Lógica de Predicados

1. Sección 1.3
Lógica de Predicados
Tomado de Matemáticas Discretas y sus Aplicaciones. Rosen
Esteban Andrés Díaz Mina

2. Lógica de Predicados
El cálculo proposicional no puede representar
proposiciones que contienen variables como:
" x > 3"
"x = y + 3",
"x + y =z".
Este tipo de proposiciones son encontradas
frecuentemente en declaraciones matemáticas y
programas de computador. Cuando los valores de las
variables no son especificados, estas expresiones no
son verdaderas ni falsas.

3. Lógica de Predicados
Ex1. Para el enunciado 1, tenemos:
1. la variable x es el sujeto de la expresión
2. “es mayor que” es el predicado (propiedad que el sujeto
de la expresión puede satisfacer).
Podemos denotar la expresión “x es mayor que 3” por P(x),
donde P denota el predicado “es mayor que 3” y x es la
variable. La expresión P(x) es el valor de la función
proposicional P en x.

4. Lógica de Predicados
Una vez un valor le es asignado a la variable x, la
expresión P(x) se convierte en una proposición y
tiene su valor de verdad.
¿Cuáles son los valores de verdad de P(4) y P(2)?

5. Lógica de Predicados
Ex2. Sea Q(x,y) la función proposicional para el
enunciado 2.
¿Cuál es el valor de verdad de las proposiciones
Q(3,2) y Q(5,2) ?
Ex3. Sea R(x,y,z) la función proposicional para la
enunciado 3.
¿Cuál es el valor de verdad de las proposiciones
R(1,2,3) y R(0,0,1) ?

6. Lógica de Predicados
En general una expresión que involucra las n
variables x1, x2, ..... xn puede ser denotado por
P(x1,...., xn).
Una expresión de la forma P(x1, x2, ..... xn) es el valor
de la función proposicional P en la n-tupla
(x1, x2, ..... xn) y P es llamado un predicado.

7. Cuantificador Universal
Definición 1. La cuantificación universal de P(x) es
la proposición “P(x) es verdad para todos los valores
de x en el universo de discurso”.
La notación xP(x) denota la cuantificación universal
de P(x). Aquí  es llamado el cuantificador
universal. La expresión xP(x) es también expresada
como: “para todo x P(x)” o “para cada x P(x)”

8. Cuantificador Universal
Ex5. Sea P(x) el enunciado “x+1>x”. ¿Cuál es el valor
de verdad de " xP(x), donde el universo del discurso
consiste de todos los números reales?
Sol. True.

9. Cuantificador Universal
Ex6. Sea Q(x) la expresión “x < 2” ¿Cuál es el
valor de verdad de la cuantificación xP(x),
donde el universo de discurso es el conjunto de
los números reales ?
Sol. Q(x) no es verdadera para todos los números
reales x. por ejemplo Q(3) es falsa. Así xQ(x) es
falsa.

10. Cuantificador Universal
Cuando todos los elementos del universo de
discurso pueden ser listados, digamos
x1, x2, ..... xn se sigue que la cuantificación
universal P(x) es equivalente a la conjunción
P(x1)  P(x2)  .....  P(xn) puesto que esta
conjunción es verdad si y solo si son todas
verdaderas.

11. Cuantificador Universal
Ex7. ¿Cuál es el valor de verdad de xP(x), donde
P(x) es la expresión “x2 < 10” y el universo de
discurso consiste de los enteros positivos que no
sobrepasan al 4 ?
Sol. La expresión xP(x) es equivalente a la
conjunción P(1)  P(2)  P(3)  P(4) puesto que el
universo de discurso consiste de los enteros 1, 2,
3 y 4. Dado que P(4) es la expresión “42 < 10” es
falsa, entonces se sigue que xP(x) es falsa.

12. Cuantificador Universal
Ex9. ¿Cuál es el valor de verdad de x(x2 ≥ x) si
el universo del discurso consiste de todos los
números reales? y
¿Cuál es el valor de verdad si el universo del
discurso consiste de todos los números enteros?

13. Cuantificador Existencial
Definición 2. La cuantificación existencial de
P(x) es la proposición “existe un elemento x en el
universo de discurso tal que P(x) es verdad”.
La notación xP(x) denota la cuantificación
existencial de P(x). Aquí  es llamado el
cuantificador existencial. La expresión xP(x) es
también expresada como:
“hay un x tal que P(x)” ,
“hay al menos un x tal que P(x)” o
“para algún x P(x)”

14. Cuantificador Existencial
Ex12 Sea Q(x) que denota la expresión “x = x +1”.
¿Cuál es el valor de verdad de xQ(x), donde el
universo de discurso es el conjunto de los
números reales?
Sol. Puesto que Q(x) es falso para cada número
real x, la cuantificación existencial de Q(x), la
cual es xQ(x), es falsa.

15. Cuantificador Existencial
Cuando todos los elementos del universo de
discurso pueden ser listados, digamos
x1, x2, ..... xn la cuantificación existencial xP(x)
es equivalente a la disyunción
P(x1)  P(x2)  .....  P(xn) puesto que esta
disyunción es verdad si y solo si al menos una de
P(x1), P(x2),..... P(xn) es verdadera.

16. Cuantificador Existencial
Ex13. ¿Cuál es el valor de verdad de xP(x),
donde P(x) es la expresión “x2 > 10” y el universo
del discurso consiste de los enteros positivos que
no sobrepasan al 4 ?
Sol. El enunciado xP(x), se puede denotar como
disyunción: P(1)  P(2)  P(3)  P(4).
Dado que el enunciado P(4)= “42 > 10” es verdad,
entonces se sigue que xP(x) es verdad.