R : P )
El símbolo ∃, que se lee “existe”, se conoce como cuantificador existencial y la
expresión anterior se denomina cuantificación existencial y se lee “existe x en el
rango R que satisface P ”.
La sentencia “alguien ha llegado”, es una proposición con una variable, pero esta
no está cuantificada universalmente. Este tipo de proposiciones presentan
cuantificación existencial, que se expresa mediante: “alguien”, “algún”, “un”, etc.
En este caso se plantea que la propiedad “haber llegado” se cumple por al menos
uno de los elementos del universo (conjunto de todas las personas).
El cuantificador existencial (∃) es la operación que en el cálculo de predicados
permite representar este tipo de proposiciones quedando el ejemplo anterior de la
siguiente manera:
∃(x) Ha Llegado(x)
Algunos ejemplos del uso de este cuantificador son los siguientes:
c)Hay hombres que han dado su vida por la libertad.
d)Un estudiante llegó tarde.
Este operador, al igual que ∀(), puede definirse a partir de otro ya conocido, en
este caso la disyunción (v), pues si a1, a2, a3... son los elementos del universo en
que toma valores la variable x, entonces:
∃(x) A(x) ⇔ A(a1) v A(a2) v A(a3) v ...

5. Esta equivalencia, evidencia que basta con que para un valor ai del universo, A(ai)
sea verdadera para que ∃(x) A(x) sea verdadera también.
En caso de que el universo en que toma valores la variable x sea vacío se
establece que ∃(x) A(x) es falsa.
Alfabeto del cálculo de predicados
Al igual que el cálculo proposicional, el cálculo de predicados cuenta con un
alfabeto, algunos de cuyos símbolos ya se han analizado.
Este alfabeto cuenta, en primer lugar, con símbolos de constantes individuales,
que se denotarán como combinaciones de letras y números comenzando siempre
por una letra minúscula. En caso de utilizar solo una letra, esta será de las
primeras del alfabeto latino (a, b, c, d, e,...).
También forman parte de este alfabeto los símbolos de variables individuales que
se denotarán mediante las últimas letras del alfabeto latino (u, v, w, x, y, z).
Otros componentes del alfabeto son los símbolos de funciones que serán letras
minúsculas del alfabeto latino, o combinaciones de letras y números (con inicial
minúscula), preferentemente se emplearán f, g y h.
Integran el alfabeto también símbolos de relaciones, que serán combinaciones de
letras y números comenzando siempre por una letra mayúscula.
Los símbolos del cuantificador universal ∀() y existencial ∃() vistos con
anterioridad, evidentemente también componen este alfabeto.
Por último, los símbolos de constantes proposicionales, operaciones
proposicionales y de agrupación, vistos en el alfabeto del cálculo proposicional
integran este alfabeto también.
Términos y fórmulas del cálculo de predicados
Al igual que el cálculo proposicional, el cálculo de predicados define el concepto
de fórmula, pero establece además, una expresión fundamental que se denomina
término y se define según las reglas siguientes:
1. Toda constante y toda variable es un término.
2. Si t1,t2,...,tn son términos y f es un símbolo de función n-aria, en-tonces
f(t1,t2,..., tn) es un término.
3. Todo término es el resultado de la aplicación un número finito de veces de las
dos reglas anteriores.

6. Conociendo la definición de término, es posible establecer el concepto de fórmula
del cálculo de predicados, que se sustenta en el de fórmula elemental o átomo:
definiciòn. Si t1, t2,..., tn son tèrminos y R un símbolo de relación n--aria, entonces
R(t1, t2,..., tn) es una fórmula elemental o átomo.
Algunos ejemplos de fórmulas elementales o átomos son los siguientes:
a) R(a, x).
b) Amigo(luis, juan).
c) Hermano(x, y).
d) Grande(x).
e) Padre(x, y).
f) Madre(x, y).
g)Padres(x,y,z).
Evidentemente, un átomo representará una proposición elemental, pero para
representar la proposiciones no elementales no basta con una fórmula atómica por
lo que se define el concepto de fórmula de la siguiente manera:
1. Toda fórmula elemental es una fórmula.
2. Si A es una fórmula, entonces ¬A es una fórmula.
3. Si A y B son fórmulas, entonces [A v B], [A ᴧ B], [A ⇒ B] y [A ⇔ B] son fórmulas.
4. Si A es una fórmula donde x ocurre libre, entonces ∀(x)A y ∃(x)A son fórmulas.
5. Toda fórmula es el resultado solamente de la aplicación de un núme-ro finito de
veces de las reglas1, 2, 3 y 4.
Algunos ejemplos de fórmulas son los siguientes:
a) Padres(x,y,z).
e) Padres(x,y,z) ⇔ Padre(x,z) ᴧ Madre(y,z).
b) Padres(luis,ana,jose).
f) Padre(luis,jose) ᴧ Madre(ana,jose).
g) ∀(x)∀(y)∀(z)[ Padres(x,y,z) ⇔ Padre(x,z) ᴧ Madre(y,z)].

7. Interpretación de fórmulas del cálculo de predicados
En el cálculo proposicional, una interpretación de una fórmula es una asignación
de valores a las variables involucradas, determinar todas las interpretaciones de
una fórmula no resulta difícil pues cada variable sólo tomas valores en {0, 1}.
En el cálculo de predicados esto se torna mucho más complejo, pues las variables
toman valores en diversos universos y aparecen los
cuantificadores que hacen necesario analizar desde otra perspectiva la
interpretación de fórmulas, siendo preciso establecer:
1. Un conjunto U, que será el dominio de valores de cada variable libre y al que
pertenecerán todas las constantes.
2. Una función con dominio en Un y codominio en U por cada símbolo de función
n-aria.
3. Una relación definida en Un por cada símbolo de relación n-aria.
Quedando entonces determinado que una fórmula A tiene una interpre-tación en U
si todos los símbolos de constantes, de funciones n-arias y de relaciones n-arias
que ocurren en A se interpretan, respectivamente, en elementos, funciones n-arias
y relaciones n-arias en U.
Establecido lo anterior, para determinar el valor veritativo de una fórmula, dada
una interpretación, se procede de la siguiente manera:
1. Si A es una fórmula atómica de la forma R(a1,…, an), entonces A es verdadera
en U si y solo si < a1,…, an > pertenece a R
2. Si A es la fórmula ¬B, entonces A es verdadera en U si y solo si B es falsa en U.
3. Si A es la fórmula B v C, entonces A verdadera en U si y solo si al menos una
de las fórmulas B o C es verdadera en U.
4. Si A es la fórmula B ᴧ C, entonces A es verdadera en U si y solo si las fórmulas
B y C son verdaderas en U.
5. Si A es la fórmula B ⇒ C, entonces A es verdadera en U si y solo si al menos B
es falsa en U o C es verdadera en U.
6. Si A es la fórmula B ⇔ C, entonces A es verdadera en U si y solo si ambas
fórmulas B ⇒ C y C ⇒ B son verdaderas en U.

8. 7. Si A es la fórmula ∀(x)B(x), entonces A es verdadera en U si y solo si B(x) es
verdadera en U para cualquier valor de x pertenece U.
8. Si A es la fórmula ∃(x)B(x), entonces A es verdadera en U si y solo si B(x) es
verdadera en U para al menos un valor de x pertenece a U.
El siguiente ejemplo ilustra la interpretación de fórmulas del cálculo de predicados.
Sea la interpretación I definida por:
U = {1, 2, 3, 4},
R = {<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,3>},
f = {<1,2>,<2,3>,<3,4>,<4,1>}
a = 1, b = 2
Sean las fórmulas del cálculo de predicados:
a) ∀(x)R(x, f(x))
b) ∃(x)R(x, f(x))
c) ∀(x)R(a, x)
d) ∃(x)R(b, x)
e)∀(x)[∃(y)R(x, y) ⇒ R(x, 3)]
Determine el valor de las fórmulas anteriores:
a) ∀(x)R(x, f(x)).
En este caso la fórmula es falsa para I, pues R(3, f(3)), es R(3, 4) y <3,4> no
pertenece a R.
b) ∃(x)R(x, f(x)). Esta fórmula es cierta para I, pues basta con que un valor de x
haga R(x, f(x)) verdadera y esto ocurre con x = 1.
c) ∀(x)R(a, x). Como a = 1, la veracidad de esta fórmula depende de que R(1,x)
sea cierta para todos los valores de x, lo que en efecto ocurre, siendo entonces
verdadera.
d) ∃(x)R(b, x). Como b = 2 y para x = 3 se tiene R(2, 3), que es cierto, entonces la
fórmula lo es también.
e) ∀∃(y)R(x, y) ⇒ R(x, 3)]. Esta fórmula es cierta pues lo son:

9. ∃(y)R(1, y) ⇒ R(1, 3)
∃(y)R(2, y) ⇒ R(2, 3)
∃(y)R(3, y) ⇒ R(3, 3)
∃(y)R(4, y) ⇒ R(4, 3)
La primera lo es, pues la parte derecha de la implicación lo es. Lo mismo ocurre
con la segunda. La tercera y la cuarta son ciertas pues sus implicantes son falsos
(ningún par de R tiene como primer elemento al 3 o al 4).
Inferencia
La inferencia es el proceso por el cual se derivan conclusiones a partir de
premisas. Cuando una proposición se sigue de otras de ese modo, se dice que
éstas implican aquella.
La inferencia es el objeto de estudio tradicional de la lógica (así como la materia
es de la química y la vida es de la biología). La lógica investiga los fundamentos
por los cuales algunas inferencias son aceptables, y otras no. Cuando una
inferencia es aceptable, lo es por su estructura lógica y no por el contenido
específico del argumento o el lenguaje utilizado. Por esto se construyen sistemas
formales que capturan los factores relevantes de las deducciones como aparecen
en el lenguaje natural.
Tradicionalmente se distinguen tres clases de inferencias: las deducciones, las
inducciones y las abducciones, aunque a veces se cuenta a la abducción como un
caso especial de inducción. La validez o no de las inducciones es asunto de la
lógica inductiva y del problema de la inducción. Las deducciones, en cambio, son
estudiadas por la mayor parte de la lógica contemporánea.
En las investigaciones sobre la inteligencia artificial, la inferencia es la operación
lógica utilizada en los motores de inferencia de los sistemas expertos.
Inferencia lógica
Lógica aristotélica
En la lógica aristotélica, la forma esencial de inferencia es una forma de
razonamiento deductivo. No obstante, se reconocían algunas inferencias directas
o inmediatas.

10. La lógica aristotélica consideraba la posibilidad de inferencias inmediatas: aquellas
que se pueden obtener directamente a partir de la relación que establece un
juicio5 respecto a los términos, sujeto y predicado, que le constituyen, en función
de la cualidad (afirmativo-negativo) y la cantidad (universal-particular) del mismo.
Aristóteles estudió con detalle ciertas operaciones que permitían tales inferencias
inmediatas o directas. Para ello elaboró el llamado cuadro de oposición de los
juicios, en el que dadas las relaciones que cada juicio aristotélico, A,E,I,O, lleva
implícitas se pueden establecer ciertas inferencias directas.
Asimismo en la lógica tradicional se admitían ciertas operaciones lógicas de
transformación de un juicio manteniendo sus condiciones de verdad. Tales
operaciones eran:
- Conversión lógica
- Obversión lógica
- Contraposición lógica
- Inversión lógica
La lógica tradicional aristotélica no resuelve del todo bien los problemas que
surgen de los juicios negativos por lo que este tipo de operaciones lógicas se
prestan a argumentaciones que producen resultados aberrantes.
La lógica actual formaliza los enunciados lingüísticos bien como relación de clases
o como funciones proposicionales o relaciones. Hoy se exige el rigor formal de la
aplicación de una regla de inferencia. La idea de inferencia inmediata no es más
que la aplicación de una regla modo implícito. La formalidad lógica, sin embargo,
exige que sea explícita la regla que permite la transformación de una EBF.
Lógica moderna
Se llama inferencia lógica a la aplicación de una regla de transformación que
permite transformar una fórmula o expresión bien formada (EBF) de un sistema
formal en otra EBF como teorema del mismo sistema. Ambas expresiones se
relacionan mediante una relación de equivalencia, es decir, que ambas tienen los
mismos valores de verdad o, dicho de otra forma, la verdad de una complica la
verdad de la otra.
Surge así lo se conoce como postulado o transformada de una expresión original
conforme a reglas previamente establecidas, que puede enmarcarse en uno o
varios contextos referenciales diversos,obteniéndose en cada uno de ellos un
significado como valor de verdad de equivalente.

11. Elaborando la tabla de valores de verdad de dicha equivalencia contenida en la
función del bicondicional el resultado ha de ser una tautología.
Esquema de inferencia
Se refiere a la estructura lógico-formal que permite obtener una expresión bien
formada (EBF) desligada, libre, como teorema de un sistema formal previamente
definido por la regla de separación estrictas de formación y transformación de
fórmulas.
Dicha estructura es el fundamento de un argumento lógico-formal mediante la
aplicación de la regla de Sustitución de fórmulas.
Inferencia por evidencias
Evidencia inductiva: Surge de la constatación de una misma ocurrencia en una
serie de casos. Observando que muchos lobos tienen la cola larga, infiero que “los
lobos tienen la cola larga”, como una generalización.
Evidencia enumerativa o inducción completa: Cuando se enumeran todos los
casos la inferencia se convierte en una verdad demostrada, como inducción
completa. Tal es el caso de que tras contar a todos y cada uno se pueda inferir:
“los alumnos de esta clase son”.
Aristóteles y con él la escolástica tradicional admitía una inducción perfecta,
siempre y cuando la relación entre los individuos y la clase, como concepto, sea
aprendida como conexión esencial necesaria de un proceso de abstracción; o bien
entre clases como conceptos incluidas en otra clase, como concepto. De esta
forma tal inducción venía a ser una forma de silogismo, en la relación de
conceptos entre sí. Así, en la medida en que águilas, cigüeñas, gorriones, etc.,
vuelan, y todas y cada una de las clases de tales animales son aves, se puede
concluir que la conexión entre «aves» y «volar» es esencial: «todas las aves
vuelan».
Argumentos así provocaron incidentes tan insólitos en la historia de la ciencia
como la aparición del ornitorrinco.13
Por otro lado, el conocimiento de la experiencia siempre singular, cada caso único
e irrepetible, hace problemática la posibilidad de llegar al conocimiento de
conceptos universales, esenciales y plantea el problema del estatus
epistemológico de la ciencia como conocimiento de conceptos y leyes universales.

12. Al ponerse en cuestión el mundo de las formas esenciales y la propia entidad
conceptual entendida como clase lógica, y la posibilidad de la no existencia de
individuos dentro de una clase bien definida, la inferencia inductiva sobre un
universo no conocido en todas sus ocurrencias produce el llamado problema de la
inducción que, por su carácter, excede del caso de este artículo referido a la
inferencia (véase inductivismo).
Tipos de inferencia
- Inferir por lógica clásica: Inferencia que sólo admite dos valores:
verdadero o falso.
- Inferencia trivaluada: Una inferencia de este estilo da como posibles
resultados tres valores.
- Inferencia multivaluada: Una inferencia de este estilo da como posibles
resultados múltiples valores.
- Inferencia difusa: Una inferencia de este estilo describe todos los casos
multivaluados con exactitud y precisión.
- Inferencia probabilística: en el sentido de una inducción que permite
establecer una verdad con mayor índice de probabilidad que las demás.
Si bien, cuando el universo posible es de infinitas ocurrencias la probabilidad
siempre será 0. Por lo que algunos establecen para el estatuto de la ciencia el
falsacionismo, como método científico y contrastación de teorías y las lógicas
humanas.
Inferencia estadística (administración y gestión)
Cuando la descripción se aplica a condiciones de certeza, como en las tablas del
mercado de valores en que se muestra un censo de los valores negociados, se
convierte en una entidad metodológica. Sin embargo, en la mayoría de los
problemas estadísticos actuales se emplea más una muestra que un censo, y la
descripción se ha convertido simplemente en una preparación de la siguiente rama
de la estadística: inferencia.
Cuando hacemos uso de la inferencia, llegamos a una conclusión o formulamos
una afirmación bajo ciertas condiciones de incertidumbre. La incertidumbre puede
ser el resultado de las condiciones aleatorias, implícitas en el trabajo con

13. muestras, o del desconocimiento de las leyes aleatorias precisas que son
aplicables a una situación específica. No obstante en la teoría de la conclusión, la
incertidumbre sobre la exactitud de la afirmación que se ha hecho o de la
conclusión que se ha sacado se expone simplemente en términos de probabilidad
de que ocurra.
La inferencia trata de dos tipos principales de problemas:la estimación y la
contrastación de hipótesis
Inferencia aplicada al conocimiento del comportamiento humano
Se puede inferir todo lo que sea inteligible. Dentro del campo de la inteligencia
humana, encontramos campos muy interesantes, tal como la inteligencia
emocional. Dado que el cerebro humano está sujeto a leyes físicas, existe la
posibilidad de que el comportamiento humano sea potencialmente previsible, con
un grado de incertidumbre, al mismo grado que el resto de ciencias lo pudiera ser,
pues todas se basan en la inteligencia del hombre. La capacidad de inferir el
sentimiento humano se llama empatía; cada sentimiento motiva a actuar de cierta
manera. La capacidad de predecir como va a actuar cierta persona roza lo
esotérico, pero nada más lejos de la realidad, se pueden generar modelos de
comportamientos humanos y el grado de exactitud de la predicción dependerá de
lo empático que sea la persona (dado que la única máquina capaz de reproducir
una mente, hasta la fecha, es un cerebro humano).